"פרקים מתוך "לחזות בתפארת: התפתחות הפיזיקה בהשראת אידיאל היופי

אבשלום כורש אליצור לחזות בתפארת
התפתחות הפיסיקה בהשראת אידיאל היופי Avshalom C. Elitzur Glory Emerging
Beauty as a Guiding Ideal in the Evolution of Physics © All Rights Reserved by the Author כל הזכויות שמורות למחבר ©
אטלנטיס, הוצאת ספרים
תל-אביב 2007
תוכן
הקדמה
תודות
פתח-דבר מאת יקיר אהרונוב
‏1. הרומאן המוזר בין יופי ואמת
‏2. אורגיה אינטלקטואלית למרגלות האולימפוס
‏3. אי-שלמות שואפת לאינסוף
‏4. קופרניקוס מפיל עמוד בהיכל
‏5. השמים מספרים כבוד אל – וקפלר מחבר להם מנגינה
‏6. גלילאו מודד זמן במנגינות
‏7. דקרט מנתח כל מה שזז
‏8. ניוטון מאחד שמים וארץ
‏9. חוקה אחת לקטן ולגדול
‏10. פַרַדֵי עושה פיסיקה בלי משוואות
‏11. מקסוול מאיר את האור
‏12. בניין כלול בהדרו
‏13. איינשטיין רואה יופי פעמיים
‏14. איינשטיין עושה את זה שוב
‏15. פּלנק משחרר שד קטן
‏16. השד מביא את החברים שלו
‏17. יש לי סברה
‏18. ואף על-פי כן, נוע ינוע הזמן
‏19. אסימטריה פורקת-עול
‏20. יש לי תיאוריה
‏21. רעם פצצה שלא התפוצצה
‏22. בדלפי ניסיתי לשנות את העבר
‏23. פרדוקס השקרן הקוונטי
‏24. קוונטים ויחסות: שונאים, אבל עושים יחד ילדים
‏25. המיתרים מצטרפים לסימפוניה
‏26. ואלה תולדות האיחודים
‏27. מכתב גלוי לאיינשטיין הבא
נספח מתמטי
ביבליוגרפיה
אינדקס הקדמה
כמו מאלף של להקת קופים שהחלה להתפרע באמצע ההופעה, צריך אני להסביר איך יצא הספר הזה כל כך שונה ממה שהיה אמור להיות. הוא מבוסס על הרצאותיי באוניברסיטת בר-אילן. דיברתי על היופי המתגלה לפיסיקאים בטבע ובחוקיו, והמדריך אותם עד היום בחיפושיהם אחרי תורה חדשה. כיוון שרוב תלמידיי היו סטודנטים שלא למדו מדעים, ניצבתי בפני אתגר: להקיף את התפתחות הפיסיקה מימי קדם עד ימינו, להסביר את התגליות ופריצות-הדרך, להגיע עד השאלות הלא-פתורות בפניהן ניצבת הפיסיקה כיום, וכן לתאר גם כמה מעבודותיי שלי בנושאים אלה – וכל אלה בשפה פשוטה ומובנת.
היופי שביקשתי להראות היה יופי נשגב, קר ומדויק, שואף לשלמות ואוצֵר עוצמה ההולכת וגדלה מדור לדור. בחוקיו ובמשוואותיו התמציתיים אין זכר לתווי פניהם, לקולות צחוקם ובכיים ולריח זיעתם של הגברים והנשים שגילו ויצרו אותו, כמו היהלום שבכתר שאינו מגלה דבר על עלילות הכורים, המבריחים, המלטשים ואנשי-האצולה שתחת ידיהם עבר. אבל כשניסיתי להסביר לשומעיי איך התפתח היופי המוקפד הזה מצאנו את עצמנו מתוודעים אל יופי אחר, חי, חם, מציף וגועש, אפוס ענק שפרקיו הם סיפורי חייהם של מעריצי היופי לדורותיהם שהנחילו לנו את האוצר הזה. מי שרוצה להיות מדען, כדאי לו להכיר את שני המישורים המנוגדים-משלימים האלה. כך מצאתי את עצמי מלמד גם פיסיקה וגם את ההיסטוריה שלה. ראיתי את שומעיי מתלהבים יותר ויותר, נסחפתי בהתלהבותם, ורציתי לשתף בחוויה הזאת גם אתכם.
ואז, כשהעליתי את ההרצאות על הכתב והגעתי אל פרשת-הדרכים בה נמצאת הפיסיקה כיום, חשתי צורך לחלוק אתכם בסיפורו המוזר של עוד אוהב-יופי שיצא בעקבות אותם נפילים וזכה גם הוא לגלות דבר או שניים. האיש הזה הוא במקרה אני, ומדרך הטבע יש גם בסיפורו עליות וירידות, וגם בו החיפוש אחר היופי עובר לפעמים במקומות לא הכי יפים. בעיניי, דווקא ההכרה הזאת עושה את המסע בעקבות היופי, עם כל התלאות הכרוכות בו, יפה בעצמו.
יש כמובן הבדל בין התוכן המדעי, שהוא עיקר ספר זה, לבין מעט התוספות האישיות שהתגנבו אליו פה ושם. דמו לעצמכם מורה-דרך המובילכם בארץ לא-נודעת, תחילה בדרכים מסומנות וכבושות היטב שכבר פילסו מגלי-ארצות נודעים, אחר-כך בכל מיני פינות נידחות, ולבסוף במקומות שטרם דרכה בהם רגל אדם, והוא מסביר בכל מקום מי גילה מה, איך ומתי. רק טבעי הוא שבהגיעכם למקומות הבתוליים, ייעשה דיבורו יותר ויותר אישי, ומדי-פעם אפילו ייפלט לו איזה שוויץ קטן, משהו כמו ”אגב, אני גיליתי את המערה הזאת,“ ”פה מצאתי קיצור-דרך,“ ”שם פעם כמעט אכלו אותי,“ וכו'. כך גם בספר זה: ברוב פרקיו נלך בדרכים שכבר סללו קודמינו הגאוניים ובהן נתוודע אל מיטב הידע המקובל בפיסיקה של ימינו. רק לקראת הסוף, כשנגיע לשאלות שעליהן אין עדיין תשובה, אזמינכם ללוות אותי עוד כמה צעדים בכיוון בו אני עצמי הולך בחיפושיי אחרי תיאוריה מאחדת, משאת-נפשם המתמהמהת של הפיסיקאים מדורי-דורות.
הספר כתוב בשפה היומיומית של ההרצאות כפי שהוקלטו בבר-אילן בידי שניים מתלמידיי, והוא מיועד לכל סוגי הקוראים: מהדיוטות וחובבים ועד מדענים שהפיסיקה העיונית היא מקצועם. הוא פותח בהסברת מושגי-יסוד ומסיים בחידושים שרק זה עתה עברו את השיפוט המדעי. כל פרק מסיים בסיכום תמציתי. הביבליוגרפיה מפנה אל מאמרים עדכניים מכתבי-עת מקצועיים, ספרים מעולים בעברית שנכתבו בידי חוקרים ישראליים, ספרים חשובים שתורגמו לעברית ומקורות אינטרנט בדוקים.
לטובת הקוראים הנרתעים ממתמטיקה – ובאותה מידה לטובת אלה שלא יכולים בלעדיה – ריכזתי את כל ההסברים המתמטיים הנלווים בנספח שבסוף הספר.
למדתי הרבה מהחברים והעמיתים שקראו את כתב-היד והעירו את הערותיהם, ואיני משלה את עצמי שלא נותרו דברים לשפר ולתקן. כל הערה וביקורת מצדכם תתקבל בתודה ובמלוא תשומת-הלב.
זה לי ספרי השלישי והייתי כבר אמור להתרגל להתנסוּת הזאת, ובכל זאת מעולם לא גרמה לי הכתיבה להיסחף בחדווה כזאת בהתוודעות-מחדש אל הפליאה שבטבע ובחוקיו. את החוויה הזאת אנסה לעורר גם בכם. תודות
הרבה חברים ועמיתים סייעו בכתיבת ספר זה. חלקם, שותפים למחקריי ולדרכי במדע, מופיעים באופן טבעי בגוף הספר. בכל זאת אני שב ומביע את הכרת-תודתי הלבבית לפרופ' יוסף רוזן ולד"ר שחר דולב על שקראו את כתב-היד בסבלנות שוב ושוב וחלקו אתי בנדיבות כזאת בעושר ידיעותיהם ותבונתם.
תודה מיוחדת לליאור גולגר ומאור גרינברג, שסרקו יחד את כתב-היד ושיפרו אותו לאין ערוך בכל התחומים והרמות, מפיסיקה עד היסטוריה, מהיגיון עד עריכה לשונית.
תודה – בסדר אלפביתי ובמידה שווה מקרב-לב – לפרופ' יששכר אונא, ד"ר שחר ארזי, פרופ' זאב בכלר, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ”כֵּן, הָיָה זֶה חֶבֶר עַז מְאֵין כָּמוֹהוּ“!
תודה לעמיתים מחו"ל שהזמינו אותי לביקורים במוסדותיהם, למחקר, להוראה ולהחלפת-דעות, ושבמהלכם נכתבו כמה מפרקי הספר: Lucian Hardy, Perimeter Institute, Waterloo, Canada; Robert Jahn, Princeton University, Princeton, USA; Pier Luigi Luisi, ETH and University of Rome, Harald Atmanspacher, Institute for Frontier Areas of Psychology, Freiburg, Germany; Nancy Kolenda, The Center for Frontier Sciences, Temple University, Philadelphia.
תודה ליוסי רודוי, החבר הנאמן שליווה את הספר בדאגה ואהבה בכל שלביו.
מעל לכל, תודה לכם, תלמידיי בבר-אילן ובכל המוסדות בהם זכיתי ללמד, על ההשראה וההתלהבות, על הדיונים הקולניים, על עבודות-הגמר שהגשתם ושמהן שאבתי ולמדתי ללא בושה. אליכם התכוון ר' מנדל מקוצק כשענה לאדם שהתייעץ בו בבחירת מקצוע לבנו: ”עשה אותו מורה, אולי יפגוש פעם תלמיד פיקח וילמד משהו חדש.“

טרחנויות אקדמיות
מאמץ רב הושקע בספר זה כדי שהדיוק המדעי לא יפגום בשטף הקריאה. כל הפנייה ביבליוגרפית מופיעה בספָרוֹת מוקטנות המציינות את מספר המקור בביבליוגרפיה שבסוף הספר. כשנחוצים גם מספרי העמודים, הם מתווספים בסוגריים. לעומת זאת, הערת שוליים תופיע בתחתית העמוד. מעולם לא הבנתי את עצלנותם של מחברים המערבבים את שני סוגי ההערות ומאלצים את הקורא לדלג הלוך-ושוב אל סוף הספר.
הקפדתי על תכתיב פונֶטי של השמות והמונחים הלועזיים. בימינו, עם נפילת המחיצות בין תרבויות, חשוב לדעת איך מבוטא שמו של אדם בשפתו, וכך יצאו כמה שמות שונים מהמקובל בספרים קודמים. כך גם לגבי מילים לועזיות. ברוב המקרים העדפתי לנקד מילים ושמות במקום להשתמש בכתיב מלא, אבל לפעמים היה טבעי יותר להשאיר עם הניקוד כתיב מלא שכבר נעשה מקובל. הכתיב הלטיני של כל שם לועזי מופיע באינדקס.
השתמשתי באינדקס גם כדי לחסוך בצורך החיוני במילון מונחים: בכל ערך בו מופיעים מספרי עמודים באות מודגשת, ההפניה היא למקום בגוף הספר בו מוסבר המושג לראשונה.
לצד כל חוק פיסיקלי או דיון המצריך ביטויים מתמטיים, עננה קטנה בשוליים מפנה אל המשוואות בנספח המתמטי. יקיר אהרונוב
פתח-דבר
כשהייתי ילד אהבתי חידות. אפילו מעוברים-ושבים שלא הכרתי הייתי מבקש לפעמים: “אדון, חוד לי חידה.” החידות פתחו בפניי את סודות ההיגיון. עם השנים מצאתי מקור בלתי-נדלה לחידות בטבע כולו. למדתי שאפשר גם לחוד לטבע חידות ולקבל עליהן תשובות מפתיעות. כך נעשיתי מדען ונמשכתי אל יסודות הפיסיקה. שתי תורות מהפכניות, היחסות והקוונטים, שבו את לבי, שתיהן חוללו מהפכה במחשבת האדם, ושתיהן הצטיינו בעוצמה ובדיוק מדהימים אפילו כשניבאו תוצאות מוזרות מאוד, אבל הייתה ביניהן סתירה מהותית. איך יכולות שתיהן להיות נכונות? זו הייתה החידה הקשה והמרתקת מכולן. שיטה חדשה להבנת הטבע צמחה ברבות השנים מניסיונותיי לפתור חידה זו. יחד עם תלמידיי מצאתי דרך חדשה לשאול שאלות, ושורה של ניבויים פיסיקליות מפתיעים, שאושרו בניסויים, חזרה ורמזה לנו כי הכיוון נכון גם אם הדרך עוד ארוכה. אפילו כיום, כשאני רשמית בגיל הפרישה, חידות אלה מעסיקות את מחשבותיי ותוצאות הניסויים ממשיכות להלהיב אותי כמו בצעירותי. הרבה שאלות הנחשבות בדרך-כלל לפילוסופיות, כמו שאלת חופש הרצון, מקבלות משמעות פיסיקלית חדשה במסגרת הדרך הזאת.
בכל אלה נזכרתי עם קריאת ספר זה. מחברו היה תלמידי, והוא מעיד על עצמו ככזה גם כיום, כשהוא חוקר בזכות עצמו שכבר שלח אליי לשיפוט עבודת דוקטורט של אחד מתלמידיו, ואני מקווה שהמשך יבוא. שמחתי לעקוב אחריו במשך השנים ולראות את התפתחותו גם כחוקר מקורי וגם כאחד המורים המלהיבים שפגשתי בעולם כולו. שני הצדדים האלה באים לידי ביטוי בספרו.
אליצור מתאר בספר זה את התפתחות הפיסיקה מצד היופי של הטבע ושל חוקיו, ובכך הוא מעיר בי את הרגשות החזקים שפיעמו בי מאז הייתי ילד. במהלך קריאת כתב-היד של ספרו חזרנו לשוחח ולהתווכח כמו בימים בהם עשה את הדוקטורט, בנושאים אחדים הסכמנו ובאחרים נשארנו חלוקים זה על זה, וכמה שאלות והבנות חדשות צצו ומצאו את דרכן אל הדפים הבאים. אני מסכים אתו שהיופי, למרות שהוא מושג סובייקטיבי ופחות ברור מהקריטריונים הלוגיים והמתמטיים, הוא מדריך מעולה בחיפוש אחר האמת המדעית. אני גם מסכים אתו שמושג הזמן בפי שהוא מתואר כיום בתורות היחסות והקוונטים אינו מתאר במלואו את טבעו החמקמק של הזמן. בשיטה שפיתחתי במחקריי, שגם היא מוסברת באחד הפרקים, ניתן להסתכל על כל אירוע משני כיווני זמן, מהעבר לעתיד ולהיפך. הסתכלות כפולה זו חושפת היבטים חדשים ומפתיעים בעולם הקוונטי. גם כאן שמחתי לגלות כי שיטה זו מצאה את דרכה גם לאחד הפרדוקסים המקוריים של אליצור ודולב.
נהניתי מאוד לקרוא את הספר, גם בעיני מדען וגם בעיני מורה. מצאה חן בעיניי הדרך בה מסביר אליצור סוגיות ושאלות עמוקות מאוד, אפילו כאלה שאין להן תשובה כיום, בשפה פשוטה ואפילו מבדחת לפעמים, שבה יכול כל אדם להבין את המדובר. לשנינו משותפת גם הדאגה לעתיד המדע הישראלי ולמקומו בהתפתחות המדע בעולם, והספר הזה מהווה כניסה מעולה לכל הרוצה להכיר את פלאי היקום או אף להצטרף אל חוקריהם.

הרומאן המוזר בין יופי ואמת
ברית נכרתה לנצח בין הגאון והטבע '
הבטחותיו של ההוא – זה קיים יקיימן.
פרידריך שילר
מהרבה בחינות הייתה 1948 ציון-דרך היסטורי. בשנה זו, ניבא ניוטון, ישוב ישוע המשיח, מה שלא ממש התגשם, אבל בשנה זו קמה מדינת ישראל ונכתבה מגילת זכויות האדם, ושנה זו היא גם מפנה בתולדות הקוסמולוגיה: מאמר פורץ-דרך על היווצרות היקום‎53 פורסם על-ידי רלף אַלפֵר, הנס בֵּתֵה וג'ורג' גַמוֹב. המאמר הכה גלים. הייתה רק בעיה קטנה אחת: בתה עצמו מעולם לא שמע קודם על המאמר. הוא הלך אל גמוב לבקש הסברים.
מה יש לך, אמר גמוב, לא מאמר יפה?
יפה מאוד, התעצבן בתה, אבל לא כתבתי אותו!
אז מה אם לא כתבת אותו! התעצבן גם גמוב. בגלל זה רצית שאוותר על צירוף יפה כזה של אלפא, בטא וגמא? ועוד במאמר על ראשית היקום?
בתה לא היה צריך להתאמץ הרבה כדי להיזכר ממי למד גמוב לשפץ את ההיסטוריה. שבע-עשרה שנה קודם לכן נפל הפיסיקאי והאסטרונום ארתור סטנלי אדינגטון קורבן לתעלול דומה. האיש הטוב הזה היה רגיל לשאול ”למה“ בכל פעם שנתקל באחד מאותם גדלים של הטבע שאין להם סיבה ידועה: למה מהירות האור היא דווקא כזאת ולא אחרת? ולמה מטען האלקטרון דווקא כזה ולא כפליים? ”ככה“ זה לא תשובה, אמר אדינגטון. חייב להיות קשר טמיר בין כל המספרים הללו. והוא חיפש שנים רבות את הקשר הזה, שבעיני חבריו נראה כסתם נומרולוגיה.
בתה עקב אחרי המאמצים האלה בעניין רב ולבסוף החליט לעזור לעמיתו. יחד עם שני חברים, בֶּק ורַייזלר, פרסם מאמר קצרצר בשמו של אדינגטון.‎54 המאמר עסק במספר מפורסם בתורת הקוונטים, 1/137, שהוא הסיכוי שאלקטרון יפלוט חלקיק אור. כמובן רק טבעי היה שמיד עם גילוי המספר הזה יקבל אדינגטון התקף אובססיה חדש: למה דווקא ?137 כאן נחלצו שלושת הליצנים לעזרה והציעו – בשמו, כמובן – דרך לגזור את המספר הזה מקבועים אחרים של הטבע: ”יהא נתון סריג גבישי משושה. טמפרטורת האפס המוחלט פירושה שכל דרגות החופש שלו קפאו.“ עורך כתב העת, שמיהר לעבור לדום למראה מאמר מפיסיקאי כה חשוב, אפילו לא שם לב שהמחבר החליף את המילה האנגלית ”מעלות חום degrees))“ ב”דרגות חופש (degrees of freedom).“ וכך המשיך ”אדינגטון“ לחנטרש עד למסקנה המבוקשת: ”כיוון שהאפס המוחלט הוא מינוס 273 מעלות [צלסיוס כמובן; עם פרנהייט זה לא היה עובד] וכיוון ש[כאן בא חישוב המראה למה צריך להוסיף לו 1 ולחלק ב 2], מתקבל 137.“ העורך הנפעם פרסם את המאמר – ואדינגטון הקים שערורייה.
שני התעלולים האלה הם פארודיות על אהבת הפיסיקאים לתיאוריות יפות. לטענה שהיפה הוא גם האמיתי נתייחס בסלחנות אם היא באה מפי משורר. ”היופי הוא אמת,“ כתב ג'ון קִיטס, ”האמת יופי. זה כל אשר תדעו עלי אדמות, וכל שעליכם לדעת.“ וכהד לו עונה ג'ובראן כַליל ג'וּבּרַאן: ”היופי הוא הנצח המביט בעצמו במראה.“ אבל מה שמותר למשוררים לא מותר למדענים. המדע, אמר תומס הָקסלִי, הוא ”שכל ישר מאורגן, שבו לעתים קרובות מחוסלת תיאוריה יפה בידי עובדה מכוערת.“
ובכל זאת, גדולי הפיסיקאים, אותם נפגוש בפרקים הבאים, הודו שחיפושיהם אחרי תיאוריות טובות יותר הודרכו ע"י קריטריון אסתטי.‏4,‎60,‎70,‎71 דֵקַרט איבד את סיכוייו אצל אשה שאחריה חיזר כשאמר לה ”שום יופי לא ישווה לאמת.“‏52 איינשטיין כינה את התגלית של ידידו-יריבו בּוֹר ”הצורה הנעלה ביותר של מוסיקליות בשטח המחשבה.“‏44(102) כהד לו השיב הנסיך לואי דה-בּרוֹאִי, שגם הוא, כאיינשטיין, היה מוסיקאי חובב וממייסדי תורת הקוונטים: ”למה פניתי אז לענף נפלא אבל קשה זה? לשאלה זו אני עונה בלי היסוסים: משום שרוחי הייתה מוקסמת על-ידי יופיו של המדע. היופי והשירה של המדע הכניעוני!“‏44)103( ורוג'ר פֶּנרוֹז, הפיסיקאי המעמיק והנועז ביותר בדורנו, מודה כי הוא מאמין לא רק בקשר אובייקטיבי בין ”יופי“ ו”אמת“ אלא גם בין שני האידיאלים האלה לבין האידיאל השלישי של אפלטון, ”הטוב.“‎70
לא במקרה, אם כן, נזהר הקסלי בדיבורו: תיאוריה יפה מחוסלת בידי עובדה מכוערת ”לעתים קרובות,“ אבל גם ההיפך יכול לקרות! גם ”עובדות,“ אחרי הכל, יכולות להתגלות בעתיד כלא-מדויקות או אפילו שגויות, ולכן במשחק המדעי יש הימור: לפעמים צריך לתקן את התיאוריה לפי הנתונים ולפעמים עדיף דווקא להתעלם מהנתונים ולהניח שיופרכו בבוא היום. ובהתאם, לפעמים מסתיים המהלך בהפסד קולוסלי ולפעמים ברווח ענק. במשחק מורט-העצבים הזה, כפי שנראה בפרקים הבאים, ממלא יופייה של התיאוריה תפקיד חשוב.
יופי מוחשי וטעם אישי
מובן שהגדרת המושג ”יופי,“ במובן הפשוט של דברים היפים לעין, מצריכה הרבה דיונים משמימים, ומובן שזה בדיוק מה שלא נעשה. תחת זאת אביא כמה הסתכלויות משלי על צדדיו הסובייקטיביים והסותרים של היופי כדי להראות שבכל זאת, מעבר להבדלי הטעם, כולנו מתכוונים לאותו דבר.
מה יפה בעיניי? זכות היוצרים שייכת כמובן לטבע. יש יופי מרהיב בעוצמה, במרחבי הענק של האוקיאנוסים והמדבריות, באינסוף כוכבי הלילה ובכוחות ההרס של התפרצויות הגעש, סופות הברקים והשיטפונות. יופי מסוג אחר נלווה אל שפע גילויי החיים. איני שבע מלהתבונן בשלל צבעי הפסיון המלכותי, ובאותה מידה נעתקת נשימתי למראה ברבור לבן ענק הנוחת מולי על פני האגם. היופי החי מפגין עושר ללא עמל, עוצמה ללא מאמץ, כאילו מתריס האורגניזם נגד חוקי ההסתברות או אפילו נגד חוקי הטבע עצמם. לא פחות יופי מסתובב בינינו בני האדם, והוא מוכתב בדרך-כלל ע"י צרכים אבולוציוניים. אשה יפה מזכירה לי את דברי משורר אלמוני מראשית המאה השבע-עשרה:
No beauty she doth miss היא עצמה לֺא יוֹפִי תחסר
When all her robes are on. עת תעטה כל גלימותיה
But Beauty's self she is אך יוֹפִי עצמו היא, מתגלם בבשר
When all her robes are gone. באין כל גלימה עליה.
החיים מביאים את יופי העדינות והרוך: בפרפר, בפרח, בחיוך התינוק המפיץ אור על סביבותיו. יופי ביולוגי אחר קיים בכוח הפיזי, בשרירים חזקים או בביצועי האתלט, ומנגד קיים היופי הרוחני, כפי שנוכחתי כשהוזמנתי לתת הרצאה בישיבה חרדית ונדהמתי מזיו פניו של ראש-הישיבה הזקן. הקולות יוצרים עולם מופלא משלהם: שירת השחרור או הקנרי מורכבת מצלילים טהורים ונקיים המשתלבים למלודיה כובשת. חבל שתרבות המערב גרמה לניוון יכולתם של רוב האנשים לשיר, כי קול יפה יכול לרכוש כל אדם. אבל גם מנגינה כֵּלית יכולה לגרום לאדם לרקוד או לבכות.
העניינים מסתבכים כשאנו עוברים מהיופי שבטבע לזה שיוצרים בני-האדם. איך לגשר על הבדלי הטעם בין אנשים ותרבויות? הרי יש שבטים במלאווי שבעיניהם אישה היא יפה רק אם שפתיה נמתחו בעזרת כפיס עץ לממדים המעוררים בי גועל, ואחרים מתלהבים מקעקועים וניקובים שבעיניי הם סתם השחתה אכזרית של גופם. העובדה שאני כמעט חרש ליפי המוסיקה הקלאסית שמה אותי במיעוט בחלקים רבים בתרבות המערבית, אבל ברגע זה, כש”רדיו יאסו“ הנאמן מנגן לי שיר יווני סוחף, אני חייב להזכיר לעצמי שיש אנשים שגם המוסיקה הזאת לא עושה להם כלום. האם כל אלה הם רק עניינים סובייקטיביים? לא, כי הרבה מחקרים ביולוגיים ואנתרופולוגיים‏27 גילו ביופי האנושי מאפיינים אוניברסאליים ברורים כמו סימטריה, צחות העור ושאר סימנים המעידים על בריאות, הנחשבים ליפים בכל התרבויות. מאפיינים משותפים עומדים גם ביסוד כל סוגי המוסיקה, כמו יכולתם לחקות צחוק, בכי וקצב הלב.
כל סוגי היופי האלה מבוססים על הרמוניה. ביוונית ”הַרמוֹס“ פירושו מפרק או כתף (ומכאן arm באנגלית), ובהשאלה, הרמוניה היא חיבור מוצלח בין חלקים שונים. פנים יפות מורכבות מחלקים הידועים לנו היטב, אבל הפרופורציות ביניהם נותנות תחושה של שלמות, כך שכל שינוי רק יפגום ביופיים: ”כל המוסיף גורע.“ בשיר יפה, כל מילה היא בדיוק במקומה. אפילו שפה זרה יכולה להישמע שובת-לב בשל היחסים בין הברותיה ותנועותיה. כשהחלקים ”מדברים“ זה עם זה, השלם יוצא יפה.
זה בוודאי הסיבה שה”יפה“ קיים בעיקר בתחום הראייה והשמיעה. החושים האחרים יכולים לספק הנאות עצומות, אבל אינם מפותחים דיים כדי ליצור את המורכבות האסתטית. פה ושם נכנה ”אמן“ גם טבח מומחה או, אם נהיה ממש נדיבים, אפילו מסז'יסט מעולה, אבל האסתטיקה שלנו תלויה בעיקר בעינינו ובאוזנינו כי, בבני-האדם, אלה הערוצים החושיים הרחבים מספיק כדי לתמוך בעיבוד השכלי הדרוש להערכת ההרמוניה.
רמזים מעולם האמנות
כדי להעמיק את חקירתנו בואו נלך אל האנשים שיצירת יופי היא פרנסתם. מה אומרים האמנים על עבודתם שיוכל להועיל לנו במדע?
א. הכיעור שותף ליצירה. נתחיל מנקודת-מבט לא שגרתית. שום מושג אינו ניתן להבהרה מספקת בלי ניגודו, ועל כן נצטרך לדון גם בהיפוכו של הנושא שלנו. ואכן, האמנות עוסקת לא רק ביופי אלא גם בכיעור: בספרות ובציור, למשל, מופיעים לפעמים דברים ממש דוחים. ובכל זאת, ככל שאנחנו מזדעזעים מהכיעור, צורת הסתכלותו של האמן עצמו נתפסת כיפה: חדות ההבחנה, האומץ, היושר ובעיקר החמלה. בעצם, האין פגם קטן כמו פצעון בגרות בפניו של אדם יפה או כתם זיעה על חולצתו מגבירים את יופיו בכך שהם גורעים משלמותו ועושים אותו אנושי, כלומר, אמיתי? היטיב לומר הביולוג ז'אן רוסטאן: ”היופי באמנות אינו אלא כיעור שהוכרע.“ המאמץ לתאר את המציאות כהווייתה, אפילו בניגוד לציפייתו של הצופה, היא אחד מקווי הדמיון בין האמנות למדע: האמת מאצילה יופי משלה אפילו על מה שאינו יפה!
אבל מהו בעצם ”מכוער“? כאן מחכה לנו הפתעה: למרות שהמושג ”כיעור“ הוא ההיפך מ”יופי,“ הדבר המכוער עצמו אינו היפוכו של הדבר היפה! הוא מכוער אם נותר בו משהו מהיפה. הוא דוחה דווקא בשל תסכול הציפייה ליופי. כאוהב בעלי-חיים קל לי להביא דוגמה מהזואולוגיה. בפניהם של הסוס או הזאב, השונים לחלוטין מפני האדם, יש בעיניי הרבה יופי. לא כן כשאני מביט מקרוב בפני גורילה או שימפנזה בוגרים. הדמיון לפנים האנושיות מעורר בי ברגעים הראשונים דחייה אינסטינקטיבית. הרבה ממניעי הגזענות נובעים מהמנגנון הזה של ”שנאת הדומה“ וכבר הרחבתי על כך במקום אחר.‏5 מה אם כן מכוער בעיני מי שמעריך את יופיים של חוקי הטבע? לא הכאוס המוחלט אלא סדר שמתגלים בו פגמים. אם היופי נובע מהרמוניה, הכיעור הוא הרמוניה מופרת. פגמים וצרימות בחוקי הטבע, המעוררים במדען דחף מיידי לתקן אותם, הם בין המניעים החשובים ליצירה המדעית.
ב. הייחודי הוא אוניברסלי. עמוס עוז אמר פעם שספר המתאר מציאות המוכרת לכל התרבויות הוא גם זה הנקנה בנמל-תעופה אחד ונזרק בנמל-תעופה שני. לעומת זאת, לפעמים דווקא ספר היורד לפרטי הווייתם של בני תרבות רחוקה מזו שלנו שובה את לבנו. היכולת הזאת לחשוף את החוקים השולטים ביקום כולו מתוך התבוננות בטיפת-מים, בשלהבת נר או בכל חלק זעיר אחר של המציאות, גם היא מעוררת תחושת שיתוף בין האמן למדען.
ג. היופי אינו מוגבל ליפה. הצורך לתפוס ולהנציח יופי או היבט אחר של המציאות גורם לאמן דווקא לסטות מהתיאור המוחשי. אפילו הציור הריאליסטי ביותר עושה לפעמים אידיאליזציה של האובייקט שלו. האמן היווני שפיסל את דמותה של היפהפייה שישבה מולו בוודאי השמיט איזו שומה על האף, שן פגומה או שַד נפול מעט, כדי לשמור בשיש את יופייה ולא מאפיינים אקראיים. המעבר אל האמנות המופשטת היה אם כן המשך של מגמה זו: ציירים ומשוררים חשו שניתן למסור את מהותו העמוקה של משהו ע"י קווים בודדים או כמה מילים, מעבר למאפיינים הגלויים לעין. כך, בהדרגה, נזנחה הנאמנות למקור החיצוני לטובת חוקים פנימיים. ההשתחררות הזאת מהמקור מאפשרת גם לאמן וגם למדען לחדור לעומק מהותם של הדברים.
ד. החיפוש מוליד רפלקסיה. לפעמים מתסכל האמן בכוונה ציפייה מסוימת שלנו, אפילו ע"י מעשה פרובוקטיבי ומרגיז, ובכך אומר לנו משהו לא על המציאות אלא על עצמנו. באופן דומה, כמה מההצלחות הגדולות במדע שנפגוש בפרקים הבאים, כמו תורות היחסות והקוונטים, התאפיינו ע"י הפנייה של תשומת-הלב חזרה אל הצופה, שבעקבותיה למדנו להתגבר על עוד מגבלה תפיסתית וללמוד משהו חדש על המציאות. זיגזגים כאלה בין אונטולוגיה (חקר היש) לאפיסטמולוגיה (חקר אופן תפיסתנו את היש) משותפים להתפתחות האמנות והמדע. הופשטטר‎66 הקדיש ספר ענק לניתוח המשותף לשלוש יצירות כאלה: הוכחת אי-השלמות של המתמטיקאי גֶדֶל (ר' ‏3.5 להלן), הציורים של אֶשֶר והקנונים של באך: בכולן משתקפת היצירה שוב ושוב בתוך עצמה וגורמת לנו לחשוב על החוקים השולטים בה וגם בנו.
ה. יופי ניתן לזיוף. הלקח האחרון שאני רוצה לקחת מהאמנות הוא פחות נעים, ולא פלא שהספרות הדנה באסתטיקה במדע מתעלמת ממנו. כל דיון ביופי חייב להתמודד עם האזהרה העתיקה (משלי ל"א 30) ”שקר החן והבל היופי.“ הנה, התפוח על המדף במרכול הוא כליל-יופי: אדום, נטול-פגמים ובוהק – ובאותה מידה חסר-טעם ובמקרה הפחות טוב גם ספוג רעלים. בכלל, בין מגוון צורות היופי המוצע למכירה סביבנו, הסוג הנפוץ ביותר הוא דווקא הקיטש. אם המדע מחפש אחרי היופי, עליו להיות מודע לאפשרות שהיופי יכול להטעות.
לא די בהרמוניה, למשל, כדי ליצור יופי, אחרת כל משולש היה יפה. ביופי צריכה להיות מידה כלשהי של עושר ומורכבות. מצד שני, הגודש הוא צעקני ויוצר קיטש. מצד שלישי, לא מעט זבל הנמכר היום כאמנות הוא היפוכו של הקיטש והוא גרוע לא-פחות: סוּפּר-תחכום עם אפס תוכן והרבה חשיבות עצמית. ב”יצירה“ שכולה שני משולשים שחורים, שאספן אמנות מהרצליה קנה בחמשת אלפים דולר, אין שום הפשטה אלא הטפשה. וכשה”טייט גאלרי“ בלונדון שילם 22,300 לי"ש ל”אמן“ תמורת קופסת שימורים אותה מילא בצואתו (מעשה שהיה!), הייתה זו רק עוד פגישה בין כיעור לאיוולת.
לאמנות, אם כן, כמו לכל דבר חי, יש גם פתולוגיה. פתולוגיות כאלה מופיעות גם במדע, כמו בשטויות של הפוסט-מודרניזם או בתיאוריות המתחזות למדע ע"י שימוש בביטויים מדעיים. זהו אם כן עוד לקח שנותנת לנו האמנות: היופי העומד במבחן הזמן, מעבר לתהפוכות האופנה ומנהגי העדר, הוא זה הגורם הנאה לא רק לחושים אלא גם לאינטלקט.
נפלאות היופי המושגי
עכשיו אנו מוכנים לצעד הבא: יש גם יופי הפונה היישר אל האינטלקט. הנה, כשאנחנו שומעים על פיתרון חכם או המצאה מוצלחת אנחנו אומרים בצדק ”איזה יופי! “לא מקרה הוא שבשפת המשנה (בוודאי בהשפעת התרבות היוונית), ”יפה“ פירושו גם ”מועיל,“ ”צודק“ ו”נכון.“ ליופי הזה, הפונה ישירות אל שכלנו, אקרא יופי מושגי. הוא היופי המאפיין את היצירה המדעית והוא ניכר בשלושה מאפיינים ייחודיים שיעסיקו אותנו בספר זה:
א. הוא מתגבר. הפלא הראשון של היופי המושגי קשור לעומק שלו. אם ננתח פרח לחלקיו או נפרק יצירה לצליליה ייעלם יופיים, ואם נמשיך ללטש יהלום גם אחרי שחילצנו אותו מקליפת הסלע רק נוריד מערכו. אבל עכשיו תארו לעצמכם עורך שחצן המקצר רומאן גדול של ג'ויס ומקבל נובלה יפהפייה, ובא חוצפן נוסף ומצמצם אותה יותר והנה יוצא שיר מושלם במשקל ובחריזה; או פַּסַּל המרים את פטישו על פסל של מיכלאנג'לו ובטרם הספקנו לעצור בעדו מתגלה מתחת לחתיכות שנפלו פסל מדהים שכל הרואה אותו מבין שהפסל המקורי היה רק חיקוי ירוד שלו; והנה משתלט על הטאג' מהאל אדריכל מטורף אפילו יותר משאה ג'יהאן והוא משתמש בקירות המבנה כפיגומים זמניים שביניהם הוא בונה ארמון כה מרהיב שאפילו מקברה של מומתאז נשמעות גניחות התפעלות. הייאמן?
ב. הוא מתאחד. אם יופי פירושו הרמוניה שבה חלקיו השונים של הדבר היפה תואמים זה את זה, רק צפוי הוא שמהמיזוג של שני דברים יפים לא ייצא משהו יפה. אם לפרפר תהיה כנף אחת של שפירית, אם ”האזרח קֵין“ יופיע בסצנה מתוך ”מלחמת הכוכבים“ או אם ב”אוֹבּלַדִי אוֹבּלַדַה“ העולץ של החיפושיות יתערבו צליליו רוויי-הגעגועים של ”הבן יקיר לי אפרים,“ התוצאה תהיה במקרה הטוב קומית, אם לא גרוטסקית. המרכיבים של כל יצירה, יפה ככל שתהיה בפני עצמה, ישבשו את ההרמוניה בין חלקי היצירה האחרת. האמנם? האם לא יתכן אמן שיגלה קוד משותף לשתי יצירות שונות לחלוטין, ועל-פי הקוד הזה ימזגן כך שחלקיהן השונים יתאימו ביניהם אפילו יותר משהתאימו בתוך כל יצירה בפני עצמה?
ג. הוא מתגלה. ראינו כי האמנות יוצרת יופי לא רק כמו שהיא רואה בעולם אלא גם יופי חדש, השואב את כוחו רק מההרמוניה בין חלקיו בלי להתחשב במציאות. אבל מה הייתם אומרים לו סיפרתי לכם על אמן כזה, שיוצר דברים מדהימים לא לפי מה שראה אלא על-פי איזה היגיון פנימי, ואז, כשהוא מסתובב בעולם, הוא מגלה דברים בדיוק כפי שיצר? הנוכל לדמיין, למשל, את אֶשֶר מגלה את מפל המים מהציור המפורסם שלו מניע תחנת כוח ברוטרדם? או אונייה נכנסת בצפירה ל”תעלת אלנבי“ לעיניו הנדהמות של קישון?
*
בוודאי הבנתם שהסוג השני של יופי הוא המאפיין את היצירה המדעית. אמנם, היו אמנים שהתלוננו שהמדע מקלקל את היופי, כמו ג'ון קיטס שהאשים את ניוטון על ש”הרס את פיוט הקשת בענן כשצמצם אותה לצבעי המנסרה“ – האשמה שעוררה את דוקינס‏17 לכתוב ספר שלם כהגנה מפניה. אכן, את היופי המושגי צריך ללמוד לאהוב כמו שלומדים להעריך אסכולת ציור או מוסיקה חדשה, אבל למי שילמד להכיר את היופי הזה יתגלה הפלא: המדע יוצר יופי בתיאוריות, בחוקים ובמשוואות שלו, אבל היצירה הזאת היא בעצם גילוי של יופי טמיר, הקיים איפה שהוא במציאות והעומד לא רק ביסוד הקשת בענן וזוהר הצפון אלא גם בכל נורה שרופה וכתם טחב בתקרה. מזה יותר מאלפיים וחמש-מאות שנה שיופיים של חוקי הטבע הולך ומתעצם, אוצֵר יותר ויותר הדר בפחות ופחות מילים, ומוביל לגילוי תופעות יותר ויותר מדהימות במציאות.
אם המדע מחפש את האמת, היופי ההולך-וגובר הזה הוא הדרך שבה האמת משחקת איתנו ב”קר... קר... מתחמם...“ בואו נתחיל גם אנחנו לחפש. כמה נחמד יהיה אם נגיע למקום שבו נשמע את כולם צורחים במקהלה ”חם! חם! אש!“
אורגיה אינטלקטואלית למרגלות האולימפוס
כִּי תֵּצֵא בַּדֶּרֶך אֶל אִיתָקָה '
שְׁאַל כִּי תֶּאֶרַךְ דַּרְכְּךָ מְאֹד '
מְלֵאָה בְּהַרְפַּתְקוֹת, מְלֵאָה בְּדַעַת.
קונסטנדינוס קוואפיס, ”איתקה“
(תרגם י. ברונובסקי)
ההיסטוריה אינה זורעת גאונים במידה שווה בערוגות הזמן. יש והיא זונחת עמים גדולים למאות שנים בלי להעניק להם אף אדם גדול, ויש דורות בהם היא מזמנת כמה ענקים לאותה עיר ואפילו לאותו בית-קפה. בעיני רוחנו נוכל לראות את הרשב"ם מזכיר לרבנו תם איך הפך את קסת הדיו כשישב על ברכי הסבא שלהם רש"י; את רפאל הנער מסמיק בכיכר סאן-פּייֶטרוֹ לשמע ניבולי-הפה שמטיח מיכלאנג'לו בלאונארדו; את דארווין וקֶלווין מקשיבים מרותקים להרצאה של פַרַדֵיי במכון המלכותי למדע; את טולסטוי מנשק את צ'כוב וגורקי בגן יַאסנִיה פּוֹלִיאַנַה; או את פרויד ואדלר אוכלים שטרודלים בגן ה”פּרַטֶר“ בעודם מרכלים על הסטוצים של שרדינגר היושב אל השולחן ממול ומתאמנים בדיאגנוזות על הרצל העובר על אופניו ברחוב וכמעט דורס את צוַיג. כן, נוכל לחשוב על הרבה תקופות פריחה כאלה, אבל זה יהיה נורא מדכא, כי, בואו ונודה: כיום אנו חיים בתקופה הבינונית והמשמימה ביותר בתולדות החשיבה המודרנית. למה, בעצם? למה, זה למעלה מיובל, חרף הגידול העצום באוכלוסיית העולם, בידע, בנגישות לו, בחופש המחשבה ובמספר אנשי המדע החיים כיום, שום דמות המתקרבת לשיעור-קומתם של ניוטון או איינשטיין אינה נראית באופק?
תשובה אין לי, אבל מסענו מתחיל דווקא בברוכה שבתקופות, שנמשכה כשלוש-מאות שנה באזור קטן בחופי הימים האגאי והאדריאטי. שם, ביוון הקדומה, באותו אזור בו הפציע רעיון הדמוקרטיה, הופיעו מאות גאונים בכל תחומי היצירה. כי בכל מאודם אהבו היוונים את היופי ואת האמת. הם טבעו את המושג ”פילוסופיה,“ אהבת החוכמה, והחוכמה, תדעו לכם, אוהבת את מי שאוהב אותה.
תלס מגלה את הכוח שבמופשט
תַלֶס איש מִילֶטוּס (624-547 לפה"ס) הוא איש-המדע הראשון הידוע לנו בשמו. היסטוריון מראשית המאה השלישית ושמו דיוֹגֵנֵס לַאֶרטִיוּס, שיצירתו המונומנטלית ”חייהם ודעותיהם של פילוסופים נודעים“‎67 תלווה אותנו בפרק זה, מביא מפיו ציטוט אופייני:
אלוהים הוא העתיק בדברים, כי לא הייתה לו לידה. העולם הוא היפה בדברים, כי הוא מעשי-ידי אלוהים. המקום הוא הגדול בדברים, כי הוא מכיל את כל הדברים. השכל הוא המהיר בדברים, כי הוא זורם דרך הכל. הכורח הוא החזק בדברים, כי הוא המושל בכל. הזמן הוא המהיר בדברים, כי הוא מוצא כל דבר.
תַלֶס הפליג למצרים, אולי יחד עם המחוקק סולון (שניהם גם הונצחו בסיפורו הנפלא של הרצל ”סולון בלודיה“) ומכוהני אותה תרבות שוקעת הציל הרבה אוצרות משכחה. החשוב בהם היה הגיאומטריה (”מדידת האדמה“), ענף של המתמטיקה העוסק בחקר הצורות. הוא למד, למשל, איך למדוד את גובהה של פירמידה בלי לטפס עליה: ננעץ מוט בקרקע, נחכה עד שאורך צל המוט יהיה שווה לגובהו, ואז נמדוד את אורך צל הפירמידה: זה גם גובהה. זו כמובן דוגמה של עצלנים, ולמקרים פחות פשוטים נחוצה מתמטיקה יותר מסובכת. כך נולדו ה”סינוס,“ ה”קוסינוס“ ועוד מושגים שהרבה תלמידים מקללים עד היום מעומק לבם, אבל הם מאפשרים לדעת את ריחוקו וגודלו של עצם מרוחק מבלי לטרוח להתקרב אליו.
מכאן עשה תלס צעד מכריע וניסה ליישם שיטות אלה למדידת קוטר השמש והירח. כעבור כמה דורות הצליחו יוונים אחרים, בוריאציות מחוכמות על השיטות האלה, למדוד את גודל הירח ומרחקו מאתנו וכן את רוחק השמש (אַרִיסטַרכוּס איש סַמוֹס, 310-230 לפה"ס, שגם שיער לראשונה שהארץ סובבת סביב השמש) וכן את היקף כדור הארץ (אֵרַטוֹסתֵנֵס מקירֵנֵה, 276-194 לפה"ס, שטבע את המונח ”גיאוגרפיה“). התוצאות שלהם היו כמובן רק קירובים, ואריסטרכוס גם פספס לא מעט, אבל אפילו הטעויות שעשו הן חינניות, כי הסרבול של מכשיריהם רק מדגיש את גודל קפיצתם המחשבתית.
תלס הוא הראשון שתיאר את המגנטיות. הוא גם הראשון שתיאר איך גוש ענבר המשופשף באריג מושך פיסות נייר. ענבר הוא ”אלקטרון“ ביוונית ומכאן שם התחום כולו. ללא ספק הרגיש תלס בקשר בין שתי התופעות, קשר שהיה צריך לחכות 2500 שנה עד שיבינו אותו כראוי (ר' פרק ‏10). זה בוודאי נתן לו רמז חשוב: העולם שסביבנו מלא תופעות שונות ומשונות, אבל ברמה העמוקה יותר יש ביניהם קשרים שכדאי לחשוף. השקפת-עולם זו באה לידי ביטוי תמציתי באמירותו המפורסמת (שהד לה נמצא גם בתיאור הבריאה המקראי) ”כל הדברים הם מים.“ הוא הבחין שהמים, הקרח והאדים הם פנים שונות של אותו דבר, ואולי שם לב שהמים נמצאים בכל דבר חי, ולכן חשב שאפשר להכליל מסקנה זו עד לקיצוניות. בקיצור, תלס החל לחפש את מה שהפיסיקה מחפשת עד היום: תורה מאחדת שתַראה איך הרבה תופעות שונות הן גילוייה של תופעה אחת.
תַלֶס היה עני ובני דורו בזו לעיסוקו בפילוסופיה עד שניבא מסיק זיתים מוצלח, קנה הרבה שמן, עשה הרבה כסף ואז שב למחקריו. לילה אחד, כך מספר אפלטון, הלך תלס בעודו מסתכל בכוכבים ונפל לבור. נערה שעברה שם שאלה אותו: ”איך אתה רוצה להבין את מה שבשמים אם אינך רואה את מה שמתחת לרגליך?“ המדען הראשון הידוע להיסטוריה הוא אם כן גם הפרופסור המפוזר הראשון, שקוע כולו בכמה נושאים שונים: הוא מגלה משפט בגיאומטריה הקרוי על שמו, חוקר את המגנטיות ואת החשמל, את כדוריות הארץ ואת גרמי השמים. הוא עצמו, מן הסתם, אינו יודע מה הקשר בין כל הנושאים הללו, קשר שיילך ויעמיק עד ימינו, אבל הוא מרגיש אינטואיטיבית בקיומו. פיתגורס והמספרים שביסוד היופי
בערוב ימי תלס ביקר אותו בחור שטרם מלאו לו עשרים, ובעצתו נסע למצרים ללמוד שם מהכוהנים. זה היה פִּיתַגוֹרַס איש סַמוֹס (569-475 לפה"ס), האיש שטבע כנראה את המונחים ”פילוסופיה (אהבת החוכמה)“ ו”מתמטיקה (הנלמד).“ במצרים למד במֶמפִיס (מוֹף המקראית), נפל בשבי הבבלי, שוחרר בנסיבות לא ברורות, חזר לארצו והתיישב בקרוטון (כיום באיטליה). שם ייסד קומונה שחבריה אוחדו בחוקי הסתפקות במועט, שיתוף-הרכוש ותקופות ארוכות של שתיקה בדומה ל”ויפַּסָנַה“ של ההודים. יוסף בן-מתתיהו טען ב”נגד אַפּיוֹן“ כי הפיתגוראים למדו מתורת משה, סברה שרווחה בין ההיסטוריונים העתיקים. גם רעיונות פמיניסטיים פרחו בקומונה הזאת: ייתכן שהמתמטיקאית הראשונה בהיסטוריה הייתה תֵאַנוֹ אשת פיתגורס. לארטיוס‎67 מצטט בשמה אמירות חכמות על מיניות האישה. השקפתו של פיתגורס על הדעת יכולה הייתה להישמע מפי מכונני הדמוקרטיה האמריקנית כמו גם מאבות הסוציאליזם: ”רוב הנשים והגברים, מטבע ברייתם או ממוצאם, חסרים את האמצעים הדרושים לגדול בהון ובעוצמה, אבל לכולם היכולת לגדול בדעת.“‏24(37)
”במשולש ישר-זווית, אורך ניצב אחד כפול עצמו ועוד אורך הניצב השני כפול עצמו שווה לאורך היתר כפול עצמו.“ במשפט הפשוט הזה משתמשים עד היום בנאים לקביעת זווית הפינה (סמנו 3 מטר מהפינה על קיר אחד ו-4 מטר על הקיר השני ומדדו את האלכסון בין הנקודות. קיבלתם פחות מ-5 מטר או יותר? מה זה אומר על הזווית?) ונווטים לקביעת מרחקים (הלכתם 6 ק"מ מזרחה ואחר-כך 7 ק"מ צפונה. כמה התרחקתם מנקודת המוצא?). אלה הם רק מעט מהיישומים המעשיים. במתמטיקה ובפיסיקה מהווה משפט זה יסוד לתגליות רבות שנפגוש בפרקים הבאים.
עבור חברי הקומונה הפיתגוראית זו הייתה רק ההתחלה. הם גילו קשר מתמטי בין אורך המיתר של כלי הנגינה לבין הצליל שהוא מפיק. הנה למשל מיתר שהפריטה עליו משמיעה ”דוֹ.“ אם נלחץ בדיוק על נקודת המחצית שלו, יעלה גובה הצליל בדיוק באוקטאבה אחת. לעומת זאת, מיתר מתוח באותה מידה שאורכו 6/5 ממיתר זה ישמיע ”לַה,“ הארכתו ל-4/3 תיתן ”סוֹל,“ 3/2 ”פַה“ וכך הלאה. פיתגורס עסק גם באסטרונומיה והיה כנראה הראשון להבחין כי שני כוכבי-הלכת שנקראו בימיו הֶרמֶס ואפולו הם למעשה אחד, כוכב-חמה (מרקורי). את שיטתו המוסיקלית יישם לאסטרונומיה: הוא ייחס לכל כוכב-לכת צליל משלו, וסבר שאיננו שומעים את נגינתם רק מפני שלעולם אינה פוסקת, וכך התרגלנו אליה כמו שהנפח מתרגל לרעש הקורנסים.
כך נולדה אחת האסכולות המשפיעות ביותר בהיסטוריה. מהקשר בין המתמטיקה והמוסיקה הסיקו הפיתגוראים שמספרים הם דברים ממשיים למרות שאי-אפשר לראותם. מכאן קצרה הייתה הדרך להאמין בקיום קשר בין המספר לבין עוד דבר בלתי-נראה: הנשמה. על-פי אמונתם, המתמטיקה והמוסיקה מרפאות ומחזקות את הנשמה.
על-פי כל העדויות בא על הקומונה קץ אלים. הם השתדלו כנראה להתרחק מהפוליטיקה הסוערת של קרוטון אבל זו רדפה אחריהם. המון מוסת עשה בהם טבח. פיתגורס, לפי אחד הסיפורים, נמלט מרודפיו עד שהגיע לשדה קטניות. נאמן לאיסור שהטיל על פגיעה בקטניות – נראה שהאמין כי גם בהן יש נשמה – עצר בגבול השדה ונפל בידי רודפיו.
הפרה-סוקרטיים ויסודות המציאות
אם פיתגורס יישם את המתמטיקה גם לנושאים שימושיים, שני הפילוסופים בדור שאחריו חקרו בכליהם הדלים את החידה הקשה והחמקמקה ביותר של הפיסיקה, את הזמן. הֵרַקלִיטוּס מאֶפֶזוּס (535-475 לפה"ס) ופַּרמֶנִידֶס מאֶלֶאַה (515-450 לפה"ס) חיו משני צידיה של יוון ובוודאי לא נפגשו מעולם, אבל את דעותיהם המנוגדות עוד נשמע בפרקים הבאים מתנצחות ללא הכרעה גם במאה העשרים ואחת. ”פַּנטַה רֶי קַי אוּדֵן מֵנֶי (הכל זורם ודבר אינו מתמיד)“ היא סיסמתו המפורסמת של הרקליטוס. רוב משפטיו כתובים בצורת פרדוקסים פואטיים, כמו ”לחיות זה למות, להיות ער זה לישון, להיות צעיר זה להזדקן,“ ולכן כונה ”המעורפל.“ ואם נכונות העדויות על מנהגיו הסוציומטיים נראה שגם בריאותו הנפשית הייתה טעונה שיפור. אבל הוא הפילוסוף הראשון שהעמיד תורה עקבית של המציאות. לדעתו, הקבוע היחיד במציאות הוא השינוי: ”אינך יכול להכנס לאותו הנהר פעמיים.“ הנהר אינו דבר אלא תהליך, ובאותה מידה, גם דברים הנראים קבועים משתנים ללא הרף שכן כל דבר מכיל את ניגודו והניגודים האלה נתונים במאבק נצחי. ”המאבק הוא אביהם ומלכם של כל הדברים.“
והמאבק אכן בא. פַּרמֶנִידֶס, בניגוד קוטבי, ראה בכל שינוי אשליה. המציאות, שחושינו מראים רק מעט ממנה, היא נצחית ונטולת כל שינוי או תנועה. גם ריבוי התופעות היה בעיניו אשליה: ”הכל הוא אחד,“ המתגלה לחושינו בדמות אינספור עצמים. בניגוד ליריבו המתבודד, זכה פרמנידס לתלמידים שהיוו את האסכולה האֶלֶאַטית. הגאוני בהם היה גם המאהב שלו, זֶנוֹן (490-425 לפה"ס), וירטואוז באמנות הפַּרַדוֹקס (פַּרַא דוֹקסָה = מעבר לאמונה). זנון הביך בעיקר את הפיתגוראים, שמושג המספר שלהם הביא אותם להאמין בקיום ”אטומים“ של זמן. הנה למשל פרדוקס החץ: אם נניח שהזמן מורכב מחלקים קצרצרים שהם עצמם בלתי ניתנים לחלוקה, אזי בכל רגע כזה נמצא החץ העף במנוחה בנקודה מסוימת, אבל אז, אם בכל רגע החץ אינו נע, איך הוא נע בכל זאת? ”כי הזמן ניתן לחלוקה עד אינסוף!“ יאמר מיד השומע כדי להימלט מסתירה – ומיד ישלוף זנון את פרדוקס ”אכילס והצב“: אם אכילס עושה תחרות ריצה עם הצב ונותן לו ”פור“ הוגן של כמה מטרים, הרי עד שידביק את הרווח ביניהם יעבור הצב עוד מרחק, אמנם קטן יותר, אבל גם אותו יצטרך אכילס לעבור בזמן כלשהו וגם במהלך זמן זה יצטבר פער נוסף, ומספרם של הפערים הקטנים-והולכים האלה הוא – כפי שאמרנו לפני רגע – אינסופי, ולכן אכילס לעולם לא ישיג את הצב!
זהו אחד הצמתים המכריעים בתולדות המחשבה האנושית: החשיבה הלוגית מוכיחה שדבר מסוים הוא בלתי-אפשרי, בעוד המציאות שאנו רואים מוכיחה מדי רגע שהוא קורה בלי הרף (מצב דומה נפגוש בפרדוקס של יוּם, פרק ‏3.5 להלן). מה לעשות? יש כמה אפשרויות: א)להראות שהפילוסוף רק ביצע להטוט מילולי, מה שנהוג לקרוא ”פַלסַף,“ שבאמצעותו ניתן להוכיח כל שטות, כמו שעשו למשל הסופיסטים (ר' ‏2.4 להלן). ב)להודות שחושינו אכן מתעתעים בנו. ג)לחשוף פגם סמוי בחשיבה של הטוען, ואם הטוען הזה הוא אדם חכם – ייחשף פגם בחשיבה של כולנו.
קל לשלול את אפשרות (א) במקרה הזה: הפרדוקסים של זנון נבחנו שוב ושוב ונמצאו קשים להתרה. זנון עצמו, נאמן למורו, בחר ב (ב). אלפיים שנה מאוחר יותר פנו מתמטיקאים ל-(ג) וחשפו טעות לא-טריוויאלית בחשיבה שלו, ואגב-כך ייסדו ענפים חדשים במתמטיקה. הפיסיקאים, מצידם, חשפו בעיות במושגי המרחב והזמן – דרך בה נלך גם בספר זה. הנה דוגמה לכך ש”אין אפס“ בפרדוקס מוצלח: הוא תמיד מוביל לתגלית!‏9
כמו פילוסופים רבים אחריו, הסתבך זנון במעורבות בפוליטיקה: הוא נטל חלק בקשר נגד נֵאַרכֵס רודן אֶלֶאַה. על סיפור הוצאתו להורג מביא ידידנו לארטיוס‎67 כמה גרסאות מקבריות. לפי אחת מהן עונה זנון כדי שיסגיר שמות שותפיו לקשר, אבל הוא חתך בנשיכה את לשונו וירק אותה על נֵאַרכֵס, ואז הסתער ההמון על הרודן והרגו. לפי גרסה אחרת הוא קרא לו כדי ללחוש לו את השמות, אבל במקום לחישה נעץ את שיניו באוזנו (או אפו) של הרודן, ולשומרי-הראש לא נותרה ברירה אלא להרגו כדי לחלץ את אדונם המיילל מכאב. כך או כך, הסתבר, המוות לא מתרשם מפרדוקס החץ.
אמפדוקלס מסיציליה (492-432 לפה"ס) היה שילוב של רופא, משורר, פובליציסט ו”גורו“ אפוף מסתורין. ב 1990 התגלה קטע פפירוס של אחד מכתביו – תגלית ראשונה של חיבור קדם-סוקרטי. תחומי מחקריו עסקו באמבריולוגיה, באתיקה ואפילו בגרסה קדומה של תורת האבולוציה, לפיה חיו פעם איברים בודדים שהצטרפו מאוחר יותר ליצורים שלמים. גם על סיפור מותו לא חסרות גרסאות ביזאריות, למשל: הוא רצה שיחשבו שעלה השמימה במותו ולכן קפץ אל לוע הר-הגעש אטנה, אבל ההר המלשן פלט החוצה את אחד מסנדליו. לזכותו נזקפת תורת ארבעת היסודות המפורסמת, אותה הציע במענה לפרמנידס: עולמנו בנוי מאוויר, אש, מים ואדמה. החומרים השונים הם תערובות שונות של היסודות האלה, המונעים ע"י שני כוחות: אהבה ומאבק. בהשפעת הפיתגוראים, ניחש אמפדוקלס כי תכונות החומרים נובעות מהיחסים המספריים בין היסודות, שהם עצמם אינם מתכלים ואינם נוצרים – ניסוח ראשון של חוק שימור החומר.
הפרדוקסים של זנון המשיכו להדהד. דֵמוֹקרִיטוּס מאַבּדֶרַה (460-370 לפה"ס), עוד פיתגוראי שהפליג לארצות רחוקות לקנות דעת, הוא אבי התורה האטומית. נוכל למנוע פרדוקסים, אמר דמוקריטוס, אם נניח כי החומר בנוי מחלקיקים מאוד-מאוד פיצפונים שאינם ניתנים לחלוקה (אַ-טוֹמוֹס = בלתי-מתחלק). ההבדלים בין העצמים השונים סביבנו, אם כן, נובעים רק מסוגי האטומים המרכיבים אותם ומכמויותיהם השונות. האטומים אינם מתכלים, אינם נוצרים ואינם משתנים. חולשה אחת ממנה סבלה התיאוריה הייתה הנחת קיומם של אינספור סוגי אטומים – נסיגה מהפשטוּת של אמפדוקלס. גורם חשוב שהוסיף דמוקריטוס לתכונות החומר היה החלל שבין האטומים, העושה אותם צפופים או מרוּוחים. דמוקריטוס היה הראשון שהאמין בסיבתיות מלאה ולא הותיר שום מקום לאלים להתערב בעולם. הוא היה כנראה אתאיסט אבל לצד מחשבותיו המדעיות פיתח גם תורת מוסר.
כהנה וכהנה הורו אנקסגורס, פילולאוס, פרוטגורס, דיוגנס... וכל חכמי יוון האלה, שמרעיונותיהם שרדו רק פרגמנטים שצוטטו בכתבי אחרים, שייכים רק לשלב הקדום המכונה ”פרה-סוקרטי“! אם רצוננו להגיע מתישהו לפיסיקה המודרנית, נצטרך להשאיר את הדיון בהם לאחרים‏37 ולסכם את מפעלם כך: בימי קדם נתפס העולם כנשלט בידי אלים שחגגו / זללו / שגלו / הרגו / בגדו עם / את מי שרק התחשק להם. באו הפילוסופים והחליפו את המיתוס בלוֹגוֹס (חוק) ובכך סללו את הדרך לשליטת האדם בטבע, בחברה ולבסוף גם בנפשו פנימה.
סוקרטס מזמין לדיאלוג
סוקרטס (469-399 לפה"ס) דווקא פנה עורף מופגן למדע (אפלטון תיעד ויכוח שנון בינו לבין פרמנידס וזנון בעת ביקורם באתונה) ופנה לשאלות מוסר ודת. אבל הוא חולל מהפכה כשהעמיד את הידיעה עצמה כנושא לחקירה, ובכך לימד גם את המדע להבחין בין טענות אוֹנטוֹלוגיות (על המציאות) ואפיסטמולוגיות (על אופן הכרתנו את המציאות). ”כל שאני יודע,“ הכריז, ”הוא שאיני יודע כלום.“ בימיו פרחה האסכולה הסוֹפיסטית, קבוצת פלספנים שתחת הסיסמה ”האדם הוא מידת כל הדברים“ החלה להתדרדר להזניה של הפילוסופיה לסתם רטוריקה המוכיחה כל דבר לפי רצון השומע (”נכון שהאבן הזאת מעולם לא נפטרה? לכן האבן הזאת חיה!“ או: ”נכון שהכלבה הזאת היא אמא? ונכון שהיא שלך? אם כן, היא אמא שלך!“). סוקרטס לקח מהסופיסטים את שיטת הטלת הספק ושיכלל אותה לווירטואוזיות, אבל בניגוד להם האמין שקיימת אמת ורצה לעזור לאנשים להגיע אליה. כך נולד הדיאלוג הסוקרטי, בו אמור הצד השני להגיע אל האמת בעצמו, וכך הפך סוקרטס לנודניק המעצבן ביותר בעיני רוב הציבור האתונאי.

בניגוד לאמונה המקובלת הוא לא היה דמוקרט, והתרועע בגלוי עם כנופיית שלושים הטיראנים הידועה לשמצה. כשנתבע לדין על ”זלזול באלי העיר“ ו”השחתת הנוער“ כבר היה בן שבעים, ונראה שהיה נחוש לקבל עונש מוות: כששאל אותו בית-המשפט מה הוא עצמו סבור צריך להיות פסק-דינו הציע, בנאום מנומק לפרטיו, להקציב לו שלוש ארוחות חינם. אפלטון וחבריו המבוהלים קמו מיציע הקהל ומיהרו להציע עונש של קנס, אבל המושבעים כבר התרתחו. כך ארגן הקשיש לעצמו סוף דרמטי מעובד לפרטיו, כולל ניצוח על מקהלת ההתייפחויות של תלמידיו (ראו תמונה) בעודו שותה את הרעל, ואפילו הסוהר תרם כמה יבבות. חופש המחשבה וחופש הדיבור זכו לקדוש המעונה הראשון שלהם, שנכנס לתפקידו במרץ רב.
אפלטון משאיר שוליים
אם אנו מכירים כיום את סוקרטס למרות שמימיו לא העלה מילה על הכתב, הרי זה בזכות הדיאלוגים היפהפיים של תלמידו אפלטון (-347429 לפה"ס), ששמו האמיתי היה דווקא אַרִיסטוֹקלֵס. בכינוי פּלַטוֹן – ”רחב“ – זכה ממורה לספורט בשל כתפיו הרחבות, והעברית, בעקבות אחותה הערבית, הוסיפה לו א'. בן עשרים ושבע היה בזמן משפט סוקרטס. הוא בא ממשפחה אצילית – שניים מ”כנופיית השלושים“ היו דודיו – וברח אחרי הפלת הטיראנים, ותקופה ארוכה נדד בעולם. על-פי סיפור שאפילו חוקרים רציניים‏15 מקבלים כאמיתי, הוא נמכר לעבד ונפדה ע"י חבר, שסירב לקבל חזרה את כספו וביקש שאפלטון יקים בו בית-ספר. כך נוסדה ה”אקדמיה“ המפורסמת, מכון מחקר אינטנסיבי בו עבדו חוקרים ממקצועות שונים על שאלות שאפלטון הטיל עליהם ושעל עבודותיהם בנה את השקפת-עולמו. הוא היה בעל דעות מקוריות בתחומים רבים (למשל בענייני אהבה, שם טבעו לכבודו את המונח ”אהבה אפלטונית“), סופר נפלא וגם, לא נעים לומר, פאשיסט לא קטן: אילו ניתן בידיו הכוח להקים את מדינת הפילוסופים שלו היה נוצר עוד ”גן עדן“ מסוג אלה שכבר ראינו יותר מדי במאה העשרים. אבל כיוון שהמתמטיקאי והפילוסוף אלפרד נורת' ווייטהד (1861-1947) סבר שכל הפילוסופיה המערבית היא ”סדרת הערות שוליים לאפלטון,“ לא יזיק להציץ בכמה מאותם עמודים ב”טִימַיְאוֹס“ שכל כך הרבה חכמה הצטברה בשוליהן.
ישנם תחומים העוסקים בתופעות אובייקטיביות, מוחשיות, הקיימות במציאות החיצונית, כמו הפיסיקה, הרפואה או הסנדלרות. מהצד השני נמצאים תחומי האמנות השונים כמו הספרות והמוסיקה, שהם בעיקר יצירי דמיוננו והשיפוט של יצירותיהן הוא עניין סובייקטיבי של טעם. אבל מה מקום המתמטיקה בחלוקה זו? מספרים אינם קיימים במציאות. האם מישהו ראה אי-פעם שלוש? ראינו שלוש קלמנטינות, שלוש תולעי-משי או שלושה חברי-כנסת, אבל סתם שלוש, את השלוש עצמו, לא ראינו מעולם. אפשר כמובן לכתוב 3,III או ٣, אבל גם ספרות אלה הן רק ייצוגים מוסכמים. באותה מידה יכולנו להסכים לייצג שלוש ע"י צב נינג'ה. המושג המופשט עצמו, כך נראה, הוא יציר דמיונו של האדם.
ממש לא נכון, אמר אפלטון. מושגים מופשטים יכולים להיות יותר אמיתיים מכל עצם מוחשי. אחרת, איך תסבירו את העובדה שמי ששולט בתורה של המספרים המופשטים האלה, מי שיודע כמה זה שלוש ועוד שלוש בלי קשר לקלמנטינות או לחושחשים, דווקא הוא יוכל לבנות גשרים שלא יתפרקו תחת רגלינו ואוניות שלא יהפכו חיש-מהר לצוללות? הנה הפרדוקס שילווה אותנו לאורך הספר הזה. המתמטיקה היא יציר רוחנו, עוסקת בדברים מופשטים שאינם נראים במציאות. היא גם גורמת הנאה אסתטית לאנשים מסוימים (שהם, במקרה, אלה שמצליחים בה ולא מקללים אותה אחרי הבחינה). אם כך, צריכה הייתה המתמטיקה להימנות על המקצועות ההומאניים והאמנויות. במציאות, כמובן, המתמטיקה היא מלכת התחומים הריאליים: העיסוק במספרים טהורים שאיש אינו יכול לראותם נותן לאנשים כוח אדיר לשלוט במציאות החיצונית!
תשובת אפלטון לחידה היא חזרה לדרך הפיתגוראים וערעור על הנחת-יסוד של חשיבתנו: התרגלנו לחשוב שהעצמים המוחשיים הם אמיתיים ואילו המחשבות, הזיכרונות והרעיונות הם רק השתקפויות שלהם. טעות! העצמים המוחשיים הם בבואות חיוורות של מחשבות ורעיונות שעל פיהן בראו האלים את העולם. לכן, האמן, המיסטיקאי והמתמטיקאי מתחברים, איש-איש בדרכו, אל העולם האמיתי ההוא שביסוד העולם המוחשי שלנו. באחד הדיאלוגים הנפלאים שלו, ”מֶנוֹן,“ מתאר אפלטון איך סוקרטס משוחח עם עבד חסר השכלה ובעזרת סדרת שאלות מראה לו שהוא יודע גיאומטריה! לכן, אם למדתם משהו חדש, בעצם רק נזכרתם במשהו שידעתם עוד טרם לידתכם.
דמיינו לעצמכם, המשיך אפלטון, אנשים מסכנים החיים כל ימיהם כבולים בתוך מערה ויכולים לראות רק את דופנה הפנימי, עליו נופלים צללים של מה שמאחריהם. הם מאמינים שהצללים הם העולם האמיתי. יום אחד יתנער אחד מהם מכבליו, ייצא ויראה את העולם בצבעים ובתלת-מימד, ואז יבין שעד עתה ראה רק צללים. כך גם עולמנו: הכיסא שאני עכשיו יושב עליו הוא לדעתי מאוד אמיתי, אבל לפי אפלטון הוא רק העתק של ”אֵם כל הכיסאות“ בעולם האידיאלי, שכל הכסאות בעולמנו הפגום הם בבואותיה. זו הסיבה שמי שיודע לטפל במספרים – שהם, לדבריו, הדברים האמיתיים – יכול לשלוט בעצמים המשקפים אותם.
אריסטו לא מתרגש מיופי
אַרִיסטוֹטֵלֵס (384-322 לפה"ס), ששמו קוצר בפי הערבים לאריסטו, הוא שנתן לפיסיקה את שמה (פיסיס = טבע). בכל הקשור למעורבות בפוליטיקה השאיר את שני מוריו הרחק מאחור. אביו, שהיה גם מורו הראשון, היה הרופא של מלך מקדוניה, אבל נפטר כשאריסטו היה בן עשר (האם נפטרה עוד קודם). בהיותו בן שבע-עשרה עבר לאתונה, שם למד אצל אפלטון, שהעריך אותו מאוד, אבל כיוון שכבר אז הפגין התלמיד עצמאות מחשבתית, לא התמנה ליורשו. הוא עבר לעיר אחרת ללמד בחצר המלך ואף התחתן עם בת משפחת המלוכה. כשהופל המלך חזר למקדוניה בהזמנת המלך פיליפוס להיות מחנך לאלכסנדר בן השלוש-עשרה, וכשזה יצא לכיבושיו באסיה חזר אריסטו לאתונה ויסד בית-ספר משלו. כשמת אלכסנדר בהודו ואתונה חדלה להיות מוקדונית, חש אריסטו כי גורלו עומד להיות כזה של סוקרטס. הוא לא התלהב מהרעיון והעדיף להימלט מהעיר ולהקים בית-ספר חדש במקום אחר. יעברו מאות שנים, וכמו התלמיד שהחל כמלך ”נאור“ וסיים כדיקטטור מטורף, כך יהפוך גם מפעלו המרהיב של המורה לחורבה רעיונית ענקית שהכרח יהיה להרוס אותה מן היסוד כדי לבנות משהו חדש.
איך קרה שדווקא אריסטו, שבניגוד לשני מוריו היה גם מדען מוצהר, נעשה לסמל חשכת ימי-הביניים שהמדע נאלץ להילחם בו בחירוף נפש? כתביו הקיפו את כל תחומי הדעת, בכמה מדעים, כמו אמבריולוגיה, ניסוייו לא היו מביישים אפילו מדען בן-ימינו (דארווין ראה בו את גדול מוריו). הוא גם נחשב לאבי הלוגיקה ועד היום הולך ההיגיון המדעי בדרך דומה לחוקי ההיגיון שניסח. מצד שני, הוא היה חוסך לעצמו הרבה ביזיונות אם היה מצליח לפעמים לומר בפשטות, כמו הסבא הרוחני שלו, ”אני לא יודע.“ תחת זאת השאיר מסכת אדירה של אמירות החלטיות, ובהן לא מעט שטויות שנוסחו בטון פסקני ואיש לא העז לבדוק אותן. למרות ריבוי התחומים בהם עסק, הוא התנגד בחריפות למחקר אינטרדיסציפלינרי והזהיר שלא לחקור תופעות בתחום מדע אחד ע"י שימוש בכלים של מדע אחר. ועוד בעיה: הוא היה גם מלומד גדול, שהכיר וציטט בהרחבה את קודמיו ובני-זמנו, וכך נוצר הרושם שמי שבקיא באריסטו בקיא בפילוסופיה היוונית כולה. על-פי הדיכוטומיה של בֶּכלֶר,‏9 אפלטון היה ”פוטנציאליסט,“ כלומר השתית את המדע על יסודות שהם עצמם פלאיים ובלתי-נראים, אבל ניתן לגלות את עקבותיהם בעקיפין. אריסטו, לעומתו, היה ”אקטואליסט“ שרצה מדע המתבסס רק על מה שניתן לראות באופן ישיר וסילק את כל הסיבות הנסתרות. בכך ניקה את המדע מאמונות טפלות (אם כי לא דחה את האסטרולוגיה), אבל גם דיכא את הופעתן של השערות חדשות.
לפיכך, גם בספר זה, נגלה לפעמים שאריסטו בצירוף מחבט שטיחים מהווים עזרים לימודיים מועילים: ההצלפה בצוותא בפדנט הקדמון היא תרגיל חימום טוב בתחילת כל שיעור פיסיקה. אבל בואו נודה: זה לא ממש הוגן. קוּן, בספרו מבשר-התקופה ”המבנה של מהפכות מדעיות,“‏46 סיפר איך הכין בצעירותו הרצאה ובה התכונן לתקוף, כמו כולם, את אריסטו. לשם כך ניסה להעמיד את עצמו במקומו ועל רקע תקופתו, ואז הבין את גדולתו. במילים אחרות: כולנו חכמים אחר מעשה.
אריסטו התנגד לטענת אפלטון שהמתמטיקה יכולה להסביר את הרבגוניות העצומה של המציאות הפיסית. כיוון שהיה גם מומחה ממש לאסתטיקה, היטיב לחשוף את הגיחוך בכמה מאמונות הפיתגוראים בנוגע ליופי. ואמנם, עלינו להודות כי לא מעט הבלים מנוסחים בצורה יפה. לכן, גם כשנתנגד בפרקים הבאים לגישה המחניקה של אריסטו, בואו נזכור את אזהרתו כי העדפת היופי כקריטריון יחיד עלולה לבוא על חשבון האידיאל השני שלנו, דהיינו, האמת.
אוקלידס בונה בניין גדול על בסיס צר
נראה שאחרי התנ"ך, ”יסודות“ של אֵוּקלידֵס מאלכסנדריה (325-270 לפה"ס) הוא הספר המודפס והמתורגם ביותר בהיסטוריה. על אוקלידס האיש לא ידוע כמעט דבר מלבד שעבד כמורה או כחוקר בספרייה האגדית של אלכסנדריה ושכתב גם ספרים על אסטרונומיה ומוסיקה. מה עשה את ספרו לאחד המסמכים המכוננים של התרבות? בוודאי לא מקוריותו אלא גיבוש כל הידע המתמטי הרב שנצבר בימיו למערכת לוגית פשוטה ורבת-עוצמה.
הרעיון הוא פשוט: כיוון שהרבה טענות מתמטיות הופרכו לבסוף, איך נדע אם טענה כלשהי אינה מופרכת? נבדוק על אילו טענות היא נשענת, ועל אילו טענות נשענות הטענות ההן עצמן וכך הלאה עד שנגיע לכמה ”אַקסיומות,“ הנחות כל כך פשוטות עד שלא ניתן להוכיחן בלי להסתבך במעגליות, אבל גם לא להפריכן. ששת הפרקים (”ספרים“) הראשונים ב”יסודות“ עסקו בגיאומטריה, שביסודה מצא אוקלידס חמש אקסיומות כאלה: 1)דרך כל שתי נקודות אפשר להעביר קטע ישר אחד, 2)כל קטע אפשר להמשיך ללא גבול כקו ישר, 3)בהינתן נקודה וקטע, אפשר להעביר מעגל שמרכזו בנקודה ורדיוסו שווה לקטע, 4)כל הזוויות הישרות חופפות זו לזו, 5)אם ישר חוצה שני ישרים כך שסכום הזוויות הפנימיות בצד אחד קטן מכפליים זווית ישרה, אזי שני הישרים נחתכים זה עם זה באותו צד אם יהיו ארוכים עד אינסוף. מכאן המשיך לאריתמטיקה (תורת המספרים) וגם ביסודה מצא חמש אקסיומות: 1)שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם, 2)אם יתווספו גדלים שווים לגדלים שווים יהיו הסכומים שווים, 3)אם יחוסרו גדלים שווים מגדלים שווים יהיו ההפרשים שווים, 4)דברים המתלכדים זה עם זה שווים זה לזה, 5)השלם גדול מחלקו.
על בסיס זה בנה אוקלידס בניין ענק ומושלם: בין חלקיו אין שום חיבור רופף. את השיטה מתמצת אברון‏2 כך: ”כמה שפחות הנחות, כמה שיותר הוכחות.“
ארכימדס הופך ידיעה לכוח
הזיכרון הקולקטיבי אינו נדיב, כפי שנוכח למגינת-לבו כל מי ש”פַדיחה“ שלו נחרתה בזיכרון הציבור יותר מכל הצלחותיו. כך, האסוציאציה הראשונה שמעורר שמו של ארכימדס (287-212 לפה"ס) היא של איש רץ עירום ברחוב וצועק ”אֶוּריקַה!“ האיש אליו רץ היה הרודן של סִירַקוֹסַי (כיום סִירַקוּז, סיציליה), הִיֶרוֹן השני. הוא חשד שהכתר שנעשה לו עשוי לא רק מזהב והטיל את משימת הבירור על קרובו הצעיר, שלמד אצל האוקלידים באלכסנדריה. ארכימדס היה טרוד בבעיה זו כשטבל באמבטיה. כך התגלה החוק המפורסם: ”גוף השקוע בתווך (נוזל, גז) מאבד ממשקלו משקל השווה למשקל אותה כמות תווך השווה לנפח הגוף.“
ומעניין שדווקא אדם כה תלוש מהמציאות, שעתיד היה לשלם על כך בחייו, המחיש לראשונה את העוצמה הטכנולוגית הגלומה בידע המופשט: ארכימדס עשה את המחקר השיטתי הראשון על המנופים ובו חישב כמה כוח נרוויח אם נניח את המשא על נקודה מסוימת במנוף ונלחץ על נקודה אחרת מצדו השני, ובכך אִפשר לבני דורו להרים משאות ענקיים שנחשבו למעלה מכוחם. מחקר אחר שלו, שעסק בהידרוסטטיקה (החוקים השולטים בנוזל במצב מנוחה), סייע לשאיבת כמויות גדולות של מים (”בורג ארכימדס“ הוא מתקן להרמת מים הנפוץ עד היום) ולבניית אוניות ענק. אם להאמין לעוד סיפור נפוץ, מחקריו בחוקי החזרת האור סייעו לו לבנות מראה פַּרַבּוֹלית (מושג שיוסבר בפרקים הבאים) שבעזרתה הצליח להבעיר מרחוק ספינות קרב רומאיות שעגנו בנמל סירֵקוז.
”רק תנו לי נקודת משען מתאימה,“ התרברב ארכימדס, ”וממנה אזיז את העולם כולו.“ זוהי אולי הדוגמה הראשונה בתולדות הפיסיקה לשיטה שתשמש הרבה את איינשטיין וגם אותנו בפרקים הבאים, דהיינו ”ניסוי החשיבה.“‏17 לא תמיד אפשר לבצע ניסוי, אבל ניתן להריץ בראש סימולציה שלו. כך אנחנו עושים, למשל, כשאנחנו מאחרים לאיזה מקום ומנסים לדמיין מראש איך נעשה קיצורי-דרך. מדען יכול להריץ ניסויי חשיבה כאלה אם הפנים היטב את חוקי-הטבע הרלוונטיים לסיטואציה שאותה הוא חוקר. כזה הוא ניסוי החשיבה של ארכימדס: לא משנה אם קיימת נקודת משען מחוץ לכדור-הארץ המתאימה להשעין עליה מנוף, אם אם קיים מנוף מספיק חזק שלא יישבר במהלך הניסוי. די בהכרה שניסוי כזה אפשרי בעיקרון כדי להסיק מסקנה פיסיקלית. ולא רק בניסויי חשיבה הצטיין ארכימדס: כיוון שהיה גם מהנדס, והראשון לרתום עקרונות מתמטיים לצרכים מעשיים, הוא גילה את החוקים הנושאים את שמו בעזרת הרבה ניסויים של ממש.
הִיֶרוֹן לא הצטיין בחכמה כמו קרובו. הוא סיבך את ארצו במלחמה בין קרתגו לרומא, ובסופה השתלטו הרומאים על סירַקוז. המפקד הרומאי, שהעריץ את האיש שהטביע את אוניותיו בכוח המדע בלבד, הזהיר את חייליו שלא לפגוע בארכימדס. אבל חייל שעבר על פני זקן שצייר בחול ספג גערה: ”מִי מוּ טוֹאוּס קִיקלוֹאוּס טַרַטֶה (אל תבלבל את מעגליי)!“ החייל התרתח: תראו חוצפן! (או משהו כזה בלטינית) והרג אותו.
ב 146 לפה"ס נכבשה יוון כולה בידי רומא ולמושל סירַקוז התמנה מרקוס קיקֶרוֹ הנודע. הוא מצא את מצבתו הנשכחת של ארכימדס, שעליה תמונת כדור חסום בגליל, נושא הוכחתו המפורסמת ”השטח והנפח של כדור נמצאים ביחס של 2:3 לשטח ולנפח של הגליל החוסם את הכדור.“ המדינאי-פילוסוף שיפץ את מצבת המתמטיקאי.
*
השמש שזרחה על הֶלַס החלה שוקעת. האימפריה שקמה על חורבותיה קיבלה מארכימדס את הידע הדרוש לבניית בליסטראות, כבישים ואקוודוקטים, אבל לא התעניינה כמעט בשום דבר שלא ניתן לפלוש אליו, להטיל עליו מסים או סתם להרוג אותו. אחר-כך באו ימים גרועים עוד יותר. בין ההיסטוריונים לא הוכרע הוויכוח מי השמיד את הספריה הענקית באלכסנדריה – הרומאים, הנוצרים או המוסלמים, אבל על אמת עגומה אחת אין מחלוקת: כל אחד מהצדדים היה מסוגל לכך! בפריפריה של הממלכה שנחרבה עוד נותרו זיקים עוממים מהאור הגדול, אבל כשהמתמטיקאית והאסטרונומית הנודעת הִיפַּטיָה (370-415), ראש בית-הספר האפלטוני באלכסנדריה, נקרעה לגזרים בידי אספסוף נוצרי מוסת, היה ברור שתקופה רעה ממשמשת ובאה, אם כי איש לא שיער כמה ארוכה תהיה. וימי הביניים... כן, יש מומחים שיכעסו אם נקרא להם ”ימי החושך“ ויזכירו כל מיני הוגים חשובים שחיו בהם, אבל ספק אם כל ההתקדמות המחשבתית שחלה באירופה עד הרנסאנס שקולה אפילו לדור אחד בתור הזהב של יוון. האם הייתה זו ההתעסקות האובססיבית בביולוגיה של הבתול בן הבתולה שגרמה לעמים שלמים נזק מוחי לדורות? אפילו היהודים, שנענו בהתעוררות אינטלקטואלית מרהיבה לאתגר התרבותי הגדול שהציב בפניהם הכיבוש ההלני (ימי הזוגות, התנאים והאמוראים) ושרוו מטוּבו הרבה יותר ממה שהיו מוכנים להודות, הפנו את עיקר כישוריהם לתחום ההלכה והאמונה. המדע נאלץ לנדוד לבגדד, לטהרן ולשאר ערי האסלאם הפורח, עד שיקומו עמי אירופה לשבור את עול הכנסייה והמלך, והיהודים ייצאו מהגטו.
אי-שלמות שואפת לאינסוף
יש הרואים דברים כפי שהם ושואלים: למה?
ואחרים חולמים על דברים כפי שיכלו להיות ושואלים: למה לא?
(ג'ורג' ברנרד שו)
היכן עומדים אנו כיום בנוגע לשאלות שהעסיקו את אבות המדע? ספר זה מתאר את התפתחות הפיסיקה באופן כרונולוגי, אבל בפרק זה נסטה לשעה קלה מסדר הזמנים כדי לבדוק את הרפים הגבוהים שהציבו לנו היוונים ולשאול איזה מהם עברנו מאז ואיזה לא. זו תהיה הזדמנות לתרגל את הדקדוק של המדע, ומה שיותר כיף – את המוסיקה שלו.
חתירה תחת היסודות
לא רק ספר כללים היה ה”יסודות“ של אוקלידס (ר' פרק ‏2.7) אלא גם יצירת מופת: בכל הדורות, חוקרים מתחומים שונים ניסו לחקות את האלגנטיות של ”כמה שפחות הנחות, כמה שיותר הוכחות.“ המתמטיקאים עצמם שאלו: אולי נשמיט עוד אקסיומה ונקבל בניין יותר חזק? כאן מתעוררת בעיה: כל חכמולוג יכול להחליט לזרוק איזו אקסיומה שמתחשק לו, אבל אז יתמוטט כל הבניין. החוכמה היא לבנות מחדש בניין יציב על האקסיומות שנותרו! כמה מתמטיקאים (הבולט שבהם גַאוּס, 1777-1855) נטפלו לאקסיומה החמישית (ר' ‏2.7) בגיאומטריה האֵוּקלידית: היא ארוכה מדי ואפילו אוקלידס השתמש בה רק כשהיה מוכרח. תחילה ניסו לגזור אותה מהאקסיומות האחרות ונכשלו, ואז ניסו להניח אקסיומה חליפית ולבנות עליה את כל הגיאומטריה מהתחלה. אם ייתקלו בסתירות, זו תהיה הפרכת האקסיומה, אבל אז היא כבר לא תהיה אקסיומה! למרבה העניין – עוד עדות לגאונותו של אוקלידס – הגיאומטריות החליפיות שנבעו מהאקסיומה החדשה היו די חולניות אבל עקביות לחלוטין. תשאלו: בשביל מה זה טוב? יענו המתמטיקאים: אנחנו עושים לא רק מה ששימושי אלא מה שנראה לנו יפה, והגיאומטריה החליפית הזאת היא יפה! עברו מאות שנים, בא איינשטיין וגילה שגיאומטריה כזאת נותנת בסיס לתורת היחסות הכללית (ר' פרק ‏14). הנה שוב הפרדוקס האפלטוני: מושגים מופשטים, שהומצאו על ידי האדם כשעשוע אינטלקטואלי, התגלו כתואמים את המציאות הממשית במקרים שאף אחד לא דמיין לעצמו.
המבנה הלוגי הזה אומץ גם במדע. הנזיר האנגלי ויליאם מאוקאם (1285-1349) טבע את הכלל הידוע כ”תער אוקאם“ האומר בצורתו המודרנית כך: בהינתן כמה תיאוריות המסבירות את אותה תופעה, עדיפה זו המסתמכת על פחות הנחות-יסוד. ואמנם, הניסיון הראה שכאשר הצליח מישהו לוותר על אחת מהנחות-היסוד של תיאוריה מבלי לפגוע בלכידותה ובכוח ההסבר שלה, התיאוריה שהתקבלה אחרי הקיצוץ הייתה, לעתים קרובות, מדויקת יותר ואף הניבה גילויים חדשים. הפלא הזה – א)השמטת הנחות-יסוד שהן לכאורה הכרחיות, ב)בניית בניין חדש על הבסיס הצר יותר שנשאר, ג)הגילוי שדווקא הבניין הזה חזק ורחב יותר, ו-ד)בנוסף לכל גם תואם חלקים מהמציאות עוד בטרם התגלו – חוזר בכל תולדות המדע.
הרחבת מושג המספר
כך החלו ערעורים במתמטיקה גם נגד יסודות תורת פיתגורס. ברור שהרבה מהמתמטיקה של הפיתגוראים הייתה סתם נומרולוגיה: מספרים זוגיים נחשבו ”נקביים“ ואי-זוגיים ”זכריים,“ ובהמשך נעשו חלקם ”קדושים“ ואחרים ”טמאים“ וכך נפרץ סכר השטויות. כמו כן התברר שגם אוהבי ההרמוניה, כשאומרים להם משהו שלא מוצא חן בעיניהם, מסוגלים להגיב בצורה לא הכי הרמונית. פיתגוראי אחד, היפַּסוּס, גילה משהו מטריד שנבע דווקא ממשפט המשולש המפורסם של המורה: אם ניקח יֶתֶר של משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים ונבדוק מה היחס בין אורכו לאורך אחד הניצבים, נגלה ששום מידה בעולם – סנטימטרים, בלאטות, אצבעות – לא תוכל לבטא את היחס הזה במספרים רגילים כמו 3:2, בסתם שבר כמו 352/361, או אפילו במספר עשרוני מחזורי כמו 3…0.33. כל מה שנקבל יהיה המספר העשרוני המעצבן ...1.414213 הנמשך עד אינסוף בלי לחזור לעולם על עצמו. למספר כזה אנו קוראים כיום ”אי-רציונאלי,“ לאמור, ”לא-חלוקתי“ (יחס = ratio). זה היה הראשון במשפחת מספרים כאלה שהתגלו כבעלי חשיבות עליונה, כמו ה”פִּי“ היווני (π), המוכר יותר בהיגויו האנגלי פַּי, שהוא היחס בין היקף מעגל לקוטרו: ...3.141592. הייתה זו מהלומה לאמונה שהמספרים השלמים הם יסוד העולם. מה שעצוב הוא שלעובדה הלא-יפה הזאת, דהיינו היעדר המידה המשותפת, יש הוכחה מוחצת שהיא עצמה יפה מאוד!‏13 ומה שהכי עצוב, מספר אירציונאלי כזה הוא גם ה”פִי“ שנפגוש בהמשך, הקשור דווקא ביופי!
הפיתגוראים, כך מסופר, כל כך התרגזו על היפַּסוּס עד שהטביעו אותו בים בתקווה שאף אחד לא ישמע על השערורייה. הם עצמם הכחישו את הסיפור, כי הם היו, כזכור, צמחונים נחמדים שהקפידו לא לפגוע אפילו בקטניות. הם הודו, עם זאת, כי השביעו כל חבר חדש בשבועת סודיות, וכך הלך הרבה מהידע שלהם לאיבוד. הנה, אידיאלים טובים יכולים להוביל למעשים רעים. די להיזכר בפשעי הכמרים הקתוליים שנעשו בשם אותו ספר בו מופיע מכתבו המרטיט של יוחנן אל הקורינתיים על האהבה, או בצרפתים שצרחו כל היום ”לִיבֵּרטֶה! אֵגַלִיטֶה! פרַטֵרנִיטֶה!“ כשעם כל ”טֶה“ יורד להב הגיליוטינה על צווארו של עוד מסכן בשם החירות, השוויון והאחווה. יש כאן לקח חשוב: גם אידיאל היופי, אפילו אם אינו מוביל לשפיכות דמים, מסוגל להתעות למקומות בהחלט לא יפים.
מושג המספר המשיך להתרחב גם אחרי הכנסת המספרים האירציונליים. אמנם המספרים עצמם הם משהו דמיוני, אבל אנחנו יכולים לפחות להלביש בהם משהו – קלמנטינות, חושחשים וכדומה. בהדרגה הופיעו מספרים יותר ויותר מוזרים. כדאי לציין כי בימי קדם אפילו ”אחד“ לא נחשב למספר כי ”מספר“ היה, מעצם¬¬¬¬ הגדרתו, רבים!‏32 מכאן ניתן להבין כמה קשה היה לקבל ש”אפס“ הוא מספר עד שהערבים הביאו אותו מהודו. אבל אז בא חכם אחד ושאל: אם המספרים הולכים ויורדים באחד עד האפס, מה יקרה אם נמשיך ונחסר אחד מהאפס עצמו? כך נולדו המספרים השליליים, 1–, 2– וכו' והיה צורך להרחיב את האריתמטיקה כדי שתוכל לטפל גם בהם. חיש מהר התברר שהמספרים המשונים האלה יכולים לעזור הרבה בבעיות מעשיות, כמו לאפשר לבנק לשמור לנו ”מינוס.“ כיוון שכך, בא חכם יותר גדול ושאל: מה השורש הריבועי של מספר שלילי כזה? וזה כבר בהחלט מוגזם. שורש ריבועי של 4, למשל, פירושו מספר שאם נכפיל אותו בעצמו נקבל 4. כך, , , וכו'. אבל הכפלה של כל מספר בעצמו, אפילו אם הוא שלילי, נותנת מספר חיובי! הפיתגוראים, מן הסתם, היו מזמינים את החכם הזה לטיול קצר בים כמו שעשו להיפסוס, אבל בדור ההוא – זו הייתה איטליה של ראשית הרנסאנס, אליה נתוודע בפרקים הבאים – היו מתמטיקאים שדווקא שמחו שהוא מספק להם תעסוקה. הם סימנו את המספר המשונה ב i (מלשון imaginary) והמציאו עבורו ציר מספרים ”מדומים,“ ניצב לציר המקובל, ועליו סידרו את כל השורשים הבלתי-אפשריים האלה: i, שהוא השורש הריבועי של 1–, ואחריו 2i, 3i וכו'. גם הפעם, מתחת לאפס הוסיפו מספרים מדומים שליליים, i–, 2i–, 3i– וכו', כך שהתקבל ציר מספרים שלם המאונך לציר הרגיל. על מערכת-הצירים הדו-ממדית הזאת בנו תחום מתמטי חדש. עכשיו לכו תנסו להבין מהי קלמנטינה מדומה, שהעלאתה בריבוע תיתן קלמנטינה שלילית, שהעלאתה בריבוע תיתן סוף-סוף קלמנטינה שאפשר לאכול.
צחוק צחוק, אבל גם כאן קרה הפלא: המספרים המדומים התגלו כשלב הכרחי בפתרון הרבה בעיות מעשיות. במאה ה-19 נמצא להם שימוש גם בתיאוריה האלקטרומגנטית ובמאה ה-20 התגלה שהם חיוניים לחישוב התופעות המוזרות של תורת הקוונטים (ראו פרקים ‏15 עד ‏16). מי יגלה עפר מעיני אפלטון! המתמטיקאים, מסתבר, לא המציאו אלא גילו משהו החבוי ביסוד המציאות החומרית!
טענה זו, שתגלית מתמטית היא גילוי ולא המצאה, יכולה להסביר את הצלחת התוכנית ”פחות הנחות, יותר הוכחות.“ הרי לא כל מי שמערער על אקסיומה הופך לממציא ענף חדש. להיפך, ברוב המקרים יוצא לנו משהו חסר-ערך. אם נזרוק את כל האקסיומות ונסתפק ב”אלוהים ברא את העולם“ או ”כל מה שאנחנו רואים זה רק בראש שלנו,“ נוכל לבנות על אקסיומה בודדת כזאת תיאוריה המסבירה כל דבר, אבל מהתיאוריה הזאת, כפי שתראו בהמשך, לא ינבע שום ניבוי חדש. במדע, החוכמה היא להשמיט את האקסיומה הנכונה – נכון יותר: הלא נכונה – ורק אז, על הבסיס הנותר, יתרומם בניין גדול יותר.
מעבר למספר
הפליאה של אפלטון – שהחוקים האריתמטיים החלים על שלוש קלמנטינות חלים גם על שלושה סטרפטוקוקים, שלושה גניקולוגים ועל כל שאר העצמים – רק הלכה והעמיקה מאז, כי תורת המספרים היא רק הקומה הראשונה בבניין המתמטיקה. אם ה”שלוש“ המופשט הוא מושג החל על כל העצמים, בואו נחשוב על מושג מופשט יותר, נאמר x, החָל על כל המספרים. אם מעולם לא ראינו את ה”שלוש“ עצמו, במנותק ממיקרובים או מרופאים, בוודאי שמעולם לא ראינו x. האם גם ההפשטה הזאת תניב משהו מעניין?
המילה ”אלגברה“ מקורה בכותרת ספרו של המתמטיקאי והאסטרונום הפרסי אבו ג'עפר אל כְוָּרִיזמִי (780-845) ”חִסַּאבּ אַל-גַ'אבְּר וּאַל-מוּקַ'אבָּלַה (חשבון ההשלמה והאיזון).“ גם שמו של אל-כְוָּרִיזמִי עצמו התגלגל למושג ה”אלגוריתם,“ המציין שורה קבועה של פעולות מתמטיות. האלגברה מחליפה את המספרים ב”נעלמים“ (אותיות), ואלה מגלים חוקיות יסודית יותר. זהו צעד נוסף בהפשטה המתמטית: כמו שהשוויון האריתמטי 3+3=6 נכון לגבי כל שלישייה ושישייה של עצמים שנציב במקום שני המספרים, כך גם השוויון האלגברי נכון לגבי כל שלושה מספרים שנציב במקום שלושת הנעלמים.
הנה חידה אלגברית, פשוטה להפליא ומפתיעה באותה מידה, הממחישה את יכולתה של המתמטיקה להצביע מיד על עובדה שהשכל הישר יצליח לגלות רק אחרי זמן רב או אפילו יסרב להאמין לה. יהא כדור שהרדיוס שלו הוא מטר אחד, וסביבו קשור חבל. החבל יוצר אם כן מעגל, שהיקפו הוא גם היקף הכדור. עכשיו נאריך את החבל הקשור סביב הכדור במטר אחד, וניתן למעגל להתרחב במידה שווה סביב הכדור. בכמה גדל רדיוס המעגל החדש? אם תעשו את החישוב, תמצאו שהתוספת של מטר אחד להיקף המעגל מאריכה את הרדיוס ב 0.15915 מ', כלומר המעגל שיוצר החבל סביב הכדור גבה בכמעט 16 ס"מ – גובה שכל חתול יעבור מתחתיו בנוחות.
יפה, ועכשיו החליפו את הכדור שלנו בכדור הרבה יותר גדול, נאמר, כגודל כדור הארץ, והקיפו גם אותו בחבל. החבל יוצר מעגל ענק שהרדיוס שלו 6,378,135 מטר והיקפו 40,075,160 מטר, וגם הוא קשור סביב הכדור בצורה כה הדוקה שאפילו קרציה לא תוכל לעבור תחתיו. שוב, הוסיפו מטר אחד איפה שהוא לאורך החבל ותנו למעגל להתרחב במידה שווה סביב הכדור. בכמה גדל רדיוס המעגל החדש? הציבו את המספרים במשוואת היקף המעגל, וכמה הקלקות על המחשבון שלכם יתנו גודל שכל חתול יעבור מתחתיו בנוחות.
רגע, מה קורה פה?! הוספנו רק מטר להיקף כדור-הארץ כולו ושוב תפח כל המעגל בכמעט 16 סנטימטרים כמו בפעם הקודמת? ברור שזו טעות! בואו, אם כן, נקיף בחבל כדור עוד יותר גדול, נאמר, בגודל הגלקסיה, ונאריך גם את החבל הזה במטר אחד בלבד. מה רדיוס גלקסיית שביל החלב? לומר את האמת – זה לא משנה. לכו תמצאו, תעשו את החישוב, וכשתגמרו, יוכל חתול לעבור בנוחות בכל מקום, על פני מיליוני שנות-אור, דרך ה-16 ס"מ שמתחת לחבל המקיף את כדור הגלקסיה.
הנה תרגיל משלים: קצצו חזרה מטר אחד מהחבל המקיף את הגלקסיה, מתחו וחברו אותו מחדש. עכשיו לא יוכלו שום חתול ושום קרציה על פני כל מיליוני שנות-האור המשתרעים סביב הכדור לעבור תחת החבל. ואפשר גם כך: הוסיפו 16 ס"מ לרדיוס הגלקסיה כולה, כך שהיא תתפח בשיעור זה לכל הכיוונים על פני מיליוני שנות-אור. התוספת להיקפה? מטר אחד.
עם המסקנה הזאת תוכלו להשלים בכמה דרכים: א) אחרי הצבות של כל מיני מספרים גדולים וקטנים וחישובי התוצאות, ב) אחרי אימוץ החשיבה הויזואלית, ג) אחרי הבנת הקשר האלגברי בין ההיקף לרדיוס. מבט במשוואת היקף המעגל מראה לנו מיד: אין בה שום התייחסות לגודל המעגל. לכן – הגיוני או לא – תוספת מטר להיקף מעגל תגדיל את הרדיוס בכ 16 ס"מ בין אם מדובר בכדורגל או בגלקסיה. מסקנה: החשיבה המתמטית יכולה לראות דברים מסוימים טוב יותר מהשכל הישר. וזאת לא מפני שהיא מנוגדת לו אלא כי היא חסינה לכמה מהמלכודות האורבות לחשיבה הויזואלית.
מה הייתה ההפשטה הבאה במתמטיקה? אם המשוואה האריתמטית פועלת על מספרים והמשוואה האלגברית פועלת על אותיות המייצגות מספרים, המשוואה הדיפרנציאלית פועלת על פונקציות, שהן עצמן מעין משוואות. גם כאן, כפי שנראה בפרק ‏8.8, רמת ההפשטה החדשה מאפשרת טכנולוגיה מתקדמת עוד יותר. מה לגבי אותם תחומי מתמטיקה מופשטים לחלוטין שאין להם כל שימוש? זה בדיוק העניין: אין להם שימוש כיום, אבל כפי שנראה בהמשך כבר היו ענפים רבים של המתמטיקה העיונית שהתגלו מאוחר יותר כמתאימים לטיפול בבעיה מציאותית כלשהי. נראה, על כן, כי כוחה של המתמטיקה גדול יותר ככל שהיא מופשטת יותר.
שעשועים כבדי-ראש
ראינו ששיטת ההוכחה שהנהיג אוקלידס במתמטיקה היא תובענית הרבה יותר מההוכחה המדעית באמצעות ניסוי: שום מתמטיקאי לא יעיז להוכיח טענה כלשהי על סמך בדיקת מיליון דוגמאות, כי כבר קרה שרק המקרה המיליארד ומשהו הכזיב!‏39 ההוכחה צריכה להיות עקרונית, בלי קשר לניסיון. הנה, לדוגמה, הטענה שכל סכום של מספרים אי-זוגיים עוקבים המתחיל מ-1 נותן מספר ריבועי, למשל, 1+3=22. במקרה זה, ההוכחה העקרונית קלה להמחשה ויזואלית. את כל המספרים האי-זוגיים מה-1 ומעלה אפשר לצייר כקבוצות ריבועים היוצרים צורות ”ר“ שצלעותיהן שוות, והן הולכות וגדלות בקובייה אחת בכל זרוע, כמו באיור שלפנינו. נכון שכל צירוף של ”ריש“ים המתחיל מהריבוע הבודד משמאל יוצר ריבוע? הנה יכולים אנו לומר ”מש"ל“ (מה שצריך להוכיח) או, אם נרצה להשוויץ בלטינית, quod erat demonstrandum (QED). זה מחזיר אותנו לנושא היופי. למה חושבים אנשים שהוכחה כזאת היא יפה? כי על סמך צעדים לוגיים בודדים אנחנו יודעים משהו בוודאות על כל צירופי המספרים מהסוג הזה. לא סתם ”מועט המחזיק את המרובה“ אלא ”מועט המחזיק את האינסוף“!
הוכחות כאלה, הנכונות עד לאינסוף, הולידו מגוון שעשועים, שמהם נבעו גם צורות חדשות של יופי וגם הבנות חדשות של המציאות. לאונארדו פִיבּוֹנַצִ'י (1170-1250) תהה מה יקרה אם ניצור טור מספרים שבו כל מספר הוא סכום שני המספרים הקודמים. הוא כתב, אם כן, 0,1,1,2,3,5,8,13,… וקיבל מקור בלתי-נדלה של תכונות מסקרנות הממשיכות להתגלות עד היום. קחו למשל, כל מספר בסדרה וחברו אותו עם כל קודמיו: תקבלו סכום השווה למספר השני הבא אחריו פחות אחד. לדוגמא, סכום חמשת המספרים הראשונים, 1+1+2+3+5, שווה לסכום המספר השביעי, 13, פחות אחד. יש לסדרה אינספור תכונות מסקרנות כאלה,‏39 אבל הדיווידנד האמיתי בא כשהתגלה שהיא מתארת שפע אדיר של תהליכים הקיימים בטבע, מסידורי עלים על הגבעול ומבנה הקונכיות ועד צורת הגלקסיות.
שעשוע דומה מציג משולש הקרוי על שם המתמטיקאי הצרפתי בלייז פַּסקַל (1623-1662) אבל תואר כבר בידי המשורר והאסטרונום הפרסי עומר כַיַאם (1048-1122). זהו מבנה העשוי משורות מספרים שכל מספר בהן הוא סכום שני המספרים מימין ומשמאל בשורה מעליו. גם כאן התברר שאין גבול לתכונות המפליאות של המשולש. כך למשל, סכום אברי כל שורה הוא אחת החזקות של שתיים: 20=1, 21=2, 22=4 וכו'. ואם נצבע בשני צבעים את הספרות הזוגיות והאי-זוגיות יתקבל ”משולש סירפּינסקי“ שבתוכו משולש הפוך וסביבו משולשים ישרים. את המשחק הזה אפשר עוד להמשיך כך שבכל אחד מהמשולשים הפנימיים יהיה עוד משולש הפוך שסביבו עוד משולשים ישרים שבתוך כל אחד מהם עוד... מתקבלת אם כן צורה פרקטלית, כלומר, צורה שגם אם נפרק אותה לחלקים קטנים נגלה שהיא חוזרת ומופיעה בהם עד אינסוף. והנה, גם הפרקטל הוא צורה השולטת בתופעות רבות בטבע. ‏39
והנה מספר תמים שמקורו בהערה של אוקלידס ושהפך מקור לעיסוק אובססיבי מאז עד ימינו:‏24 ניקח קו ישר ונסמן את קצותיו ב א' ו-ב'. עכשיו נסמן נקודה ג' שתחלק אותו לשני חלקים, כך שהיחס בין הקטע הגדול א'-ג' לבין הקטע הקטן ג'-ב' יהיה כמו היחס בין הקו השלם א'-ב' לבין הקטע הגדול א'-ג'. מאז, אנשים מצאו את היחס הזה, ”חיתוך הזהב,“ בגוף האדם, בפנים יפות, במבנים קדומים, ביצירות אמנות, בצמחים, ביצורים חיים ולבסוף בכל מקום בו רק הסתכלו. כמובן שחלק מה”גילויים“ האלה היה רק פרי דמיונם, כפי שהוכיח מריו לִיביוֹ כשמצא את החתך הזה גם ביחסים השונים בין חלקי הטלוויזיה שלו.‏26 ובכל זאת, המספר הזה, …1.61803, המסומן באות היוונית פִי (Φ) ומוכר יותר בהיגוי האנגלית פַי, חוזר וצץ בטבע במקומות שונים ומשונים כמו סידור זרעי התפוח, פרח הוורד וקונכיית החילזון. ”אין צורך להאמין במיסטיקה כדי לחוש יראה כלשהי לנוכח יכולתו זו של חיתוך הזהב להופיע במצבים ובתופעות שאין לכאורה כל קשר ביניהם.“‏24(20) רוצים דוגמה? בבקשה: לכו אל סדרת פיבונאצ'י לעיל, קחו אחד ממספריה וחלקו אותו במספר הקודם. זוגות המספרים הראשונים יתנו מנות פשוטות כמו 1 או 1/2, אבל ככל שתעלו בסדרת המספרים תראו שבר ההולך ונראה כמו ...1.618 נכון, זה יהיה מיודענו פַי.

המשותף לכל המשחקים האלה הוא ש-א)ביסודם עומד כלל יחיד ופשוט, ובכל זאת ב)נובעות מהן עוד ועוד תכונות מפתיעות, ו-ג)מתברר שהם מתארים תופעות רבות הקיימות במציאות! נראה שהיקום עצמו נברא בצורה דומה לשעשועים של פיבונצ'י ופסקל: חוקים פשוטים יוצרים סדירויות המולידות מגוון ענק של תופעות יותר ויותר מורכבות.
אי-שלמות פורייה
כמו אודיסאוס שהורה למלחיו להשאיר אותו קשור לתורן כל עוד הסירנות שרות, גם אנחנו, לאור המחלוקת בין אפלטון ואריסטו, צריכים להחליט שלא ניתן ליופי להסיט אותנו מהאמת. לצד העיסוק ביופיין של הפיסיקה והמתמטיקה, בואו ניתן דעתנו על שני מומים המתגלים בשתי הגברות האלה אחרי בדיקה יותר פולשנית. שתיהן מתחרות על כתר ”מלכת המדעים.“ הפיסיקה תובעת אותו בנימוק שהיא עוסקת במרכיבים הבסיסיים ביותר של המציאות כמו חומר, אנרגיה, מרחב וזמן, ולכן כל שאר המדעים, העוסקים בתופעות מורכבות יותר, הם ענפי-משנה שלה. המתמטיקה, מצד שני, טוענת שאינה מוגבלת רק למציאות הידועה לנו. כל מציאות שנוכל להעלות בדמיוננו, כל עוד שולטים בה חוקים קבועים, ויהיו אלה הביזאריים ביותר, תוכל המתמטיקה לתאר אותם, ולכן היא יסודית יותר מהפיסיקה. בואו נראה מה נוכל ללמוד מוויכוח זה.
הפיסיקה היא מדע ניסיוני, כלומר היא לומדת על המציאות ע"י הניסוי והתצפית. שיטות אלה מושתתות על עיקרון הסיבתיות: אם סיבה א' גרמה לתוצאה ב', בתנאים דומים היא תגרום לה תמיד. בפילוסופיה מכונה מסקנה כזאת ”אינדוּקְציה,“ הסקה מהידוע על הלא-ידוע. והנה העיקרון הכל-כך יסודי הזה נפל קרבן להפרכה פשוטה וקטלנית של הפילוסוף דֵיוִיד יוּם (1711-1776). נניח שאני זורק אבן למעלה פעמים רבות ומגלה שהיא חוזרת ונופלת. אני מסיק שכך יקרה תמיד כשאחזור על הניסוי. פשוט, נכון? בא יוּם ואומר: המסקנה הסיבתית הזאת חסרת תוקף אפילו אם זרקת את האבן מיליון פעמים, כי כל טיעון סיבתי מסתמך בעצמו על סיבתיות. הנה, נסה לומר ”אני מאמין בסיבתיות כי היא תמיד הוכחה כנכונה“ ותחשוב על מה שאמרת: לא הכי אינטליגנטי, נכון?
זִכרו שהאידיאל של הפילוסופים הוא אדם שחי – ואם צריך אפילו מת – על-פי הפילוסופיה שלו, כפי שעשה האבא הגדול שלהם באתונה כששתה את הרעל. יוּם היה איש טוב והגון, אבל אין ספק שהוא לא חי על-פי הפילוסופיה שלו: הוא לבש מעיל כשהיה קר בחוץ, לא התחצף לשוטרים, עקף שלוליות וכדומה, בקיצור: הוא למד מניסיון העבר והשתמש באינדוקציה כמו כל אחד. כי גם אם איננו יכולים להוכיח שיש חוקיות בעולם, אין לנו ברירה אלא לנהוג לפיה! הרבה חכמים ניסו להתגבר על הפרדוקס הזה. הבולט שבהם, עמנואל קַנט (1724-1804), הצביע על כך שלא ניתן לחשוב שום מחשבה בלי להסתמך מראש על מושגים כמו חלל, זמן וסיבתיות. מכאן הסיק קַנט שמושגים אלה אינם נובעים מהניסיון אלא הם ”אַ-פּרִיוֹריים,“ כלומר טבועים בנו מלידתנו. זה ללא ספק תרגיל פילוסופי מבריק (ולא קשה לשמוע גם בו הד לאפלטון), אבל המחיר שהוא תובע מאתנו הוא להאמין שדבר כל כך מהותי כמו הסיבתיות קיים רק ”בראש שלנו“ ואנחנו מלבישים אותו על מציאות שאיננו יודעים מה היא.
המתמטיקאים אהבו לנפנף בנקודת העיוורון הזאת של המדע הניסיוני עד שאחד משלהם עשה להם תעלול וערער את הבסיס המקביל של המקצוע שלהם. המדע, כפי שראינו, משתמש באינדוקציה, הסקה ממקרה פרטי על הכלל. המתמטיקה, לעומת זאת, משתמשת בדֶדוּקְציה, כלומר הנחת עיקרון ראשוני שממנו נגזרות מסקנות ספציפיות יותר. כמובן, העיקרון הראשוני הזה אינו נובע מהניסיון, כי זה תחומו של המדע. לכן, כל מערכת של הנחות-יסוד היא חוקית בעיני המתמטיקאי כל עוד היא עקבית, כלומר, לא ניתן לגזור ממנה סתירה – דבר והיפוכו. אמרו אנשים: בואו נבנה את כל המתמטיקה כמו שאוקלידס בנה את הגיאומטריה, כלומר נבדוק מה המינימום של הנחות-יסוד שמהן נגזור את כל טענות המתמטיקה (כולל הגיאומטריה, שחזרה עכשיו להיות ענף של המתמטיקה). טובי המוחות של המאות ה-19 וה-20 נרתמו למרוץ הזה, וגילו הרבה דברים יפים בדרך. ואז הופיע בחור בן עשרים וחמש בשם קורט גֶדֶל (1906-1978) והוכיח שכל מערכת עקבית של הנחות מתמטיות חייבת לכלול טענות שלא ניתן להוכיחן בתוך אותה מערכת. גדל עצמו, שהיה אפלטוניסט, הסיק מהוכחת אי-השלמות שלו מסקנה מרחיקת-לכת מאוד: האמת חורגת מגבולות ההינתנות-להוכחה.‏11 המתמטיקה, עם ההיגיון הצרוף והמושלם שלה, תצטרך לחיות עם העובדה שייתכנו בתוך עולמה דברים אמיתיים שלא יהיה בכוחה להוכיחם.
באופן דומה התמודדו מדעי הטבע עם הערעור על האינדוקציה. לעזרתם בא פילוסוף יהודי-אוסטרי, קארל פּוֹפֶּר‏42 (1902-1994), שהצליח לעקוף את יוּם במהלך עוצר-נשימה: נכון, לאינדוקציה אין תוקף לוגי, כי גם אחרי מיליון פעמים ייתכן שאבן שנזרקה למעלה עדיין לא תיפול חזרה, ונכון, כל אישוש הוא זמני. אבל מה לגבי ההפרכה? היא דווקא מוחלטת: אם פעם אחת תישאר האבן באוויר, איני צריך לחזור על הניסוי כדי להפריך את האינדוקציה שעשיתי קודם! מהתובנה הזאת הוציא פופר את התרומה החשובה ביותר שנתנה הפילוסופיה המודרנית למדע: קריטריון התיחום בין מדע למדע-מדומה.
באותם ימים שלטו במדע הפוזיטיביסטים, אנשים חכמים וקפדנים מאוד שטענו שצריך לסלק מהמדע כל זכר למטפיסיקה, כלומר לטענות שלא ניתן להוכיחן בשום ניסיון, כמו טענות האפלטוניסטים. הם עשו עבודה חשובה בסילוק דברים מיותרים, אבל לקחו את תער אוקאם (ר' ‏3.1) לקיצוניות שהחניקה את החשיבה המדעית: אפילו אטומים נחשבו בעיניהם משהו כמו מלאכים, שלעולם לא ניתן יהיה להוכיח את קיומם. אמרו הפוזיטיביסטים: תיאוריה היא מדעית רק אם ניתן להוכיח אותה. כלומר, היא צריכה לנבא משהו, ואם הניבוי מתאמת, היא מדעית.
פופר, שהיה אז בחור צעיר מאוד, הזמין את עצמו יום אחד לפגישה של הפוזיטיביסטים (שנקראו ”החוג הווינאי“) ואמר: בדיוק ההפך! תיאוריה היא מדעית אם ניתן, בעיקרון, להפריכה. זה נשמע קצת מוזר, כי תיאוריה שהופרכה היא לא נכונה. נכון, אמר פופר, היא לא נכונה, אבל היא מדעית. כשתיאוריה מראה לנו שמשהו אינו נכון – במקרה זה: התיאוריה המסכנה עצמה – היא מקדמת את ידיעתנו בצעד חשוב קדימה! (כמובן, אם התיאוריה ניתנת להפרכה, ובמקרה גם לא הופרכה, נשמח יותר). קל עכשיו להבין מהיכן הכוח העצום של תיאוריות פסאודו-מדעיות בעיני מאמיניהן: הן בנויות מראש כך שכל מה שיקרה רק יאשש אותן (חִשבו על ניבויים אסטרולוגיים כמו: ”מישהו שלא חשבת עליו הרבה זמן יתקשר אליך,“ או ”מאחורי הציניות שלך מסתתר צורך גדול שיאהבו אותך“). הן נכונות כיום כפי שהיו לפני אלפי שנים, אבל בדיוק מסיבה זו הן חסרות ערך: הן אינן מסתכנות בשום ניבוי של ממש. האמת המדעית בנויה מאינדוקציות שעל-פי יוּם אין ביטחון שלא יופרכו יום אחד, אבל מהפרכה להפרכה המדע מתקדם.
אגב, כדאי להנחיל את העיקרון של פופר לאנשים בגיל צעיר ולהתרגל ליישם אותו לא רק במדע אלא גם בהשקפות הפוליטיות, בחיים האישיים וכדומה. כל מי שיש לו דעה נחרצת בנושא כלשהו, כדאי לו מדי פעם לעצור ולשאול את עצמו: האם יכול לקרות משהו שיגרום לי להבין שהדעה הזאת שלי מוטעית? ומי שינסה לענות בכנות, יגלה להפתעתו שהתשובה היא לעתים קרובות שלילית! ככה זה, אנחנו נוטים לבנות לעצמנו תיאוריות שרק הולכות ונעשות עם הזמן חסינות בפני העובדות. זו תופעה שכיחה אצל אנשים אינטליגנטים ומלומדים ונוטה, למרבה הצער, להתחזק עם הגיל. חזרה על התרגיל הזה היא דרך טובה לשמור על צעירות רוחנית.
הנה שוב מה שמבדיל פילוסופיה אמיתית מלהטוטי מילים: הערעור של יום על הסיבתיות הניב הבחנה שתרמה הרבה להתפתחות המדע.
הגורם האנושי
למרות שהחוק המדעי חושף סדר והיגיון עמוקים בעולם, התהליך המוביל לגילויים לא חייב להיות מסודר או הגיוני בעצמו. כשסוקרטס מסביר לנו ברצינות תהומית ב”המשתה“ איך אהבת נערים יפים מובילה לאהבת היופי עצמו ולאהבת האמת, מותר – וראוי – לגחך, לאור העובדה שהיו אי-אלה אנשים שהגיעו להישגים מרשימים בלי לאהוב שום נער ואפילו שום נערה. ההומוסקסואליות של סוקרטס ואפלטון הייתה בוודאי הדלק הראשוני לפעילותם האינטלקטואלית (והם עצמם הקדימו את פרויד להכיר בחשיבות הסובלימציה של היצר), אבל שום בר-דעת לא יתייחס ברצינות לקישור הישיר שעשו בין העדפותיהם המיניות לבין פועלם. כדאי, אם כן, לומר כמה מלים על המקורות הנפשיים המזינים את הדחף המדעי.
יש אנשים שהעיסוק במדע עושה אותם צנועים, פשוטים וטובי-לב. המגע עם חידות הבריאה מכניס באדם פרופורציות ומקטין את משקלם של ענייני כסף, ”מה יגידו“ ושאר שטויות היום-יום. כך היה עם נפילים כמו דארווין, פַרַדֵיי ואיינשטיין. גם לי היה מזל, כפי שאספר בהמשך, להכיר כמה מדענים דגולים, וכשאני חושב על כך אני מתפלא עד כמה מצטיינים האנשים האלה גם בגדולתם האנושית.
ויש, למרבה הצער, גם דוגמאות הפוכות. אל בני משפחת בֶּרנוּלִי נתוודע בהמשך (פרק ‏9.3.2 ואני כבר מזהיר אתכם שזו לא תהיה היכרות מלבבת. המגעיל ביותר מביניהם, יוהן, התמסר להרס הקריירה של בנו דניאל ואף הצליח לגנוב ממנו את משוואת תנועת הנוזלים ולפרסם אותה בשמו! פריץ הַבֶּר (1868-1934, נובל 1918), יהודי שדמה יותר לנאצים שסילקו אותו מגרמניה, התמסר במלחמת העולם הראשונה לפיתוח הנשק הכימי ואפילו בבוקר שאחרי התאבדות אשתו, שלא יכלה לחיות עם מעשיו, יצא לחזית לספור הרוגים. למרבה הביזיון, מרכזים מדעיים על שם הפושע הזה קיימים באוניברסיטאות ישראליות. ספרו של פול ג'ונסון ”אינטלקטואלים“‏12 מראה כי כמה מגדולי ההוגים של תרבות המערב היו טיפוסים די מרושעים. ”הדוקרן של ויטגנשטיין“‏3 מספר על ויכוח בן עשר דקות בין קארל פופר ולודוויג ויטגנשטיין, שכמעט הסתיים במכות אם לא גרוע מזה, וככל שהספר עוקב אחרי התנהגותם של שני הפילוסופים מתקשה הקורא יותר להחליט מי משניהם דוחה יותר.
ובכל זאת, גם הצדדים הלא-יפים של נפש האדם – התחרותיות, הקנאה וכדומה – שותפים ביצירה המדעית. לא אחר מאשר אריסטו העיר כי בגאונות יש קורטוב של שיגעון. בנושא זה תרם פופר עוד תרומה חשובה כשביטל את הדרישה להצדיק השערה מדעית. כשמישהו מעלה השערה הניתנת להפרכה, אמר פופר, זה לגמרי לא משנה אם סיבותיה הן רציונאליות. דוגמא טובה לטענת פופר מספקת הרפואה. בימי הביניים חשבו אנשים שצמחים הגדלים ליד מקווי-מים חסינים מפני מחלות הנובעות מרטיבות ומקור ולכן יכולים לסייע בריפויין. התיאוריה המופרכת הזאת הניבה השערה ניתנת להפרכה, שלגמרי במקרה דווקא אוששה, וכך התגלה שמהעֲרָבָה (Salix) אפשר להפיק חומצה אצטיל-סליצילית (אספירין), אחת התרופות המוצלחות ביותר בתולדות הרפואה.
מסיבה זו אין לדעתי סתירה בין הדרך בה ראה פופר את התקדמות המדע – הפרכות מובילות להחלפת תיאוריה אחת בתיאוריה טובה יותר – לבין הניתוח שעשה היסטוריון המדע היהודי-אמריקני תומס קוּן (1922-1996) להופעת המהפכות המדעיות.[] קון טען כי כשמתגלות עובדות הסותרות תיאוריה, קורה בדיוק מה שכולם קיוו שאינו קורה במדע: התיאוריה ”מתקנת“ את העובדות כדי להגן על עצמה. התיאוריה, אמר קון, קיימת בתוך ”פַּרַדִיגמָה“ – מושג קצת מעורפל המאפיין את מכלול העמדות, התפיסות והשיטות המגדירים מדע בתקופה כלשהי. לפרדיגמות יש כוח גדול מכפי ששיערנו, והן מסוגלות לגרום לנו לראות דברים בצורה אחרת או אפילו לא לראותם כלל. רק אחרי שכמות הסתירות עוברת סף מסוים מתרחשת מהפכה, שגורמת לנו לראות דברים באור חדש וחוזר חלילה. אילו היה קון מסיים כאן, היה בוודאי זוכה רק לשבחים. אבל הוא הוסיף למודל הזה טענה מוזרה לפיה לא ניתן להשוות בין תיאוריות ולקבוע איזו תיאוריה טובה יותר, כי בשל הפרשנות השונה של תיאוריות לאותן עובדות אין בסיס משותף להשוואה כזאת. בכך הקדים קון את השטויות של הפוסט-מודרניזם וספג הרבה ביקורת.[] אבל אם נתעלם מהטענה האחרונה, נוכל ללמוד גם מקון וגם מפופר: הראשון הוא יותר היסטוריון וסוציולוג של המדע המראה איך המדע מתקדם במציאות, בעוד שהשני הוא פילוסוף של המדע המראה איך המדע צריך להתקדם. קון מראה את חשיבותו של הגורם האנושי – השמרנות וההתחפרות בעמדות מוכרות – בעוד פופר מראה איך ניתן להתעלות מעל הגורם הזה.
לרוג'ר פֶּנרוֹז, מתמטיקאי ופיסיקאי שעוד נפגוש הרבה בהמשך, יש טענה מרחיקת-לכת בעניין זה:‎70 התגליות המתמטיות המפורסמות לא יכלו להתגלות בתהליך אלגוריתמי, כלומר תהליך המתנהל על-פי כללים קבועים, כמו התהליכים השולטים בפעולת המחשב. זו טענה שנויה במחלוקת,‏2 אבל אין חולק על כך שהדרך המובילה לתגלית הגיונית היא לא תמיד הגיונית בעצמה. ואכן, בפרקים הבאים נפגוש טיפוסים שונים ומשונים שפעלו ממניעים דתיים, מרדיפת כבוד או אפילו מתאוות פחות מכובדות, ודווקא הם הזרימו אל המדע רעיונות שהפרו אותו. כמו שהאבולוציה חייבת את הצלחתה לאינספור תקלות במנגנון התורשתי, כך גם היצירתיות זקוקה לאספקה מתמדת של ”רעש“ היוצר צירופים חדשים.
עיקרון השפע
אחרי שיצורים כמו המספרים המדומים התגלו כתואמים את המציאות, החלו הדמיון המתמטי להתפרע עוד יותר. היה זה פיסיקאי, ניוטון, שהמציא מושג מוזר, הנגזרת, שהיא ”גודל גדול מאפס אבל קטן מכל מספר שהוא,“ כדי לעשות חישובים מסוג חדש. הנימוק שנתן כדי להוכיח שנגזרות כאלה הן ממשיות היה צולע, אבל מהרגע שהציג את שיטתו, והתברר שהחישובים שהיא מציעה נותנות תוצאות מדויקות (ראו פרק ‏8.8), התעלמו הפיסיקאים משאלת החוקיות הלוגית שלה וניגשו לעבודה עם הכלי החדש. רק במאה ה-19 הצליחו המתמטיקאים בּוֹלצַנוֹ ו-וִייֶרשטרַס לתת לנגזרת את תעודת ההכשר המיוחלת. בוקר טוב, גיחכו הפיסיקאים, מה היינו עושים בלעדיכם! הנון-שלאנטיות הזאת, על-פי בֶּכלֶר,‏9 היא חלק בלתי-נפרד מהמתודה המדעית: המדען מוכן להניח הנחות ללא הוכחה מספקת ולהתקדם אתן, במקום שבו היה הלוגיקן הקפדן נשאר תקוע. בכלר[] מתמצת את הגישה הזאת בסיסמה של גלילאו: ”באר את הפלא ע"י הנס.“
כמו האפס, גם האינסוף משך את הדמיון המתמטי. גיאורג קַנטוֹר (1845-1918) המציא חשבון מיוחד לאינסופים והוכיח בדרך פשוטה יחסית שמספר הנקודות על קו מסוים שווה למספר הנקודות על קו גדול יותר ואפילו למספר הנקודות על מישור או מרחב כלשהו‏2 (”אני רואה את זה,“ כתב על ההוכחה, ”אבל לא מאמין!“). במילים אחרות, כשמשווים בין סוגים שונים של אינסוף מתקבלות תוצאות המנוגדות לשכל הישר. משלא הצליחו המתמטיקאים להפריך את הוכחותיו של קנטור, ניסו לדחותן בטענה שאינסופים אינם דבר מציאותי. קנטור, שהיה אפלטוניסט, טען שהם דווקא קיימים איפה שהוא ואפילו גייס את אלוהים לצורך זה. לטענה זו הצטרף מאוחר יותר עוד אפלטוניסט מפורסם, גדל, אותו כבר שמענו מדבר בזכות אמיתות החורגות מיכולת ההוכחה.‏11
מייקל גְוִּילֶן,‎60 בעבר מרצה לפיסיקה בהרוורד, תומך בהקשר זה בטענה הקרויה ”עיקרון השפע:“ כל דבר שהמתמטיקה מרשה את קיומו, יתגלה בסופו של דבר כקיים במציאות הפיסיקלית. זו טענה קיצונית ולא כולם מסכימים אתה. אני עצמי קצת נזהר מלהתעמק בשאלות האלה. אחרי הכל, קנטור השתגע, גדל השתגע, ניוטון השתגע זמנית (ר' פרק ‏8.8), וגם גוילן חזר בתשובה לפני כמה שנים ונעשה למטיף. ובכל זאת, היו כמה מקרים שגרמו לפיסיקאים להתייחס אל ”עיקרון השפע“ ברצינות.
הכוח והיופי של חוק הטבע
יש אמירה מפורסמת של ריצ'רד פיינמן (1918-1988, נובל 1965), לא הכי תרבותית אבל קולעת: ”הפיסיקה היא למתמטיקה מה שהסקס הוא לאוננות.“ כיוון שהספר הזה עוסק בפיסיקה, שחוקיה מנוסחים בלשון מתמטית, בואו נראה במה מתייחדים חוקים אלה.
גם עולמו של הפיסיקאי מאוכלס בישויות ”אפלטוניות“ שלא ניתן לראותן באופן ישיר אבל ביטוייהן נמצאים בכל מקום. אף אחד לא ראה ”אנרגיה,“ ”כוח“ או ”שדה“ אלא רק את תוצאותיהם. עוד יותר אפלטוני הוא ה”חוק“ הפיסיקלי: במקומות שונים ובזמנים שונים, תופעות הנראות שונות לחלוטין מצייתות לאותם חוקי-יסוד בדיוק מתמטי מפליא. זה מה שהפעים את איינשטיין, שאמר ”הדבר הכי פחות מובן בעולמנו הוא עובדת היותו מובן.“
וכמו המתמטיקה, גם הפיסיקה מוליכה אותנו אל חוקים יותר ויותר אינווריאנטיים, כלומר, בלתי-משתנים. סוג חשוב כזה של אינווריאנטיות הוא הסימטריה.‎72 הנה דוגמא. יושב אדם אל שולחנו ומשחק במצפן, ואחרי הרבה ניסיונות הוא רושם חוק טבע חשוב: ”מחט המצפן מצביעה תמיד שמאלה.“ בא חברו לבקרו והוא מראה לו את החוק שניסח, אבל החבר רואה שהמצפן מצביע דווקא ימינה, שהרי הוא מביט בו מעברו השני של השולחן! ואם יעמוד מהצד יצביע המצפן ”קדימה,“ ”אחורה“ וכו'. יש כאן, אם כן, כמה חוקי טבע לגבי אותה תופעה, שכל אחד מהם מתאים לצופה אחר, וזו לא תוצאה מרשימה במיוחד. נעריך יותר את הישגם של שני הפיסיקאים הללו כאשר, אחרי הרבה חקירות ודרישות, יגיעו לניסוח חוק מאוחד כללי יותר: ”מחט המצפן מצביעה תמיד צפונה.“ החוק הזה הוא יותר סימטרי ולכן גם יותר אינווריאנטי (בלתי משתנה) מקודמו, בכך שאינו תלוי במיקומו של הצופה ביחס לשולחן. אבל לא לעולם חוסן: כשיצאו שני המדענים הדגולים, מצוידים במצפנים, לסיבוב הרצאות בעולם להרצות על חידושם, ויגיעו במקרה לאולם הרצאות המצוי באי אלף רינגנס (Ellef Ringnes) צפונית לקנדה, יגלו שההדגמה נכשלת ושני מצפנים שם מצביעים – שוד ושבר – זה לכיוונו של זה! ואם יפליגו משם לנקודה הנגדית מול חוף אדלי (Adélie) שבאנטארקטיקה יגלו ששני המצפנים פונים לכיוונים הפוכים! נחוץ, אם כן, חוק אינווריאנטי עוד יותר, שלא יאבד את תוקפו אפילו בצפון או בדרום המגנטיים. לא יתעצלו השניים, יחפרו לעומק כדור הארץ ויגלו שהוא בעצם מגנט ענק המשפיע על כל המצפנים. החוק הבא שלהם יאמר, אם כן, כך: ”מחט המצפן מצביעה לכיוון הקוטב המנוגד של השדה המגנטי בו היא נמצאת.“ וזה ללא ספק חוק עוד יותר כללי, שכוחו יפה גם על מאדים ואפילו על נוגה, למקרה שיתחשק לשניים לנסוע ולהרצות גם שם על התנהגות המצפנים.
לפנינו אם כן שני סוגי טענות מדעיות. חוק טבע הוא כלל האומר ”בהינתן גורם A תהיה התוצאה B.“ עיקרון הוא כלל מסוג גבוה יותר האומר ”בהינתן חוק-טבע X תקיים תוצאת החוק את הכלל Y.“ כך, למשל, מהעובדה שחוקי הטבע הלכו ונעשו במרוצת הדורות יותר ויותר תקפים ומדויקים, ניסחו אנשים את העיקרון הכללי יותר השולט בהם והוא עיקרון הסיבתיות: ”בהינתן אותם גורמים יופיעו תמיד אותן תוצאות.“ עיקרון ספקולטיבי יותר הוא ”עיקרון השפע“ שהוזכר לעיל. גם המאפיינים האסתטיים של התיאוריה המדעית המעסיקים אותנו בספר זה – פשטות, אחדות, ואפילו היופי עצמו – יש להם מעמד של עקרונות. כמובן, העיקרון, כמו חוק הטבע, הוא טענה הניתנת להפרכה ולכן ממלאים העקרונות תפקיד חשוב – למעשה חשוב מאוד – בהתפתחות הפיסיקה.
כל ההתקדמויות שתראו בספר זה תהיינה מהסוג הזה: חוקים שונים המתארים היבטים שונים של הטבע מתמזגים לחוק או עיקרון אחד שהוא יותר כללי, אינווריאנטי, סימטרי, ובסופו של דבר – פשוט.
מגילוי על הנייר לגילוי במציאות: הדוגמה של תורת האטום
ראינו, אם כן, שהתפתחות חוקי הפיסיקה דומה לתהליך האוקלידי: תחילה נעשה ויתור על אקסיומות שמתברר שאפשר להסתדר בלעדיהן. הבניין החדש שנבנה על הבסיס הצר יותר הוא, למרבה ההפתעה, חזק ורחב יותר, כלומר, מופיעים בו חלקים חדשים שלא היו קודם. יתרה מזאת, החלקים האלה קיימים איפה שהוא במציאות וכדאי לצאת לחפש אותם. נוכל להמחיש עקרונות אלה על רעיון שראשיתו ביוון והוא מעסיק את הפיסיקה עד ימינו: טבע החומר.
שמענו בפרק הקודם על המחלוקת בין אמפדוקלס ודמוקריטוס. הראשון האמין בקיום ארבעה יסודות שמהם בנוי הכל, בעוד השני האמין בקיומם של אטומים מאינספור סוגים. אפלטון הוא שאיחד את שתי התיאוריות: יש ארבעה יסודות הם בנויים מארבעה סוגי אטומים. מכאן המשיך אפלטון וניסה לתת לתורה המאוחדת בסיס מתמטי. הוא הוכיח כי בעוד בעולם הדו-ממדי אין סוף למספר המצולעים המושלמים – משולש, ריבוע, מחומש וכו' – בעולם התלת-ממדי יש רק חמישה כאלה, הקרויים לפיכך ”גופים אפלטוניים.“ אם תספרו את הצלעות, הקודקודים (”שפיצים“) והפאות (”צדדים“) של כל אחד מהגופים האלה, תגלו שהם מסתדרים בשני זוגות בעלי אותו מספר צלעות ומספרים הפוכים של קודקודים ופאות (ר' תמונה). הגוף החמישי הוא בן-הזוג של עצמו. במילים אחרות: גם אילו הכרתם רק שניים או שלושה מחמישה גופים כאלה, הייתם יכולים לגלות את הנותרים לפי ה”חורים“ בטבלה.
אמר אפלטון: חמישה גופים מושלמים וארבע יסודות – זה כמעט אותו דבר. הוא ישב והתאים גוף מושלם אחד לכל אחד מהיסודות. האש, למשל, צריכה להיות עשויה מאטומים בצורת טֶטרַהֶדרוֹן, שה”שפיצים“ שלהם מאפשרים להם לחדור לכל דבר. הקובייה היציבה צריכה להיות צורת אטום של אדמה וכו'. מפה המשיך אפלטון להתפלפל ולהוכיח בכל מיני חישובים שכאשר יסוד אחד מתרכב עם יסוד אחר, הם מתגלגלים לצירוף אחר של ארבעת היסודות, כך שסך-כל הפאות של האטומים (משולשים, ריבועים וכו') נשאר אותו דבר. מה לעשות עם הצורה החמישית, הדוֹדֶקַהֶדרוֹן? לא נשארו יסודות, אבל זו בהחלט לא סיבה לוותר על תיאוריה כל כך יפה. הדודקהדרון, אמר אפלטון, קשור לצורת היקום כולו. עכשיו הכל הסתדר.
שטויות במיץ עגבניות? בואו נדייק: שטויות במיץ הוכחה מתמטית נכונה. גופים מושלמים יש באמת רק חמישה אבל ארבעת היסודות אינם יסודיים. ובכל זאת, עם התקדמות המדע, התחלפו הפרטים אבל הרעיון המנחה נשאר בעינו. הנה אם כן תקציר ההתפתחות שתתואר בפרקים הבאים:
אריסטו, כצפוי, מיהר לחלוק על מורו גם בנושא זה. הוא דחה ==== כזכור, הרבה לפני אפלטון הבחין מיודענו תַלֶס שחשמל יוצר כוח משיכה בדומה למגנט ולכבידה. כעבור יותר מאלפיים שנה התגלה שהחשמל מורכב משני מטענים: חיובי ושלילי. מטענים שווים דוחים זה את זה ושונים מושכים זה את זה. עכשיו חוזר הזיגזג אל הכימיה: יסודות כימיים מתרכבים ביחסים מספריים שלמים – ראיה לאטומים של דמוקריטוס. בינתיים גילו הכימאים יסודות ממש, כלומר, לא כמו ה”יסודות“ של היוונים אלא חומרים טהורים שאינם מורכבים מחומרים אחרים. נותר לסדר את כל היסודות האלה בטבלה, לאורך ולרוחב, לפי סדר מספרי שכלל גם את משקליהם וגם את תכונותיהם הכימיות. מיד התגלו ”חורים“ בטבלה. הכימאים החלו לחפש יסודות לא-ידועים שתכונותיהם הכימיות מתאימות לחורים האלה והנה, הפלא ופלא: הם מצאו אותם! במאה ה-20 חזר הזיגזג לתורת החשמל: התגלה כי האטום אינו באמת ”אַ-טוֹמוֹס“ (בלתי-מתחלק): חלקיקים יסודיים יותר היו הפרוטונים, בעלי המטען החשמלי החיובי, והאלקטרונים בעלי המטען השלילי. כך, בבת-אחת, הפכו כל התכונות הכימיות של החומרים לתכונות חשמליות של משיכה ודחייה בין האטומים שלהם! די לספור את האלקטרונים בקליפה החיצונית של האטום של יסוד כלשהו כדי לגזור מהם את כל תכונותיו הכימיות. כך נעשתה כל הכימיה ענף של הפיסיקה. לכאורה, הכל הסתדר יפה בתשבץ, אבל כמו במתמטיקה, תמיד מופיע עוד נודניק המערער את אחד היסודות בבניין החדש. התגלה שגם חלקיקים כמו פרוטונים אינם חלקיקי-יסוד אלא מורכבים מחלקיקים עוד יותר קטנים, והחיפוש אחר תורה חדשה יצא לדרך. שוב סידרו הפיסיקאים את החלקיקים, הפעם במשוואות, ושוב התגלה כי למשוואות יש פתרונות לא-מוכרים. הלכו אנשים למאיצי החלקיקים וכיוונו אותם כך שאם יש חלקיקים כאלה הם יופיעו. נחשו מה? הם הופיעו! בקיצור, בסופו של יום התברר כי הפיתגוראים והזקן מאתונה לא טעו הרבה: תכונות החומר נובעות מהיחסים המספריים בין מרכיביו.
אחד ממנבאי החלקיקים החדשים, פול דיראק (1902-1984, נובל 1933), ייחס חשיבות עליונה ליופי המתמטי. בהתרסה נגד הביטוי הרווח ”זה יותר מדי יפה מכדי להיות אמיתי“ כתב פעם ”תוצאה זו היא יפה מדי מכדי להיות לא נכונה. חשוב יותר שהמשוואה שלך תהיה יפה מאשר שתתאים לתוצאות הניסוי.“ אפלטוניזם קיצוני כזה נראה קרוב יותר לדת מאשר למדע, אבל האליטה של המתמטיקאים והפיסיקאים כוללת הרבה אפלטוניסטים מוצהרים וחבויים. עוד אחד ממייסדי תורת הקוונטים, יוג'ין ויגנר (1902-1995, נובל 1963), כתב בהתפעמות על ”יעילותה הבלתי-הגיונית של המתמטיקה במדעי הטבע.“ בעיניו, קיומם של חוקי טבע היה בעצמו דבר לא טבעי, ועוד פחות מזה שהאדם מסוגל לגלותם. ”נס התאמתה של שפת המתמטיקה לניסוח חוקי הפיסיקה,“ התפייט ויגנר בנימה דתית, ”הוא מתנה מופלאה שאיננו מבינים אותה וגם איננו ראויים לה.“
מי שהסיקה מסקנות אישיות מהמאמר של ויגנר הייתה אחותו: היא התחתנה עם דיראק. *
שלושת הפרקים הראשונים הללו היו מעין מבוא להצגת עיקרי החשיבה המדעית. הנה, לסיום, ניסיון שלי לתת הגדרה תמציתית למה שמייחד את המדע והאסתטיקה שלו.
מהו מדע?
א. התופעות הנראות לעין הן רבות מספור, מקוטעות, מעורבבות והפכפכות,
ב. אבל התצפית והחשיבה מגלות חוקים השולטים בהן
ג. והניסוי מגלה ומבודד תופעות יסודיות יותר המרכיבות אותן.
ד. ככל שההחקירה מתקדמת
1. פחות יסודות (ג), פשוטים יותר;
2. ופחות חוקים (ב) פשוטים יותר אף הם, השולטים בהם ביתר תוקף ודיוק,
3. עומדים ביסוד יותר תופעות (א) שנראו תחילה שונות וללא קשר ביניהן.
ה. הכרת מכלול המציאות (א-ד) מגלה טבע מסודר וצפוי יותר, ולכן ידידותי יותר לחיים; הגיוני והרמוני יותר, ולכן יפה יותר.
ו. כל כך, עד אשר באותם מקרים בהם אין הדבר כך – כשמתגלות תופעות (א) לא-עקביות – סביר להניח כי חוקים (ב) ו/או יסודות (ג) חדשים עדיין חבויים בהן, שגילויין
ז. יחשוף שוב את הסדר (ד), ואף
ח. יוביל לגילוי תופעות (א) חדשות בעולם הנראה לעין,
ט. מה שיגביר את יופיו. קופרניקוס מפיל עמוד בהיכל
אם יאמרו לך זקנים סתור וילדים בנה, סתור ואל תבנה, שסתירת זקנים בניין ובניין נערים סתירה.
(מגילה ל"א 2)
מה הייתה דעת הפלשתים על השינוי הקל שעשה שמשון בארכיטקטורה של מקדשם? כיוון שהוא לא התייעץ בהם לפני המעשה, וכיוון ששני העמודים שהפיל תמכו במקרה בגג שמעליהם, חוששני שלא התפתח שם דיון הנדסי מעמיק בנושא. המבנים שעליהם אנחנו סומכים, החל מימי הפירמידות העומדות איתנות עד היום, בנויים על אותו עיקרון הנדסי: מבנה חזק צריך בסיס רחב.
אבל דווקא תורת ההנדסה עצמה, ואִמה המתמטיקה, לימדו אותנו דבר הפוך: בניין לוגי חזק בנוי על בסיס אקסיומטי צר, ולכן ערעור אחד היסודות של בניין כזה יכול דווקא לחזקו! זה היה גם סוד מעשהו של נִיקלַס קוֹפֶּרנִיק (1473-1543) הנודע בשם קוֹפֶּרנִיקוּס, שהפיל עמוד לא במקדש פלשתי אלא במקום הרבה יותר מסוכן: בדוקטרינה הנוצרית.
הוא נולד בטוֹרוּן שבפולין, בן-זקונים לסוחר עשיר שגם שמו היה ניקלס ושמת כשהיה בנו כבן עשר. נראה שהאם נפטרה קודם. אחיה, לוקס וַצֵנרוֹדֶה, לימים בישוף מחוז וַרמיַה, אסף אליו את ארבעת היתומים ודאג לחינוכם. ניקלס נרשם לאוניברסיטת קראקוב, שם קנה את ה”יסודות“ של אוקלידס והחליט להשלים את לימודיו באיטליה.
מן הסתם אהב מאוד את הארץ הדרומית, שבדומה ליוון הקדומה הייתה פדרציית מדינות קטנות של סוחרים ויורדי-ים, וחיי-הרוח בה תססו: לאונארדו כבר קנה בה שם, קולומבוס, שטען כי הוא איטלקי, גילה את ”הודו“ ואיטלקי אחר, אמריגו וֵספּוּצִ'י, הבין שמדובר ביבשת שלימים קיבלה את שמו. מעל לכל, איטליה היא שבישרה את הרנסאנס בשורת מתמטיקאים מבריקים שראשיתה במיודענו פִיבּוֹנַצִ'י ושאחד משיאיה היה בהתכתשויות הפומביות עוצרות הנשימה שהתנהלו בין קרדאנו וטרטאליה, באותם ימים ממש, סביב פיתרון המשוואות הריבועיות.[]
בבּוֹלוֹניה למד קופרניקוס משפטים עד שדודו קרא לו למלא משרה כנסייתית רמה. הוא קיבל רשות לשוב לאיטליה וללמוד רפואה באוניברסיטאות פַּדוּאָה ופֶרַרַה. את ההיכרות הגורלית בחייו עשה בימי לימודיו בבולוניה: בעל הבית בו שכר חדר היה מרצה לאסטרונומיה, דומניקו מריה דה נוֹבַרַה, שעורר בו את העניין במקצוע וגם סיפר לו שהתיאוריה השלטת כבר נמאסה על הרבה אנשים אבל איש אינו מעז לומר זאת בגלוי.
כהנה וכהנה שמע הפולני הצעיר עד שחזר למולדתו לעבוד בשירות הכנסייה. בניגוד למעט שאנו יודעים על חייו הפרטיים, הקריירה שלו ידועה כמגוונת מאוד: כומר, מנהלן, כלכלן, מפקד מיליציה, אחראי על מבשלות הבירה ורופא שטיפל חינם בעניים.
בין כל עיסוקיו החל קופרניקוס להפיץ בין ידידים כתב-יד ובו מודל אסטרונומי חדש. השמועה החלה מתפשטת. מרצה באוניברסיטת רומא ציטט את המודל ומכתבים החלו להגיע עם בקשות לעותק. קופרניקוס החל לכתוב ספר אבל שמר אותו במגירה.
עד שיום אחד הופיע איש צעיר בפתח. גאורג יואכים רֶטיקוּס (1514-1574) היה מרצה למתמטיקה ואסטרונומיה באוניברסיטת ויטנברג. רֶטיקוּס לא היה שמו המקורי אלא שם שנאלץ לבחור אחרי שאביו הרופא הוצא להורג בעוד הוא עצמו היה נער. יחסים חמים נקשרו בין הקתולי חשוך-הילדים, עתה בן ששים ושש, לבין הפרוטסטנטי בן העשרים וחמש. בוודאי נזכר קופרניקוס כי זה היה גם גילו כשיצא לאיטליה. הבחור הגיש לו שלושה ספרים יקרים ועליהם הקדשה מחממת-לב: ”למורי ורבי קופרניקוס.“ האם זה נכון, פַּטֶר, שיש לך תיאוריה חדשה על היקום?
גיאו(אגו)צנטריות
זה היה סוף ימי הביניים ובמחשבת אירופה שלט אריסטו (ר' פרק ‏2.6). אמנם בתחילה העדיפה הנצרות את אפלטון, אבל האסלאם גילה את אריסטו במאה השמינית כשפלש לאסיה הקטנה, תרגם אותו לערבית, למד אותו בהתלהבות בבגדאד ובטהראן (כן, זה היה די מזמן) ולקח אותו, בעיקוף רחב ובעזרת מלומדים יהודיים רבים, עד לספרד, שם פגשה בו אירופה מחדש. מול הררי הפטפטת של תיאולוגיית ימי-הביניים נחשב אריסטו למהפכן, ו”חדשנים“ כתומס אַקוִּינַס הרגישו כמו גיבורים כשעשו סינתזה של כתביו עם הסכולסטיקה (שיטת הלימוד) הנוצרית. ומכיוון שספר הלוגיקה שלו היה הטוב ביותר בשוק באותה תקופה, הסתמכו עליו גם ההוכחות לעיקרי אמונת הנצרות. מי יעז, מול שילוב זה, לחפש השקפת-עולם אחרת? כך התבצר שלטון אריסטו גם באסטרונומיה.
מעמד האסטרונומיה היה פרדוקסלי באותם ימים: מצד אחד היא הייתה בלתי-נפרדת מהאסטרולוגיה, שעד היום אנו משתמשים בבלי-דעת במונחיה, כמו disaster (”ללא כוכב“) או ”קונסטלציה“ (מערך כוכבים), או בשמות ימי השבוע בשפות אירופה, ואפילו בשמה של השבת (על שם שבתאי) בעברית. מצד שני, דווקא בתחום זה הבשילו ניצני מדע אובייקטיבי ומדויק: הכוכבים היו גלויים לעין ולא מוסתרים ע"י אורות העיר כבימינו, ניתן היה לחקור את מסלוליהם, ובעיקר לחזור על המדידות מדי לילה ומדי שנה ולעשותן מדויקות יותר. כל כך, עד שהכוהנים ידעו בדיוק מתי ייפול צל עמוד המקדש על המזבח, מתי יתרחש ליקוי חמה או לבנה, וכמובן איך לבטל את סכנתו ע"י תשלומים נאים לכיסם. בקיצור, חוקי הרקיע היו זמינים לכל תאב-דעת. הייפלא, אם כן, כי כשהחלה תרבות המערב להתעורר מהתרדמה בה שקעה מימי נפילת יוון, נשאה עיניה בסקרנות מחודשת אל השמים?
אתם בוודאי יודעים, גם אם אינכם מסתכלים בכוכבים מדי לילה, מהן תנועות השמים אותן הכירו אבותינו: א)השמש וכל שאר גרמי השמים נעים בתנועה קבועה ממזרח למערב, ב)הירח, בנוסף על התנועה הכוללת, נראה בכל לילה מתקדם קצת יותר מהר, בערך באותו כיוון, ובאותו זמן גם משנה בהדרגה את צורתו מסהר דק לעיגול מלא לסהר הפוך וחוזר חלילה, ג)חמישה כוכבים, בהירים מהאחרים, עושים, בנוסף על התנועה הכוללת ממזרח למערב, תנועות איטיות ומוזרות, כולל אחורנית לכיוון מזרח, ו-ד) הירח והשמש עוברים מדי פעם ליקוי מלא או חלקי. במקרה של ליקוי-חמה, ניתן לראות שהירח פשוט מסתיר את השמש. במקרה של ליקוי לבנה נדרשת חשיבה קצת יותר מעמיקה כדי להבין שהארץ היא המאפילה על הירח. הקדמונים גם שמו לב כי הליקויים אינם מתרחשים כל חודש ומכאן הבינו שבין מסלולי השמש והירח יש זווית קטנה. בפרק ‏2.1 הכרנו את השיטות הטריגונומטריות המחוכמות שהמציאו היוונים כדי למדוד גדלים ומרחקים אסטרונומיים, כך שע"י מדידת הפַּרַלַקסָה (ההבדל בזווית בה נראים כוכבים בתקופות שונות בשנה) יכלו להבחין שכוכבי-הלכת קרובים אלינו יותר מכוכבי-השבת. תצפיות והמדידות האלה הלכו ונעשו מדויקות יותר במרוצת הדורות.
אריסטו קבע שהארץ היא מרכז היקום, וקלאודיוס פּטוֹלֵמַיוֹס (90-168) מאלכסנדריה, המוכר בשם העברי תלמי, בנה דגם מתמטי מדוקדק של היקום הזה. בחיבורו היפה והבהיר אלמג'סט (”הגדול“ בשמו הערבי; במקור ”הקובץ המתמטי“) שילב את כל הנתונים שהיו ידועים בזמנו למודל אחד. זהו יקום שבמרכזו הארץ וסביבה סובבים כדורים מחומר שקוף דמוי-בדולח. בכדור החיצוני קבועים כל כוכבי-השבת, בכדור הפנימי סובב הירח, באחד הכדורים האמצעיים קבועה השמש, ובכל אחד משאר הכדורים קבוע אחד מחמשת כוכבי-הלכת. כל אלה נבראו כמובן למען הארץ והיצור ששלט בה: להאיר לו, לעזור לו לחשב חגים ומועדים וכמובן לנבא מה צופן לו העתיד.
הכדורים שעליהם סבבו כוכבי-הלכת היו מעניינים במיוחד. היו עליהם גלגלי-משנה, ”אֵפִּיצִיקְלים,“ שגרמו לכל כוכב-לכת לעשות לולאות מורכבות במהלך הקפתו את הארץ. הארץ עצמה לא הייתה בדיוק במרכז המערכת אלא קצת ליד המרכז. כל התיקונים האלה, שעם השנים נוספו עליהם עוד ועוד, היו הכרחיים כדי ליישב את המודל עם נתוני התצפיות ההולכות-ומתרבות של האסטרונומים בעת ההיא. בסך-הכל היה זה מאמץ מעורר-כבוד לארגן את היקום בתמונה עקבית אחת.
נס המרד
התמונה הזאת, ככל שהותאמה יותר לתצפיות האסטרונומיות, נעשתה יותר ויותר מסורבלת ואפילו בימי-הביניים נשמעו רטינות נגדה. במאה ה-13, כך מסופר, לא התאפק מלך ספרד, אלפונסו העשירי ”אל סאבּיו (המלומד)“ והעיר כי אילו נועץ בו אלוהים לפני הבריאה היה ממליץ לו על מבנה פשוט יותר.‏41 המתמטיקאי והמוסיקולוג הצרפתי ניקול אורם (1320-1382) חלק בגלוי על אריסטו והביא נימוקים מפורטים בזכות תנועת הארץ. דעות הליוצנטריות מפורשות השמיע, מלב הממסד הכנסייתי, הבישופ ניקולס קוּזַנוּס (1401-1464). הוא חלק על דברי אריסטו שאבן נופלת שואפת אל מרכז כדור הארץ ”כי זה מקומה“ ושיער כי במקומות אחרים בחלל תימשכנה אבנים למקומות אחרים (!), ואפילו קדם לקפלר (ר' פרק ‏5) בגילוי האליפטיות של מסלולי כוכבי-הלכת. כבר פטולמאיוס עצמו, שכמתמטיקאי היה ער ליופי שבפשטות, מסגיר נימת התנצלות בסוף ספרו:
ואל יחשוב אדם, שהנחות אלה הן מסובכות יתר על המידה, אם יראה את התחבולות הלקויות ששימשו בידינו... ולא זו בלבד אלא שלא יאה לדון את הפשטות שבתנועת גרמי השמים לפי התנאים הנראים לנו עלי אדמות, משום שגם אצלנו אותו דבר עצמו אינו פשוט לכל הבריות במידה שווה.‏36(126)
בעיני קופרניקוס הייתה תמונה זו ”מפלצת“ שהורכבה מראש, רגליים וזרועות שנלקחו ממקומות שונים. במודל החליפי שהציע הדיח את הארץ ממרכז מערכת השמש והפך אותה לכוכב-לכת אחד בין כמה אחרים. התוצאה, לפי תיאורו, הייתה כובשת:
ולאחר שהנחתי את התנועות שאני חולק לארץ להלן בגופו של החיבור, חזרתי ומצאתי בהסתכלות רבה וממושכת, שאם מעבירים את תנועותיהם של שאר כוכבי הלכת לסיבוב הארץ ומחשבים לפי זה את סיבובו של כל כוכב וכוכב, לא זו בלבד שתופעותיהם עצמן יוצאות מזה, אלא שכל סדרי הכוכבים ומסלוליהם כולם, הם ושיעוריהם והשמים עצמם, מתקשרים כל כך, עד שאי-אפשר לשנות שום דבר בשום חלק בלא שתהא ערבוביה בשאר החלקים ובכל העולם כולו.‏32(190)
עוד הוא מתלבט בשאלות אלה ובדרום פרצה אחת המהפכות האדירות בתולדות תרבות המערב. כומר גרמני כבן שלושים מאוניברסיטת ויטנברג, מרטין לותר, החל לערער על סמכות הכנסייה הקתולית ודרש זכות לכל אדם לעבוד את אלוהים בלי תיווך. זו הייתה ראשית הפרוטסטנטיות. ויטנברג, כזכור, הייתה האוניברסיטה ממנה הגיע אורחו הצעיר של קופרניקוס!
שנתיים ישב רֶטיקוּס בבית מורו ובמהלכן פרסם ”דו"ח ראשוני“ על המודל החדש. עם הזמן הצליח לשכנעו כי המו"ל של שלושת הספרים המהודרים שהביא לו הוא הראוי לפרסם את ספרו הגדול. עם כתב-היד היקר יצא לגרמניה, וב 1543 יצא לאורDe revolutionibus orbium coelestium (”על הקפות גלגלי השמים“). שלא כספרים מפורסמים אחרים בתולדות המדע, זהו ספר מסורבל ומשעמם,‏13 אבל המומחים שהבינוהו השתכנעו בדיוק הרב של חישובי המרחקים של כוכבי-הלכת על פיו.‏24
אבל לתמונה הזאת היה מחיר מושגי, שילך ויכבד עם השנים. אם הארץ אינה מרכז היקום, אם היקום אינו מערך של כדורי בדולח, זה בתוך זה, שבהם משובצים מיליוני גרמי-שמיים שכולם נבראו למען בני-האדם שעל הארץ במרכז, איזה מין יקום זה באמת? קופרניקוס היה מוכרח להצביע על תחילת התשובה כשהתמודד עם טיעון חזק של אריסטו נגד ההליוצנטריות: אריסטו טען נגד אריסטרכוס (ר' ‏2.1) כי אילו הייתה הארץ נעה, היינו רואים פַּרַלַקסָה (תזוזה יחסית) של כוכבי-השבת, ומכיוון שאיננו רואים פרלקסה כזאת, הארץ עומדת. מול טיעון הגיוני זה נאלץ קופרניקוס לשער כי הכוכבים רחוקים מאתנו הרבה יותר מששיערו האסטרונומים לפניו ולכן הפרלקסה אינה מורגשת. במילים אחרות: היקום הוא ענק לאין-שיעור ממה שהאמינו עד אז.
רֶטיקוּס לא יכול היה להיות נוכח בהדפסת ה”הקפות“ ולכן ביקש מהכומר אנדריאס אוֹסיאַנדֶר לפקח עליה. כשקיבל את הספר חשכו עיניו: לספר התווסף פתח-דבר שכאילו נכתב בידי קופרניקוס, ובו הצהרה שהמודל אינו טוען שכך באמת בנויה מערכת השמש אלא רק מציע שיטה מתמטית נוחה יותר לחישובים אסטרונומיים. קפלר, כעבור דור (ר' פרק ‏5), למד ממורו מֶסטלין על התרמית וחשף אותה ברבים. מה רצה הלותרני להשיג? נזכיר כי בימי הביניים הייתה האוניברסיטה מקום בו ניתן היה, עד גבול מסוים, להשמיע דעות כפירה. אם הלך סטודנט להלשין לאינקוויזיציה על הרצאה ששמע והמרצה זומן לחקירה, היה החשוד נוקט בתרגיל סכולסטי בדוק: ”אמרתי את זה disputanti more, non asserendi more (על דרך הדיון, לא על דרך ההכרעה).“[] בדרך-כלל זה היה עובד, אבל עכשיו, אחרי ויטנברג, היו כל המלומדים חשודים. גרוע מזה: הפרוטסטנטים הקימו אינקוויזיציה משלהם, וגם הם שנאו את קופרניקוס. לותר כבר נשמע אומר ”הטיפש הזה רוצה להפוך על פיו את כל מדע האסטרונומיה.“ קַלוֵן, המפלצת מג'נבה, השמיע דיבורים מאיימים עוד יותר. ייתכן, אם כן, שאוֹסיאַנדֶר התכוון לטובת הספר, אבל זה לא עזר. הכנסייה כללה את ה”הקפות“ ברשימת הספרים האסורים, שם נשאר עד 1966.
הדים בארץ ובשמים
כיובל שנים חלפו ממות קופרניקוס והאנושות בחרה לציין את תחילת המאה ה-17 באופן מכוער. ג'ורדנו ברונו (1548-1600), נזיר בנדיקטיני שנדד באירופה ופרסם ספרים חתרניים בנושאים שונים, תמך גם בתורה ההליוצנטרית, אבל הרחיק-לכת יותר מקופרניקוס: אם כוכבי-השבת הם כל כך רחוקים עד שהפרלקסה שלהם בלתי-מורגשת, ובכל זאת אנחנו רואים אותם, זה אומר שהם הרבה יותר גדולים ממה שחשבנו, כלומר, שכל כוכב כזה הוא שמש, ואפילו שמש גדולה בהרבה מזו שלנו, ולכל שמש כזאת יש בוודאי כוכבי-לכת משלה, מיושבים ביצורים חיים וחושבים! מה מקומו של ישוע בן האלוהים ביקום אינסופי כזה שאין בו שום חלק חשוב יותר מהאחרים? האם אביו שולח אותו למות מחדש בכל עולם? שאלה קצת יותר דחופה הייתה: מה מקומם של הכנסייה והאפיפיור ביקום הזה? פקידי האינקוויזיציה לא הסתפקו בשאלות קוסמולוגיות והוציאו צווי-מעצר והסגרה. זמן לא רב אחרי שחזר ברונו לאיטליה מולדתו נעצר. הכנסייה, חייבים לומר, חזרה ונתנה לו הזדמנויות לחזור בו מדעותיו, ולו רק באמירה. אבל ברונו, כסוקרטס לפניו, לא היה מוכן להקל על איש. ”אתם חוששים מגזר-הדין שלי יותר ממני,“ לגלג על שופטיו. ב 1600 הועלה על המוקד על-פי מיטב מסורת החמלה הנוצרית: עירום, קשור במהופך ופיו חסום.
כעבור ארבע שנים הופיעה בשמים סופרנובה, אירוע שבו מתמוטט כוכב ענק תחת משקלו שלו ויוצר התפוצצות אדירה. גם אם הכוכב עצמו הוא רחוק מכדי שניתן יהיה לראותו, התפוצצותו נראית היטב וכך נראה כאילו נוצר כוכב חדש (”נובה“). זו הייתה הסופרנובה השנייה באותו דור: לפניה התחוללה אחת ב 1572 – צירוף-מקרים בולט בהתחשב בעובדה שעד היום לא נראה בשביל-החלב עוד אירוע כזה. אבל באותה תקופה כבר קמו שלושה אסטרונומים משיעור-קומתו של קופרניקוס – בּרַהֶה, קֶפּלֶר וגלילאו – והם יכלו לקבוע לפי הפַּרַלַקסָה שה”כוכב“ החדש הפציע הרחק מחוץ למעגל הירח, כלומר, גם הרקיע ה”בלתי-משתנה“ נתון לשינויים! הנה, אפילו הטבע החל להתחצף אל אריסטו. הרנסאנס (דור התחייה) הגיע.
מה יותר יפה?
רק צפוי היה שתומס קוּן,‏46 בניתוחו למהפכות מדעיות, ישתמש במהפכה הקופרניקאית כדוגמה מרכזית. הוא טען שהמניע לה היה אסתטי בעיקרו. בשל הטענה הבעייתית יותר של קון (ר' ‏3.6), לפיה השקפות-עולם שונות אינן ניתנות להשוואה מבחינת ”אמיתותן,“ התקבל הרושם ש”יופי“ ו”אמת“ הם אידיאלים שונים. על כך משיב בכלר:
וכך התברר שבעוד שבאסטרונומיה הישנה היו רק 37 גלגלים, הרי קופרניקוס נאלץ להשתמש ב 57 (כמעט 50% יותר) גלגלים כדי להשיג את אותן תוצאות עצמן. איפה האסתטיקה, איפה הסימטריה, איפה ההרמוניה? ומדוע העדיפו וקיבלו אנשים כקפלר וגלילאו את התיאוריה החדשה? איפה הרציונאליות המדעית? ‏4(22)
גינגריץ' מתאר באריכות את השתרשותו של השיבוש:
האגדה [שהמודל הקופרניקאי פשוט יותר מהפטולמאי] הגיעה לשיאה כאשר הכריזה האנציקלופדיה בריטניקה ב 1969 כי בימי המלך אלפונסו, כל כוכב-לכת נזקק ל-40 עד ששים אפיציקלים! המאמר הסתיים במילים ”שיטת תלמי, אחרי שהתקיימה אלף שנים ויותר, התמוטטה לבסוף; מנגנון השעון הגיאומטרי שלה נעשה מסורבל במידה שלא תיאמן, בלא שהכניס שיפורים מניחים את הדעת בפעולתה.“ כשערערתי על הטענה הזאת, השיבו עורכי ה”בריטניקה“ תשובה צולעת לאמור שמחבר המאמר אינו עוד בחיים, ואין להם שמץ של מושג היכן מצא בשעתו את הראיות לאותם אפיציקלים על-גבי אפיציקלים.‏13(69)
ובכן, האם תורת קופרניקוס הייתה יפה יותר מקודמתה? על שלוש קביעות אין מחלוקת: א)הן פטולמאיוס והן קופרניקוס ניסו כל אחד להציג את המודל שלו כיפה בפשטותו, ב)שני ממשיכיו של קופרניקוס, קפלר‏24(128) וגלילאו,[] אמרו במפורש כי נפעמו מהיופי של תורתו אבל גם תיקנו ושיפרו אותה, ו-ג)אכן, המודל הקופרניקאי יוצא יפה יותר (לאמור, פשוט יותר וניתן לביטוי מדויק ע"י פחות נוסחאות) אחרי קפלר, עוד יותר אחרי גלילאו, עוד יותר אחרי ניוטון, והכי יפה אחרי איינשטיין. נראה, אם כן, שאפילו בתמונה החלקית והמקוטעת שהצטיירה לקופרניקוס החל לבצבץ היופי המעומעם שגרם לו להתעלם מנתונים שהפריעו לו ולשים את מבטחו בתיאוריה. הוא לא הראשון שעשה הימור כזה, וכפי שנראה בהמשך גם לא האחרון.
*
ב-1999 ביקר האפיפיור יוחנן פאולוס השני בארץ הולדתו פולין, שזכרה אותו יותר בשם קרול יוזף ווֹיטִיוָה. במהלך המסע סר אל עיר הולדתו של קופרניקוס, שם ביקש ממנו קבל-עם סליחה על יחס הכנסייה לתורתו. בקהל, נרגש בעליל, היה האסטרונום הפולני אלכסנדר וולשצ'ן (1946-), הראשון שגילה כוכב-לכת מחוץ למערכת השמש, כפי שניבא ברונו.
כמו לכל חברה, גם לקהילייה המדעית יש מיתוסים ואגדות שעל ברכיהן היא מחנכת את תלמידיה. על קופרניקוס מספרת האגדה הרנסאנסית איך בימיו האחרונים, כשהיה כבר מחוסר-הכרה, הובא הספר מבית הדפוס אל מיטתו והושם בין ידיו. האיש התעורר לרגע, זיהה את ספרו ועצם עיניו בחיוך.‏13 כמו ה”טוב למות בעד ארצנו“ של טרומפלדור, לא חשוב אם הסצנה הזו התרחשה במציאות. היא מבטאת יפה את התפקיד שמילא האיש במהפכה המדעית: הראשון להפיח חיים חדשים במדע שהתאבן מזה כ 1700 שנה.
זו הייתה רק התחלה. קופרניקוס הפיל עמוד מרכזי אבל עוד הרבה עמודים מיותרים נותרו על תלם. על שלושת ממשיכיו בדור הבא תוטל המשימה, מתוך סיכונים גדולים, להמשיך במלאכה. רק אז, בדור שאחריהם, יבוא רב-הבנאים שיקים תחת ההריסות שלושה עמודים בלבד ועליהם בניין חדש, כלול בהדרו, המסביר יחד את תנועות כל הדברים: כוכבים, שמשות וגלקסיות, כמו גם תפוחים, אטומים וחלקיקים.
השמים מספרים כבוד אל – וקפלר מחבר להם מנגינה
בְּרָן יַחַד כּוֹכְבֵי בֹקֶר
איוב ל"ח 7
כיוון שיופי יכול גם להטעות, הגיבור הבא שלנו אכן תעה בחיפושיו והגיע לכל מיני מקומות מפוקפקים, אבל חזר מהם עטור ניצחון. יוֹהַנֵס קֶפּלֶר (1571-1630) מתייחד בין אבות המדע בגילוי-הלב בו סיפר על עצמו, על משפחתו ועל חיי-הנפש שלו, וזו הזדמנות נדירה להיווכח כי לא רק אינטליגנציה אלא גם תכונות אופי כמו יושר, אומץ, עקשנות ואפילו שיגעון לדבר אחד הם חיוניים לגאונות המדעית.
בגיל עשרים ושש כתב קפלר יומן אסטרולוגי של המשפחה בה גדל. מה יש לומר, נבחרת מרשימה. האב הַיינריך ”איש מושחת, עקשן, שוחר-מריבה, שנדון מראש לסוף מר. נוגה ומאדים הגבירו את רשעותו... היה בצל עמוד-התלייה... התייחס רע מאוד אל אמי, ולבסוף גלה מביתו ונפטר.“ אמא קתרינה ”נמוכה, רזה, שחרחורת, הולכת רכיל, אשת מדנים, בעלת מזג רע,“ שגודלה בידי דודה שהועלתה על המוקד בעוון כישוף. סבא סֶבַּלד, ראש-העיירה, ”קצר-רוח ועיקש, והכרת פניו מגלה את עברו המפוקפק.“ והסבתא, אף היא קתרינה, ”פיקחית ושקרנית, אבל חסודה; צנומה ומהירת-חימה; ערנית, פגע-רע מועד.“ יש עוד תיאורים של דודים ודודות ואחים ואחיות, וקשה למצוא ביניהם אפילו נורמלי אחד. וכל אלה הם רק ליטופים בהשוואה לדיוקנו שלו:
איש זה [קפלר כותב על עצמו בגוף שלישי] דומה לכלב מכל הבחינות. בחיצוניותו הוא נראה כמו כלב שעשועים קטן. גופו גמיש, רזה וחזק, ובנוי בתואם. אפילו הרגלי האכילה שלו היו כלביים: הוא אהב לכרסם עצמות וקליפות יבשות של לחם, והיה כה רעבתן, שמיהר לחטוף כל מה שנקרה לפני עיניו. עם זאת הוא שותה בצמצום, אף זאת כמו כלב, ומסתפק במזון הרגיל ביותר. כזאת הייתה גם התנהגותו. הוא נזקק תמיד לגילויי רצון טוב מצד הזולת, היה תלוי באחרים, מילא את כל משאלותיהם, מעולם לא התמרמר כשגערו בו, והיה להוט לזכות שוב בחסדם... הוא מרושע, ונושך אנשים בעקיצותיו... אבל אדוניו מחבבים אותו. הוא נרתע כמו כלב מכל רחיצה. הוא פחז כמים, וזאת בוודאי בגלל מבטו המרובע של מאדים אל כוכב, ומבטו המשולש אל הלבנה... בהיותו בן עשר... לאחר כל חטא, היה עורך טקס כפרה, בתקווה להינצל מעונש; הטקס היה הכרזה על משוגותיו לפני עם ועדה... ‏48(27)
בריאותו, עוד לפני שמלאו לו עשרים, יכלה לספק עבודה לסניף שלם של קופת-חולים:
כמעט נספיתי באבעבועות... סבלתי כל הזמן מנגעי עור, לעתים קרובות מפצעים קשים, לעתים קרובות מגָרָב [אקזמה] מחמת מורסות כרוניות ברגלי שלא נרפאו כראוי... באמת ידי הימנית הייתה רימה ובשמאלית מורסה ענקית... תקפה אותי קדחת... סבל איום מכאב-ראש וכבדות בגפיים...‏49(21-22)
וכשאנחנו קוראים על אשתו ברברה, שנפטרה והשאירה אותו עם שני ילדים קטנים, מתקבל הרושם שאת הפגוע הסדרתי הזה יכלו החיים להפתיע רק לטובה: פניה הביעו
סכלות, זעף, שיממון ועגמה… היה לה אופי רגזן… מעולם לא כיניתיה טיפשה, אם כי ייתכן שהבינה שאני חושבה לטיפשה, כי הייתה רגישה מאוד... בראותי שדבריי הֵמֵרו לה היה טוב לי לנשוך את אצבעי מאשר להוסיף ולפגוע בה.‏48(71-2)
אשתו השנייה סוזנה, שהייתה צעירה ממנו בעשרים שנה, הייתה, בטעות, אישה טובה. המכתב בו הוא מספר איך בחר בה בדרך ”מדעית“ מתוך אחת-עשרה מועמדות הוא משהו שצריך לקרוא כדי להאמין, אבל אני לא מתכוון לספר לכם אותו, ראשית כי יש לנו דברים יותר חשובים לעסוק בהם, ושנית כדי שתקראו בעצמכם את אחת מפניני הקלאסיקה בתחום ההיסטוריה של המדע: הביוגרפיה שכתב קסטלר,‏48 שאפילו תרגומה העברי הוא נפלא בפני עצמו.
זה לא יכול להיות מקרה
כסטודנט באוניברסיטת טוּבִּינגֶן נקשרה נפשו של קפלר באחד המרצים, איש צנוע בשם מיכאל מֶסטלִין, שהניא אותו מלהיעשות כומר והכניסו בסוד תורת קופרניקוס. בן עשרים ושלוש התמנה הוא עצמו למרצה למתמטיקה ולאסטרולוג החצר של הארכידוכס פרדיננד. כעבור שנה, כשצייר לתלמידיו תרגיל על הלוח, נצנצה בו מחשבה. מזה זמן רב היה תוהה למה יש דווקא שישה כוכבי-לכת ולמה הם מסתובבים סביב השמש במרחקים ובמהירויות הנראים מקריים לגמרי. עכשיו, בתרגיל שצייר על הלוח היה משולש שווה-צלעות החוסם מעגל ונחסם על-ידי מעגל נוסף. היחס בין הרדיוסים של זוג מעגלים כזה, בלי קשר לגודליהם, הוא תמיד 1:2. ואז הבחין קפלר שזה (בערך) גם היחס שבין המעגלים בהם נעים שבתאי וצדק סביב השמש (היחס הידוע כיום: 1:1.83). מקרה? לא אצל קפלר. כיוון שהמשולש הוא הצורה המושלמת הראשונה בפשטותה, ושבתאי וצדק הם הראשונים למערכת השמש (אם מתחילים לספור מבחוץ), אז אולי, אם נשים ברווח בין שתי המסילות הבאות את הצורה המושלמת הבאה, כלומר הריבוע, ואחריה את המחומש, המשושה, וכו', תתברר הסיבה למה היחסים בין מסילות כוכבי הלכת הם דווקא כאלה ולא אחרים?
רעיון נחמד, רק חבל שהוא לא עבד. אז שאל קפלר: למה לעסוק בגופים דו-ממדיים? מצולעים מושלמים יש אינסוף, אבל בעולם התלת-ממדי, כזכור, הוכיח אפלטון (ר' ‏3.8) שיש רק חמישה גופים מושלמים.
וכוכבי-לכת יש שישה!
קפלר ניסה שוב: הוא החל בשבתאי, כלומר דמיין את מסילתו המעגלית בצורת כדור, שבתוכו הניח צורה מושלמת אחת, הקוביה, באופן שכל פינותיה נגעו בכדור. בתוך הקובייה הזאת היה חסום כדור שייצג את מסילת צדק. כדור זה חסם את הצורה המושלמת הבאה, הטֶטרַהֶדרוֹן, הוא הפירמידה (טוב זה לא בדיוק לפי הסדר ההגיוני אבל אל תהיו כאלה קטנוניים). הכדור הבא ייצג את מסילת מאדים, שחסם דוֹדֶקַהֶדרוֹן, שהכדור החסום בתוכו היה מסילת כדור הארץ. עכשיו בא תור האִיקוֹסַהֶדרוֹן, שהכדור שבתוכו היה מסלול נוגה, ואז נשאר האוֹקטַהֶדרוֹן שנחסם בתוך הכדור הזה, והכדור שבתוכו היה שייך לכוכב-חמה.
עכשיו הִשוָוה את המודל לנתונים. לחיצה קטנה פה ושם, וכוכבי-הלכת השתבצו עם סטיות קלות של עד 10% – בוודאי טעויות של האסטרונומים הפרימיטיביים האלה (במודל תוכלו לראות שדפנות הכדורים עבות כדי ליישב את המודל עם הסטיות). קפלר התחיל להתרגש: בוא'נה, גיליתי את סוד היקום! כיעור + כיעור = יופי
אני יודע מה אתם חושבים עכשיו: את מי מעניינות השטויות הנומרולוגיות-ימיביניימיות של האפלטוניסט המטורלל הזה, שעוד חשב שקיימים רק שישה כוכבי-לכת! בבקשה, חכו ותראו איך מכל אלה צומח מדע לתפארת. ”רק לעתים נדירות בתולדות המדע,“ אומר האסטרונום והיסטוריון המדע גינגֶריץ', ”נודעה לספר כה מוטעה השפעה כה ניכרת על הכוונת התקדמות המדע בעתיד.“‎55
קפלר פרסם את עבודתו ב 1596 בספר Mysterium Cosmographicum (תעלומת תורת היקום) שהקנה לו שם בכל אירופה. אבל הוא רצה הרבה יותר מזה: שהמודל הגאוני שלו יתבסס לא על נתוני ה”בערך“ של האסטרונומים באותם ימים אלא על נתונים מדויקים שלא ישאירו מקום לספק שהוא אכן גילה את סוד היקום. רק לאיש אחד היה באותם ימים מה שקפלר היה צריך: טִיקוּ (טִיגֶה אוֹטֶזֶן) בּרַהֶה (1546-1601), אציל דֶני שנעשה ראש האסטרונומים של ימיו בזכות תצפיותיו המדויקות והמכשירים שבנה. אבל בּרַהֶה לא גילה לאיש את ממצאיו כי רצה לפרסם אותם רק במסגרת התיאוריה שלו, שהייתה פשרה בין פטולמאיוס וקופרניקוס: הארץ במרכז, השמש חגה סביבה וכוכבי-הלכת חגים סביב השמש. ”כל מכשיר שלו,“ התמרמר קפלר, ”עלה יותר מכל ההון שלי ושל משפחתי גם יחד... אין הוא יודע להשתמש בעושרו כראוי, על כן צריך לנסות לחלץ מידיו את אוצרותיו.“‏48(78) ישב קפלר וכתב מכתב חנפני ל”נסיך המתמטיקאים בני דורנו ובני כל הדורות,“ הציע את עצמו כעוזר (בלי להזכיר, משום מה, את משימת ”חילוץ“ האוצרות) – והתקבל.
לברהה, אז בן חמישים וארבע, היה אף מכסף, כי את האורגינל איבד בדו-קרב עם חוצפן אלמוני שהעז לטעון שהוא מתמטיקאי גדול ממנו. אם קפלר בא ממשפחת מופרעים, ברהה גדל בתוך שתי משפחות מופרעים אציליים: משפחת אביו ומשפחת הדוד הערירי שחטף אותו, ואהבת-המדון של בני משפחתו דבקה גם בו. הוא היה אסטרונום מסור שהקדיש את מיטב לילותיו למיפוי הכוכבים, אבל גם ניהל אורח-חיים של פיאודל מרושע בארמון עם בית-סוהר (אליו זרק הרבה אריסים שלא שילמו בזמן) ותזמורת משלו.
ביחסים בין השניים האלה לא היה רגע דל. קפלר בן העשרים ותשע היה משוכנע שהוא גדול המדענים בכל הדורות, אבל לצד אמונה זו, כפי שכבר נוכחתם, היה לו דימוי עצמי גרוע – פרדוקס שמספק עד היום פרנסה להרבה פסיכולוגים. הוא אהב לכנות את עצמו ”עלוב,“ ”פושע“ ושאר ביטויים החביבים על מזוכיסטים, והיחסים עם דמות אב כמו ברהה נתנו לו די והותר הזדמנויות להזמין מכות. שוב ושוב היה מבקש יפה: טיקו, טיקו, בבקשה!, תביא כמה נתוני מדידות! הוא היה צריך את הנתונים האלה להוכחת התיאוריה שלו. ברהה, כמובן, הקפיד שלא לתת לו אותם – הרי הוא שכר את קפלר כדי שיעזור לו לבסס את התיאוריה שלו (שכחתי לציין שברהה, במקרה, האמין שהוא גדול המדענים: את חדר עבודתו פיאר ציור של שמונת גאוני האסטרונומיה, כשהשביעי הוא טיקו והשמיני ”טיקונידס,“ צאצאו המיוחל). לכן היה זורק לו מדי פעם מספר בודד אבל נזהר שלא לחשוף את התמונה המלאה. פעם, בארוחת הערב, שאל את קפלר כמה זמן יידרש לו, אם יקבל את כל הנתונים, לחשב את מסילת מאדים. ”שמונה ימים!“ אמר מיד קפלר בלי לדעת לאיזה מלכודת הוא נכנס. ברהה, שכבר שבר את הראש בניסיונות למצוא את מסלול כוכב-הלכת הבעייתי הזה, נתן לו בחיוך נבזי את הנתונים. כמעט שמונה שנים אחר כך, כשאחריו תשע-מאות עמודי פוליו צפופים של חישובים, עוד נאבק קפלר עם המשימה. חלפו, אם כן, שמונה ימים בלי שקפלר יביא את התוצאה ולברהה היה תירוץ מצוין לא לתת לו נתונים נוספים. ברהה גם לא היה זריז בתשלומי המשכורת, ולקפלר הייתה בעיה לגמור את החודש עם האישה והילדים שהיו אתו. תוסיפו על כל אלה שברהה החזיק בפמלייתו גם גמד מעוות-צורה בתפקיד הליצן, ושהברנש הזה נהנה במיוחד לעשות את תעלוליו לקפלר העגמומי, ותבינו למה היו הדברים מגיעים מידי פעם לפיצוץ. קפלר היה זורק את המפתחות על השולחן ועוזב בצעקות, אבל אחר כך היה מבין שנשאר בלי עבודה (ובלי הנתונים!) וחוזר להתפלש בעפר ולבקש סליחה מהבוס, שהיה מחייך בסלחנות ואומר: בוודאי בני, אתה יודע שאני אוהב אותך אפילו שאתה עושה לי רק בושות, אז בוא נחזור לעבודה. וכך עד המריבה הבאה.
שנה וחצי נמשך הקשר בין שני האגו-מניאקים עד שיום אחד הוזמן ברהה לארוחת-ערב אצל חברים. היין זרם שם כמים, הוא היה כבר לא צעיר ואחרי כמה כוסות היה צריך ללכת למקום חשוב, אבל שום אציל אינו קם באמצע מסיבה. הוא התאפק והתאפק עד שהגיע הביתה עם חום גבוה וכאבים לא חשוב איפה. כיוון שאהב אוכל טוב לא שמע בקול הרופא וזלל מה שבא לו. זו הייתה תחילת המאה ה-17, בבית-המרקחת לא ידעו מה זה אנטיביוטיקה ואנשים נהגו למות אפילו מהצטננויות. וכך, אחד-עשר יום שכב מר טיקו במיטתו, גנח ונאנח, יילל וקילל, בכה ומחה, הזה כל מיני הזיות ומלמל כל מיני שטויות עד שמת.
וקפלר - האיש הכל-כך דתי הזה, המצפוני והנחמד - שעט כסופת הוריקן ברחבי ארמונו של הבר-מינן, פתח ארונות, הפך מגירות, גנב, בזז וחמס בלי בושה כל פיסת נייר שרק יכול היה לשים את ידו עליה, ועם השלל הזה הרים רגליו וברח. משקמו היורשים מאבלם והבחינו בגזלה, הרימו קול זוועות ודרשו לקבלה חזרה, אחרת אוי לקפלר. בשמחה רבה, אמר קפלר בנימוס, רק תשלמו לי קודם מה שאבא שלכם היה חייב לי. עד שהגיעו להסדר, הספיק להעתיק כל אות מהניירות. סוף-סוף! בידיו היו נתונים מספריים מדויקים, שאותם ישבץ בתיאוריה שלו, ואז ייווכחו כולם בגאוניותה.
הייתה רק בעיה אחת, קטנטנה: המספרים לא התאימו.
במודל, כזכור, היו מסלוליים מעגליים שחסמו את הקוביות, הטטרהדרונים ושאר המה-שמודרונים. והנה, הנקודות הבודדות שציינו את מיקומם המדויק של כוכבי-הלכת, כפי שמדד בקפדנות כזאת ברהה ז"ל, היו – מה לעשות – ממש מחוץ למעגלים אלה. במיוחד בלטה נקודת ציון אחת של מאדים, שסטתה בשמונה דקות-קשת מהזווית שהועיד לה קפלר (רק שיהיה לכם מושג במה מדובר: המעגל מתחלק ל-360 מעלות, כל מעלה מתחלקת ל-60 דקות וכל דקה מתחלקת ל-60 שניות). מי לא היה פוטר סטייה קטנה כזאת כשגיאה במדידות וחוזר לדרך הישנה והבדוקה של לחיצה פה ולחיצה שם? אפילו גלילאו וניוטון, בפרקים הבאים, יעשו בדיוק כך. אבל קפלר, שמעולם לא החמיץ הזדמנות להצליף בעצמו, שלא כעס כשגנבו לו רעיון ולא הרגיש אשם כששדד את אוצרות הידע של ברהה, קפלר שלנו, שאהב את האמת יותר מאשר את עצמו, אמר כך:
ואולם לנו נתנה ההשגחה העליונה בחסדה צופה דייקן כטיכו ברהה, ומן הדין אפוא שנכיר בערכה של מתנת שמים זו ונשתמש בה... מכאן ואילך אסלול את הדרך לקראת אותה מטרה לפי רעיונותיי שלי. שהרי אילו האמנתי שמותר לנו להתעלם משמונה הדקות, הייתי מיישב בדוחק את ההיפותזה שלי. אולם מאחר שלא יכולתי להרשות לעצמי להתעלם מהן, הרי שמונה הדקות האלה פותחות פתח למהפכה שלמה באסטרונומיה. ‏48(135)
בקיצור, הוא זרק לפח את המודל שבזכותו העריצה אותו אירופה כולה ויצא לדרך חדשה.
תחילה ניסה תיקון שעצם המחשבה עליו גרמה לו מיאוס: אולי מהירות כוכבי הלכת אינה קבועה אלא עולה ויורדת? זה לא עבד. כעבור כמה שנים ניסה רעיון אחר, דוחה עוד יותר: אולי, חס ושלום, המסלולים אינם עגולים אלא אליפטיים? גם זה לא עבד. כמי שאין לו מה להפסיד, החליט קפלר לנסות את שתי האפשרויות המבחילות יחד: מסלול אליפטי, שבו נע כוכב-הלכת מהר יותר כשהוא קרוב לשמש ולאט יותר כשהוא רחוק ממנה.
הכול השתבץ בדיוק, אבל בדיוק, במודל החדש.
גם אליפסה, בכה קפלר, וגם מהירות לא קבועה! גועל-נפש! איך יכול האל הטוב ליצור במרומיו המושלמים תופעות כל כך לא הרמוניות?
לא נעים. הבטחנו בתחילת הספר שנקיים דיאלוג ביקורתי עם הקריטריון האסתטי במדע, ובמקרה הזה צריך להודות שהמורשת האפלטונית הזיקה במקום להועיל. אפלטון האמין שרק צורה מושלמת כמו מעגל יכולה להוות את מסלולי הכוכבים. אריסטו, שהתנגד למורו בהרבה עניינים, דווקא עיגל פינות בעניין זה והוסיף שיש שתי פיסיקות, ארצית ושמימית. הפיסיקה הארצית יוצרת דברים מצ'וקמקים כמו קווים עקומים, מעגלים פחוסים ותנועות לא קצובות הנובעות מחיכוך, אבק, חלודה וכדומה. הפיסיקה השמימית, לעומת זאת, מכילה רק דברים מושלמים כמו מעגלים. לפטולמאיוס, אם כן, לא נותרה ברירה: מתוך ציות לשני מוריו הגדולים עשה שמיניות באוויר (מן הסתם במעגלים מדויקים) כדי להשאיר את הכוכבים במעגלים ומעגלי-משנה. אפילו קופרניקוס, שערער על פטולמאיוס אבל העריץ אותו (הוא הלך בעקבותיו אפילו בקביעת סדר הפרקים בספרו‏24), לא שלח ידו במעגלים.
אבל אחרי שהתאושש קפלר החל לשים לב שבמבנה החדש שלו, הפחות יפה לכאורה, היו כמה דברים יפהפיים. לא היה זה היופי הפשטני של מסלולים מעגליים אלא היופי התמציתי של שלושת ”חוקי קפלר,“ יסוד האסטרונומיה המודרנית. שני החוקים הראשונים פורסמו בספרו Astronomia Nova (אסטרונומיה חדשה) ב 1609. החוק הראשון הוא:
א. כל כוכב-לכת סובב את השמש במסלול בצורת אליפסה שהשמש נמצאת באחד ממוקדיה.
אליפסה היא מעגל מוארך שיש לו שני מוקדים, כלומר מכל נקודה על גבי האליפסה אפשר למתוח שני רדיוסים במקום האחד שיש למעגל. סכום האורכים של שני הרדיוסים נשאר קבוע: כשהאחד קצר השני ארוך ולהפך.
במקום כל האפיציקלים ושאר התיקונים של פטולמאיוס וקופרניקוס, עכשיו ניתן להסביר את כל התנועות המסובכות של כוכבי-הלכת בשמים על סמך מסלול אחד לכל כוכב, והפעם השמש נמצאת תמיד באחד ממוקדי האליפסה, שלא כמו במודל הקודם בו עמדה, סתם ככה, מחוץ למרכז המעגל. אִמרו בעצמכם מה יותר יפה: מעגל מושלם שעליו רוכבים עוד ועוד מעגלים מושלמים בגדלים שונים, שלעולם איננו יודעים אם לא נצטרך להוסיף עליהם עוד אחד בכל פעם שיגלו האסטרונומים עוד סטייה – או אליפסה אחת ודי?
החוק השני היה יפה אפילו יותר:
ב. הקו המחבר בין כוכב-הלכת לבין השמש מכסה שטחים שווים בזמנים שווים.
כוכב-הלכת נע מהר כשהוא קרוב לשמש ולאט כשהוא רחוק ממנה. בכל פרק-זמן שנבחר, הקו המחבר בין השמש לבין כוכב-הלכת בתנועתו יכסה ”פלח“ מהאליפסה. כל ה”פלחים“ שנגזרו באותם פרקי זמן הם בעלי אותו שטח.
אימא יש רק אחת
ובעוד האיש מפענח את חוקי השמים, נפרע כל חוק על הארץ. היו אלה ימי הרפורמציה, קתולים ופרוטסטנטים שחטו אלה את אלה במרץ רב, והתברר שאחותה הצעירה של כנסיית רומא הייתה לא פחות מטופשת ורצחנית ממנה (גם ביחסה ליהודים). מחוזות גרמניה עברו הלוך ושוב משליטת אמונה אחת לאחרת. רודולף השני, קיסר ”האימפריה הרומאית הקדושה“ (שלא הייתה רומאית וממש לא קדושה), היה משוגע עם תעודות שהסתגר בארמונו ועסק במיסטיקה ומאגיה בעוד אחיו מתיאס מוציא משליטתו את הונגריה, אוסטריה, מוראביה ובוהמיה, עד שהשאירו למעשה כלוא בפראג. בארמון הסתובבו אנשי-מדע לצד ידעונים ומיסטיקאים, וגם המהר"ל הוזמן פעם לשיחה. קפלר, אחרי מות ברהה, ירש את משרת ”המתמטיקאי הארצי,“ כלומר אסטרולוג החצר של רודולף. קל לשער איזה רווח היה יכול לעשות מעמדת-הכוח הזאת, והנה, עצתו התקיפה ביותר ליועצי הקיסר הדיכאוני הייתה: להרחיק אותו מאסטרולוגים!
ואז נפלה עליו צרה חדשה. זוכרים את אמא קתרינה? עכשיו היא זקנה מרת-נפש החיה לבדה בליאונברג, מוזרה ועקשנית כמו בנה המפורסם, שנואה על כל שכניה – בקיצור, מה שאנו מכנים כיום ”מכשפה.“ הצרה הייתה שבאותם ימים די היה במילה זו שהטיחו בה השכנים כדי להביאה בפני האינקוויזיציה, שכבר העלתה על המוקד את דודתה. ואם להביא בחשבון את ההרגל שהיה לה להתמסטל עם כל מיני עשבים, מצבה היה בהחלט גרוע. זו הייתה תקופה בה תבע דיבוק המכשפות את חייהן של מיליוני נשים ברחבי אירופה. כיוון שבנה האחר ובתה כבר החלו להתנער ממנה, שלח קפלר מכתב דחוף לבית המשפט והודיע כי יש לאמו זכות לייצוג משפטי, והוא, הוד מעלת המתמטיקאי הארצי, יבוא לייצג אותה (סייגן‏32 מביא תיאור מצמרר של ההליכים האינקוויזיטוריים שהיו נהוגים בגרמניה באותם ימים, ומהם ברור כי לקפלרית לא היה סיכוי לצאת מהסיפור בחיים לולא התערב בנה). במשך שש שנים נאלץ לשוב ולהשתתף בישיבות בית-הדין ולחקור את העדים לפרטי האשמותיהם. בעיניי עולה עתה דמותו של חוקר ההרמוניות הזה כשהוא נאלץ לנבור בעמקי האיוולת של דורו: סליחה גברת, את אומרת שחטפת פתאום כאבי-גב כשעברת ליד הבית של אימא שלי. לא היו לך כאבי גב קודם לכן? ואתה, שכן נכבד, האם ילדך שמת אחרי שאמי קיללה אותך הוא הילד הראשון שנפטר בביתכם? כך שיגע המלומד האובססיבי את העדים ואת בית-הדין ישיבה אחר ישיבה, עד שלכולם נמאס מהעניין והם שיחררו את הזקנה, שנפטרה כעבור חצי שנה כאישה חופשייה.
גיבוש
בשנים בהן נלחם קפלר על חיי אמו כתב את ספרו Harmonice Mundi (הרמוניית העולם) שהופיע ב 1619. רק כשסיים אותו גילה את החוק השלישי, שאותו מיהר להוסיף לספר שכבר ירד לדפוס. הנה הוא בניסוחו המודרני:
ג. זמן ההקפה של כוכב-הלכת סביב השמש המוכפל בעצמו עומד ביחס ישר למרחקו הממוצע מהשמש המוכפל בעצמו פעמיים.
הוא היה עכשיו בעננים: אלפי דפים צפופים של חישובים, רובם בשיטת הניסוי והתעייה, הולידו חוקים שהתאימו לכל נתון משפע הנתונים שהיו בימיו, וכן, כפי שאנו יודעים כיום, לנתונים שהתגלו אחריו.
האם אתם רואים את הקשר המבצבץ בין החוק השלישי והשני? כוכב-לכת שמסלולו קרוב לשמש מקיף אותה מהר יותר מאשר כוכב-לכת שמסלולו רחוק יותר, אבל גם כשמדובר באותו כוכב-לכת הנע באליפסה, הוא נע מהר כשהוא קרוב לשמש ולאט כשהוא רחוק ממנה! קפלר, למרות שמֶסטלין הזקן נזף בו שלא לערב פיסיקה עם אסטרונומיה, נותן לנו פה פיסיקה במיטבה: תחילה הוא משער שכוכבי-הלכת החיצוניים נעים לאט יותר כי מניעות אותם נשמות חלשות יותר, אחר-כך עולה בדעתו שאולי יש רק נשמה אחת, של השמש, שהשפעתה נחלשת עם המרחק, ולבסוף הוא מחליף את המילה ”נשמה“ עם ”כוח.“ וכשהוא שומע שהאנגלי ויליאם גילברט הוכיח שכדור הארץ הוא מגנט ענק הוא עושה צעד קדימה ומשער שתופעה דומה מושכת את כוכבי-הלכת אל השמש. הוא גם מנחש שהגאות והשפל נובעים מהשפעת הירח, ולכן שאבן מהארץ שתיעזב בקרבת הירח תיפול לא חזרה ארצה אלא על הירח! בקיצור: הוא היה ממש קרוב לגילוי הכבידה.
(חידה קטנה: קפלר גילה חוק בתחום האופטיקה, ”חוק היפוך ריבוע המרחק,“ האומר ”עוצמת האור יורדת ביחס ישר לריבוע המרחק ממקור האור.“ האם אתם יכולים לראות קשר בין חוק זה לבין החוק השלישי של קפלר? הַלִי וניוטון יגלו לכם אותו בפרק ‏8, אבל אתם מוזמנים להציץ במשוואות המתארות חוקים אלה בנספח ולנסות לגלותו בעצמכם.)
ספרי הלימוד בימינו מגישים את חוקי קפלר כאילו הוא עצמו הציגם כשלישייה מסודרת. ”דומה,“ מלגלג כהן,‏24 ”כי המאמץ שנדרש כדי להפריד את שלושת חוקיו של קפלר משאר עבודותיו לא היה קטן מהמאמץ הדרוש לגילויים מחדש.“ החוקים מופיעים במקומות שונים בתוך בליל פיתגוראי טיפוסי: כוכבי-הלכת נעים באליפסות, אבל המרווחים ביניהם מקבילים למרווחי הטונים המוסיקליים שכיכבו בספרו הראשון. הם משמיעים יחד נגינה שמימית לבורא, מה שמסביר מדוע בני האדם כל כך אוהבים מוסיקה (בחלק הזה של ”הרמוניית העולמות“ יש הרבה הפניות לספר מוסיקה חתרני של איטלקי אחד, וינצ'נצו גלילֵאִי, שנפגוש בקרוב). הגופים המושלמים, שלכאורה ננטשו אחרי נטישת המעגלים, שוב חוזרים לככב בתמונה, יחד עם המצולעים הדו-ממדיים והשילוש של האב, הבן ורוח הקודש, בלולים בנומרולוגיה מסובכת. כוכב-לכת אחד, בעוברו בין האַפּהֶליוֹן (המרחק הגדול מהשמש) והפֶּרִיהֶליוֹן (המרחק הקטן), משמיע את הדיסוננטה הצורמת ”מִי-פַה-מִי,“ המציינים ”מִיזֵרִיָה (אומללות)“ ו”פַאמֶס (רעב),“ ”ומעצם ההברות האלה תוכלו להבין כי בביתנו זה מושלים האומללות והכפן.“ את הדברים הללו כתב אדם שכבר שכל שלושה מילדיו בקטנותם וראה את אשתו מתה מטורפת מצער, נודה ע"י הכנסייה הפרוטסטנטית בלינץ אליה נדד מחצר הקיסר מתיאס כדי שלא להמיר את דתו לקתוליות, וחזה בחורבן שהביאו על ארצו המלחמות בשם ישוע. על אף כל אלה הספר שופע שמחה, המתעלה לפעמים עד אקסטאזה.
בן חמישים ותשע מת קפלר ואחריו שורת חיבורים גאוניים. בספרון מ-1611 הניח את היסוד למדע הקריסטלוגרפיה כשגזר את תכונות גביש השלג מהצורות הנוצרות מכדורים מצופפים. כאן חזר ויישם את מחקריו המתמטיים בגופים האפלטוניים להבנת הגבישים, הפעם בהצלחה מלאה. ספר אחר שלו מאותה שנה, ”דִיוֹפּטְרִיקָה“ (מונח המהדהד עד היום ב”דיופטרים“ של האופטיקאים), עושה אותו לאחד ממייסדי תורת האור. נכון, רגליו של אבי האסטרונומיה המודרנית היו שקועות עמוק בימי הביניים, אבל אפילו השטויות של אנשים כמוהו הן מאלפות. מספר כוכבי הלכת – יסוד האובססיה שלו – הוא עובדה אקראית, וכמובן גם לא נכונה, ובוודאי שאינה משקפת חוק טבע או עיקרון עמוק, אבל קפלר לא יכול היה לדעת על עוד אינספור מערכות השמש שרק כיום ניתן להתחיל לספור את כוכבי-הלכת שלהן. ההערה שלו ”אתם הפיסיקאים, הטו אוזן, כי עוד מעט נפלוש לתחומכם“‏48(138) מבשרת את הפלת המחיצה בין פיסיקה ”שמימית“ ו”ארצית“ ובכך סוללת את הדרך בפני כל ילד המשחק בכדור להתוודע אל הכוחות המעצבים את היקום כולו. ”אל ההתפעלות מאדם נפלא זה,“ אומר איינשטיין, ”מצטרף עוד רגש של התפעלות ויראת כבוד, שאינו מכוון לשום אדם אלא להרמוניה אפופת-החידות של הטבע שלתוכה נולדנו.“‏4(159)
*
במבט לאחור, אנחנו חייבים תודה לקפלר לא רק על הפיסיקה שהוריש לנו אלא גם על ש”ציווה את גופתו למדע“ במובן הרוחני. באופן מוזר, השאפתנות מרקיעת-השחקים שהתמזגה עם מזוכיזם, היפוכונדריה ודימוי עצמי נמוך, בתוספת השקפת-העולם האסטרולוגית, דווקא עשו אותו למדען טוב בכך שסייעו לו להסתכל על אנשים, כולל עצמו, ביושר המזכיר את הריחוק הקליני של פסיכיאטר מודרני, ובכך להתגבר על כשלי החשיבה של עצמו. ”אליך אשוב, קפלר האציל,“ כתב נובאליס בסוף המאה ה-18, ”אשר בשגב לבך יצרת עולם שכולו רוח, ואילו בזמננו נחשב הדבר לחוכמה... להשפיל את הגבוה במקום להגביה את השפל.“‏37(20) המאה ה-20 הייתה עדה לעוד ניסיון כזה למזג מיסטיקה ומדע, בשיתוף-הפעולה בין קארל גוסטב יונג לבין הפציינט המפורסם שלו, וולפגנג פַּאוּלִי, ממייסדי תורת הקוונטים. בספרם ”סינכרוניות,“ המנסה לתת בסיס מדעי לטלפאתיה וראיית הנולד, מסתמך פַּאוּלִי בהרחבה על קפלר. התוצאה, לדעתי, אינה מרשימה. לעומת זאת, לאנשי-המדע הרציונאליים נותן קפלר הזדמנות להבין איך הגאונות יכולה דווקא לפרוח כשהיא ניזונה מחומרים אירציונאליים. לכך התכוון פּוֹפֶּר‏42 (‏3.5) כשאמר שגם השערות העולות מסיבות לגמרי לא-נכונות יכולות להניב תגליות מדעיות.
על ערש דווי ראו את קפלר מצביע על ראשו ועל הכוכבים. מה ניסה לומר לנו בכך? כמעט שלושים שנה קודם לכן שמע הוא עצמו את בּרַהֶה חוזר וממלמל על ערש דווי“Ne frustra vixisse videar” – ”אל יראוני כמי שחי את חייו לשווא.“ אין סכנה שמישהו יחשוב כך על קפלר. יותר מזה: הוא גם קיים את משאלת מורו במלואה.
גלילאו מודד זמן במנגינות
המוסיקה היא ההנאה שחשה נפש האדם מהספירה מבלי להיות מודעת לכך שהיא סופרת.
לייבניץ
שני שמותיו של גלילאו גלילֵאִי (1564-1642) נגזרו משמו של חבל-ארץ יפה כאן בישראל, אבל כולנו הורגלנו לקרוא לו בשמו הפרטי (כמו לשני טוסקָנים אחרים, לאונארדו ומיכלאנג'לו) כאילו הוא חבר שלנו. בן דורו של קפלר היה אבל שונה ממנו מאוד, איש כוחני וערמומי שתמיד עשה חשבונות תועלת. הוא היה מבוגר מעט מקפלר, אבל בעוד קפלר הצהיר על תמיכתו בקופרניקוס כבר מנעוריו נשאר גלילאו ”בארון“ עד 1613. קפלר, שנחשב אז לבכיר האסטרונומים, כתב לו הרבה מכתבי הערכה ועידוד וכמובן ביקש גם ממנו נתונים. גלילאו נפנף במכתבי התמיכה של קפלר לפני כל העולם אבל רק פעמיים טרח לענות לו, כשהיה צריך ממנו איזו טובה. הוא היה חופשי לגמרי מכל האמונות המיסטיות בהן היה שקוע עמיתו הגרמני, אבל דווקא הוא נשאר תקוע עם המעגלים של פטולמאיוס וקופרניקוס, לא הבין את תגלית האליפסה של קפלר, ואפילו התנגד בעקשנות לטענתו ה”מיסטית“ כי כבידת הירח אחראית למחזורי הגאות והשפל.
אבל הם השלימו זה את זה. שניהם היו חיילי המהפכה הקופרניקאית שחצו את הגבול המלאכותי בין מדעי הטבע השונים, קפלר מאסטרונומיה לפיסיקה וגלילאו בכיוון ההפוך, מכינים איש-איש בדרכו את הבמה לניוטון, שיאחד את עבודותיהם לתורה אחת. שניהם היו גם סופרים נפלאים שכתבו דיאלוגים שובי-לב בשפת עמם – קפלר בגרמנית-רחוב עסיסית וגלילאו באיטלקית מתרוננת – במקום הלטינית העבשה בה נהגו אז לכתוב ספרי מדע. איינשטיין, שהיה בעל הבחנה פסיכולוגית חודרת,‏7 עמד על ההבדל באופיים כשאמר שקפלר ”לא היה אחד מאלה המפיקים הנאה אינסטינקטיבית מהמלחמה עם אחרים, כפי שהיה בבירור, למשל, גלילֵאִי, אשר זדונו הנעלה מהנה את הקורא המבין אף כיום.“‏44(231)
ניסויים מחשבתיים
באיטליה, השריד לאימפריה שהחריבה את האימפריה היוונית, התנגן הרנסאנס מראש כל גג. ובעוד האמנים והמחזאים מגלים מחדש את פידיאס וסופוקלס, שבו גם המלומדים אל אוצרות המדע של מורשת יוון. אתם מוזמנים להציץ שוב בתמונת ”האסכולה האתונאית“ שהבאתי בפתח ספר זה, ובה גדולי המדע בתולדות האנושות. רובם מתו אלף וחמש-מאות שנה לפני שצוירה התמונה. כמה עצוב: שום אדם משיעור-קומתם לא קם מאז! אבל אילו היה רפאל מצייר אותה תמונה רק דור אחד או שנים מאוחר יותר, כבר היה צריך להוסיף לה שורה של ענקים חדשים. זה, בתמצית, נס הרנסאנס!
לשמחה הזאת הצטרפה גם משפחת גלילֵאִי. גלילאו היה בנו הבכור של וינצֶ'נצו, מוסיקאי מלומד מפירנצה שכתב ספר בשם ”דיאלוג על מוסיקה עתיקה ומוסיקה מודרנית“ (זכרו את השם הזה כשיישב הבן לכתוב את ספרו) ובו טען, בניגוד לפיתגורס (ראו ‏2.2), שגם מיתרים שהיחס ביניהם אינו הרמוני משמיעים מיזוג נעים. בכך קלקל תיאוריה יפה לטובת סתם עובדה וגם עשה צחוק מחכם עתיק, מה שיתברר כנטייה משפחתית אצל הגלילֵאִים. הוא שלח את בנו לאוניברסיטת פיזה ללמוד רפואה. אבל גלילאו, שחבריו קראו לו ”הווכחן,“ מצא בפיזה את ה”יסודות“ של אֵוּקלידֵס ומאז לא ראו אותו בחדרי האנטומיה. חוויה מכרעת אחרת הייתה לו פעם בזמן התפילה. לא, הוא לא שמע קול קורא לו מלמעלה אלא רק שם לב לנברשת הנרות הארוכה שהשתלשלה מתקרת הכנסייה ונעה ברוח כמטוטלת: התנועות הלכו ונחלשו, כלומר נעשו קטנות יותר, אבל כשמדד את משך התנודות, תוך שימוש בדופק שלו בתור שעון, גילה שמשך התנודות קבוע בלי קשר לאורכן. הגילוי הזה, של משהו קבוע ביסוד השינוי, פתח את נפשו של הצעיר להערכת פשטותם של חוקי הטבע.
אבל בינתיים שמע וינצ'נצו שהילד לא מתכוון להיות דוקטור ויצא מיד לפיזה לעשות לו סקנדל. כל מי שהיה עד לריב בין שני נהגים איטלקיים יכול לדמיין איזה סצנה של צעקות, אם לא גרוע מזה, הלכה שם בין שני האדונים חמי-המזג. אבל היה לגלילאו שׂכל לזמן לפגישה גם מתמטיקאי ידוע שהצליח להרגיע את האב ולשכנעו לתת לבנו ללמוד מה שהוא אוהב.
גלילאו סיים את לימודיו בלי לעבור בחינות ועל כן בלי תואר. תחילה עבד עם אביו בחקר הפיסיקה של הנגינה והתפרנס כמורה פרטי עד שחבריו המתמטיקאים סידרו לו ב 1585 משרה נמוכה באוניברסיטת פיזה. עד מהרה הסתכסך המרצה החדש עם הנהלת האוניברסיטה בשל היעדרויות וסירוב ללבוש את הגלימה הנדרשת. הוא גם כתב שיר בחרוזים אינפנטיליים בו הסביר שהגלימה מקשה על פרופסור לבקר בבית-הזונות וגורמת לו להתנחם ”בחטא שמציעות לו ידיו.“
מפיזה עבר ב 1592 לאוניברסיטת פדואה, שם כזכור פגשנו את קופרניקוס, וב 1610 קיבל מינוי כפול ממש חלומי: פרופסור באוניברסיטת פיזה והמתמטיקאי של דוכס טוסקנה. בהדרגה גבר בטחונו העצמי ומחקריו הוציאו לו שם למרחקים.
כבר כשהחל לחקור את רעיונותיו של אבי הפיסיקה היוונית, ארכימדס, ניתן היה לראות כי הוא נמצא על מסלול התנגשות עם המדע של ימיו: הוא עשה ניסויים. כיום איננו יכולים לדמיין מדע ללא ניסויים, אבל באותם ימים נחשב הדבר לחוצפה: מה פתאום לעשות ניסוי בנושא שאנשים חשובים כבר כתבו עליו ספרים? ”בשאלות מדעיות,“ ענה גלילאו, ”סמכותם של אלף איש אינה שווה למסקנתו הצנועה של היחיד.“ שוב עולה כאן קולו הבוטח של האב בספרו על המוסיקה: ”אלה המבקשים הוכחה לטענה כלשהי ומסתמכים רק על משקלה של סמכות, בלי שום נימוק שיתמוך בה, התנהגותם מגוחכת.“‏32(25)
לא רק את בני דורו מנער גלילאו מכבלי הדוֹגמה הדתית אלא גם אותנו, מהרגלי החשיבה ה”הגיוניים“ שלנו. הנה אומר אריסטו: כששני גופים נופלים ארצה, הכבד מגיע לפני הקל. טענה בהחלט הגיונית, והיה נחמד אילו הייתה גם נכונה. אולי אריסטו ראה נוצה נופלת לאט יותר ממטבע ונתן להתנגדות האוויר להטעות אותו, אבל מפליא איך דורות של מלומדים לא העלו בדעתם לבדוק את הטענה הזאת בניסוי פשוט ורק מחזרו אותה מדור לדור. גלילאו הפריך אותה לא רק בניסוי אלא גם ב”ניסויי חשיבה“ כמו אלה שהנהיג ארכימדס (פרק ‏2.8). הנה ניסוי החשיבה של גלילאו, ותאמרו בעצמכם אם הוא לא חמוד. שני כדורים, א' קל ו-ב' כבד, נופלים יחד מאותו גובה. על-פי אריסטו, ב' ייפול מהר יותר. עכשיו נחזור על הניסוי כששני הכדורים קשורים. מה תהיה מהירותם יחד? א' יעכב קצת את ב' ולכן תהיה מהירותם המשותפת נמוכה יותר. אבל אז, אם נמזג אותם לכדור אחד, ג', הרי על-פי אותו היגיון ייפול ג' לאט יותר מאשר ב'! אריסטו המסכן: גלילאו הביס אותו אפילו במגרש הביתי שלו, הלוגיקה האריסטוטלית!
התאוצה – השער לפיסיקה המודרנית
איזה מושג בולט בהזנחתו בפיסיקה של אריסטו, מהווה יסוד במהפכה הניוטונית, ממלא תפקיד מכריע באלקטרומגנטיות, מסרב באופן מרגיז להשתלב ביחסות הפרטית, נעשה לבסוף מאולף ביחסות הכללית, ומוליד ניבויים חדשים אפילו בתורת הקוונטים? התאוצה היא מושג פשוט, המציין כל שינוי מהירות, וגלילאו הוא הראשון שחקר אותה בשיטתיות. השיטות שאִלתר כדי למדוד זמן באמצעים הפרימיטיביים שהיו ברשותו הן מבריקות בפני עצמן, כמו שקילת כמות המים שנשפכה בפרק-הזמן הנמדד או זמזום מנגינות קצביות‏39 – עוד מתנה מאבא וינצ'נצו. יבול מחקריו אלה הוא שפה פשוטה בה ישתמשו חוקרי התאוצה בדורות הבאים.
נתחיל בתאוצה הפשוטה שבה מגביר גוף את מהירותו באותה מידה בכל רגע. גלילאו טבע חוק אלגנטי: הדרך שעובר גוף בתאוצה שווה לתאוצה כפול ריבוע הזמן לחלק לשתים. הדוגמה הבולטת ביותר לתאוצה היא הנפילה החופשית. כפי שיודע כל צנחן, למרות שנפילתו אינה חופשית לגמרי בגלל התנגדות האוויר, הגוף הנופל מתחיל לרדת במהירות נמוכה אבל זו גוברת מרגע לרגע. מה מידת העלייה הזאת במהירות? במילים אחרות: מהי התאוצה של הנפילה החופשית? לגלילאו לא היו הכלים למדוד אותה ישירות כי נפילה חופשית היא מהירה מאוד. הוא גלגל אם כן כדורים בשיפועים הולכים וגדלים. חוק התאוצה הופיע בכולם בלי קשר לשיפוע. על סמך ניסויים אלה חישב בעקיפין את תאוצת הנפילה החופשית: 9.8 מטר לשנייה בריבוע. זהו, אם כן, הקבוע המפורסם של הנפילה החופשית, שנוהגים לסמנו באות g.
בחשיבות המעשית של שני הישגים אלה – הבנת המושג הכללי של התאוצה וקביעת התאוצה הספציפית של הנפילה החופשית – תוכלו להיווכח ע"י תרגיל קטן. אם אתם עומדים ליד בור עמוק (או על גג בניין, כמובן אם וידאתם קודם שאינכם מסַכנים מישהו למטה), הפילו למטה אבן ומדדו בדיוק רב ככל האפשר את השניות מהנפילה עד שמיעת החבטה. הציבו את מספר השניות במקום הביטוי ”זמן“ ואת המספר 9.81 במקום הביטוי ”תאוצה“ בחוק שבפסקה הקודמת, כלומר, , ותקבלו את עומק הבור או גובה הבניין.
תרגיל משלים יאפשר לכם להבין משהו עמוק לגבי טבע התאוצה. נניח שהאבן שהפלתם נזרקת מאותה נקודה בה פגעה בקרקע, ובאותה מהירות כמו מהירות הפגיעה, רק בכיוון ההפוך, כלומר למעלה. ברור לכם שהאבן תאט עכשיו במקום להאיץ. מה תהיה מהירותה בכל רגע? ולאיזה גובה תגיע? נכון, זו תהיה אותה תאוצה, g, רק בסימן מינוס. בכל נקודה תהיה לאבן אותה מהירות שהייתה לה כשעברה באותה נקודה בעת נפילתה, והיא תגיע עד אותה נקודה ממנה התחילה, ואז תתחיל ליפול חזרה.
אם גלילאו יכול לחשב היכן תהיה בכל רגע אבן הנופלת למטה או הנזרקת למעלה, תסכימו אתי שזה ממש קטן עליו לנבא את מסלולו של גוף הנזרק לכל כיוון. גלילאו פנה אם כן לחקור את הפַּרַבּוֹלַה.
העקומה רבת-החן
מאז המראה הקטלנית של ארכימדס (ר' ‏2.8) היה ברור שהפַּרַבּוֹלַה היא צורה מיוחדת. ההגדרה ההנדסית שלה היא ”קו הכולל את כל הנקודות הרחוקות מרחק שווה מנקודה מסוימת ומקו ישר מול אותה נקודה,“ והיא צופנת עושר של תובנות מעשיות ועיוניות.
בציור משמאל מסלוליהם של שני קליעים. האחד נורה בכיוון אלכסוני כלפי מעלה, טס בפרבולה ונופל הרחק מאוד מהמקום בו נורה. בדיוק באותו רגע בו נורה הקליע הראשון, נורה טיל שני בקו ישר למעלה כך שהוא מגיע לאותה הנקודה בה מגיע הראשון בשיא הפרבולה, וחוזר ונופל, כמובן, היישר למטה. איזה מסלול ארוך יותר? הפרבולי כמובן. אבל איזה קליע יגיע ראשון לנקודת השיא? ואיזה ישוב ראשון ארצה? אחרי מה שקרה עם הטענה של אריסטו אתם בוודאי מבינים שכדאי להיזהר כשגלילאו שואל שאלות כאלה. ככל שזה ייראה מוזר, שניהם יגיעו למעלה ולקרקע באותו רגע.
עכשיו שאלה משלימה לגבי הקליע במסלול הפרבולי: מה מהירותו האופקית בתחילת מסלולו ובסופו? שוב, בואו ניזהר. בוודאי נדמה לכם שהקליע חייב להאט במרוצתו לקראת סוף נפילתו – עובדה שהוא פוגע לבסוף בקרקע. לא מדויק: אמנם התנגדות האוויר גורמת להאטה מסוימת, אבל אם נתעלם ממנה נבין את הסיטואציה טוב יותר: הקליע יטוס באותה מהירות אופקית לאורך מסלולו, ורק ינמיך בתאוצה כלפי מטה. כך קדם גלילאו לניוטון בגילוי חוק ההתמדה: ”נתאר לעצמנו חלקיק, הנורה לאורך מישור אופקי ללא חיכוך. אנו יודעים... כי חלקיק זה ינוע לאורך המישור בתנועה קצובה נצחית.“‏24(112)
גלילאו הצליח אם כן להפריד את התנועה הפַּרַבּוֹלית לשני רכיבים (וקטורים) נפרדים: הנפילה החופשית והתנועה האופקית. נוכל לבודד כל אחת מהן אם ננוע יחד עם הקליע בכיוון התנועה האחרת. למשל, אם נסתכל על הקליע בעודנו נעים בדיוק אתו ימינה, נראה זריקה ונפילה אנכיות רגילות. ומאידך, אם ניזרק וניפול בדיוק אתו למעלה ולמטה, נראה תנועה אופקית רגילה כאילו לא הייתה שום השפעת כבידה.
זכרו בבקשה את השוויון הזה בעוד כמה פרקים. משהו מאוד יפה כבר מבצבץ בו.
אחדות
לא רק חוקים גילה גלילאו אלא גם משהו עמוק יותר, עיקרון פיסיקלי (ר' פרק ‏3.8). עיקרון האינווריאנטיות הגלילאית אומר: חוקי הטבע אינם מושפעים ממצב התנועה או המנוחה של המערכת בה הם פועלים. גלילאו עצמו בוודאי לא עמד על מלוא חשיבות העיקרון שגילה. הוא רק רצה להגן על ההשקפה הקופרניקאית מפני טיעון רציני שהועלה נגדה כבר ע"י פטולמאיוס, ואגב כך גילה משהו עמוק ביסוד המציאות הפיסיקלית.
אמרו האנטי-קופרניקאים: אילו הייתה הארץ נעה, הרי אבן הנופלת מראש מגדל הייתה מגיעה לא אל תחתית המגדל אלא הרחק משם, כי בינתיים האדמה ברחה מתחתיה. גלילאו, על סמך ניתוח חוקי התנועה שהכרנו לעיל, הראה שאין הבדל מבחינה זו בין אדמה נחה ואדמה נעה, ולכן ייפול הכדור לאותו מקום בו היה נופל לו הייתה הארץ עומדת במקומה. בואו נחזור על ניסוי המחשבה שלו. בציור שלפניכם עשיתי מחווה לגאון איטלקי אחר ושמתי את דוִד של מיכלאנג'לו בתוך קרון נוסע וברקע את משה כצופה נייח על הרציף. הפעם דוִד ישתמש באבני קלע לא כדי להרוג ענקים אלא כדי לבחון את עיקרון גלילאו.
בשמיעה ראשונה נשמע הרעיון מופרך: דוִד בהחלט יכול להרגיש אם הקרון שלו נוסע או עומד. אבל זה קורה רק כשהקרון נוסע במהירות לא קבועה, למשל, כשהוא מאץ בתחילת הנסיעה או מאט בסופה ודוִד נלחץ אל הדופן האחורי או הקדמי. אבל כל עוד הקרון נע במהירות קבועה – אפילו במהירות עצומה של אלפי קמ"ש – לא יוכל דוִד להבחין בתנועתו. כיום, כשכמעט כל אדם מכיר את חווית הטיסה במטוס, קל להיווכח בעובדה שאפילו מהירות גבוהה מאוד אינה מורגשת כל עוד היא קבועה.
כמובן, אם יסתכל דוִד החוצה יראה שהוא בתנועה, אבל הנה דבר מוזר: כל הניסויים שיעשה בתוך הקרון היו נותנים אותה תוצאה אילו היה הקרון עומד ללא-ניע בעוד המסילה, הרציף, משה ושאר העולם היו נעים אחורנית. בואו נבקש, למשל, מדוִד להפיל אבן-קלע בתוך הקרון הנוסע במהירות קבועה. שני פירושים ייתכנו, והם שווי-ערך:
1. גרסת הצופה מבחוץ: קודם עבר כאן קרון במהירות מטורפת מימין לשמאל ובו עמד אדם שהחזיק אבן. כששמט את האבן טסה גם היא במהירות עצומה [זכרו את עיקרון ההתמדה], ולכן ירדה ארצה בקו עקום [זכרו את הפרבולה]. כיוון שהקרון עצמו המשיך לטוס, הגיע הכדור בסוף טיסתו אל רצפת הקרון הדוהר תחתיו, בדיוק לנקודה שמתחת לידו של הנוסע.
2. גרסת הצופה מבפנים: הקרון עמד ואני הפלתי אבן והיא נפלה בקו אנכי ישר ארצה (אגב, באותו זמן, כל העולם שבחוץ, כולל האדם על הרציף שישב מחזיק שני לוחות, טס במהירות מטורפת משמאל לימין).
ובצורה כללית יותר:
1. גרסת הצופה מבחוץ: כל מה שבתוך הקרון טס קדימה וכל מה שבחוץ – עומד.
2. גרסת הצופה מבפנים: כל מה שמחוץ לקרון טס אחורנית וכל מה שבפנים – עומד.
עכשיו נותן לנו גלילאו את העיקרון הכולל את שני הגרסאות:
א. עיקרון היחסות: כל תנועה היא יחסית.
וכך, כל ניסוי שיעשה דוִד בתוך הקרון – בניית מגדל קלפים, ניתוח מוח מסובך או מזיגת תה לחלב בספלי חרסינה שמושיטות לו ישישות אנגליות – ניתן לפירוש כאילו הקרון עומד במקומו ורק היקום שבחוץ נע. כל עוד מהירות הקרון קבועה, לא יורגש שום הבדל.
בעצם, למה שנהיה מופתעים מאינווריאנטיות זו? הרי זה היה מוזר אילו היה חוק אחד למערכות הנוסעות במהירות קבועה של 50 קמ"ש, חוק אחר למערכות הנוסעות במהירות קבועה של 67 קמ"ש וכך חוק נבדל לכל מהירות. מהי, אם כן, מנוחה? מבחינה מתמטית היא פשוט ”מהירות קבועה של 0 קמ"ש,“ והרי כבר למדנו לקבל את האפס כמספר לכל דבר!
הפיסיקה של החיים
ספר זה אינו עוסק בביולוגיה, אבל כדאי להזכיר כי גלילאו המחיש את כוחה של הפיסיקה כשהחיל את עקרונותיה על שאלות מתחום מדעי החיים. אם גופם של חיות וצמחים תומך יפה בעצמו ואינו מתפרק, הוא בנוי מן הסתם בהתאמה לחוקי הפיסיקה. כאן הצביע גלילאו על קשר, שאינו מובן מאליו, בין המבנה והגודל. בציור משמאל נראית ההשוואה שעשה גלילאו בין עצמות הירך של שני יונקים בגדלים שונים. לחיה הגדולה יש כמובן עצם גדולה יותר, אבל אין זו הגדלה פשוטה: יחסי האורך והרוחב בה שונים לחלוטין. שינוי זה מתחייב מהפיסיקה. הסוס, למשל, גבוה בערך פי שלושה מהכלב. אילו היו גם עצמותיו גדולות מאלו של הכלב, באורכן וברוחבן, פי שלושה, הן היו מתרסקות תחתיו כי נפח הסוס, ולכן גם משקלו, גדול פי שלוש בשלישית מזה של הכלב, כלומר פי עשרים ושבעה. חוזק העצם נקבע על-פי חתך הרוחב שלה, וגודל זה עולה רק בריבוע עם כל הכפלה בממדי הכלב. נחוצה אם כן עלייה בעובי היחסי של העצמות עם גדילת הגוף. בצד שמאל הבאתי דוגמה שלא הייתה מוכרת לגלילאו אבל ממחישה את כוונתו. הקַפִּיבַּארַה הוא יונק אוכל עשב שגודלו יותר ממטר החי ליד נהרות דרום אמריקה. הוא שייך לסדרת המכרסמים, כלומר מדובר ביצור דמוי עכבר שגדל ותפס את הנישה האקולוגית בה מחזיקים, במקומות אחרים, החזיר, התאו ודומיהם. והנה, הקפיבארה שונה מאוד מקרובתו החולדה לא רק בגודל אלא בפרופורציות, הדומות יותר לאלה של חזיר או כבש. ב”שני מדעים“ עבר גלילאו בטבעיות משאלות בתחום הנדסת המבנים אל האנטומיה, ובכך עורר את השאלות שיולידו בבוא היום את תורת האבולוציה.
ברוכים הבאים אל הפיסיקה המודרנית
מכל העבודות האלה מצטייר לעינינו מדען שלא לחינם מכנה אותו איינשטיין‏32(267) ”אבי הפיסיקה המודרנית.“ בואו נסכם את המאפיינים שהכניס גלילאו לפיסיקה החדשה.
הניסיון כשופט עליון
גלילאו, בניגוד לקפלר ולמרות אמונתו הדתית העמוקה, מסתמך רק על הניסיון והחשיבה ההגיונית. בכך הוא לוקח את הצד הביקורתי שבתורת אריסטו השומר עליו מפלפולים מיסטיים. חבל אמנם שעשה צחוק מהשערת קפלר בדבר הקשר בין הגאות והשפל לבין תנועת הירח, אבל אפשר להבין למה, באותם ימי טרום-ניוטון, היא נשמעה לו הזויה.
סיבות נסתרות
מצד שני, גלילאו אינו חושש להכניס גורמים ”אפלטוניים“ לא-מוחשיים. על-פי אריסטו, אבן הנזרקת למעלה נופלת חזרה ארצה, וכדור מתגלגל מאט עד עצירה, פשוט כי ”זה טבעם“ להיות על האדמה במנוחה. המהפכה של גלילאו היא בהבנה שעל הגופים האלה פועל כוח, חיצוני ונפרד:‏9 לולא הכבידה הייתה האבן ממשיכה בתנועתה למעלה, ולולא החיכוך היה הכדור ממשיך להתגלגל ללא סוף.
המתמטיקה ככלי ניבוי
בתור אבי הבליסטיקה ממחיש לנו גלילאו לראשונה את עוצמת ה”חוק“ בפיסיקה המודרנית: נכניס למשוואה את מהירותו ההתחלתית של הגוף ואת כיוונו, נציב את מספר השניות במקום ה-t, נחשב ונדע איפה יהיה הקליע (הפגז, החללית) בכל רגע. החוק פועל, אם כן, כמשוואה מתמטית: הציבו במקום הנעלמים במשוואה את נתוני המצב ההתחלתי ותקבלו את המצבים הבאים בכל רגע. בעיקרון זה טמונה עוצמת הטכנולוגיה כולה.
ההבחנה בין עיקר וטפל
כשגלילאו מסיק מתנועת גופים על חוק ההתמדה, הוא מלמד אותנו גם ממה להתעלם. זה לא פשוט. איך אפשר, לדוגמה, לראות את הכבידה והחיכוך, השולטים בכל רגע מחיינו, כ”טפלים“ מבחינה פיסיקלית? זה בדיוק העניין: לימוד חוקי הטבע מחייב לבודד גורמים מסוימים עד לדרגה לא מציאותית. לפעמים תשמעו פיסיקאים אומרים: ”נניח שיש לנו חדר סגור ענק שיש בו גלקסיה שלמה,“ או ”נניח שהתנגדות האוויר זניחה,“ וכו'. כך, למשל, הנפילה החופשית והמסלול הפרבולי שתוארו לעיל הם אידיאליזציות: אנו מתעלמים מהתנגדות האוויר, מנתחים את התנועות הטהורות, ואחר-כך חוזרים ומביאים בחשבון את ההתנגדות כדי לקבל תוצאות אמיתיות. מסיבה זו קוראים לפיסיקה ”אמנות ההנחה וההזנחה.“
כשנחתה ”אפולו 15“ על הירח ב 1971, הפיל האסטרונאוט דייוויד סקוט נוצה ופטיש לעיני מצלמת הטלוויזיה. עכשיו לא היה צריך ”להזניח“ את התנגדות האוויר – היא פשוט לא הייתה. בשידור חי לעיני מיליוני צופים הגיעו שני העצמים יחד אל קרקע הירח. המדע המודרני הצדיע לאביו כארבע מאות שנה לאחר שכיוון את הטלסקופ שלו אל המקום עליו עמדו עתה שליחיו.
אסטרונום מול חשכה
גלילאו היה קתולי מאמין, אבל שני אבותיו הרוחניים היוונים, אוקלידס וארכימדס, עשו אותו למדען הראשון שבעיניו הניסוי, התצפית והחשיבה הלוגית היו הסמכות היחידה. באחד מכתביו לגלג על ההרגל של אחד מיריביו לצטט עוד ועוד בני-סמכא בתקווה שסמכותם המשותפת תכריע את הכף לטובת דעה מסוימת:
חשיבה אינה דומה לגרירת משא. אכן כמה סוסים יכולים לגרור שקי תבואה רבים יותר ממה שיכול לגרור סוס אחד לבדו. אלא שחשיבה דומה יותר לדהרה – סוס ערבי גזעי אחד יותיר מאחריו מאה סוסי משא.‏31(74)
כששמע על המצאת הטלסקופ התמסר לילה אחר לילה למחקר הרקיע. הוא ניצל את כישוריו כנסיין ובונה מכשירים ושִכלל את הגדלת הטלסקופ פי ארבעה. כשחקר את הירח הצליח לקבוע את גובה ההרים שעליו ע"י יישום גאוני של משפט פיתגורס על משחקי האור והצל עליהם. כשהסב את המכשיר אל השמש הוכיח שהתנועה הקשתית של כתמיה מתאימה לתנועת כדור סביב עצמו. תגליתו הדרמטית ביותר, אותה פרסם בספרון ”שליח הכוכבים,“ הייתה שלצדק יש ארבעה ירחים שלא נראו קודם בלי הטלסקופ. בכך שם ללעג את האמונה שגרמי השמים נבראו למען בני האדם – אחרי הכל, זה יהיה קצת טיפשי לברוא למען בני-האדם גרמי-שמים שאותם אינם יכולים לראות – וגם גרם לאנשים להבין שאולי גם כדור-הארץ הוא, כמו צדק, כוכב-לכת שיש לו ירח.
כמה מידידיו הצעירים של גלילאו הקימו אקדמיה עצמאית משלהם ”האקדמיה הלינקיאנית,“ והזמינו אותו להצטרף אליה, ובמכתבים שהחליפו חברי האקדמיה הבשילו ניצני המדע המודרני. מגוון כישרונותיו של גלילאו, המדען, המורה והסופר, הבשילו בספרו הגדול ”דיאלוג“ הידוע כיום יותר על-פי תת-הכותרת שלו: ”על שתי שיטות-העולם העיקריות, של פטולמאיוס ושל קופרניקוס.“ זהו תיאור של שיחות המתקיימות במשך ארבעה ימים בין שלושה חברים: סַלוִיאַטי, חברו הצעיר של גלילאו שנפטר בדמי ימיו, המייצג את ההשקפה המדעית החדשה, סַגרֶדוֹ, חבר אחר המייצג את השכל הישר, וסִימפּלִיצ'וֹ התם.
לגלילאו, כפי שראינו, היה כישרון מופלא לסבך את עצמו בצרות. ידידו הקרדינל מַפֵאוֹ בַּרבֵּרִינִי התמנה לאפיפיור ונקרא עתה אוּרבַּנוּס השמיני. אילו נהג גלילאו ביתר טאקט היה יכול לפרסם את דעותיו בצורה שתאפשר לכנסיה להעמיד פנים כאילו הן תרגילים מתמטיים, כפי שטענה ההקדמה של אוסיאנדר לקופרניקוס. אבל במקומות רבים ב”דיאלוג“ נשמעו כמה מדעותיו של סימפליצ'ו (ששמו באיטלקית פירושו גם ”גולם“( דומות לאלו של האפיפיור החדש, וכמובן נמצא סכסכן שהעיר על כך להוד-קדושתו, שהיה גם ככה עצבני בגלל מלחמת שלושים השנה עם הפרוטסטנטים. פִיליוֹ דִי פּוּטַנַה! התרתח הפַּפַּא, איפה האינקוויזיציה? גלילאו זומן לחקירה ב 1663. זו הייתה חקירת לוקסוס: לחשוד היו הרבה חברים בחלונות הגבוהים, בהם כמה מבני משפחת בַּרבֵּרִינִי שאורבנוס סידר להם ג'ובים. הם סייעו לו ככל יכולתם ובמקביל הזהירו אותו שכדאי לו, לשם שינוי, לסתום את פיו ולחשוב קצת על ג'ורדנו ברונו. בית-הדין דרש ממנו לפרסם התכחשות לדעותיו. הרבה קתולים היו שמחים כיום להעלים את המסמך הזה, אותו אולץ לקרוא בקול על ברכיו:
אני, גלילאו, איש פירנצה, בן שבעים, בנו של וינצ'נצו גלילאי המנוח, עמדתי לדין בפני בית-דין זה וכעת אני כורע ברך לפניכם, קרדינלים דגולים ונערצים... עיניי רואות וידיי נוגעות בספרי הבשורה, נשבע שהאמנתי תמיד ומאמין כעת ובעזרת האל גם אאמין בעתיד בכל מה שדוגלת, מטיפה ומלמדת הכנסייה הקתולית הקדושה של רומא...
לפיכך, מאחר שאני מבקש להסיר מלב כבודכם ומלב כל הנוצרים המאמינים את החשד החמור שבצדק הועלה נגדי, אני מתכחש בגילוי-לב ובאמונה שלמה לשגיאות ולכפירות הנדונות וככלל לכל שגיאה ודעה המנוגדות לכנסייה הקתולית הקדושה, ומקלל אותן ומכריז על תיעובי כלפיהן. ואני נשבע שלעולם לא אומר עוד ולא אטען לעולם, אם בעל-פה ואם בכתב, דברים שכאלה העלולים להעלות נגדי חשד דומה; ואם אדע על כופר כלשהו או מישהו החשוד בכפירה, אמסור אותו לידי האינקוויזיציה כאן או לידי האינקוויזיטור או הכומר במקום מגוריי...‏32(229)
”Epur si muove (ואף על-פי כן נוע תנוע)!“ כך, מספרת האגדה, לחש הזקן מוכה-השיגרון כשקם מכריעתו, מה שבוודאי לא העז לעשות, אבל זה גם לא היה נחוץ: הספר המוחרם כבר היה, בשפות רבות, רב-מכר ברחבי אירופה. הוא נדון למעצר-בית, ומאז בילה את כל חייו בביתו באַרצֶ'טרִי.
על אלה נוספה מהלומה אישית נוראה. שתי בנות ובן היו לגלילאו מחוץ לנישואין. לבן וינצ'נצו השיג מעמד חוקי, אבל את בנותיו הכניס למנזר. מעשה אכזרי ללא ספק, אבל באותם ימים היו דברים כאלה מקובלים. הבת הגדולה, וירג'יניה, קיבלה בשמחה את תפקיד הנזירה. שם הנזירוּת שבחרה, מריה צ'לסטה (”מרים השמימית“), היה מחווה ברורה לתחום עיסוקו של אביה. מכתביה האוהבים השתמרו והם מהווים תעודה מרתקת,‏32 אם ”מרתקת“ הוא הכינוי הנכון לדלות האיומה בה חיה או לפנייה ”אבי אדוני האהוב ביותר“ שנלוותה לכל תבשיל כפרי או מלבוש חם ששלחה לו. אבל היא נפטרה ב 1634. גלילאו שקע בדיכאון, ”מלא שנאה עצמית ושומע בלי הרף את בתי האהובה קוראת לי.“‏32(284) מה שסייע לו להתגבר על האסון היה ספרו האחרון ”שני המדעים“ ובו נפגשו שוב שלושת הידידים לארבעה ימים ושוחחו על מחקריו האחרונים של ”ידידנו איש האקדמיה.“ למרות שהספר לא כלל דיונים על אסטרונומיה לא יכול היה גלילאו להוציאו לאור באיטליה והספר נדפס בהולנד. אבל כשהגיע אליו העותק כבר היה זה מאוחר מדי. ”אללי! אדון נערץ,“ כתב לידיד צרפתי,
ידידך ומשרתך המסור גלילאו התעוור לחלוטין לפני כחודש, בצורה שאין לה תקנה. הרקיע הזה, האדמה הזאת, היקום הזה שהגדלתי פי מאה, לא, פי אלף, מעבר לגבולות שהיו מקובלים לפני כן, התכווצו עתה מבחינתי עד למעגל הצר שתופסת עצם אישיותי.‏31(97)
ג'ון מילטון, גדול משוררי אנגליה בעת ההיא, ביקר את גלילאו בימי מסעו באיטליה וכתב על מעצרו. שנים רבות אחר כך, וגם הוא עיוור, הכתיב לאשתו את ה”המנון לאור,“ שלא יקשה למצוא בו הד לגלילאו:
עַל כֵּן, בְּיֶתֶר-עֹז, אַתָּה, אוֹר עֶלְיוֹן,
זְרַח מִבִּפְנִים, וְאֶת הַנְּשָׁמָה לְכָל כֹּחוֹתֶיהָ
הַקְרֵן. שָׁם טַע עֵינָיִם. כָּל אֵד מִשָּׁם
נַקֵּה וּפַזֵּר, לְמַעַן אֶחֱזֶה וַאֲסַפֵּר
דְּבָרִים, בַּל תְּשׁוּרֵם עֵין בֶּן-תְּמוּתָה. (תרגם אברהם רגלסון)
דייר חדש הצטרף למשק-הבית של הווילה באַרצֶ'טרִי. וינצ'נצו וִיוִיאַני (1622-1703) בן השבע-עשרה הביא עמו לא רק שֵם שהיה יקר ללב המדען החולה אלא גם כישרון מתמטי נדיר ומסירות אין-קץ למורו. הוא נעשה מזכירו, הביוגרף שלו ולימים מדען בזכות עצמו. דייר נוסף בווילה, אֵוַנגֵליסטַה טוֹרִיצֶ'לִי (1608-1647), עתיד היה להפריך עוד הבלותה אריסטוטלית: ”הטבע אינו סובל ריקנות.“ הוא באמת לא סובל אלא נהנה ממנה: ”ואקום טוֹרִיצֶ'לִי“ נמצא כיום בכל ברומטר.
כשנפטר גלילאו לא הרשה אורבנוס לעשות לו לוויה ומצבה נאותה. ויויאני הוריש את כספו להקמת המצבה לכשיוסר האיסור, בתוספת בקשה להיקבר לידו. שתי הבקשות מולאו כעבור תשעים וחמש שנה.
*
שני דברים שונים חקר גלילאו ולא העלה בדעתו שיש קשר ביניהם: א)המסלולים הפַּרַבּוֹליים של פגזי תותחים, ו-ב)המסלולים (המעגליים לדעתו) של כוכבי-הלכת והירחים. מה היה אומר לו ידע ששתי התנועות האלה תתגלינה כתנועה אחת, הנפילה החופשית, שאותה יתאר לנו ניוטון בפרק ‏8?
אבל לא רק ניוטון יוכיח שעבודותיו השונות של גלילאו מצביעות בבלי-דעת לאותו כיוון. כיום אנו מביטים אחורנית אל גלילאו מעל פסגת הר שהוא אפילו לא ידע על קיומו ורואים אותו מוכיח עוד שני דברים שונים לכאורה: א)חוקי הפיסיקה אינם מבדילים בין מנוחה לבין תנועה קצובה, ו-ב)גופים כבדים וקלים נופלים באותה מהירות. מה הקשר בין שתי ההוכחות? הוא עצמו בוודאי לא ראה כל קשר. את הראשונה הביא כדי לתמוך בתורת קופרניקוס ואת השנייה נתן בצעירותו כדי לערער על הדוגמה האריסטוטלית. האם אתם יכולים כבר לנחש איך יובילו שתי התגליות האלה, שם הרחק בשער הגיא של עמק הרנסאנס, אל ההר הנישא של תורת היחסות הפרטית, ואחריו גבוה עוד יותר אל פסגת היחסות הכללית?
דקרט מנתח כל מה שזז
חיי אדם אינם נמדדים במספר נשימותיו אלא ברגעים עוצרי-הנשימה שבהם.
אלמוני
ההשוואה בין המדע לבין אשה היא נדושה, אבל רֵנֵה דֵקַרט (1596-1650) לקח אותה לקיצוניות: אם היא צנועה ונמצאת תמיד לצד בעלה מכבדים אותה, אבל אם היא מתמסרת לכל אחד משמיצים אותה.‏52(51) נאמן לאנלוגיה זו, השתדל המוסקטר חגור-החרב להתייחד עם ”אשתו“ הרחק מעין הציבור. בכל פעם שמספר מעריציו גדל מעל לרמה הנסבלת נעלם פתאום כאילו בלעה אותו האדמה. חיפושים היו מתארגנים עד שמישהו היה מאתר אותו במקום אחר באירופה ומארגן סביבו חוג מעריצים חדש – עד להיעלמות הבאה.
אם יש אמת בדברי הפסיכואנליטיקאים על השפעת מאורעות הילדות על חיי האדם, לא קשה לאתר את השריטות המוקדמות בחיי דקרט, שנולד למשפחה מיוחסת בצרפת. אמו מתה כשהיה בן שנה אחרי שילדה תינוק שמת גם הוא (דקרט, בסילוף מוזר, סיפר שנפטרה כמה ימים אחרי לידתו שלו). גם הוא עצמו שמע מהרופאים כי לא יאריך ימים. מאמי, סיפר, ירשתי כנראה את השיעול היבש ופניי החיוורים. האב, שלא אהב את ילדו החמישי, הכניסו למנזר ישועי בגיל שמונה. אפילו כשספריו של דקרט הוציאו לו שם בעולם נשמע השופט ז'ואקים דקרט מפטיר בארסיות: ”מכל ילדיי רק אחד גרם לי צער. האם היה הכרחי להביא לעולם בן כל כך מגוחך שיסכים להיות בכריכת עגל?“ אבל ירושה נאה מאמו אפשרה לדקרט להתמסר למחקריו ולמלא עוד הרבה כריכות הדורות, תוספת צער לשופט הנפוח ורווח נקי לאנושות.
במנזר נקשר הילד אל מנהל טוב-לב ואל מורים שאהבו ללמד מדעים. באוניברסיטה למד משפטים אבל סירב ללכת בדרכי אביו. הוא פנה לקריירה צבאית ארוכה אך נטולת התנסות קרבית (למעט הכנעת שני שודדים שנקלע לסירתם). אחרי כמה שנים בפריז, בהן החל להתבלט כפילוסוף, נמאסו עליו המעריצים והוא עבר להולנד. כאן, בתוך העם האמיץ שהצליח לא-מכבר להכות את כובשיו הספרדים שוק על ירך, נחשף לחופש המחשבה והכיר נער מחונן בשם קריסטיאן הַאוּכֶנס, אותו נפגוש בפרקים הבאים כגדול מדעני הולנד במאה ההיא. פטרונו הגדול של דקרט היה הנזיר הפרנציסקני מָרֵן מַרסֶן (1588-1648), מתמטיקאי ופיסיקאי (הראשון שמדד את מהירות הקול), מגנו של גלילאו וידידם של כמעט כל מדעני הדור, שחדרו במנזר בפריז היה בעצם מוסד מחקר פרטי משגשג. מרסן תיווך בין דקרט לשאר עמיתיו. עם השנים הלך דקרט ונעשה לאדם חשאי יותר ויותר, יצא למסעות ארוכים (יש אומרים שהיה מעורב גם בריגול), החליף כתובות כמו גרביים והתרחק מבני משפחתו כמו ממגיפה. האיש קטן-הקומה הזה היה אדם די בריא, אם לשפוט לפי מראה פניו ושנותיו הרבות בצבא, אבל על הרגל אחד הקפיד: להישאר במיטה כל בוקר עד השעה אחת-עשרה ולחשוב. היה לו הרבה על מה.
מחשבות ראשונות
למתמטיקה הוכנס דקרט בהולנד עקב פגישה מקרית ברחוב. הוא ראה מודעה שהציבה אתגר מתמטי וביקש מעובר-אורח לתרגם לו אותה מפלמית. האיש, אייזק בִּיקמַן, נעשה למורהו וידידו כעשר שנים, עד שהידידות נפגמה כשדקרט שמע שביקמן מייחס לעצמו כמה מרעיונותיו. אבל עתה הקדיש לביקמן ספר על יסודותיה המתמטיים של המוסיקה ויחד החלו השניים בלימוד הפיסיקה מתוך גישה הפוכה לזו של אריסטו: עצמים מתנהגים כפי שהם מתנהגים לא ”כי זה טבעם“ אלא בשל סיבות חיצוניות ובלתי-נראות, כמו כוחות הפועלים עליהם והניתנים לתיאור מתמטי.‏10 כך ניסחו השניים לראשונה את חוק ההתמדה ואת חוק שימור התנע, אותם נפגוש בפרקים הבאים. עבודותיו הבאות של דקרט עסקו בנפילה החופשית, בפיסיקה של הנוזלים ובשבירת האור.
ב 1619 פקדו אותו שלושה חלומות שפסיכולוגים עשו מהם מטעמים, אבל לדקרט הייתה משמעותם פשוטה: הם הצביעו על ייעודו הפילוסופי. הוא כתב בדרך-כלל בצרפתית ולא בלטינית, כדי להיות מובן לכולם, ואת ספרו ”הגיונות“ כיוון דווקא לנשים. סגנונו פשוט ומצטיין בכנותו, והוא חולק עם הקורא את התלבטויותיו וחוויותיו. אחד מספריו מסתיים בהערה הנונשלנטית ”אני מקווה שההיסטוריה תשפוט אותי לא רק על מה שהסברתי אלא גם על מה שהשמטתי כדי להשאיר לאחרים את העונג לגלותם.“
בהיותו בן שלושים וארבע, והוא כבר מלומד נודע, נרשם לאוניברסיטת ליידן כסטודנט ולמד בין השאר אנטומיה ופיסיולוגיה, בסיס למחקריו שניסו להעמיד את הביולוגיה על בסיס מכניסטי טהור. הוא גם החל לכתוב ספר על תורת קופרניקוס, אבל כששמע על ההסתבכויות של גלילאו השתפן וגנז את הספר. הוא גם הקפיד לעקוף את ארצ'טרי במסעו באיטליה וציין בלגלוג כי התאמץ לקרוא את ה”דיאלוג“ של גלילאו ולא מצא בו שום דבר מעניין. האם רק ניסה להרחיק מעליו צרות עם הכנסייה? החיבור הקופרניקאי פורסם אחרי מותו ומיד הוחרם ע"י הכנסייה. הפרוטסטנטים בהולנד הזדרזו להקדים באיוולתם את הקתולים: עוד בחיי דקרט הואשם ה”הגיונות“ באתאיזם.
מכונות ורוחות
Dubium sapientiae initium (הספק הוא מקור התבונה), אמר דקרט, אבל הוא גם ידע שהספק, בצורתו הקיצונית, מביא לשיתוק רעיוני גמור. לכן הקדים לו את ”מכת המנע“ המפורסמת: הוא שאל את עצמו אם ייתכן שכל המציאות סביבו היא פעולתו של שד מרושע השולט במוחו ויוצר בו אשליות. לא ניתן לשלול בוודאות אפשרות כל כך הזויה, אבל אפילו במקרה זה יש דבר אחד שלא ניתן להטיל בו ספק: באשליה עצמה! זו הייתה האקסיומה הבודדת שעליה, במהלך אוקלידי חדש, קיווה דקרט להעמיד השקפת-עולם שלמה שבה אפילו קיום האלוהים והנשמה יקבלו הוכחה מוצקה. הצעדים הבאים היו, כמובן, הרבה פחות משכנעים, אבל Cogito Ergo Sum (אני חושב לפיכך אני קיים) הפך למבשר הפילוסופיה המודרנית.
בראייה לאחור, שתי טעויות של דקרט בולטות כיום לעין. הראשונה היא הדואליזם הקיצוני שלו. דקארט, כפיסיקאי, הראה איך ניתן בעיקרון להסביר את פעולת הגוף החי כפעולת מכונה, ובכלל זה גם את כל פעולות המוח מהרפלקס עד המחשבה. לא חשוב אם כל הסבריו היו נכונים – הוא הראה שהדבר ייתכן עקרונית. אבל אז נתקל בבעיה עתיקה שלא זכתה לפיתרון עד היום, ”בעיית הגוף-נפש,“‏25 והבין ששום הסבר מכניסטי לא יכול להסביר את החוויות הסובייקטיביות. הוא בחר, אם כן, בדואליזם, האמונה שהתודעה אינה דבר פיסיקלי, כלומר, אינה חומר, אנרגיה או שדה, אבל מתערבת בעולם הפיסיקלי. זה מהלך מאוד בעייתי, אבל דקרט החריף אותו עוד יותר: הרי הוא עצמו הדגים את יעילותו העקרונית של המודל המכניסטי, העושה את תפקידה של הנשמה מיותר! לכן יצר חיצוי משונה: כל החיות הן רק מכונות אוטומטיות (אומנם משוכללות מאוד-מאוד אבל מכונות) המצייתות לחוקי הפיסיקה בלבד. האדם, לעומת זאת, הוא מכונה לא-אוטומטית שאותה מפעילה הנפש הלא-פיסיקלית דרך בלוטת האצטרובל שבבסיס המוח. וכך, אם דרכתם על חתול והוא מיילל מכאב, יאמר דקרט שזה בדיוק כמו שמערכת האזעקה במכונית שלכם צופרת: לא בגלל חוויית כאב אלא בשל מנגנון מורכב המותקן בו. אבל אם החתול ישרוט אתכם ואתם תייללו מכאב, זה יהיה כי באמת כואב לכם. החיצוי הזה הוא לא רק אווילי אלא גם אכזרי. הפילוסוף היהודי-גרמני שלמה מימון (1754-1800), באוטוביוגרפיה שלו, הכה על חטא על שהתאכזר לבעלי-חיים בצעירותו מתוך אמונה בדוקטרינה הזאת.
טעותו השנייה של דקרט הייתה תמימה ומובנת יותר. הוא התנגד לאטומיזם ולכן דחה גם את קיומם של חלקיקי יסוד וגם את קיומו של החלל הריק. בעיניו היה היקום מלא בכל מקום במעין ”אבק“ קלוש של חומר, והכוכבים סבבו סביב השמש בגלל ”מערבולות“ של החומר הקלוש הזה – ניסיון ראשון להבנת הכבידה. איינשטיין‏4(228) מתייחס באהדה להתנגדותו של דקרט למושג החלל הריק: אם ייתכן חלל ריק לחלוטין, נובע מכך שגופים הפועלים זה על זה מרחוק (כמו מגנטים) פועלים ללא גורם פיסיקלי ביניהם. ניתן לומר, אם כן, שמושג ה”שדה“ ותורת היחסות הכללית שנכיר בפרקים הבאים מהווים מענה לקושי שאתו התמודד דקרט.
כשדקרט מדבר על וודאות שאינה מוחלטת אבל ניתן בלב שקט לסמוך עליה, הוא משתמש במשל המבטא הן את כוחו והן את יופיו של הסבר מדעי: אין בו שום דבר מיותר ואי-אפשר להזיז בו שום חלק מבלי לפגום במכלול:
אם מישהו מתאמץ לקרוא מכתב שהאותיות בו אינן מסודרות כהלכה, והוא מחליט לקרוא B בכל מקום שכתוב A, ו-C בכל מקום שכתוב B, וכך עבור יתר אותיות האלפבית, ואם הוא מוצא בדרך זו שהמכתב בנוי ממילים, לא יהיה לו ספק שהפשר האמיתי של המכתב נכלל במילים אלה, אף-על-פי שגילה זאת על-פי ניחוש, ועל-אף שאפשר שהכותב לא סידר את האותיות על-פי כוונה זו אלא אחרת, וכך הצפין בו פשר אחר... מכיוון שזו אפשרות כל-כך בלתי סבירה, בעיקר כשהמכתב המפוענח מכיל מילים רבות, עד שכל פשר אחר נראה לא-יאומן.‏10(27)
מעקמומיות יוצאת משוואה
מה, אם כן, עושה את דקרט לאחד מאבות הפיסיקה המודרנית? הנה עוד אמרה שלו, פחות מפורסמת אבל חשובה מאוד: Omnia apud me mathematica fiunt (כל הדברים הפכו מתמטיים עבורי). הישגו היה כפול: הוא גם שכלל את שפת המתמטיקה וגם לימד את הפיסיקה לדבר בשפה זו.
למתמטיקה עצמה, כזכור, יש יחסים מורכבים עם בתה הוויזואלית, הגיאומטריה. מאז המשברים במתמטיקה היוונית, עליהם דיברנו בפרק ‏3.2, נתפסו הנקודות והקווים של הגיאומטריה כעולם יותר עקבי וחסין-סתירות מאשר עולם המספרים. בא דקרט והפך את הכיוון: הוא הראה שניתן לתאר את מיקומיהם, אורכיהם וצורותיהם של קווים ונקודות ע"י מספרים. הוא הנהיג את מערכת הצירים המפורסמת שלייבניץ, במחווה יפה, כינה ”קרטזיאנית“ על שמו. בציור משמאל שני צירים שעליהם רשומים ברווחים שווים המספרים מ-0 ומעלה, כך שנקודת המפגש (”ראשית הצירים“) היא ב 0. ניתן לייצג כל נקודה על שטח זה ע"י זוג מספרים, אחד לכל ציר, וכל קו מיוצג ע"י משוואה. הנה כמה דוגמאות פשוטות. הנקודה (4,5) נמצאת מול הספרה 4 על ציר x ומול הספרה 5 על ציר y. המשוואה y=2 נותנת קו ישר אופקי: לכל ערך של x ערכו של y הוא 2. לעומת זאת, y=x, נותנת ישר משופע: לכל ערך של x ערכו של y זהה. לבסוף, המשוואה y=x2 , הקרויה ”משוואה ריבועית“ כי ערכיה הם ”בריבוע,“ נותנת צורת עקומה מוכרת, הפַּרַבּוֹלַה: לכל ערך של x ערכו של y שווה לזה של x מוכפל בעצמו. את כל זה ניתן, כמובן, לעשות גם בשלושה ממדים, וגם ביותר: לפעמים, כשהפיסיקאים רוצים לחשב את היחסים בין גורמים שונים, הם ממציאים מרחב מופשט עם מספר גדול של ממדים ובו שמים את המערכת הקרטזיאנית המתאימה.
מכאן הופכת כל הגיאומטריה למתמטיקה: כל צורה גיאומטרית מוגדרת – ריבוע, מעגל, אליפסה וכד' – ניתנת לתרגום למשוואה. ההישג הזה חשוב במיוחד ללימוד צורות עקומות, שאותן הרבה יותר קשה לתאר מאשר קווים ישרים (נראה אתכם משרטטים פרבולה מדויקת!).
כלי זה נתן בסיס חדש לאחת העבודות הגאוניות ביותר של המתמטיקה היוונית, ”תורת החרוטים“ של אפּוֹלוֹניוּס איש פֶּרגַה (262-190 לפה"ס). מה המשותף למעגל, לאליפסה, לפַּרַבּוֹלַה ולהִיפֶּרבּוֹלַה? בציור הבא מופיע חרוט הנחתך ע"י מישור המאונך לציר שלו (כלומר לקו הישר העובר במרכזו), והתוצאה היא כמובן מעגל מושלם. אם יהיה המישור הזה אלכסוני, נקבל אליפסה מדויקת. ואם יהיה המישור החותך מקביל לדופן החרוט, נקבל את מיודעתנו הפרבולה. ייתכן גם המצב שהמישור החותך יהיה מקביל לציר, ואז כפי שאתם רואים תתקבל היפרבולה, צורה הדומה לפרבולה, אבל שני קצותיה הפתוחים מתרחקים זה מזה בזווית גדולה יותר. כל הצורות האלה, גילה אפולוניוס, נוצרים מחתכים שונים של החרוט. וכולן, מוסיף עכשיו דקרט, ניתנות לביטוי כמשוואות ריבועיות במערכת-הצירים שלי!
עכשיו, כשהמתמטיקה למדה לטפל יפה בצורות, שמחה הפיסיקה להתחבר אליה: כל תנועה משרטטת קו כלשהו במרחב. חוק ההתמדה, למשל, שדקרט היה אחד ממנסחיו, מכתיב קו ישר (שגם הוא חתך-חרוט ”מנוון“: מישור החיתוך הוא על דופן החרוט), אבל תנועות אחרות משרטטות קו עקום. תודות לדקרט נעשו כל התנועות ממושמעות: הפרבולות של גלילאו, האליפסות של קפלר ועוד הרבה מסלולים קיבלו עתה צורת משוואות תמציתיות. אבל לא רק התנועה, אלא כל תהליך שבו יש קשר סיבתי בין שני משתנים הניתן לתיאור ע"י גרף (כמו החום של החולה בבית-החולים מצד אחד והשעה מצד שני) יכול מעתה לקבל צורת משוואה דומה. עם הזמן למדו אנשים לייצג כוחות בטבע ע"י חצים הנקראים ”וקטורים,“ כשאורך החץ מייצג את עוצמת הכוח והכיוון את כיוונו. חצים כאלה, במערכת הקרטזיאנית, נשמעים יפה לחוקי האלגברה וכך יכול הפיסיקאי לחשב את פעולות-הגומלין בין הכוחות השונים. הפיסיקה החלה לאלף את התנועה ואפילו את השינוי עצמו.
סן רנאטוס מייצר תשמישי קדושה
אם ילדותו של דקרט, תחת נבואותיהם הקודרות של הרופאים, עשתה אותו להיפוכונדר, היא גם עוררה בו את העניין באנטומיה ובפיסיולוגיה. הוא גיבש לעצמו תורת בריאות סודית (שכללה בין השאר אכילת כמות מרשימה של ביצים) וכתב לאביו של האוכנס כי יוכל להאריך ימים לפחות כמה מאות שנים. משרתת בשם הלן ילדה לו בת ושמה פרנסין, אותה כינה בפני אחרים ”אחייניתי.“ הוא אהב מאוד את ילדתו, אבל היא נפטרה כשהייתה בת שש. דקרט בן הארבעים וארבע עבר את הצער הקשה ביותר בחייו. אבל נראה שחוויית האבהות עשתה משהו לאיש המסוגר: מהעדויות משנותיו האחרונות עולה דאגה ממש אבהית לכפריים ההולנדיים שבקרבם חי. שרפשטיין‏52 מצטט תיאורים של דקרט על הבעות פניהם של ילדים העומדים לפרוץ בבכי, ויש בהם הרבה חמלה והבנה.
ספרו ”עקרונות הפילוסופיה“ הוקדש לתלמידתו המבריקה, אליזבת נסיכת בוהמיה. שמע הידידות הזאת הגיע לאוזני קריסטינה מלכת שוודיה. גם אני רוצה, אמרה הוד-מעלתה. תביאו לכאן את הצרפתי שילמֵד גם אותי! ספינת-קרב נהוגה בידי אדמירל הגיעה לחוף הולנד. דקרט עלה לסיפון והגיש לאדמירל מכתב סירוב חנפני. כעבור כמה ימים שמע שספינת-הקרב חזרה, ושהאמזונה מהצפון ממש לא אוהבת שמסרבים לה, והחליט שלא כדאי להרגיז אותה. טעות גורלית: חורף אותה שנה היה מהגרועים במאה ה-17, ודווקא אז החליטה הוד-מעלתה (שהתגלתה עם השנים כמופרעת בינלאומית) שהזמן הכי מתאים ללמוד פילוסופיה זה חמש בבוקר. כך מצא המסכן את עצמו יוצא מהמיטה באמצע הלילה, לא בדיוק בשעה לה התרגל. בינתיים חלה שגריר צרפת בשטוקהולם. דקארט, שכבר התפאר בטיפול מוצלח שהעניק לבלייז פַּסקַל בזמן מחלתו, טיפל גם בשגריר עד להחלמתו, אבל אז חטף דלקת-ריאות בעצמו. רופא החצר בא לביקור. אבקש את פַּרדוֹנךָ, אמר החולה בנימוס, אבל אני במקרה גם מומחה עולמי למחלות ויכול לטפל בעצמי. מצבו התדרדר, הוא הספיק להוריש חלק מהונו לאומנתו וכעבור עשרה ימים נפטר. השוודים קברו את הכופר הישועי בבית-קברות לתינוקות שלא נטבלו, עד שצרפת מוכת-התהפוכות תבעה וקיבלה את בנה הדגול, ליתר דיוק: קיבלה את רובו, כי בעיני רבים נחשב דקארט לקדוש, ולקתולים יש מנהג נחמד לתלוש ולשמור חלקי-חילוף של קדושים בתור קמעות. הפעם, מסתבר, התקשה הבר-מינן לברוח מהמעריצים בדרכו חזרה אל המולדת.
*
יש סיפור על דקרט ההולך לבית המטבחיים לנתח שם את הנבלה היומית ופוגש שם הולנדי צעיר מצייר עור של שור. למה אתה מצייר דווקא חיות מתות? שואל דקרט. עונה הבחור: הפילוסופיה שלך גוזלת את נשמותינו, ואילו אני אשיב את הנשמה אפילו לפגרים. לאמן הזה קראו רמברנדט.
הסיפור הזה – אמיתי או לא – ממלא אותי עצב. צר לי על רמברנדט, שימות עני ומורעב בלי לדעת שמוזיאונים בארה"ב יקנו בעתיד את ציוריו בסכומים שש-ספרתיים. וצר לי על דקרט, שהיצור היחיד שעורר בו אהבה ייגזל ממנו בצורה טרגית. אבל ההתרסה של רמברנדט מעוררת בי גם שאלות ענייניות יותר לגבי הצלחתו המדהימה של דקרט להפוך כל תנועה למשוואה. זוהי תחילתה של דרך מפוארת, אותה ימשיך בפרקים הבאים ניוטון ואחריו איינשטיין ומינקובסקי, שבה תהפוך כל תנועה לביטוי מתמטי שממנו ניתן יהיה ללמוד דברים מדהימים שאיש לא שיער. ובכל זאת, משהו ילך וייעלם ככל שתגבר המתמטיזציה הזאת של התנועה: התנועה עצמה. הפרדוקסים של זנון (ר' ‏2.3) יחזרו להציק לנו ככל שתגדל הצלחת הגישה הזאת.
אבל עוד היום גדול. בפרקים הבאים נלמד קודם את ההצלחה עצמה ורק אחר-כך נשאל מה היה המחיר שלה.
ניוטון מאחד שמים וארץ
לראות עולם בגרגר של חול'
ורקיע בפרח השדה, '
להחזיק את האינסוף בכף-יד
ונצח בשעה יחידה. '
ויליאם בלייק
בערב חג-המולד בשנה בה כבה באחוזת ארצ'טרי המאור הגדול של איטליה נולד באחוזת וּוֹלסת'וּרפּ שבחבל לִינקֵנשֵיר באנגליה תינוק חלוש לאלמנה הטרייה הַנַה אַייסקַף-ניוּטוֹן, שלא האמינה כי יחיה עד הטבילה. היא טעתה בשמונים וארבע שנה. בדברי-ימי המדע מעטות ההצלחות עוצרות-הנשימה כמו זו שנועדה ליתום הזעיר הזה, אַייזַק ניוּטוֹן (1642-1727), שנשאר קטן-גוף אבל נעשה ענק-רוח, ובטרם מלאו לו עשרים וארבע לקח את התיאוריות להן הקדישו ארבעת קודמיו את כל חייהם וגיבש אותן לכמה חוקי-יסוד המסבירים כל תנועה בשמים ובארץ. ”אם הרחקתי ראות,“ אמר, ”הרי זה משום שעמדתי על כתפי ענקים.“ אל הענקים האלה התוודענו בפרקים הקודמים, ועתה נוכל לראות איך מתמזגות נגינותיהם השונות תחת שרביטו של ניוטון להרמוניה אחת, אחידה ורבת-עוצמה.
אבל שום דיון רציני בניוטון לא ייתכן בלי השאלה הלא-נוחה ששאלנו בפרק ‏3.6: האם גאונים הם גם אנשים טובים? ראינו שהתשובה לכך היא בדרך-כלל חיובית, ופגשנו (ועוד נפגוש) כמה מדענים גדולים שהיה כיף להיות חבר שלהם. לא הפעם. סובלנות? חמלה? כבוד לזולת? אל תצחיקו אותו. ניוטון, לצד גאונותו הבלתי-נתפסת, היה, בפשטות, מניאק מרושע ורודף-נקם. לצד מה שהנחיל לנו נתוודע אם כן גם אל האיש עצמו.
תנאי ההתחלה
לא צריך להיות פסיכולוג גדול כדי להבין שאופיו החריג של ניוטון קשור לדרך בה גודל.‎69,‏51 אביו נפטר לפני לידתו ואמו נישאה שנית כשהיה בן שלוש, נטשה אותו בידי סבתו ועברה אל בית בעלה הכומר בַּרנַבַּס סמית' באחוזה הסמוכה, שם ילדה שלושה ילדים. מה חשב הילד על אמו הגרה ממש מולו עם משפחתה החדשה אפשר להבין מווידוי על ארבעים ותשעה חטאים, שחיבר בגיל תשע-עשרה: לצד ”השפרצַת מים ביום קדשךָ“ ו”הכאת אחותי,“ מתוגברים ב”הכחשה שעשיתי כן“ ו”חזרה לסורי,“ מופיעים האישומים ”13) איוּם על אבי ועל אמי סמית' לשרוף אותם ואת ביתם עליהם. 14) תפילה למוות ותקווה שיפקוד כמה אנשים.“ שני סעיפים אלה הם בעיניי מכמירי-לב במיוחד. מהכינוי ”אבי“ לסמית' עולה דמות ילד זנוח המחפש אבא אפילו במי שאסר עליו לבוא אל ביתו, ו”תפילה למוות“ מלמדת על דיכאון קשה. כמו רבים במצבו, ילמד הילד הזה לעשות את המוות לאחרים כשיצבור די כוח בבגרותו.
כשהתאלמנה הַנַה בשנית שבה לוולסת'ורפ עם שלושת ילדי סמית'. היא הציקה לבנה הבכור והתנכלה למה שהיה הכי יקר לו: לימודיו. כשהיה בן עשר שלחה אותו ללמוד בבית-ספר טוב, אבל דרשה שיחזור להיות איכר וינהל את האחוזה שירשה מבעלה. המלאך של הנער בתקופה זו היה מנהל בית-הספר, הנרי סטוֹקס, שמצא עצמו שב ומפציר באיכרה הבורה והעקשנית שתתיר לבנה להמשיך וללמוד, ומשלא הצליח ויתר אפילו על שכר-ההוראה שלו. לבסוף נעתרה הַנַה ואייזק סיים את לימודיו בהצטיינות. סטוקס, דמעות בעיניו, שלח את תלמידו בן התשע-עשרה לאוניברסיטת קיימברידג' שכבר אז נחשבה לעתיקה.
דָרַך כוכב מאַלבּיוֹן
1666, שנה שההיסטוריה היהודית הייתה מעדיפה לדלג עליה – בה אירע הביזיון של שבתאי צבי – ידועה דווקא כ”שנת הפלאות“ (annus mirabilis) בחיי ניוטון, עכשיו סטודנט בן עשרים וארבע. זו הייתה שנה רעה גם לאנגלים כי מגיפת דבר השתוללה בארצם ושריפה גדולה החריבה את לונדון. האוניברסיטאות נסגרו וניוטון חזר לבלות שנתיים באחוזת משפחתו. לעת הזאת כבר בלע את כתבי אוקלידס, קופרניקוס, גלילאו ואחרים. עכשיו היה שקוד על מחברת בכריכת עור אותה החל למלא ב 1661, ובה הניח את היסוד לכמה מקצועות: החשבון הדיפרנציאלי, המכאניקה והאופטיקה. שני כישרונות החלו להבשיל בו באותם ימים: נסיין קפדן ומחוכם מצד אחד ותיאורטיקן מזהיר מצד שני. הנה שתי הערות שנמצאו במחברותיו, המתמצתות יושר וגאונות: א)”אפלטון חברי, אריסטו חברי, אבל האמת חברתי הטובה ביותר.“ ב)”טבעי ובטוח להקיש את טבע הדברים מפעולותיהם זה על זה יותר מאשר מפעולותיהם על חושינו. הסברינו ביחס לגוף ולנפש כאחד אינם צריכים להיות מושפעים לא מזה ולא מזו.“‏50(27)
המגיפה עברה, ניוטון חזר לקיימברידג', סיים את לימודיו והתקבל כחבר סגל. מה עשה עם הרשימות שהביא מוולסת'ורפ? בפשטות: כלום. הוא לא פרסם אותן וקרוב לוודאי שהעולם לא היה יודע עליהן לולא כמה אנשים שהתקרבו אליו ובשכנועים עדינים – הוא כבר נודע כמועד להתפרצויות כעס – הוציאו ממנו יצירה אחר יצירה. אחד מהם היה המתמטיקאי הצעיר אייזק בַּרוֹ, שוויתר על הפרופסורה בקיימברידג' לטובת משרת כומר הארמון והמליץ על ניוטון לתפקיד שהתפנה. הוא חילץ מידי ניוטון מאמר קטן על החשבון הדיפרנציאלי וקיבל רשות להראותו לכמה חברים אבל לא לפרסמו (האישור ניתן רק כשניוטון היה בן 68 ובארו היה ז"ל עקב מנת-יתר של אופיום). אחרי שהמציא ניוטון את טלסקופ המראָה, התקבל לחברה המלכותית הבריטית. נשיא החברה, הנרי (היינריך) אוֹלדֵנבּוּרג, גרמני לשעבר שייסד את כתב-העת המדעי הראשון (היוצא לאור גם כיום), היה גם הוא, למרבה המזל, אדם נעים ואבהי שידע לספוג את התפרצויות-הכעס של הבחור ולשדלו לפרסם עוד מרשימותיו הסודיות.
עם השנים התגלו בכוכב העולה קווי-אופי מוזרים יותר: שעות עבודה אינסופיות, פיזור-נפש קיצוני, הזנחת הלבוש והאכילה, ומעל לכל פגיעוּת איומה שגררה אותו לשרשרת מריבות. שנאה עזה ניטשה בינו לבין רוברט הוּק (1635-1703), מדען ואמן רב-צדדי ומבריק אבל נטול כישרון מתמטי, שמדי פעם גם הקדים את ניוטון בתגלית זו או אחרת ובכך החריף את עצבנותו. ניוטון לקח ממנו נתונים תצפיתיים והציב אותם במשוואות שלו בצורה שנתנה לו חוקי טבע מדויקים. אבל כשהוק, אדם רודף-מדון בעצמו, התלונן על ששמו לא הוזכר במחקריו של ניוטון באופטיקה מיהר ניוטון לגנוז אותם. הוא פרסם אותם רק כעבור שבע-עשרה שנה, מיד אחרי מות הוק, כדי שיריבו לא יזכה ללמוד משהו מהם. מאוחר יותר ינסה ניוטון ללא הצלחה להביא להשמדת כל כתבי יריבו, ונראה שהצליח להשמיד את הדיוקן היחיד ששרד ממנו. מלחמה אחרת ניטשה בינו לבין אסטרונום שקדן בשם פלַמסטִיד (1646-1719). ניוטון היה זקוק לנתוניו התצפיתיים לביסוס הפיסיקה שלו, אבל כשנקלע לריב אתו עשה כל שימוש אפשרי בסמכותו, עתה כנשיא החברה המלכותית, כדי שעבודת חייו של האיש תימחק מההיסטוריה. ועל כל אלה תאפיל פרשת לַייבּנִיץ (ר' ‏8.5 להלן), שניוטון האשימו בגניבת תגלית החשבון הדיפרנציאלי. וגם בכל אלה לא יהיה די עד שהמלומד המתבודד יקבל תפקיד ציבורי רב-עוצמה שיאפשר לו לשלוח אנשים אל מותם, ובו יעסוק בהתלהבות עד סוף ימיו.
על שלושה חוקים היקום עומד
שנת 1679 מצאה את ניוטון במצב קשה: אמו חלתה באבעבועות, הוא חבש את פצעיה וטיפל בה במסירות עד מותה. בשנה זו עבר התקף דיכאון. באותה עת החל להתכתב עם הוק על הכבידה, מה שכנראה דרבן אותו לרכז את מאמציו בהבנת כוח זה. כעבור כמה שנים נכנס לחייו עוד מלאך מסוגם של סטוקס, בַּרוֹ ואולדנבורג: אדמונד הַלִי (1656-1742) אסטרונום צעיר, טוב-מזג וכופר גמור. בחור זה עתיד היה לגלות כי כוכב-השביט שהופיע ב 1686 הוא אותו שביט שהופיע ב 1607, ב 1531 וכך הלאה במרווחים של 75 שנה, והוא קרוי כיום על שמו. ב 1684 שיערו הַלִי והוּק שהחוק השלישי של קפּלר נובע מכוח משיכת השמש, הנחלש ביחס הפוך למרחק בינה לבין כוכב-הלכת, ושגם המסלול האליפטי המפורסם של קפלר ניתן להוכחה על בסיס כוח כזה. הלי יצא מלונדון לקיימברידג' לבקר את ניוטון, הצליח להתחבב עליו וקנה את ידידותו. הוא שאל אותו מה תהיה צורת מסלולי כוכבי-הלכת אם פועל עליהם כוח משיכה הנחלש בצורה כזאת עם המרחק. ”אליפסה,“ אמר ניוטון. ”הוכחתי את זה באיזו מחברת, אבל אני לא זוכר איפה שמתי אותה.“ האלי הבין היטב את גודל התגלית: ניתן לגזור את חוקי האסטרונומיה מחוקים פיסיקליים! אולי, שאל בעדינות, אפשר לקבל את המחברת שלך לפרסום? טוב, אמר האיש המפוזר, אחפש אותה. שבועות עברו, הלי כבר התייאש, ואז התברר שהביקור גרם לניוטון, שהתקרב עתה לארבעים, לפרץ מחודש של יצירתיות. הוא חזר לרשימותיו מ”שנת הפלאות,“ בדק ותיקן כמה טעויות בחישוביו ומיד ראה את התאמתם היפה לנתונים האסטרונומיים שכבר היו ידועים. הוא המשיך ופירט את תגליותיו בשאר ענפי הפיסיקה (חוץ מאופטיקה, כי בינתיים הפך הוק לשנוא-נפשו), ועד מהרה התפתח ספר עב-כרס! האלי התגייס לסייע בעריכה, החברה המלכותית הזדרזה להעניק את שירותי ההדפסה שלה, וכשנגמר לה התקציב התנדב הלי (שמצבו הכספי היה גרוע באותם ימים) לממן מכיסו את ההוצאות. הוא גם כתב הקדמה חנפנית ואפילו שיר-הלל למחבר! כעבור שנה וחצי של עבודה מאומצת, ב 1687, הופיע אחד הספרים המשפיעים ביותר בהיסטוריה: Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, ”העקרונות המתמטיים של פילוסופיית הטבע.“
על-פי מופת ה”יסודות“ של אֵוּקלידֵס, גם ה”עקרונות“ בנוי במתכונת לוגית קפדנית: מינימום חוקי יסוד, המקבילים לאקסיומות של המתמטיקאים, שעליהם ניתן להסביר כמה שיותר תופעות.
השחקנים מגדירים זה את זה
שלושה מושגים מחייבים הגדרה מדויקת לפני שניגש ללמוד את חוקי ניוטון:
מאסה היא כמות החומר של הגוף, שאותה נוכל למדוד בפשטות ע"י שקילתו, אבל יש למאסה עוד צד: ההתנגדות לשינוי במצב התנועה. הנה הדגמה: נסו לדחוף בדמיונכם אבן חצץ ואחריה סלע. לכאורה, העובדה שדחיפת הסלע קשה יותר נובעת מהעובדה שהוא ”שוקל“ יותר. אבל ניוטון הבין שהתנגדות הסלע לדחיפה מופיעה גם בנפרד מהכבידה. במילים אחרות, גם אסטרונאוט בחלל החיצון יתקשה יותר לדחוף סלע מאשר אבן חצץ, למרות ששני הגופים מרחפים בחלל. להשלמת ההבנה של מושג המאסה דמיינו עכשיו את האסטרונאוט הזה מנסה לעצור בחלל אבן חצץ נעה ואחריה לעצור סלע הנע באותה מהירות. שוב, עצירת הסלע הגדול תהיה קשה יותר. מאסה, אם כן, מבטאת שני דברים, שהקשר ביניהם הוא קצת מסתורי: א)משקל ו-ב)מידת ההתנגדות לשינוי מצב התנועה. מושג נלווה הוא מרכז המאסה (המוכר גם בצורה הפחות מדויקת ”מרכז הכובד“). זוהי נקודה דמיונית בגוף המתנהגת כאילו כל המאסה של הגוף מרוכזת בה. כל כוח הפועל על הגוף פועל, אם כן, כאילו פעל רק על מרכז המאסה שלו. אם יש לגוף צורה מתאימה, מרכז המאסה שלו יכול להיות אפילו מחוץ לו, עיקרון המאפשר למרכז המאסה של מכונית להיות קרוב לכביש, או לאתלט לקפוץ מעל מוט בעוד מרכז המאסה שלו עובר... מתחתיו!
מהירות היא מילה המציבה בעיה קשה למחבר העברי כי באנגלית התייחדו לה שתי מילים שונות: speed מציינת סתם מהירות בעוד velocity פירושה מהירות בכיוון מסוים. בספר זה, לצורך הבהירות, אשתמש במונח ”מהירות כיוונית.“
תאוצה, בעקבות גלילאו, היא מושג מרכזי גם בתורת ניוטון. בהתבסס על הגדרתנו הקודמת, נגדיר תאוצה כ”שינוי המהירות הכיוונית במשך יחידת זמן.“ אם אני נוסע במכוניתי ורק משנה כיוון בלי להאיץ, בכל זאת הייתה פה תאוצה למרות שלא הגברתי את מהירותי. תאוצה מופיעה, אם כן, בין אם אני מוסיף לחץ על הדוושה, לוחץ על הבלמים (תאוצה שלילית או תאוטה) או סתם מסובב את ההגה.
כוח, השחקן הראשי השלישי בדראמה הניוטונית, ניתן עתה להגדרה בפשטות כ”מה שגורם תאוצה.“ כשאנו דוחפים משהו, או עוצרים משהו נע, או משנים את תנועתו בדרך אחרת, הפעלנו עליו כוח. סוג אחד של כוח הוא הכבִידה, וכוחות אחרים הם המגנטיות והחשמל, אליהם נתוודע בהמשך.
חוקי היסוד
אם הבנתם את שלושת מושגי היסוד – מאסה, תאוצה וכוח – שלושת חוקי התנועה של ניוטון יובנו לכם ללא קושי:
א. כל גוף ימשיך במצבו, מנוחה או תנועה אחידה בקו ישר, אלא אם כן הוא מאולץ לשנות ממצבו זה עקב כוח חיצוני המופעל עליו.
ב. תאוצתו של גוף נמצאת ביחס ישר לכוח השקול הפועל עליו, כיוונה ככיוון הכוח השקול, וגודלה נמצא ביחס הפוך למאסת הגוף.
ג. כאשר גוף מפעיל כוח על גוף שני, הגוף השני מפעיל על הראשון כוח שווה בכיוון הנגדי.
החוק הראשון ידוע כ”חוק ההתמדה (אינרציה).“ אם נדחף, למשל, אבן בחלל החיצון, היא תמשיך בתנועתה, אפילו מיליוני שנים, כל עוד לא יופעל עליה כוח אחר. מעניין: ניוטון עצמו בוודאי הבחין שהחוק הראשון בעצם כלול בחוק השני. למה, אם כן, העניק לו מעמד נפרד ולא כלל אותו בחוק השני כפי שהיה עושה בוודאי אוקלידס? נראה שהרגיש אינטואיטיבית שלמושג ”קו ישר“ יש חשיבות מיוחדת. זה מחזיר אותנו אל ההבחנה של גלילאו: אין הבדל בין תנועה קצובה למנוחה. תורת היחסות תצדיק אינטואיציה זו במלואה.
החוק השני הוא ”חוק התאוצה.“ כדי לוודא שהבנתם אותו שימו לב לטעות טבעית מאוד של אריסטו, שגלילאו וניוטון דורשים מאתנו להתגבר עליה. הנה, טוען אריסטו, אם נסתכל סביבנו נראה שכל גוף נע נעצר לבסוף. לכן, מצבם הטבעי של גופים הוא מנוחה, ואם גוף נע, זה מפני שפועל עליו כוח. על כך משיבים גלילאו וניוטון: טעות! דווקא עצירה של גוף מעידה על כוח הפועל עליו, כמו כוח המשיכה והחיכוך, שהם תופעות דומיננטיות כאן על כדור-הארץ אבל לא בחלל. לכן, על גוף הנע בתנועה קבועה לא פועל שום כוח.
את החוק השלישי, ”חוק הפעולה והתגובה,“ אדגים בעזרת הפעולה שבה אני קם מכסאי: אני דוחף ברגליי את רצפת הבניין, הנטוע חזק בקרקע כדור-הארץ, אבל איני מצליח לדחוף את כדור-הארץ למטה בשל המאסה הגדולה שלו (החוק השני). בו-בזמן, פועל עליי כוח נגדי השקול לדחיפתי, ומכיוון שהמאסה של גופי קטנה יותר, התוצאה היא עליית גופי כלפי מעלה.
דוגמה נוספת בה משתלבים החוקים השני והשלישי היא הכוח הצנטריפוגלי, שהוגדר ע"י הַאוּכֶנס (ר' להלן) וימלא תפקיד חשוב בהמשך דיוננו. הנה דלי מים קשור בחבל שמישהו מסובב במהירות באוויר. המים אינם נשפכים אלא נלחצים לקרקעית הדלי, כלומר לכיוון הנגדי למרכז המעגל. כוח זה אינו כוח יסודי אלא שקול של שני כוחות: מצד אחד, כוח הסיבוב דוחף בכל רגע את הדלי להמשיך בקו ישר בכיוון הקרוי ”משיק“ למעגל. מצד שני יש כוח אחר – משיכת החבל – המושך את הדלי למרכז. הדלי, ה”רוצה“ להמשיך בקו ישר לפי החוק הראשון, מפעיל על החבל כוח נגדי לפי החוק השלישי, וכך מתקבל הכוח השקול הלוחץ את הדלי בכיוון ההפוך למרכז ואת המים אל תחתית הדלי. אם יתנתק החבל, ייעלם הכוח המושך למרכז, ואז ייעלם גם הכוח הצנטריפוגלי, ולכן יעופו הדלי והמים בכיוון המשיק למעגל.
”ואידך פירושא הוא, זיל גמור“ (השאר הוא הפירוש, לך השלם בעצמך). תורת הכוחות של ניוטון החלה מיד להסביר כל תנועה בשמים ובארץ.
הכבידה
ב”שנת הפלאות“ החל ניוטון גם במחקר הכּבִידה (גרוויטציה). מגלילאו למדנו שגוף נופל נתון לתאוצה, כלומר בכל רגע גדלה מהירותו. אם כך, אומר החוק השני, על גוף זה פועל כוח. ניוטון פנה להגדרת כוח זה.
הסיפור מוכר: ניוטון ראה תפוח נופל ושאל: למה הוא לא נשאר במקומו גם אחרי שניתק מהעץ? ואז חשב על הירח. לו היה הירח נתון רק להשפעת החוק הראשון, היה ממשיך ובורח לנו בקו ישר. שני הגופים, אם כן, מפגינים תופעה דומה: התפוח הנופל שומר על כיוונו אך משנה את מהירותו, ולעומתו הירח שומר על מהירותו אך משנה את כיוונו. בשני המקרים, אם כן, מופיע שינוי המהירות הכיוונית, לאמור: גם התפוח וגם הירח הם בתאוצה. מה עוד אומר החוק השני? התאוצה היא בכיוון הכוח. הכיוון שאליו מאיצים התפוח והירח הוא הארץ, ולכן הארץ היא מקור הכוח הפועל על שניהם.
עכשיו שאל ניוטון שאלה חשובה: אם כדור-הארץ הוא המפעיל את הכבידה, למה גוף גדול כבד יותר מגוף קטן? תשובתו הייתה שכוח הכבידה הוא תכונה של החומר עצמו, ולכן, את כובדו של התפוח, למשל, קובעים שני שותפים: לא רק כדור-הארץ מושך את התפוח, גם התפוח מושך את כדור הארץ. במילים אחרות, כל הגופים שסביבכם – כיסאות, שולחנות, אנשים, אפילו חלקיקים – מפעילים כבידה אלה על אלה לפי המאסות שלהם. כיוון שהכבידה של גופים כאלה היא חלשה, ועל כולם מאפילה הכבידה האדירה של כדור-הארץ, איננו מרגישים בה, אבל היא קיימת, וניתנת למדידה (ר' בהמשך). לכן, כשהתפוח נופל מהעץ, הוא מציית לשלושת חוקי-היסוד. נתחיל דווקא בשלישי: שני הגופים נמשכים זה אל זה באותה מידה שהם מושכים זה את זה. אבל מי יבוא אל מי? אומר החוק הראשון: שני הגופים מתנגדים לשינוי במצבם, כלומר התפוח שזה עתה ניתק מהעץ ”לא רוצה“ לשנות ממצב המנוחה שלו, וגם כדור הארץ ”לא ממש בא לו“ לעלות לקראת התפוח. מה אומר החוק השני? לשני הגופים נגרמת תאוצה, השווה לכוח ההדדי הפועל עליהם מחולק במאסה של כל גוף. לכדור-הארץ מאסה כל כך ענקית עד שהתפוח יצטרך לחכות הרבה מיליוני שנים כדי שכדור-הארץ יתקרב אליו. לתפוח עצמו, בשל המאסה הזעירה שלו, יש יכולת התמדה הרבה יותר חלשה ולכן הוא יגיע אל הארץ תוך הרף-עין.
ומה לגבי השמש? גם סביבה מתעקמים מסלולי כוכבי-הלכת, וגם כאן משמעות החוק השני היא שהשמש מפעילה עליהם כוח. וגם במקרה זה, הכוח שמפעילה השמש על כוכב-הלכת עומד ביחס ישר גם למאסה של השמש וגם למאסה של כוכב-הלכת עצמו. עכשיו, כשעיין ניוטון בשלושת חוקי קפלר, הבין שהם רק מקרים פרטיים של שלושת חוקי התנועה שלו, החלים לא רק על כוכבי-לכת אלא על כל גוף חומרי.
כך, בשורה של צעדים מתמטיים פשוטים ומזהירים, הצליח ניוטון לחלץ מהנתונים האסטרונומיים חוק כללי:
חוק הכבידה: בין כל שני גופים פועל כוח השווה למכפלת המאסות שלהם, כפול המספר הקבוע G, חלקי המרחק ביניהם מוכפל בעצמו.
נשאר רק לגלות את ערכו של G. ניוטון חישב אותו באופן גס כשהציב במשוואת החוק את המאסות המשוערות של הארץ והירח, שאת נפחיהם כבר חישבו היוונים. בואו נקבל ערך מדויק יותר.
שונא-נשים מוצא את ה-G של היקום
לאנגלים הנחמדים יש דרך משלהם להגדיר אדם המתנהג בצורה משונה: לא ”קוקו“ ואפילו לא ”מוזר,“ אלא מונח גאומטרי מכובד ששימש גם אותנו בפרקים הקודמים: ”אקסצנטרי,“ כלומר חורג מהמרכז. גם אני רוצה להיות נחמד, ולכן אומר שהנרי קַוֵנדִיש (1731-1810) היה קצת אקסצנטרי, כלומר, קצת הרבה: הוא לא סבל אנשים, בעיקר לא נשים, לבש בגדים עתיקים, השמיע ציוצים (!) ועשה הכל כדי שלא ידברו או יגשו אליו. אפילו משרתיו (הוא היה מיליונר, אם כי חי בפשטות) קיבלו ממנו הוראות על פתקים.
קַוֵנדִיש קבע את ערכו של G בניסוי פשוט (שכאן עשיתי אותו קצת יותר פשוט) ומדויק. שני כדורי עופרת קטנים חוברו לשני קצותיו של מוט שהיה תלוי מן התקרה בדיוק ממרכזו, כמו מאזניים. למרכז המוט חוברה מראה שאליה כוונה אלומת אור שהוחזרה אל הקיר ממול. עכשיו קירב קַוֵנדִיש שני כדורי עופרת גדולים, משני כיוונים הפוכים, אל שני הכדורים הקטנים שבקצות המוט. האלומה שהוחזרה מהראי שינתה מעט את כיוונה. נותר לקַוֵנדִיש רק לחשב מתוך סטיה זו עד כמה זזו ממקומם שני הכדורים הקטנים עקב משיכת הגדולים.
אקדים ואזכיר כי בינתיים קבעו אנשים יחידה למדידת הכוח: הכוח הדרוש להאיץ קילוגרם אחד במטר לשנייה בריבוע נקרא, כיאה וכנאה, ניוטון אחד. הערך המדויק של G הידוע כיום הוא אם כן 0.00000000006672 ניוטון לשתי מסות בנות ק"ג הרחוקות זו מזו מטר אחד, שזה ממש-ממש קצת: אפילו כשתתקרבו לגורד-שחקים ענק לא תרגישו את הכבידה שהוא מפעיל עליכם, אפילו אם גם אתם וגם הבניין תרחפו בחלל החיצון. אבל מה שבאמת מופלא הוא שהקבוע החלשלוש הזה הוא אוניברסאלי, כלומר שולט בכל היקום.
החשבון המוזר
אם קופרניקוס, קפלר וגלילאו הפילו עמודים במקדש האריסטוטלי ובנו עליהם מבנה חדש, איך נתאר את פועלו של ניוטון? ניסוח סביר יהיה זה: הוא חפר עמוק מתחת למבנה החדש, העמיד לו יסודות חדשים, חזר וכיסה אותם בעפר, עלה חזרה אל הבניין, הוסיף לו אגפים חדשים, ולסיום בנה מסדרונות שחיברו בין כל אגף ואגף. עוצר-נשימה, נכון? אבל זה באמת מה שניוטון עשה: הוא הניח יסודות חדשים למתמטיקה ואז המשיך את בניין תחומי הפיסיקה השונים המבוססים עליהם. אגב כך, הוא גם הראה לראשונה דרך להתמודד עם הפרדוקס העתיק של זנון (ר' ‏2.3) בנוגע לזמן. ”אולי הצעד המחשבתי הגדול ביותר שזכה אדם לעשות אי-פעם,“ כינה איינשטיין את החשבון הדיפרנציאלי.‏4(160) בואו נתוודע אליו.
איך לקבל משהו מהרבה-הרבה אפסים
במרכז החשבון החדש עומד יצור מתמטי מוזר, ”גודל שואף לאפס,“ עם הגדרה קצת חולנית: ”גדול מאפס אבל קטן מכל מספר אחר.“ נא להכיר: הנגזרת.
מתמטיקאים מרבים לדבר על ”התעלול הנבזי“ שעשה ניוטון כדי לגרום לנגזרת שלו להיות גם אפס וגם לא אפס לפי החשק, והוא מוסבר בנספח. אם תרצו לקבל מושג אינטואיטיבי על התעלול דמיינו את ניוטון בא לפיצוציה ומבקש פחית בירה. הוא קורא את הכתוב על הפחית ואומר למוכר: ”רגע, כתוב פה שהרופאים אומרים שאלכוהול מזיק לבריאות, אז תביא במקום זה חבילת סיגריות.“ הוא מקבל את החבילה והולך.
”סליחה,“ קורא אחריו המוכר, ”לא שילמת על הסיגריות!“
ניוטון מסובב ראשו ומביט בו כלא-מאמין. ”ולמה שאשלם? הרי קיבלת במקומן פחית בירה חדשה!“
”אבל...“ מגמגם המוכר, ”גם על הבירה לא שילמת!“
”מה?! תגיד, אתה לא קרוב של לייבניץ במקרה? איך אתה מעז לבקש תשלום על משהו שלא לקחתי ממך?“
”אבל כן לקחת סיגריות...“
”ואתה, נודניק, כן קיבלת בירה!“
זה בערך מה שניוטון עשה עם הנגזרת: פעם הניח שהיא קיימת ופעם שהיא לא. חמוש בשיטה הדו-פרצופית הזאת, הצליח לפתור בעיה כמו חישוב נפח חבית: חבית, כידוע, אינה גליל פשוט אלא מתרחבת באמצעיתה ולכן משוואת הגליל אינה מתאימה לה. גדולי המדע לפני ניוטון התחבטו בבעיה זו ומצאו לה פתרונות חלקיים: ארכימדס, פֵרמָא, וגם ידידנו קפלר, שלקראת חתונתו עם סוּזַנַה התפנה לחקור את נפח חבית היין שקנה. בשיטה של ניוטון, ניתן היה להתייחס לחבית כאל אוסף עיגולים, כל אחד ברדיוס שונה, שעוביים אפס, אבל יש אינסוף עיגולים כאלה, ולכן יוצאת מהם חבית שלמה. פילוסוף נודע בן זמנו של ניוטון, הבישוף האירי ברקלי (1685-1753), העיר בלגלוג:
אם נרים את המסך ונציץ תחתיו... נגלה ריקנות גדולה, אפלה ובלבול; ואולי, אם איני טועה, ממש דברים בלתי-אפשריים וסתירות... אלו אינן כמויות סופיות ואף לא כמויות קטנות באופן אינסופי, ועם זאת הן עדיין אינן לא-כלום. האם לא נוכל לקרוא להן רוחות רפאים של גדלים עזובים ששבקו חיים?[](126)
הייתה רק בעיה אחת, קטנטנה: השיטה הזאת עבדה.
יש מ(אינסוף)אין
נתחיל בבעיה פשוטה. הנה מעגל. מה שיפוע הקו שלו? עצם השאלה נשמעת טיפשית. קל להגדיר את השיפוע של קו ישר, למשל, כביש: ”בכל מטר הוא נעשה נמוך ב 10 ס"מ.“ אבל אם שיפועו של הכביש נעשה תלול יותר מנקודה לנקודה, כמו במעגל, הגדרת השיפוע ניתנת רק בערך ע"י קו דמיוני קצר. כדי שהדיוק יהיה מושלם, חייב הקו הזה להיות הכי קצר שאפשר, כלומר באורך... נקודה. אבל ממתי יש לנקודה שיפוע? המתמטיקאים הקדמונים הציעו, בהיסוס ובהרבה התנצלויות, לחשוב על המעגל כאילו הוא מין מצולע עם הרבה-הרבה צלעות קטנטנות, ולהגדיר את השיפוע שלו בכל נקודה כאילו הייתה שם אחת הצלעות האלה. בא ניוטון והביא למתמטיקה את מושג ה”נגזרת.“ את היצור הבלתי-סביר הזה, מעין ”קו ישר באורך נקודה,“ הראה ניוטון איך לחשב מתוך נוסחת הקו העקום כולו שאותה, כזכור, כבר נתן לנו דקרט בפרק ‏7. הנגזרת, אמר ניוטון, היא השיפוע המדויק של הקו העקום. קל להיווכח באמינות השיטה הזאת כשמדובר במעגל, כי אפשר למצוא את המשיק למעגל הזה בשיטה חוקית: נשרטט את הרדיוס שלו ונציב בסופו קו מאונך לו. והנה, מהנגזרת של ניוטון מתקבל אותו משיק. לכן, הודו כולם, אפשר לסמוך על הנגזרת גם כשאנו רוצים למצוא את השיפוע של עקומות מסובכות יותר, שבהן לא קיימת שיטה חוקית.
כמו הזוגות חיבור-חיסור וכפל-חילוק, גם לנגזרת יש בן-זוג הפוך, האינטגרל, וגם הוא בנוי על הגודל השואף לאפס. נחזור אל העיגול שלנו ונשאל שאלה משלימה: מה שטחו? גם כאן נוכל להתחכם ולהשתמש בנוסחה הידועה למקרה זה, πr2. אבל לא תמיד זה יהיה עיגול; לפעמים זו תהיה אליפסה או צורה משונה יותר. איך, אם כן, נמצא את השטח? אפשרות אחת, מאוד לא מדויקת, היא למלא את העיגול בהרבה-הרבה מלבנים צרים וצפופים. את שטח כל מלבן קל לחשב – אורך כפול רוחב – ואז נחבר את שטחי כל המלבנים יחד. ברור שזה ”חיפוף,“ כי המלבנים אינם ממלאים לגמרי את העיגול אלא משאירים צ'ופצ'יקים דמויי משולש משני הצדדים. אילו היו צ'ופצ'יקים אלה סתם משולשים, היינו מודדים את שטחיהם ומוסיפים אותם לשטחי המלבנים, אבל הבעיה היא שאלה לא ממש משולשים: גם מהם ייוותרו צ'ופצ'יקונים בצורת שאותם נצטרך למלא בעוד מלבנים ומשולשים קטנים עד אינסוף. ברור, כמובן, שהדיוק יגדל ככל שיהיו המלבנים צרים יותר, אבל הם לעולם לא יכסו ממש את כל שטח העיגול, אלא אם כן יהיה עוביו של כל מלבן... נכון, שוב אפס, ושוב, נצטרך אינסוף מלבנים כאלה!
אל דאגה, אמר ניוטון. האינטגרל שלי יעשה לכם את העבודה. ושוב, נוכל להיווכח בנכונות השיטה כשננסה אותה על צורה פשוטה כמו עיגול: מתקבלת בדיוק אותה התשובה כמו ה-πr2 המוכר.
כך נולד ה”אינפי“ או ה”חדו"א“ (חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי), חשבון הגדלים השואפים לאפס, שבאנגלית נקרא בפשטות calculus, החשבון.
חזרה אל הפיסיקה
בוודאי הבנתם איך העקומולוגיה הזאת נותנת בסיס חדש לפיסיקה: הפיסיקה חוקרת שינויים. את השינוי ניתן לייצג ע"י קו בשיטת דקרט, ואת קצב השינוי ע"י העקמומיות של הקו הזה. גילוי תכונותיה הקוויות של נקודה הוא אם כן מהפכה גם במתמטיקה וגם בפיסיקה.
סוג השינוי הפשוט ביותר הוא שינוי המקום, כלומר התנועה, ושינוי התנועה הוא התאוצה. מעכשיו, אם נדע את מצבו ההתחלתי של גוף, נוכל לקבל את מקומו, מהירותו ותאוצתו בכל רגע לא ע"י ניסויים מייגעים אלא בעזרת המשוואה של ניוטון. קל להדגים את השיטה הזאת על הנפילה החופשית של גלילאו (פרק ‏6.2): משוואת גלילאו נותנת את מקומו של גוף נופל בכל רגע (ועם הסימן מינוס, כזכור, היא יכולה לעשות זאת גם לגבי גוף שנזרק כלפי מעלה). ניתן לתאר תנועה זו בשיטת דקרט (פרק ‏7) כך שתיתן קו עקום – בהבדל אחד, שהפעם ציר אחד במערכת הצירים הוא ציר הזמן. בא ניוטון, עושה למשוואה הזאת ”גזירה,“ כלומר מוצא את הנגזרת של הקו המתאר את מקום הגוף בכל רגע, ועכשיו אומרת לנו המשוואה את מהירותו בכל רגע. אם הגוף הזה הוא, למשל, טיל המשרטט במעופו את הפרבולה המוכרת, יכולה השיטה של ניוטון לומר לנו בדיוק היכן הנגזרת מתאפסת, כלומר, איפה שיפוע הפרבולה נעשה אופקי, שזה בדיוק השיא שממנו יתחיל הטיל לרדת. כך יכולים אנו לדעת לאיזה גובה יגיע הטיל, ומתוך כך גם לאיזה מרחק. הנה, מה שנראה כפלפול פילוסופי עקר על אפסים-שאינם-אפסים נותן תשובה מדויקת לשאלות של חיים ומוות!
קיבלנו אם כן חשבון חדש. במקום המשוואה המוכרת, שלתוכה אנחנו מכניסים מספרים ומקבלים את המספר המבוקש, יש לנו עכשיו ”משוואת-על“ שלתוכה אנחנו מכניסים משוואה אחת ומקבלים משוואה חדשה. כתבו, אומר ניוטון, משוואה קרטזיאנית של גוף נע (פרבולה, אליפסה וכד'), רק שבמקום לתאר את היחס בין צירי המרחב, כתבו אותה כך שתתאר את היחס בין המרחב והזמן: ברגע t1 נמצא הגוף בנקודה x1, ברגע t2 בנקודה x2 וכו'. אם באמצעות ”משוואת-העל“ שלי, תעשו למשוואה גזירה, היא תהפוך ממשוואת מקום למשוואת מהירות. עוד גזירה והיא תהפוך ממשוואת מהירות למשוואת תאוצה. ואם תעשו לה אינטגרציה, היא תהפוך את המשוואות בכיוון ההפוך, ממשוואת תאוצה למשוואת מהירות וממשוואת מהירות למשוואת מקום. כך, למשל, קיבל ניוטון מחדש את המסלולים האליפטיים של קפלר מתוך חישובים שהתבססו על כבידת כוכבי-הלכת. וכמובן, זו רק דוגמה בודדת. משוואות דומות, שבהן הזמן הוא הציר המתאר את השינוי, משמשות כיום בהנדסה, ברפואה, בכלכלה ובכל תחום החוקר שינויים באופן כמותי.
הענקים שרים במקהלה
אנחנו עדים עכשיו לאחד האיחודים היפים בתולדות הפיסיקה: תהליכים שונים-לכאורה מתגלים כפנים שונות של אותו תהליך, וכל אלה מתאחדים עם אחת מהיפות שבתגליות המתמטיקה!
הנה מה שאנו יודעים על התנועות השונות הקשורות בכבידה: א)פטולמאיוס וקופרניקוס ייחסו לגרמי השמים תנועה מעגלית, ב)קפלר הראה שכוכבי-הלכת נעים באליפסות, ג)גלילאו תיאר את המסלולים הפַּרַבּוֹליים של קליעים הנורים על הארץ, ו-ד) כיום ידוע שיש אסטרואידים המגיעים למערכת השמש מהחלל החיצון ובהשפעת כבידת השמש ”עושים פרסה“ אחורנית בפרבולה או בהִיפֶּרבּוֹלַה. במקביל: א)אפולוניוס הראה לנו בפרק ‏7.3 כי כל המסלולים האלה, מהעיגול עד ההיפרבולה, שייכים לאותה משפחה: דהיינו חתכי החרוט, ו-ב)דקרט הראה לנו שם איך כל הצורות הללו ניתנות לייצוג ע"י אותה מערכת משוואות ריבועיות.
עכשיו בא ניוטון, חמוש באינפי שלו, ומוכיח: כל המסלולים האלה הם וריאציות של אותה תופעה, הנפילה החופשית!
ראשית, אין הבדל של ממש בין אליפסה ומעגל. מעגל הוא פשוט אליפסה ששני המוקדים שלה נמצאים באותה נקודה (אקסצנטריות אפס). ואמנם הרבה מסלולים לווייניים, כמו אלה של הארץ והירח, הם מעגלים כמעט מושלמים. שנית, כשגלילאו תיאר את מסלולו של טיל הטס באוויר כפַּרַבּוֹלַה, הוא צדק רק בערך. הטיל היה משרטט פַּרַבּוֹלַה לו הארץ הייתה שטוחה, כך שכוח הכובד היה ומושך אותו בכל נקודה לאותו צד, בקווים מקבילים. כיוון שהארץ היא כדורית, מרכז המסה שלה (ר' ‏8.3 לעיל) נמצא במרכז כדור-הארץ. לכן, כוח הכבידה אינו מושך את הטיל לאותו צד בכל רגע במעופו אלא טיפה ”באלכסון“ אל מרכז כדור-הארץ. לכן, מסלול הטיל אינו פַּרַבּוֹלַה אלא קשת שהיא חלק מאליפסה ענקית. במילים אחרות, אילו הייתם דוחסים את כל כדור-הארץ לכדור קטן, היה מסלול הטיל נסגר לאליפסה שהכוכב הדחוס נמצא באחד ממוקדיה, בדיוק על-פי החוק הראשון של קפלר! או, אם אתם רוצים ניסוי יותר מעשי, תוכלו לחשב היכן ייפול הטיל ששיגרתם ולחפור באדמה מנהרה בצורת אליפסה הממשיכה את הקשת. האליפסה הזאת תקיף את מרכז כדור-הארץ ותחזור אל פני האדמה למקום שממנו שיגרתם את הטיל. אחרי שתצליחו לבנות מנהרה כזאת בתוך הליבה הלוהטת של כדור-הארץ (ואחר כך גם להתגבר על העניין הפעוט של סילוק כל האטמוספרה שלו), תראו דבר נחמד: הטיל ששיגרתם ייפול לתוך פתח המנהרה, יגיח כעבור כשעה וחצי מהפתח השני, יעבור מעליכם שוב בקשת וייפול שוב לתוך הפתח הראשון וכך ימשיך להקיף את מרכז כדור הארץ בתור ירח פיצפון העובר דרך בטן האדמה. ולבסוף, אם תשגרו את הטיל לכיוון כדור-הארץ ממרחק רב בכוח ובזווית המתאימים, תקבלו פרבולה או היפרבולה. ואם תשגרו אותו מהארץ ישר למעלה והוא ייפול חזרה על ראשכם, גם הקו הישר הזה הוא ”היפרבולה מנוונת,“ כלומר מישור חיתוך המשיק לדופן החרוט. בקיצור, כל מסלולי הנפילה החופשית משרטטים את חתכי החרוט.
ניוטון עצמו המחיש יפה את הקרבה הזאת בין כל מסלולי הנפילה החופשית, המהווים פשרה בין ההתמדה לכוח הכובד. בצד הימני שבתמונה שלפניכם מופיע הציור המקורי של ניוטון ובו מסלולי קליעים הנורים בכיוון אופקי לאדמה. אם הקליע לא נורה חזק מספיק, הוא יעשה קשת של אליפסה (שגלילאו חשב בטעות לפרבולה) סביב כדור-הארץ לפני שיפגע בו. ככל שהירייה תהיה חזקה יותר, תתארך הקשת סביב כדור-הארץ עד שתיעשה לעיגול או לאליפסה. במקרה זה, אם לא תהיה התנגדות האוויר, יהפוך הקליע ללוויין. ידיעת היחס הנכון בין כוחות הכבידה וההתמדה מאפשרת כיום לאדם לשגר לוויינים בכל מיני מסלולים סביב הארץ והשמש.
אירוניה: אפולוניוס היה גם אסטרונום שעבד במסגרת המודל הגיאוצנטרי, שרטט כל מיני אפיציקלים מעגליים ולא תיאר לעצמו שהאליפסה, הפרבולה וההיפרבולה, היוצאות מעבודתו הגיאומטרית, יתגלו כרלוואנטיות לתחום עבודתו השני, תנועות כוכבי-הלכת! וכך, מסלולים שונים ומשונים של גופים נעים, על הארץ וביקום כולו, נעשו כולם וריאציות על שלושה חוקי-יסוד. היטיב לומר המשורר אלכסנדר פופ:
טֶבַע וְחֻקָיו נוֹתְרוּ צְפוּנִים בְּלֵיל שְׁחוֹר
וַיׂאמֶר אֱלׂהִים: יְהִי נְיוּטוֹן! וַיְהִי בַּכּׂל אוֹר.
אור חדש על האור
תחת יד ניוטון הבשילה גם האופטיקה, שבפיתוחה החלו קפלר ודקרט, למדע מדויק. ניוטון פירק את אור השמש ליסודותיו בניסוי מפורסם בפשטותו: קרן אור העוברת במנסרת זכוכית התפרקה לצבעים שונים (המספר שבע הוא שרירותי כי הגבולות בין הצבעים הם הדרגתיים, וניוטון לקח אותו בוודאי מהדת). כשהעביר ניוטון כל צבע כזה במנסרה שנייה, נשאר הצבע בעינו וגם זווית השבירה, כלומר הזווית בה שינה האור את כיוונו כתוצאה מהמעבר במנסרה, נשארה ייחודית לכל צבע. בניסוי משלים איחד ניוטון את כל הצבעים מחדש, וכתוצאה שב והופיע הצבע הלבן. הוא הסיק לפיכך כי אלה מרכיביו היסודיים של האור.
תגלית זו הובילה את ניוטון להשערה שהאור מורכב מחלקיקים זעירים, הטסים במהירות עצומה ממקור האור, מתנגשים בעצמים ומנתרים משם לכיוונים שונים וכך מגיעים גם אל עינינו. עובדה, אמר ניוטון, כשאור פוגע בזווית כלשהי במשטח חלק – ראי הוא המשטח החלק ביותר – הוא מוחזר בזווית הפוכה, ממש כמו כדור טניס או ביליארד.
לדעה זו קמו מתנגדים שטענו שהאור הוא גלים של חומר מאוד-מאוד קלוש, אפילו יותר מהאוויר, הנמצא בכל מקום. את הראשון, הוּק, כבר פגשנו. מתנגד בולט יותר היה קריסטיאן הַאוּכֶנס (1629-1695), מתמטיקאי, אסטרונום (הוא גילה את הירח הראשון של צדק ואת צורת טבעותיו) ופיסיקאי. ההולנדים, כזכור, כבר התפארו בתגליות חשובות באופטיקה: הנס לִיפֵּרשֵיי (1570-1619) המציא את הטלסקופ, אנטוני פַן לֵיוֵנהוּק (1632-1723) המציא את המיקרוסקופ, וִילֵבּרוֹרט פַן רוֹיֵן סנֶל (1580-1626) גילה את חוק השתברות האור ואפילו ברוך ספינוזה (1632-1677), כשלא כתב ספרים שהרגיזו את חצי העולם, התפרנס מליטוש עדשות. האוכנס, שזכה להתחנך על ברכי דקרט, למד ממנו ליישם למחקר האופטי את כלי המתמטיקה.
האור, אמר האוכנס, כמו הקול, הוא גל, כלומר תנועה בלבד. נימוקו נשמע מוזר במבט ראשון, אבל מחשבה נוספת מגלה כמה הוא מבריק. תארו לעצמכם שורת כדורים עומדים כך שהם נוגעים זה בזה. אם ניתן לראשון שבהם מכה בכיוון השורה נראה אותו פוגע בכדור השני וחוזר למקומו, השני יפגע בשלישי וישוב למקומו וכך הלאה, התנועה תעבור לאורך כל השורה ובסופה רק הכדור האחרון יעוף החוצה מהשורה (גרסה מודרנית לניסוי הזה היא משחק הכדורים התלויים בתמונה). כך מתקדמים גלי הקול: אטום אוויר אחד דוחף את השני ושב למקומו. כך, אמר האוכנס, מתקדמים גם גלי האור, והאטומים במקרה הזה הם האטומים של חומר קלוש מאין כמותו הקרוי אתר, הנמצא בכל מקום, אפילו במה שנראה לנו ואקום מוחלט.
למה בעצם שנאמין להאוכנס שהאור הוא הפרעה גלית של ים של אטומים של משהו שאי-אפשר להוכיח את קיומו, בעוד ניוטון מציע שהאור הוא, בפשטות, האטומים עצמם הנעים ממקום למקום? אומר האוכנס: כשעצם נע במרחב ומתנגש בעצמים אחרים, הוא מאבד בהדרגה ממהירותו ומאֵט. גלים, לעומת זאת, הולכים ונחלשים אבל מהירותם נשארת בעינה כי האינטראקציה הבסיסית שביסוד הגל – אטום אחד המכה באטום שני באופן אלסטי לחלוטין – נשארת בעינה. האוכנס האמין שהאור אינו מאט את מהירותו ולכן ראה בו תופעה גלית.
בשלב זה לפנינו מחלוקת אחת מתוך רבות, בבעיה הנראית טכנית בלבד, אבל כשנגיע למאה ה-20 היא תוליך אותנו למקומות שאיש מהמשתתפים בה לא יכול היה לדמיין.
ליקוי מאורות
לא הייתה לניוטון בעיה לעמוד על כתפי ענקים כל עוד הם לא היו בחיים, אבל את הענק שחי בימיו עשה הכל כדי לגמד לגודל של נגזרת, אם לא להעלים ממש. כיום ניתן להעריך יותר את גדולת היוצר השני של החשבון האינפיניטסמילי ומי שהציב אלטרנטיבה חשובה לתמונת-העולם הניוטונית. גוטפריד וילהלם פון לַייבּנִיץ (1646-1716) היה אדם רב-צדדי מאוד הנחשב כיום, בין השאר, לאבי תורת המחשב, ושהגיע לתגליות בכל מדעי הטבע והחיים. הוא נולד כבנו של פילוסוף, ממנו התייתם בגיל שש וירש את ספרייתו הענקית בה למד בכוחות עצמו, ובגיל ארבע-עשרה החל ללמוד באוניברסיטה בה לימד אביו. פגישה עם האוכנס בפאריז הציתה את התלהבותו למתמטיקה, ובהדרכתו של האוכנס שקע בלימוד עצמי. ב 1684 פרסם את מאמרו על החשבון הדיפרנציאלי. פלגיאטור! השתולל ניוטון מזעם. כולם יודעים שאני המצאתי את השיטה.
נכון, ספרו של לייבניץ יצא בזמן שכתב-היד של ניוטון בנושא זה הסתובב באופן חשאי בין בַּרוֹ ומתי-המעט האחרים שהורשו לראותו. האפשרות של פלגיאט הייתה, אם כן, קיימת אבל קלושה מאוד. מצד שני ולמען ההגינות, נזכיר כי לייבניץ, שהתפרנס כדיפלומט ומשפטן, היה בעצמו מומחה בינלאומי לתככים, זיופי תאריכים ונבזויות. כמו רבים מגיבורי ספר זה, הוא היה מורה של משפחת המלוכה והתמחה בהתיידדות עם נסיכות נדבניות, כמו סופי מהַנובר (אחותה של הנסיכה אליזבת, שהייתה כזכור תלמידתו של דקרט), ובתה, סופי-שרלוטה מלכת פרוסיה. אבל בעיקר נהנה לייבניץ מחסותה של קרולין מאנסבאך, שהתחתנה עם אחד מבני הַנובר (בית המלוכה הבריטי הנוכחי), עברה לאנגליה ונעשתה לימים מלכת בריטניה. לייבניץ כתב לה שניוטון כופר בנצרות, והפרנויה של ניוטון הגיעה לשיאים חדשים.
למי, אם כן, זכות הבכורה? עכשיו התגלה ניוטון כרב-אמן בצד המרושע של מקצועו: הפוליטיקה האקדמית. ועדה ”מדעית“ הוקמה ע"י החברה המלכותית הבריטית לחקור מי גנב ממי את החשבון הדיפרנציאלי, שהורכבה מעושי-דברו של הנשיא החברה, אחד בשם אייזק ניוטון. כשהגיע זמן המסקנות התנדב האיש החביב לכתוב אותן עבור חברי הוועדה העסוקים, וכל שנותר להם היה לחתום. כיום מקובל ששני האנשים האלה המציאו את החשבון החדש באופן בלתי-תלוי. לכל גרסה יתרונותיה וחסרונותיה, ושתיהן התמזגו לצורה המוכרת לנו.
מחלוקת אחרת של לייבניץ עם ניוטון הייתה לכאורה פילוסופית, אבל במאה ה-20 היו לה השפעות מרחיקות-לכת על הפיסיקה. חִשבו על נקודה כלשהי באוויר החדר מולכם. מהי הנקודה הזאת? יש בה אוויר אבל זה לא מהותי כי אפשר לעשות בחדר ואקום. מה יהיה אז אותו לא-כלום? זהו ה”חלל“ או ה”מרחב“ שבו קיימים ונעים כל הגופים. אבל הנקודה הזאת שבחלל החדר כמובן אינה אותה נקודה כי בינתיים נע כדור-הארץ יחד עם החדר ואתכם למקום אחר. מבחינת כדור-הארץ אתם יושבים עדיין באותו חדר, באותו בית, באותה עיר ובאותה ארץ, אבל הנקודה ההיא, האם יש לה איזה משמעות בפני עצמה? האם החלל הריק הוא ”משהו“ כמו החומר או רק מושג מופשט?
ניוטון האמין שהחלל הוא דבר ממשי ומוחלט. הוא קיבל את דברי גלילאו שאין הבדל של ממש בין מנוחה לתנועה קבועה, אבל בנוגע לתאוצה, שבה הגוף המשנה את מהירותו עובר שינויים פיסיקליים שניתן למדוד אותם, סבר ניוטון שבמקרה הזה קורה משהו בין הגוף המאיץ לבין החלל הריק שסביבו, בערך כמו שהתנועה בתוך מים תגרום לכם להרגיש את התנגדות המים. לפיכך האמין ניוטון שהחלל הריק הוא ”משהו,“ וכמוהו גם הזמן: רגע מסוים, גם אם לא קרה בו כלום, הוא ממשי.
לייבניץ, לעומתו, טען שהחלל והזמן אינם דברים בפני עצמם אלא יחסים בין עצמים או אירועים. במילים אחרות: אם לא היו גופים לא היו גם החלל והזמן. את טענתו תמך בשורה של ניסויים דמיוניים: מה היה קורה אילו ברא אלוהים את כל היקום כמה מטרים ימינה או שמאלה? ומה אם היה בורא אותו חמש דקות קודם או מאוחר יותר? כיוון שחוקי הפיסיקה היו גורמים לכל הדברים לקרות בדיוק כפי שהם קורים עכשיו, הסיק לייבניץ שהחלל והזמן אינם דברים בפני עצמם אלא רק נובעים מהיחסים בין הגופים החומריים.
הטיעונים האלה, לכאן או לכאן, עלולים להישמע כפלפול חסר-תועלת שאינו מוביל לשום התקדמות מדעית. אבל במאה העשרים הם יהפכו לאבן-הפינה של פיסיקה חדשה ומדהימה – עוד דבר שעליו אנו חייבים תודה ללייבניץ.
למרבה הצער, עשה לייבניץ אותה טעות כמו אויבו המיתולוגי ובזבז חלק גדול מחייו על רדיפת כוח פוליטי. את מרבית רעיונותיו הביע במכתבים ולא בספרים, ובכך הציב משימה קשה לדורות שאחריו שהיו צריכים לנבור בהררי המסמכים שהשאיר, ורוב חייו עבד כשגריר נודד, משפטן, ספרן ראשי והיסטוריון בשירות שני חצרות מלוכה גרמניים. עוד יותר קשה להבין איך בזבז האיש הזה שלושים שנה מחייו על מפעל-ענק בנושא מטופש כמו תולדות בית הַנובר! גרוע מזה: הוא לא סיים את המשימה, מה שהכעיס את המלך גיאורג, לימים ג'ורג' הראשון מאנגליה, שאסר על לייבניץ לבוא לאנגליה לשמחת לב ניוטון. כשנפטר לייבניץ בודד וממורמר היה ניוטון שמח וטוב-לב. שברתי את לבו, אמר לחבריו.
פנים רבות לניוטון
ניוטון האריך ימים עד גיל 85 כשהוא מתהדר בשערות-שיבה ארוכות מול הקרחות של עמיתיו, וכל שיניו מלבד אחת נותרו בפיו. לפי כל הידוע כיום, מת ניוטון בבתוליו. מזכירו, שנקרא במקרה המפרי ניוטון, העיד כי בחמש השנים בהן עבד אתו שמע אותו צוחק רק פעם אחת (מסיבה ממש לא מצחיקה). הוא לא אהב מוסיקה, וכשהאזין לגיאורג פרידריך הֶנדֵל מנגן על נבל, התפעל מ...גמישות אצבעותיו. השיממון בחיי האהבה והיעדר שמחת-החיים אינם הדברים המוזרים היחידים בחיי ניוטון. עליהם נוספים הקריירה החצי-משטרתית שלו ועיסוקו במיסטיקה, שקשה לחברם לאישיות אחת עם נפילותו המדעית.

למעֵט הצעת נישואין שהציע בצעירותו לחברת-ילדות, שלא מומשה, לא היה בחיי ניוטון שום קשר אהבה עם אישה. את משק-ביתו ניהלה דודניתו היפה, שתחת אותו גג קיימה פרשת אהבים גלויה עם ידידו (מאהבה הקודם היה ג'ונת'ן סוויפט, מחבר ”מסעי גוליבר“). הדבר הקרוב ביותר לאהבה בחייו היה ביחסיו עם שני גברים. הראשון, ג'ון ויקינס, חלק דירה אתו והיה שותף למחקריו האלכימיים במשך עשרים שנה, אבל כשהפך כומר והתחתן ניתק ניוטון כל קשר אתו. האיש השני היה המתמטיקאי השוויצי פאטיו דה דוִּיֶה (1664-1753), שהיה צעיר מניוטון ב 22 שנה ונודע כמי שאוהב להתחבר למדענים ידועים. בין השניים נוצר קשר רב-עוצמה – דוִּיֶה מחניף לניוטון ותוקף בארסיות את לייבניץ, ניוטון מעתיר על דוִּיֶה מתנות ומפציר בו לעבור לגור אתו, ודוִּיֶה מתחמק בכל מיני אמתלאות ואפילו נעלם מדי פעם. במכתביהם מופיעות פה ושם מילים שהיו מובנות רק לשניהם.‎69 עשר שנים נמשך הקשר ואז הסתיים בצורה מוזרה: דוִּיֶה כתב מלונדון שהוא גוסס, אחר-כך הודיע שמצא חבר חדש, ניוטון יצא מיד ללונדון... וכאן נפסקה התכתובת. בתוך כמה שבועות הפך ניוטון לאדם אחר. אם 1666 הייתה לו ”שנת הפלאות,“ 1693 הייתה ”השנה השחורה“ שלו. המכתבים שכתב בתקופה זו היו של אדם שכבר לא שמר על קשר עם המציאות. הוא הודיע כי הוא מנתק קשר עם כל ידידיו והזכיר את ”המלך“ ג'יימס השני שהודח זה מכבר. את הפילוסוף הנודע לוֹק (1632-1704) האשים כי הוא אתאיסט ומנסה ”לסבך אותי עם נשים,“ ואם ימות, הוא, ניוטון, לא יצטער. אחר-כך באו מכתבים אחרים, נוגעים ללב, בהם אמר כי אינו זוכר מה כתב אבל ביקש סליחה על דבריו, וסיפר על הפרעות בשינה ואכילה שנמשכו שנה שלמה. אחד המכתבים מסתיים במילים ”עבדך העלוב וביש-המזל ביותר.“
היציאה מהמשבר הפסיכוטי הוליכה אל שלב אפל עוד יותר בחייו. ידידים סדרו לו משרה ממשלתית בכירה: המפקח על המטבעה המלכותית. התפקיד כלל באותם ימים את האחריות להבאה לדין של זייפני מטבעות, עבירה שעונשה באותם ימים היה תליה בתוספת עינויים אכזריים. ניוטון עזב מיד את קיימברידג' והתמסר לג'וב, התיידד עם עבריינים ויצא בתחפושות לסייר במקומות מפוקפקים. יש טוענים שהיה גם נוכח בחקירות בכלא, שבאותם ימים התנהלו, כידוע, בצורה לא הכי עדינה. סוף-סוף, בתפקידו כאינקוויזיטור, מצא המלומד שיכור-הכוח את האויבים המתאימים לו בדמות ראשי העולם התחתון, אותם שלח בזה אחר זה אל הגרדום, עיסוק בו שקע כמעט עד יומו האחרון. הוא רדף זייפנים, אומר הפסיכיאטר אנת'וני סטור בספרו ”הדינמיקה של היצירה,“ ”בהנאה פראית האופיינית לפרנואידים המגיעים לעמדת כוח.“‏33(84)
הרבה מידיעותינו על עולמו הנפשי של ניוטון אנו חייבים לאחד מאבות הכלכלה המודרנית, ג'ון מיינרד קֵיינס (1883-1946), שהיה גם אספן ספרים נלהב. הוא קנה במכירה פומבית את כתביו הלא-מדעיים של ניוטון, שחוקרי אותה תקופה לא חשו בנוח אתם, ופרסם מחקר חדש בו התגלה ניוטון מקרוב. ניוטון, אמר קיינס, לא היה ראשון המדענים אלא אחרון המכשפים. מחקריו המדעיים היו רק חלק זעיר ממכלול כתביו, שרובם עסק באלכימיה, היסטוריה עתיקה ותיאולוגיה. הוא היה, מסתבר, נוצרי מונותאיסט שכפר באלוהותו של ישוע. הוא למד עברית, תנ"ך ותלמוד (אם כי לא התעניין ביהודים שהחלו להתיישב באנגליה ממש באותם ימים), התעמק במבנה המשכן ובית-המקדש, שבהם ראה גילום סמלי של מערכת השמש, וחיבר פירוש מקיף לנבואות דניאל. ביסוד כל החקירות האלה הייתה טענה מוזרה: כל חוקי המדע היו כבר ידועים לחכמי-קדם, כמו נוח, משה ואפלטון, ונשכחו בשל עוונות בני-האדם. כדי להוכיח זאת ”תיקן“ ניוטון שוב ושוב את הכרונולוגיה המקובלת במאות שנים כדי להתאים את תקופות הנביאים לזמני חייהם של חכמי יוון.
מה אומרת השקפת-עולם כזאת? היא רווחת בין מיסטיקאים ואמנים, המאמינים כי השראתם באה ממקור חיצוני כלשהו והם רק ”כלי“ להעברת יצירותיהם. הד לכך קיים גם בהשקפה האפלטונית הרווחת בין המתמטיקאים והמדענים שפגשנו לאורך ספר זה, שהאמינו כי הם מגלים משהו מופשט אבל אמיתי הקיים מחוץ להם. אבל ניוטון לא הסתפק בכך וייחס את כל חוקי המדע לתורה מושלמת שכבר הייתה ידועה לקדמונים, התנוונה במהלך הדורות, וכל שנותר לעשות הוא לגלותה מחדש. זו השקפה עגומה, אבל כשמאמינים בה טיפשים המגיעים לעמדות כוח היא הופכת לסכנה גדולה, כפי שתעיד ההיסטוריה של הקנאות הדתית. השקפתו של ניוטון, השוללת מהאדם יכולת לחדֵש והרואה בכל המדע רק חזרה אל חוקים שכבר היו ידועים לאבותינו, עושה אותו מפגר בהרבה אחרי ארבעת קודמיו, שעל כתפיהם זכה לעמוד.
חוקרת ישראלית, עיבל לשם-רמתי, כתבה מחקר על ניוטון מתוך גישה המנוגדת קוטבית לזו המובאת כאן. בעיניה מכלול הגותו של ניוטון הוא הרמוני, והפיסיקה משתלבת בו היטב עם התיאולוגיה. אחרי צאת ספרה באנגלית‎68 כתבה ספר בעברית‏28 ובו נתנה ביטוי חופשי יותר להשקפתה הרואה בניוטון מבשר של ה”ניו אייג'.“ אבל גם בין החוקרים שאינם מרחיקים לכת כמו לשם-רמתי קמו לאחרונה מתנגדים לדימוי של ”שני ניוטונים,“ אחד רציונלי והשני מיסטי. דעתי בעניין זה היא הדעה הישנה: היו בפירוש שני ניוטונים, ובוודאי יותר, כי באישיותו של ניוטון ניכרות תופעות שכל פסיכולוג יכיר כ”דיסוציאטיביות,“ כלומר מבטאות חלקים סותרים של האישיות שלא התחברו כראוי – בדיוק מה שמתגלה כיום באנשים שסבלו מהזנחה ו/או התעללות בילדותם. אחרי הכל, אפילו החוקרים ה”מאחדים“ האלה לא ינסו לטעון שמכתביו המטורפים של ניוטון מ-1693 מתיישבים עם המכתבים שכתב אחר-כך ובהם התנצל על דבריו או אפילו לא זכר אותם. שסע זה בחיי ניוטון שעבר גם אל כתביו. ניוטון של ה”עקרונות“ הסתמך על חישובים קפדניים בעוד ניוטון ההיסטוריון התפתל בצורה מביכה כדי להעביר אנשים או מאורעות מאות שנים קדימה או אחורה כך לתת לעברים מעמד בכורה. ניוטון האופטיקאי עשה ניסויים מזהירים בפשטותם בעוד ניוטון האלכימאי לא השאיר, ככל הידוע לי, שום חידוש כימי. ניוטון האסטרונום חישב מסלולי כוכבים בדיוק מדהים בעוד ניוטון התיאולוג הבטיח שישוע ישוב לתחיה בשנת 1948. בקיצור, ההבדל הוא במבחן התוצאה: עבודותיו המדעיות של ניוטון הניבו אינספור ניבויים שאוששו או הופרכו, בעוד עבודותיו בתחום הרוחני נותרו התעסקות אובססיבית משמימה שלא השפיעה אפילו על המיסטיקה של ימיו. לכן, במקום לראות בניוטון נביא, נלמד ממנו הרבה יותר אם נראה אותו במלוא מורכבותו: גאון פגוע ופוגעני, שבמרבית חייו הצליח להתעלות מעל לחולשותיו.
*
חלק מכתבי-היד המיסטיים של ניוטון, אותם לא הצליח קיינס לרכוש, נקנו ע"י אברהם יהודה שתרם אותם לאוניברסיטה העברית. לאחרונה התגלתה בהם נבואה לפיה קץ העולם יגיע עוד לא הרבה זמן: בשנת 2060. מה היה ניוטון אומר לו ידע שנבואתו תגיע לירושלים, המקום בו אמורה להתחיל מלחמת גוג ומגוג? ושוב הסתירה המוזרה הזאת: הוא ניבא בסתר את קץ העולם אבל במחקריו חיפש – ומצא – את הקבוע שביסוד השינויים: את המהירות הקבועה שביסוד שינוי המקום, את התאוצה הקבועה שביסוד שינוי המהירות ואת החוק שביסוד כל השינויים. המפרי ניוטון הנאמן מספר לנו איך מגש האוכל שהביא היה נותר מלא שעות רבות, ומדי העירו לו על כך היה ניוטון אוכל בחופזה, חוזר לשולחנו ושוכח אפילו... לשבת. עולם חוקי הבורא היה לו מקום מפלט. רשות הדיבור, לסיום, לאיש עצמו, שלא אהב שירה אבל מדי דברו על הטבע הוציא שירה במיטבה:
על כן יאמרו הפילוסופים כי הטבע אינו עושה דבר לשווא, והיותר לשווא הוא כאשר די בפחות, כי אוהב הטבע את הפשטות, ולא יתהדר בסיבות למעלה מן הדרוש.
(”עקרונות,“ ספר ב' כלל א') חוקה אחת לקטן ולגדול
אֵיךְ הָא בְּדָא פּוֹעֵל, פּוֹעֵם,
וְכׂל נִרְקָם לִכְלָל שָׁלֵם!
גתה, פאוסט, תרגם י. כפכפי
המאה ה-17 קרבה אל סופה ומאה חדשה בפתח. איזה כיף! סוף-סוף חוזר העולם לימי הזוהר של יוון: גאונים קמים ברחבי איטליה, בריטניה, גרמניה, צרפת, הולנד ודנמרק, מתכתבים, מתווכחים, מתחנפים ומתקוטטים, וכך מקדמים את המדעים והאמנויות בצעדי ענק. פה ושם נשמע גם קול אשה, אותו לא שמענו מאז נרצחה היפאטיה, ועוד מעט יצטרפו סופראנים למקהלה. ובאמסטרדם יושב גם פילוסוף אחד שבין ליטוש עדשות להברקתן כותב ספרים חוצפניים ומזכיר לנו שיש עוד עַם אחד, מפוזר בין העמים, המתחיל לצאת מגטאות אירופה אל ההשכלה, וחכו-חכו מה יהיה כשישלח גם הוא נציגים לחגיגה!
למהירות הגוברת בה התקדם בניין הפיסיקה בעידן הנאורות הייתה גם סיבה לוגית. כשאתם ממלאים תשבץ או מרכיבים פאזל, הצעדים הראשונים הם הססניים ומצריכים תיקונים חוזרים, אבל ככל שתתקדמו יקבל כל חלק חסר רמזים מוצלבים מיותר ויותר כיוונים עד שצורתו תיעשה ממש ודאית. וכשמארג כזה מגיע להשלמתו, קורה דבר שגם האמן וגם המדען מכירים היטב: היצירה מצטיינת גם ביופי וגם בעוצמה. כי מה אנחנו אומרים על הדבר היפה? ”מושלם! אני לא רוצה לשנות בו שום פרט.“ כזה הוא גם יופייה של תיאוריה מדעית בשלה: יופי הנובע לא רק מההרמוניה המלאה בין חלקיה, אלא מהעובדה שהחלקים האלה מחוברים זה לזה בצורה כל כך חלקה עד שכל אחד מהם הוא הכרחי ולא נשאר ביניהם שום רווח.
כך קרה בפיסיקה הקלסית: עיקרון, שבתורתו של ניוטון היה רק מרומז, עלה ונעשה מפורש, ותודות לו הפך היקום כולו למכלול שכל חלק חסר נעשה מיד בולט בהיעדרו, וממש הזמין תגלית חדשה.
מה העדיף ניוטון לא לדעת?
ניוטון החל לגלות מאפיין חשוב של הטבע, אבל, כמה מוזר, לא השלים את תגליתו. זאת יעשה אויבו המיתולוגי, לַייבּנִיץ. המשפט מתוך ה”עקרונות“ בו חתמנו את הפרק הקודם, המדבר על הפשטות של חוקי הטבע, משקף בעצם משהו עמוק יותר מהחוקים, דהיינו עיקרון, ובמקרה שלנו, זוהי הסיבתיות: ”סיבות דומות מביאות תמיד לתוצאות דומות.“ והנה, מכל האנשים, דווקא ניוטון לא חשב שהיקום נשלט תמיד ע"י הסיבתיות.
נחשוב, לדוגמא, על שתי מכוניות (ריקות, מתוך רחמנות) הנוסעות במהירויות גבוהות ומתנגשות חזיתית. אם הן אלסטיות (גמישות) לחלוטין, הן יעופו אחורנית באותה מהירות, כמו שני כדורי ביליארד. במקרה הזה, סך-כל המהירויות לפני ואחרי התאונה יישאר אותו דבר. אבל אם אלו מכוניות רגילות נקבל שתי גרוטאות מעוכות ליד מקום ההתנגשות. כמה רסיסים יעופו לכל הכיוונים, אבל שתי הגרוטאות עצמן יוותרו דוממות זו בקרבת זו. האם לא הלך כאן משהו לאיבוד? התחלנו עם שני גושי חומר גדולים שטסו מהר, אבל בסופו של התהליך, רוב החומר נותר דומם.
את ניוטון זה לא הטריד. להיפך, כאדם דתי זה התאים לתמונת עולמו: הוא סבר שבתהליכים כאלה היקום הולך ומאבד תנועה, ולכן יגיע בסוף לעצירה מוחלטת. רק אלוהים מתערב מדי פעם ומחזיר לו את התנועה החסרה. לכן כתב ניוטון את משוואת התנועה למקרה הזה כך שהמהירות של מכונית אחת היא חיובית ואילו זו הנגדית היא שלילית, ואם שתי המכוניות נסעו באותה מהירות זו לקראת זו, והתנגשו, סך-כל המהירות בסוף התהליך היא אפס.
ברור שכאן ביצע האיש הגדול נסיגה מחשבתית. אפילו קודמו, הישועי דקרט, האמין שסך-כל התנועה ביקום משתמר. גם לייבניץ, איש לא פחות דתי שהקדיש שנים רבות של דיפלומטיה ומחשבה לאיחוד מחדש של הכנסיות הקתולית והפרוטסטנטית, הקפיד שלא לערב את אלוהים בחישובים הפיסיקליים והניח שהיקום הוא מערכת סגורה הפועלת כמו שעון משוכלל. (אלה מכם הבקיאים בפילוסופיה מכירים בוודאי את המשל היפה שלו על שני השעונים המתואמים שבעזרתו ניסה להסביר את ההתאמה בין התודעה לפעולת המוח.) לייבניץ סבר, לפיכך, כי במשוואות התנועה של ניוטון צריך איבר המהירותv להיות מוכפל בעצמו, כלומר v2. על-פי תיקון זה, גם המהירות השלילית תורמת גודל חיובי להתנגשות כי מספר שלילי בריבוע הוא חיובי. לכן, כמות התנועה ביקום לעולם אינה יכולה להיעלם. להיכן הולכת התנועה, אם כן, כשמדובר בהתנגשויות לא אלסטיות כמו זו של שתי הגרוטאות? תשובתו של לייבניץ הייתה כי התנועה מתפרקת להמון תנועות זעירות של חלקיקי החומר.
כיום אנו יודעים כי לייבניץ צדק, ושבכך היה בעצם יותר ניוטוני מניוטון. הוא היה, אם כן, מראשוני המגלים של החוק הראשון של התרמודינמיקה, הוא חוק שימור האנרגיה, וגם של החוק השני, לפיו כל תנועה הופכת לבסוף לחום (ר' פרק ‏12). חוקי השימור יוכחו בבוא היום כיסודיים יותר מחוקי ניוטון עצמם.
אפוסטולית צרפתייה
העיקרון שהרתיע את ניוטון אבל היה ברור ללייבניץ מצא הד נלהב בלבבות שמעבר לתעלת לה-מָאנש. חלוצת התנועה הזאת הייתה אשה מופלאה, המרקיזה אמילי דו שָטֶלֶה (1706-1749). למדע הביא אותה אחד מגאוני ההומניזם, פרנסואה מארי דה ווֹלטֶר (1694-1778). מילדותה אהבה אמילי מתמטיקה ולימוד שפות זרות, כמו גם רכיבה וסיוף, ועל הוריה עברו הרבה לילות ללא שינה בשל התכונות הלא-נשיות הללו של בתם. אבל היא הרגיעה את חששותיהם כשהתחתנה עם בן אצולה צייתן ומאולף, ילדה לו ילדים ובו-בזמן ניהלה פרשיות אהבה סוערות עם גברים כלבבה, עד שפגשה בוולטר, שחזר מאנגליה ולמד שם את תורת ניוטון, למדה מפיו פיסיקה וגם אתו כוננה יחסים פתוחים במקביל לגברים אחרים, מה שאִפשר גם לו לפתח רומאן מקביל עם אחייניתו, שנעשתה לימים אשתו. בטירה שאטו דה סיריי שהחרימו שני השובבים מבעלה הצייתן של שטלה נהג וולטר להתחבא בכל פעם שהיו לו צרות עם המשטרה. זה קרה לעתים די תכופות, כי ממשלת צרפת לא עודדה את הפצת תורת ניוטון מחשש שיחד אתה יבואו מעבר לתעלה עוד מנהגים לא יפים כמו הוצאת מלכים להורג. אמילי, מצדה, הקצתה אגף שלם בטירה למכון מדעי עם ספרייה של 21,000 ספרים ומעבדה משוכללת. היא התעמקה בכתבי דקרט, לייבניץ וניוטון וכתבה ספר גדול שניסה לשלב בין תורותיהם. ”היא הכתיבה ואני כתבתי,“ סיפר וולטר בכנות על ”יסודות הפילוסופיה של ניוטון.“ כמעט כל ספריו בחמש-עשרה שנות אהבתם הוקדשו לה. לי נראה שהעבודה על ניוטון השפיעה עליהם קצת יותר מדי: דודנית רכלנית שהתארחה אצלם סיפרה כי הם נהגו להתווכח באנגלית, מן הסתם במבטא איום.
עתה פנתה שטלה לתרגום ה”עקרונות“ של ניוטון לצרפתית בתוספת ביאורים מפורטים ונספח מתמטי גדול. כשהגיעה למחלוקת בין ניוטון ללייבניץ בדבר התנועה החסרה (ר' ‏9.1 לעיל), הכריעה בין שני הענקים בפנייה אל הניסוי: פיסיקאי הולנדי, שסבל מלידה מהשם וילם סְכְרַוֶסַנדֶה (1688-1742), הפיל כדורי עופרת על משטח חֵמר רך ומדד את עומק הגומות שעשו הכדורים. כשכדור אחד נפל על המשטח במהירות כפולה מזו של השני, הייתה הגומה שיצר המוקה פי ארבע מהגומה השנייה, בדיוק כפי שהיינו מצפים על-פי משוואת לייבניץ הקושרת את האנרגיה הקינטית לריבוע המהירות. שטלה תיארה את הניסוי בשולי הטקסט וצִדדה בלייבניץ. כך זכו הצרפתים לתרגום מלטינית של ה”עקרונות“ שהיה מעולה בהרבה מהתרגום האנגלי.
בדמי ימיה, בגיל ארבעים ושתים, נפלה שטלה קרבן לתאונה שתבעה את חיי נשים רבות באותם ימים: היא הרתה. ליד מיטתה היו המרקיז בעלה, וולטר פילגשה, והמשורר הצעיר שהיה אחראי למצבה. היא ילדה תינוקת (שהונחה, כך דיווח וולטר, על ספר גיאומטריה) וכעבור שבוע נפטרה. ”איבדתי חצי מעצמי,“ קונן וולטר המסכן, ”נשמה שעבורה נוצרה נשמתי.“
עצלנות אצילית
בין באי שאטו דה סיריי היה המרקיז הצעיר פּיֶר-לואי מוֹרוֹ דה מוֹפֵּרטוּאִי (1698-1759), בנו של שודד-ים ומחזר נלהב של אמילי. אם ניוטון היה ענק שעמד על כתפי ענקים, הרי מופרטואי זכה לעמוד הן על כתפי ניוטון והן על כתפי יריביו, וכך לגלות עיקרון יותר יסודי אפילו מחוקי ניוטון עצמם.
שני חוקים מתמזגים לעיקרון
אבות רבים לעיקרון הזה, ושורשיו מגיעים לפחות עד אוקלידס ופטולמאיוס: הטבע הוא חסכן ו”בוחר“ בנתיב התנועה הקצר/הפשוט/המהיר ביותר. הראשון לנסות לנסח טיעון כמותי ברוח זו היה המתמטיקאי הצרפתי פייר דה פֶרמָא (1601-1665). הנה קרן אור יוצאת מפנס בנקודה A ופוגעת בנקודה על הקיר. הדרך בין שתי הנקודות אותה עשתה הקרן היא הקו הישר, כלומר הדרך הקצרה ביותר. טריוויאלי, נכון? עכשיו נשים במקום הקיר ראי. קרן-האור תוחזר מהנקודהB בה פגעה בראי, באותה זווית, אל נקודה אחרת, C. גם כאן אין שום דבר מוזר: הקרן מצייתת לחוק ”זווית ההחזרה שווה לזווית הפגיעה.“
אבל בואו ננסה להסתכל על התהליך בדרך חדשה. נניח שאמרתי לכם מראש: קרן-האור הגיעה מ-A ל-C תוך נגיעה בנקודה כלשהי על הראי. מהי הדרך שעברה? כאן, במקום לשחק עם חוקי השבירה, כל שעליכם לעשות הוא לחפש את הזיגזג הקצר ביותר בין A לראי ומשם ל-C. רוצים לבדוק? בבקשה: נסו בדמיונכם להטות את הראי כך שזווית הפגיעה של הקרן בו תהיה שונה. משהו מתחיל להיות מוזר: אם A ו-C, כלומר העבר והעתיד, כפויות על הקרן, היא תמיד ”תבחר“ את B, ברגע כלשהו ביניהן, כך שיתקבל הזיגזג הקצר ביותר.
אני יודע מה אתם הולכים לומר: ”חכמולוגיה! העתיד אינו קבוע מראש, וכל התופעות המוזרות האלה נובעות מזה שלקחת אירוע עתידי כאילו הוא נתון ושאלת מה יעשה הטבע כדי להגיע אליו.“ חכו, זה לא כל כך פשוט. מי שאומר ”העתיד קבוע פחות מאשר העבר“ הולך להסתבך בפרקים הבאים עם כמה מהעקרונות הבסיסיים של הפיסיקה. אז בואו נתקדם אל תרגיל קצת יותר מורכב.
הנה שוב קרן-אור היוצאת מנקודה A באוויר ופוגעת בפני המים בנקודה B. כיווּן הקרן משתנה על-פי חוק סנֶל והיא פונה בזווית כלשהי לעבר נקודה C בתוך המים (ראו איך כפית בכוס מים נראית ”נשברת“). בואו נזכור עוד פרט: מהירות הקרן בתוך המים קצת קטנה מזו שבאוויר. עכשיו נחזור על התרגיל: בהינתן A ו-C, ובהינתן העובדה שהאור מתקדם במים לאט יותר מאשר באוויר, מה תהיה הדרך הקצרה ביותר בין שתי הנקודות?
הנה אותה שאלה בניסוח מעשי (ר' ציור): מציל נמצא על החוף בנקודה A ורואה אדם טובע בים בנקודה C. המציל יודע שמהירות ריצתו על היבשה גדולה בהרבה ממהירות שחייתו במים. לאיזו נקודה B שעל שפת המים יכוון את ריצתו כדי להמשיך משם בשחייה אל הטובע, כך שיגיע אליו בזמן הקצר ביותר? בוודאי ניחשתם: עליו לרוץ תחילה על היבשה בקו ישר לא אל הטובע, אלא באלכסון, עד נקודה מסוימת על שפת הים, ומשם לשבור ולשחות בקו ישר אל הטובע. בחירת כיוון הריצה האלכסונית על היבשה, כלומר כיוון שבירת תנועת המציל בעוברו מים ליבשה, ניתנת לחישוב מתוך ההבדל בין מהירות ריצתו ומהירות שחייתו וכמובן על-פי מיקומו ומיקום הטובע. וקרן האור? היא עושה את דרכה, ממקום מוצאה באוויר עד מקום פגיעתה בתוך המים, בדיוק על-פי כלל זה!
משהו מוזר כאן: שני חוקים אופטיים – חוק ההחזרה וחוק השבירה – ניתנים לגזירה מתוך עיקרון אחד:
עיקרון פרמא: קרן-אור עושה את הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות.
אריות הדור במפגן משותף
אבל עיקרון זה לא עובד לגבי דברים שאינם אור. מצד שני, הטבע נותן לנו כמה רמזים לכך שהתנהגות האור דומה להתנהגות גופים חומריים: ההחזרה של אור הפוגע בראי, למשל, זהה לזו של כדור הפוגע בקיר. האם ניתן, אם כן, למצוא עיקרון כולל יותר שיתאים גם לאור וגם לגופים? תסכימו אתי שזה יהיה עיקרון בעל עוצמה.
כאן נזכר מופרטואי בוויכוח עוצר-נשימה שהתקיים דור אחד לפניו ושבו השתתפו כל ענקי הפיסיקה בהפגנת כוחותיהם. הסיפור החל ממיודעינו מארצ'טרי, גלילאו ותלמידו ויויאני, שהוכיחו משהו מוזר: בהינתן שני מסלולים, אחד ישר ואחד מעוגל, בהם יכול כדור להתגלגל מנקודה אחת לשנייה, הוא יגיע למחוז חפצו מהר יותר דווקא במסלול המעוגל, כלומר הארוך יותר! ב 1696 בא יוֹהַן בֶּרנוּלִי הראשון ופרסם בכתב-העת ”דיווחי המלומדים“ חידה כללית: נתונה נקודה A, ובמרחק-מה ממנה, נמוך יותר, נקודה B. מה הדרך המהירה ביותר בה יכול לנוע גוף מ-A ל-B תוך היעזרות בכוח הכבידה בלבד? כיוון שגלילאו הוכיח שזה לא מישור משופע ישר, מהו המסלול? הם קראו למסלול הזה ברכיסטוכרון (”זמן קצר“), ועל החידה הסתערו גדולי הדור: לייבניץ, יוהן ברנולי עצמו, אחיו יַקוֹבּ (שמיד פתח בסכסוך חדש עם אחיו), לוֹפִּיטַל ואחרון-אחרון חביב: ניוטון! הוא היה אז מנהל המטבעה המלכותית, וברנולי ולייבניץ שלחו לו את החידה בתוספת עקיצה נבזית, מתוך תקווה שיתברר שכבר אינו בכושר. ניוטון, שפיקח באותם ימים על הפקת סדרת מטבעות חדשה, הגיע הביתה בשעה ארבע אחה"צ, ראה את הבעיה והחל לעבוד עליה בלי הפסקה עד שפתר אותה בארבע לפנות בוקר. משמאל הסרטוט של ניוטון המראה כי הדרך הקצרה ביותר תהיה המסלול העקום A-D-B. הוא שלח את הפיתרון בעילום-שם לברנולי, שזיהה מיד את הפותר: ”את האריה מסגירה טביעת רגלו!“
הפיתרון אליו הגיעו המדענים האלה היה הציקלואידה, צורה הנוצרת ע"י נקודה כלשהי על גלגל המתגלגל על מישור. עכשיו נפתחה הדרך לעיקרון מאוחד, שיחול באותה מידה גם על קרני אור וגם על גופים חומריים. הנה הקליע של גלילאו מפרק ‏6.3, המשרטט פרבולה באוויר. בואו נגדיר לו מראש את נקודת המוצא, A, את הנקודה הגבוהה ביותר אליה יגיע, B, ואת הנקודה בה יגיע חזרה לקרקע, C. האם יש עיקרון שינבא את הפרבולה שבין שלושת הנקודות? בואו נדמיין שזו קרן אור שצריכה לעבור בין שלוש הנקודות, אלא שהפעם היא אינה עוברת בפשטות מאוויר למים אלא עושה את כל דרכה בנוזל ההולך ונעשה סמיך בהדרגתיות כלפי מעלה. לחילופין, תארו לעצמכם את המציל שלנו עושה דרכו אל הטובע ובחזרה אל החוף, בתוך נוזל כזה שיש לו הרבה רצועות רוחב דקיקות, כל אחת סמיכה יותר. המציל יצטרך לפתור עכשיו משוואה דיפרנציאלית נוסח ניוטון, כי מדובר בהמון קווים קטנטנים, אבל הפיתרון שיאפשר לו לעשות את הדרך הזאת הכי מהר הוא – הפלא ופלא – הפרבולה!
הניסוח המאחד
מופרטואי הבין שיש משהו משותף לכל התנועות ביקום, מקרני אור ועד גלקסיות. משהו בכל התנועות האלה נוטה להיות מינימלי: לא הדרך, לא הזמן, אלא – וזו הייתה תגליתו – ה”פעולה.“ הגדרת הפעולה היא ”האנרגיה הקינטית פחות האנרגיה הפוטנציאלית.“ את המושגים האלה נלמד בפרק ‏12, אז נאמר כאן רק שהאנרגיה הקינטית מתבטאת בתנועה הממשית של הגוף ברגע נתון, בעוד האנרגיה הפוטנציאלית היא יכולת התנועה שהצטברה בו, כמו התנועה הצבורה בקפיץ דרוך. מהרגע שהגדיר מופרטואי כך את מושג הפעולה, התגלה עיקרון הנכון לגבי כל התנועות בטבע:
עיקרון הפעולה המינימלית: בכל תנועה, כשהאנרגיה הפוטנציאלית של הגוף הנע בכל רגע מחוסרת מהאנרגיה הקינטית שלו, והסכום המתקבל מחושב בממוצע (כאינטגרל) לכל המסלול, מתברר כי הגוף נע במסלול בו הפעולה היא הנמוכה ביותר האפשרית.
זכרו כי בדרך-כלל נהוג לחבר את שתי האנרגיות, הקינטית והפוטנציאלית, כי הן מתחלפות זו בזו ולכן סכומן נשאר קבוע. מה שמופרטואי מורה לנו הוא דווקא לחסר אותן זו מזו. אז, במקום גודל קבוע, נקבל גודל חדש, ה”פעולה,“ המשתנה במהלך תנועתו של הגוף. אבל כאשר נחשב את ממוצע הפעולה על כל הנקודות שעל מסלול התנועה, כלומר נעשה אינטגרציה שלהן, תופיע התגלית במלוא הדרה: בכל תנועה פיסיקלית, נע הגוף במסלול שסך-כל הפעולה בו היא המעטה ביותר שאפשר.
תהילה ומחירה
גילוי העיקרון היה שיאה של קריירה מדעית מופלאה. באותם ימים כבר נודע מופרטואי כפיסיקאי וביולוג שרשם לזכותו תגלית מפורסמת. אקדים ואזכיר כי ניוטון שיער כי עקב סיבוב כדור-הארץ, הכוח הצנטריפוגלי גורם לו להיות פחוס מעט בקטבים ב 1/230. ג'ובני דומניקו קַסִינִי (1625-1712) מצא תימוך לטענה זו במדידת צורתו של צדק, טענה שחוזקה ע"י בנו, נכדו ונינו (כולם אסטרונומים!) אחריו. אבל מה עם כדור-הארץ עצמו? משלחת שהנהיג מופרטואי יצאה ב 1735 ללפלנד כדי לבדוק אם כדור-הארץ הוא אכן כדורי, וחזרה בתרועת ניצחון: ניוטון צדק שוב!
פטרונו החשוב ביותר של מופרטואי היה פרידריך השני ”הגדול“ מלך פרוסיה, ברנש בהחלט צבעוני: מצביא שתלטן שהרחיב את גבולות ארצו במלחמות רבות, ליברל, סופר, מוסיקאי, הומוסקסואל גלוי, חובב מדע ואמנויות, ואחרון-אחרון-מגעיל: אנטישמי. הוא הזמין את מופרטואי ל”ראיון עבודה“ לאוהלו במהלך קרב קטן נגד האוסטרים, אבל הקרב לא התנהל בדיוק לפי התוכנית, ה”בוס“ ברח הביתה לפרוסיה ומופרטואי נפל בשבי. המלכה מריה-תרזה הייתה נחמדה אל השבוי המפורסם והחזירה אותו לברלין, שם התמנה לנשיא האקדמיה הפרוסית למדעים.
את עיקרון הפעולה המינימלית פרסם ב 1746, ובו ראה את שיא הישגיו. אבל מרגע זה פרצה בעולם המדע קטטה המונית. יוהן זַמואל קֶנִיג (1712-1757), ידיד ותיק ובן-חסות של מופרטואי, פרסם מאמר ובו האשים אותו בגניבת הרעיון מתוך מכתב של לייבניץ! מופרטואי הנדהם דרש מקניג להראות לעולם כולו את המכתב, קניג לא ענה וגורש מהאקדמיה. השערוריה החלה לצבור תאוצה. נגד מופרטואי קמו בני משפחת קסיני ויוהן ברנולי הראשון, בעוד שלצדו עמדו דניאל (איך לא) ברנולי, ז'וזף-לואי לַגרָאנז' (1736-1813) ולאונרד אוֹילֶר (1707-1783). האחרון, ראוי לציין, כבר הגיע לתגלית דומה אך לא תבע עליה זכות בכורה. ואז גילה המלומד השבור עוד פרצוף מוכר במחנה אויביו: וולטר, שהרעיף עליו עד עתה הצהרות אהבה שמנוניות, אבל כנראה לא שכח איך מופרטואי שכב עם אמילי שלו בתקופה בה מנעה ממנו מחלתו לתפקד כגבר. לעת הזאת כבר צבר הפילוסוף הקשיש מומחיות במדע הרשעות במריבותיו עם אויבו המפורסם, ז'ן-ז'ק רוּסוֹ, ועתה כיוון את חצי ארסו נגד ”סר אייזק מופרטואי.“ פרידריך, שהקים לו חצר-מלכות בשם סאן-סוּסִי (”ללא דאגות“ – הוא דיבר צרפתית יותר מאשר גרמנית) התרגז וסילק את וולטר מפרוסיה, אבל הפרשה כבר יצאה מכלל שליטה. לחגיגה הצטרפו עוד שני צעירים ידידי-נפש שייעשו מפורסמים בבוא היום: גוטהולד אפרים לֶסִינג ומשה מנדלסון, לימים מנהיג תנועת ההשכלה היהודית, שטענו גם הם כי זכות הבכורה מגיעה ללייבניץ. בעת הזאת היה מופרטואי יורק דם, פשוטו כמשמעו, עקב מחלה ממנה סבל מאז מסעו ללפלנד. הקנאה והמריבה יכולות לדרבן את המדע, כמו במקרה של הברנולים, אבל למופרטואי הן רק החישו את מותו.
בשורה התחתונה
מה, בסופו של יום, חשיבות עיקרון הפעולה המינימלית? לא פחות מאשר עיקרון-יסוד שאפילו חוקי ניוטון ניתנים להיגזר ממנו, והמאפשר חישובים קלים יותר מהם. החוקים האומרים שגוף ימשיך במצבו, או ישנה ממהירותו בהתאם לכוח המופעל עליו, או שיפעיל כוח נגדי על גוף המפעיל עליו כוח – כולם נובעים מהטענה שכל תנועה מתקדמת במסלול שבו הפעולה היא מינימלית. העיקרון שוכלל בידי אוילר ולגראנז', ומאוחר יותר בידי המילטון (ר' בהמשך) לכדי ניסוח מחדש של הפיסיקה הקלסית, הקרוי כיום מכניקה אנליטית. כיום מעדיפים הפיסיקאים את משוואת אוילר-לגראנז' על משוואת ניוטון, כי כשמדובר במערכת גדולה ומרובת-חלקים, המכניקה הניוטונית נותנת אוסף משוואות שלפעמים פשוט אי-אפשר לפתור אותן, בעוד שמשוואה אחת מהסוג ”לגראנז'יאן“ מאפשרת לדעת הרבה על מצב המערכת אפילו בלי לפתור אותה.
מופרטואי עצמו התייחס באופן דתי לעיקרון שלו וראה בו הוכחה פשוטה לקיום האלוהים. נוצר מצב מביך: אחרי שמדענים כה רבים, החל מדקרט, דרך דארווין ועד הגנטיקה המודרנית, סילקו את התכליתיות מהביולוגיה לטובת הדטרמיניזם הפיסיקלי, מצאו הפיסיקאים את עצמם מול הרושם כאילו אפילו בטבע הדומם קיימת ”שאיפה“ למשהו. ”בעוד שיטות ניוטון נתנו למדענים תחושה של הבנה“ מעיר גלייק,[] ”עקרונות מינימום השאירו תחושה של מסתורין.“ כך או אחרת, החוק נעשה איתן יותר בתורת היחסות הפרטית והכללית ובתורת הקוונטים. פיינמן, בקטע ”אגבי“ שהפך בינתיים לפנינת קלאסיקה,[] סיפר איך, בהיותו תלמיד תיכון משועמם, קרא לו המורה והדגים לו את עיקרון מופרטואי. שנים רבות הילך עליו התרגיל קסם ודחייה בעת ובעונה אחת, עד שגילה בהשראתו את שיטת סכום המסלולים הקוונטיים, עליו נדבר בפרקים הבאים. לא אחר מאשר אבי תורת הקוונטים, פלנק (ר' פרק ‏15) ראה בפעולה המינימלית עיקרון העומד ביסוד כל חוקי הפיסיקה.[](148)
וכך, ולא בפעם האחרונה, הרבה יזע, דם ודמעות מובילים להישג מופשט יפהפה. לדעתי, עדיין מסתתר בעיקרון הזה רמז עמוק שהפיסיקה עוד לא מיצתה, הקשור לטבע הזמן עצמו.
העיקרון האדיר ביותר בהיסטוריה
חלק זה הוא אחד החלקים החשובים בכל הספר ולכן אבקש מכם תשומת-לב מיוחדת. לפעמים אחרוג בו מהמסגרת הכרונולוגית של הדיון ואדלג אל ימינו כדי להראות איך, עד היום, אנחנו עובדים בתוך החזון של ניוטון, אפילו כשאנחנו מעמידים אותו בהנאה גלויה על טעותו.
ראינו את הפיסיקה מאמצת את העוצמה של שפת המתמטיקה. משפט מתמטי, כמו a2+b2=c2 של פיתגורס, נכון לגבי כל המשולשים – גדולים, קטנים, ירוקים או עשויים משוקולד. הדיוק של התוצאה הסופית תלוי רק בדיוק של מדידת הצלעות. במילים אחרות: האלגברה נותנת את האותיות הכלליות, אנחנו צריכים להציב במקומם את המספרים הפרטיים, וככל שנדייק בהם יגדל דיוק התוצאה. ממש כך, גם חוק פיסיקלי, כמו F=ma של ניוטון, נכון לגבי כל המאסות, התאוצות והכוחות. אם נבצע היטב את המדידות למקרה הפרטי ונציב את המספרים במקום שתים מהאותיות שבמשוואה הכללית, נקבל את הערך השלישי בדיוק.
לכן, מה שהחל בעבודת ארכימדס, בוסס בתורת אוקלידס, שוכלל במחקרי גלילאו והורחב בשיטת דקרט, הבשיל תחת ידי ניוטון ונעשה מפורש תודות ללייבניץ, שוכלל בידי מופרטואי וקיבל את צורתו השלמה בידי לגראנז' והמילטון, הוא העיקרון בעל העוצמה המעשית הגדולה ביותר בתולדות האנושות:
כל תהליך פיסיקלי מציית לחוק/י טבע כללי/ים בצורת משוואה/ות, שבה/ן ניתן להציב את תנאי ההתחלה הספציפיים לאותו אירוע. אם החוק יהיה נכון ותנאי ההתחלה יהיו מדויקים, ניתן יהיה לנבא את כל המצבים הבאים שיופיעו אחרי אותו מצב בעתיד, או לדעת את כל המצבים הקודמים שהיו לפניו בעבר.
ולכן:
בכל תהליך בו הניבוי אינו תואם את המציאות, אזי או שמסתתרים באירוע גורמים בלתי-ידועים או שמעורב בו חוק נוסף.
במילים אחרות: מארג חוקי הפיסיקה נעשה כה הדוק עד שכל סטייה ממנו מבשרת תגלית: או שבתהליך הסוטה מעורב גורם חדש או שיש צורך בחוק חדש!
כל המדענים שבאו אחרי ניוטון נשאו את חזונו אל תחומים הולכים וגדלים. נוזלים? דניאל ברנולי ניסח את המקבילה ל-F=ma השולטת בתנועתם. גזים? רוברט בּוֹיל (1627-1691) גילה את חוקיהם. חשמל? אור? חכו לפַרַדֵיי ומקסוול בפרקים הבאים. בכל תחום נשנתה ההבטחה וגם קוימה: אם תדעו את חוקי הטבע הרלוונטיים לתופעה שאותה אתם חוקרים, ואם תמדדו היטב את תנאי ההתחלה ותציבו את המספרים במשוואות החוקים, תוכלו לשלוט במה שאתם רואים. השילוב הזה הוא הניטרו והגליצרין של הפיסיקה.
המקום הראשון בו התגלה עיקרון זה במלוא עוצמתו היה מערכת השמש: במקום אינספור מדידותיהם המייגעות של האסטרונומים בדורות הקודמים אמר ניוטון: תנו לי את מיקומו ומהירותו של כוכב-לכת ברגע מסוים ואני אוכל לומר לכם היכן יהיה בעוד שעה, יום או שנה, או היכן היה לפני שעה, יום או שנה. כמובן, כל אי-דיוק קל בתנאי ההתחלה יביא לסטייה גוברת והולכת בניבויים לזמנים ארוכים, אך זו רק בעיה טכנית: ככל שיגדל הדיוק תקטן הסטייה. מערכת השמש היא נוחה מאוד להכרת העיקרון הזה כי אין בה חיכוך, אבק, חלודה וכדומה. מה שהבטיח ניוטון קִיימה הפיסיקה כולה: האסטרונומים למדו לנבא את מיקומי כוכבי-הלכת והירחים על-פי כמה מדידות התחלתיות, ועם השנים הצליחו בכך גם עם כל הכוכבים והגלקסיות ביקום.
ועד היום, בכל פעם שהתגלתה סטייה מהחזון הזה, כשהצירוף של חוקי הטבע ותנאי ההתחלה לא נתן את התוצאה הנכונה, התגלה גרם שמים חדש – או חוק חדש. מה תגידו על תורה כזאת שאפילו הטעויות המתגלות בה הן מכרה זהב?
הנה כמה דוגמאות, מימי ניוטון ועד ימינו.
אורנוס ונפטון: חבר מביא חבר
ויליאם-פרדריק (וילהלם-פרידריך) הֶרשֶל (1738-1822), נער גרמני ממוצא יהודי, היגר לאנגליה ונעשה שם מוסיקאי. אחריו באה אחותו קרולין-לוקרציה (1750-1848) והתפרנסה כזמרת. בהדרגה עברו השניים ממוסיקה למתמטיקה ולבסוף לאסטרונומיה, בה התגלו כצמד מוצלח להדהים. קרולין ריסקה וסיננה טונות של זבל סוסים כדי להכין תבנית ראויה למראת הטלסקופ שיצק אחיה. יחד מיפו מחדש את השמים וגילו כוכבים כפולים, ערפיליות ושאר עצמים מפליאים. קרולין גילתה שמונה כוכבי-שביט. ויליאם גילה, לראשונה בהיסטוריה המודרנית, כוכב-לכת חדש. כך התווסף למערכת השמש חבר שביעי, אוּרַנוּס. אלא שהחבר הזה, במקום לומר תודה על צירופו, הִמרה את פי אבות הפיסיקה. מסלולו לא תאם את חוקי קפלר ולכן גם לא את חוקי ניוטון. האם נחוץ תיקון בחוקים או אולי משהו חסר בתנאי ההתחלה? כמה אסטרונומים חשדו שחוק ריבוע המרחק של ניוטון אינו מדויק למרחקים גדולים, אבל הראשון ששרטט ב 1821את מסלול אורנוס, אלכסיס בּוֹבַאר (1767-1843), פנה לכיוון השני ושיער שעוד כוכב-לכת מסתובב לו שם רחוק יותר אפילו מאורנוס, ושהכבידה שלו מסיטה את אורנוס ממסלולו. האנגלי ג'ון אַדַמס (1819-1892) החל לחשב היכן, בהנחה שחוקי ניוטון נכונים, צריך להיות הכוכב הנעלם, ובדיוק באותה שנה, 1846, סיים הצרפתי אורבאן ז'אן-ז'וזף לֶה-וֶריֶה (1811-1877) חישובים מדויקים יותר. כוכב-הלכת השמיני, נֶפּטוּן, התגלה באותה שנה בתוך מעלה אחת מהנקודה אותה יעד לו לה-וריה.
זוג סוטים עושה שלישייה
ועדיין התנהגו שני החברים החדשים בצורה חשודה, סטייה פה, סטייה שם, והזלזול בחוקים חזר. אמרו אנשים: יש להם בוודאי חבר שלישי, עוד יותר רחוק, שמשפיע על שניהם. כך חזר הסיפור על עצמו: האמריקני פֶּרסִיוַל לוֹוֶּל (1855-1916) היה אסטרונום מכובד שהזיק מאוד למוניטין של עצמו בשל מחקריו על תעלות המאדים, שלטענתו היו תעלות שנחפרו בידי ציוויליזציה מפותחת. ב 1905 פנה לעבודה מדעית יותר וחישב את מסלולו של כוכב-הלכת התשיעי, וגם חיפש אותו עד יום מותו, לשוא. אבל ממשיכו, במכון שנקרא מעתה מכון לוול, קלייד ויליאם טוֹמבַּאוּ (1906-1997), הוא שגילה ב 1930 את פּלוּטוֹ.
ואולי נאשים את החוקים?
הסטיות מתמונת העולם הניוטונית הביאו לגילויים לא רק בתנאי ההתחלה, כלומר שלושה כוכבי-לכת חדשים, אלא גם לגילויים גדולים יותר בחוקי הטבע עצמם. לֶה-וֶריֶה, האסטרונום שחקר את הסטיות של נפטון, הבחין בתופעה דומה כשהסתכל לצד ההפוך, בקרבת השמש. כוכב-חמה (מרקורי), הפנימי ביותר מכוכבי-הלכת, עושה משהו מוזר: הוא חג סביב השמש באליפסה, אבל האליפסה עצמה מסתובבת גם היא, והסטייה מחוקי ניוטון היא כ 566 שניות-קשת למאה שנה. לה-וריה נזכר בבן-ארצו המפורסם, פייר-סימון דה לַפּלַס (1749-1827), שמילא את הפרצה שהשאיר ניוטון בתמונת-העולם הניוטונית: לפּלס הראה שאותן היעלמויות של תנועה עליהן דיברנו בתחילת הפרק, שבעיני ניוטון היו דליפות של אנרגיה מהיקום שאלוהים היה צריך לתקן, הן כולן מסוג ”תנודות המטוטלת“ המבטלות את עצמן, וכך לא בורחת מהיקום שום אנרגיה. זה בפירוש לא היה המקרה של כוכב-חמה: התנודות הזעירות שלו היו בבירור מצטברות לכיוון אחד. כמה אנשים, כנראה ממש נואשים, הציעו לתקן את משוואת ניוטון מ- ל- בניסיון להתאים אותה לתנועת מרקורי. תסכימו אתי שזה לא ממש משכנע. לה-וריה הפעיל על הסטיה את אותו תרגיל שעשה על אורנוס ונפטון, כלומר, בדק את השפעת הכבידה של כוכבי-הלכת הסמוכים לכוכב-חמה, דהיינו נוגה, ארץ ומאדים. זה הסביר חלק מהתופעה, אבל עדיין נותרה סטייה של כ 43 שניות-קשת. הוא חיפש, אם כן, כוכב-לכת חדש בסביבה ואפילו הזדרז לתת לו שם, ”וולקן,“ אבל הפעם לא מצא.
היה זה איינשטיין שקפץ ב 1915 על ההזדמנות לגלות תגלית בכיוון ההפוך: זה לא משהו שחסר בתנאי ההתחלה אלא בחוקי הטבע. חוק הכבידה של ניוטון יכול להסביר את תנועתו של כוכב-לכת סביב השמש, אבל כשהכוכב הזה קרוב מדי לשמש מתגלה מוגבלותו של רעיון כוח הכבידה. איינשטיין, כפי שנראה בפרק ‏14, החליף את כוח הכבידה בעיקום של המרחב-זמן. כוכב-חמה, לפי תורת היחסות הכללית, אינו נע במרחב ישר אלא במרחב שהוא עצמו מעוקם בצורה מיוחדת. עיקום זה הסביר את הסטייה הנותרת במלואה.
ומה אם לא תמיד F=ma?
הסטייה הבאה מהמכניקה הניוטונית מטרידה את המדע, בעצם ימינו אלה, בקנה-מידה הרבה יותר גדול: תנועת הגלקסיות. בוויכוח הניטש סביבה שייך התפקיד הנועז ביותר – בעצם אחת ההעזות הגדולות בתולדות הפיסיקה – למדען ישראלי הקורא תיגר על לא פחות מאשר חוק-היסוד של הפיסיקה הניוטונית.
הבעיה עצמה פשוטה – ולכן כל כך קשה: רוב הגלקסיות מסתובבות, מה שאומר שעל כוכביהן פועל מצד אחד הכוח הצנטריפוגלי הדוחף אותם אל מחוץ לגלקסיה ומצד שני כוח הכבידה המושך אותם פנימה. את המסה הכוללת של גלקסיה ניתן לחשב בערך מתוך האור הכללי שהיא מקרינה. את הכוח הצנטריפוגלי קל לחשב לפי משוואת האוכנס אותה הכרנו בנספח לפרק ‏8: הכוח הצנטריפוגלי שווה לקבוע כלשהו כפול המסה כפול רדיוס הסיבוב חלקי ריבוע זמן הסיבוב. ישבו אנשים וחישבו מהו הכוח הצנטריפוגלי הפועל על הכוכבים שבשולי הגלקסיה. התוצאה הייתה כוח שעוצמתו הייתה צריכה להעיף מזמן את כל הכוכבים האלה לכל עבר! התעלומה חוזרת גם בנוגע לצבירי הגלקסיות: הגלקסיות בשולי הצביר מסתובבות במהירות שהייתה צריכה מזמן לגבור על כוח משיכת הצביר כולו.
מהו, אם כן, מתוך הזוג הניוטוני המבטיח של חוקי טבע ותנאי התחלה, החלק החסר במקרה הזה? רוב הפיסיקאים בימינו הולכים בדרך הבטוחה ומאשימים את תנאי ההתחלה. זוהי ההשערה המפורסמת בדבר ”החומר האפל.“ ברחבי הגלקסיה, הם אומרים, מפוזר חומר מסוג שעדיין אינו מוכר למדע והוא זה המוסיף את הכבידה הדרושה כדי למנוע מזרועות הגלקסיה מלהיתלש ממנה. הבעיה היא שהחומר הזה צריך להיות בעל תכונות מיוחדות מאוד: הוא אינו פולט שום צורה של חום או קרינה אחרת, ומה שיותר מוזר: הוא גם אינו בולע ואינו מחזיר קרינה. השערות שונות הוצעו בנוגע לחלקיקים מהם מורכב החומר הזה, וניסיונות מאוד מעניינים נעשו לפתור בעזרתו, באותה הזדמנות, בעיות נוספות באסטרופיסיקה ובקוסמולוגיה, כמו שאלת התפשטות היקום. להשלמת החגיגה נזקקו אנשים להשערה מקבילה בדבר ”אנרגיה אפלה“ הממלאת אף היא את היקום ושאינה דומה לשום צורה מצורות האנרגיה הידועות לנו. המרכיבים הנסתרים הללו, אומרת הסברה, יוכלו להסביר את אי-ההתאמות המתגלות כיום בין התיאוריה לתצפית.
פיסיקאי ממכון וייצמן, מרדכי מילגרום, בחר, כמו איינשטיין, בדרך השנייה:[] אולי חוקי הטבע הרלוונטיים אינם מדויקים וצריכים תיקון? החוק אותו הוא מציע לתקן הוא לא פחות מאשר החוק השני של ניוטון. לפי השערתו, חוק זה נכון רק כקירוב, בתאוצות רגילות, ואילו בתאוצות נמוכות מאוד צפוי להתגלות בו אי-דיוק, שהוא הגורם לכוכבים שבשולי הגלקסיה שלא להיכנע לתאוצה. תיאוריה זו ידועה בשם דינ"ם, דינמיקה ניוטונית מתוקנת, ובאנגלית Mond – Modified Newtonian Dynamics.
האם נמצא את עצמנו מתקנים יום אחד את משוואת היסוד של ניוטון? מנקודת הראות האסתטית, תיקון כזה מהווה טלאי על המשוואה המקורית (ר' בנספח) ועושה אותה פחות פשוטה ולכן, לטעמם של אוהבי הפשטות, פחות יפה. תומכי התיאוריה, מצד שני, מצביעים על האלגנטיות של ההסבר שלה לסיבוב הגלקטי: הוא חסכני ומסתמך רק על התפלגות החומר הנראה ועל ההנחה כי היחס בין מסה להארה הוא קבוע. התומך המרשים ביותר שהצטרף לדינ"ם, יעקב בקנשטיין, מנסה מצדו להכליל את המודל ברוח היחסות הכללית (ר' פרק ‏14), כלומר לשנות גם את משוואת הכבידה כך שתהיה שוות-ערך לתאוצה,[] מה שיעשה את המודל לאלגנטי באמת. מצד שלישי, תומכי השערת החומר האפל (בהם עוד ישראלי, אבישי דקל מהאוניברסיטה העברית[]) הביאו ראיות חדשות משלהם. כך או אחרת, הפוסק העליון בעיני הקהילייה המדעית הוא, כידוע, הניסיון. לכן נצטרך לחכות לתצפיות האסטרונומיות.
אבל בסופו של יום, ראו באיזה מצב מרתק אנחנו נמצאים: או שתתחולל בשנים הקרובות מהפכה נוספת בפיסיקה, שהתיקון שתכניס לחוקים הקלסיים יהיה כמעט כמו אלה של היחסות והקוונטים, או שיתגלו צורות חדשות לחלוטין של חומר ואנרגיה או אפילו מאפיינים חדשים של היקום, המרחב והזמן. סמולין, המודה שהדינ"ם מטריד את שנתו בלילות, מכנה את הסיטואציה ”מענגת באופן מפחיד.“[] אופיינית לא פחות העובדה שחוקר מבריק כגרין[] אפילו אינו מזכיר את הדינ"ם, למרות שאין ספק שהיא מדריכה גם את מנוחתו. ושוב, ה”אין אפס“ הזה, המצב שמשהו חדש ומסעיר הולך או-טו-טו להתגלות לכאן או לכאן, הוא תוצאה ישירה של החזון הניוטוני המבטיח שפנקסי היקום מאוזנים.
ושוב האור: ניוטון צודק גם כשהוא טועה
כמו המאסה שבמערכת-השמש, בגלקסיות וביקום כולו, הגורמת לנו עד היום לשוב ולהידבר עם ניוטון, כך גם בן-לווייתה האלגנטי, האור, מאלץ אותנו לחזור אל הוויכוח עם ניוטון ולגלות עוד פנים מופלאות של המציאות הפיסיקלית.
ניוטון, כזכור, ראה באור שטף של חלקיקים, הטסים במהירות עצומה מהמקור לכל עבר, פוגעים בעצמים ומתפזרים שוב מסביב. הבר-פלוגתא שלו מאותו דור, מיודענו האוכנס, חשב אחרת: האור הוא גלים בדומה לגלי הקול והמים. שטויות, אמר ניוטון. כולם יודעים שגלים עושים עקיפה, כלומר, יכולים לעקוף מכשולים. כך עושים גלי הקול. לכן, אם יעמוד ההולנדי בן-הבליעל מאחרי הקיר ויקרא לי בשמות גנאי אשמע אותו אבל אם יעשה לי פרצופים לא אראה אותו. אילו האור היה גלים כמו הקול, היה עושה עקיפה והייתי רואה את מה שמאחרי הקיר.
הפיסיקה התפלגה לשני מחנות, חלקיקיסטים (הרוב) וגליסטים (המיעוט). הגליסטים טענו שהאור כן עושה עקיפה, רק חלשה. עובדה: כשאור ממנורה עובר מבעד לנקב צר במחיצה רחוקה וממשיך אל מסך מאחריה, עוביו של כתם האור על המסך הוא קצת יותר גדול מעובי הכתם שהיינו מצפים לראות משטף של חלקיקים הנעים בקו ישר (ר' ציור). ענו החלקיקיסטים: אלו רק חלקיקים שהשתפשפו בשולי הסדק ועפו קצת הצידה. התורה הגלית נשארה במיעוט.
עד שבא תומס יאנג (1773-1829). הרבה גאונים היו באנגליה בעת ההיא, אבל בבחור הזה, עלינו להודות, היה משהו ממש חייזרי: בגיל שנתיים ידע לקרוא, ובגיל ארבע-עשרה כבר למד יוונית, לטינית, צרפתית, איטלקית, עברית, כשדית, סורית, שומרונית, ערבית, פרסית, טורקית ואמהארית. נוסף לכך, הוא קיבל ירושה שעשתה אותו עשיר ולכן התלבט מה באמת הוא רוצה להיות כשיגדל. הוא נעשה רופא מוצלח אבל גם בלשן ואגיפטולוג שסייע בפענוח כתב-החרטומים (השפה השלוש-עשרה?), וכמובן גם פיסיקאי. ”האדם האחרון שידע הכל,“ מכנים אותו ההיסטוריונים של המדע.
אמר יאנג: מניסויי עקיפה לא ניוושע. גלים עושים עוד משהו ייחודי להם: התאבכות. נתחיל בניסוי פשוט עם גלים באמבטיה. נתקין שובר-גלים לרוחב האמבטיה ובו נעשה פתח קטן. בקצה השני נעשה גלים עם האצבע. הגלים הולכים ומתפשטים במעגלים, ועד שיגיעו אל שובר הגלים יקבלו חזית שטוחה. והנה, כל גל שטוח כזה עושה דבר מעניין: החלק שהגיע לפתח שובר-הגלים יוצא ממנו לצד השני, אבל עכשיו הוא כבר לא גל שטוח אלא מתפשט בקשת, כמו בתחילת דרכו. זו העקיפה שעליה דיברנו קודם, ושניוטון ותלמידיו הצליחו להכחיש את קיומה באור. יפה, אבל עכשיו נדאג שגל שטוח כזה יפגע בשובר-גלים ובו שני פתחים (ר' ציור). עכשיו תצאנה משניהם שתי חזיתות-גל קשתיות ותתערבנה זו בזו. כאן נכנסת לפעולה ההתאבכות. הכלל הוא פשוט וכדי להבין אותו בואו נזכור שלכל גל יש שיא ושפל. כשגלים מתערבים זה בזה – נניח שהם באותו אורך – הם יכולים להיפגש כשהם באותו מופע (פאזה), כלומר, שיא מול שיא ושפל מול שפל, ואז התוצאה היא ”התאבכות בונה:“ גל בעוצמה כפולה. מצד שני, הגלים יכולים להיפגש במופע הפוך, כלומר, השיא של האחד מתמזג עם השפל של השני ולהיפך, ואז התוצאה היא ”התאבכות הורסת:“ הם מבטלים זה את זה. וכמובן, ייתכנו כל מצבי הביניים שבהם הגלים יחזקו או יחלישו זה את זה חלקית. הגלים המעורבים המגיעים לדופן הנגדית של האמבטיה מציגים אם כן את ”דגם ההתאבכות“ המפורסם: עוצמתם נעה החל מאפס עד גל בעל עוצמה כפולה וחוזר חלילה, הכל בהתאם למרחק הנקודה משני הסדקים.

מה שעשה יאנג עכשיו היה פשוט ומוחץ: הוא העביר אלומת אור דרך שני סדקים ובחן את הדגם שהתהווה על המסך שמאחריהם. קווי האור והצל יצרו דגם התאבכות לכל דבר. הפעם לא היה הסבר חלקיקי לתופעה והתורה הגלית ניצחה. עם הזמן התגלה שהצבעים השונים הם אורכי-גל שונים של קרינה אלקטרומגנטית (ר' פרק ‏11) ועכשיו ניתן היה לחזות בדיוק את צורת ההתאבכות: הכניסו למשוואה את אורך גלי האור ואת רוחבי הסדקים ומיקומיהם, חַשבו – ותוכלו לדעת בדיוק את עוצמת האור בכל נקודה על המסך!
האיש שהשלים את הבנת האופי הגלי של האור היה גאון אירי שהזכיר מעט את יאנג. ויליאם רוֹוֶּן הַמילטוֹן (1805-1865), בנו של עורך-דין שמסיבה לא ברורה נמסר לאימוץ לדודו הכומר בינקותו. בגיל שלוש ידע לקרוא ועד גיל חמש ידע לטינית, יוונית וכמובן עברית. עד גיל שתים-עשרה הוסיף להן צרפתית, איטלקית, ערבית, ארמית, פרסית וסנסקריט. העברית והארמית עניינו אותו במיוחד כי בעזרתן למד את התנ"ך והברית החדשה. רק בגיל שש-עשרה נחשף לשפה מסוג שונה – המתמטיקה – ומאז נקבע ייעודו, הגם שעשה מאמצים כושלים להיות גם משורר. אחר-כך באו ה”עקרונות“ של ניוטון והבחור הסתער על האסטרונומיה והאופטיקה בעזרת החשבון הדיפרנציאלי. מהניתוח המתמטי שעשה לחוקי הגלים נבע ניבוי מפתיע, לפיו אור העובר דרך גבישים מסוימים ייצור חרוטים חלולים של ”חושך.“ הניבוי נבדק בידי חבר ואושש. תורת הגלים זכתה לאישוש נוסף.
ובכל זאת, למה יש לי הרגשה ששוב, בסופו של יום, יוצא ניוטון מנצח מהוויכוח? נכון, האור אינו שטף חלקיקים אלא גלים, אבל תורת הגלים נותנת לנו חוקים השולטים בגלים האלה, ומבטיחה לנו שאם נכניס למשוואות את תנאי ההתחלה המתאימים נוכל לנבא בדיוק את התנהגותו. במילים אחרות: החזון הניוטוני מצליח שוב בגדול.
וחוץ מזה, חכו עד שנגיע לקוונטים. עד היום, עוד לא נאמרה המילה האחרונה בקשר לחלקיקי האור.
הפיסיקה של העולם המיקרוסקופי
כמו האלגברה, נושאת האלכימיה את ”אַל“-הידיעה שנתנו לה הערבים שהעבירו אותה מיוון העתיקה לאירופה. האלכימאים היו קבוצה מגוונת: מכשפים שהתעסקו עם שדים ורוחות, נוכלים תאבי-בצע, וכמובן גם מדענים של ממש, וכולם ניסו לגלות את החוקים השולטים בתגובות החומרים אלה עם אלה. האג'נדה שלהם הייתה פשוטה ותמימה: הם ראו איך, עם כל מיני ערבובים ובישולים, הופך חומר אחד לחומר אחר, לפעמים לרעל רב-עוצמה ו/או לתרופה מצילת-חיים, ולכן קיוו להפוך בשיטות כאלה מתכות רגילות לכסף וזהב. כל מה שצריך, אמרו, זה רק לשחק עם ארבעת היסודות שבתוך המתכות האלה, קצת יותר מיסוד האש, פחות מיסוד המים וכו', ובסוף נקבל זהב. הם גם קיוו לעצור את ההזדקנות והמוות. ניוטון, כפי שראינו, עסק הרבה יותר באלכימיה מאשר בפיסיקה, אם כי לא השאיר שום דבר מעניין בתחום זה. לאט-לאט, מאינספור ספרים ורצפטים, החל מדע חדש להיפרד מאמו: כמו שמהאסטרולוגיה יצאה האסטרונומיה, כך ילדה האלכימיה את הכימיה.
בין המובילים בהתפתחות המדע החדש היה אנטואן-לורן לַבוֹאַזיֶה (1743–1794). הוא הבהיר את מושג ה”יסוד“ בכימיה, הוכיח שרוב המתכות הן עצמן יסודות, בניגוד לארבעת ה”יסודות“ של היוונים שהיו תרכובות או תערובות פשוטות, וכך סתם את הגולל על חלומות האלכימאים ליצור זהב ממתכת אחרת. בעיקר התעניין לבואזיה בתהליך הבעירה, המחולל שינויים כה דרמטיים בתכונות החומרים, והפריך את התיאוריה המשכנעת ששלטה בימיו בדבר ”פלוגיסטון,“ מין חומר נטול מסה היוצא מהחומר הבוער. הוא גם הוכיח במדידותיו שנשימת בעלי-החיים זהה מבחינה כימית לבעירה – תרומה מכרעת להתפתחות הפיסיולוגיה. ניסוייו הקפדניים של לבואזיה מדדו לא רק את משקליהם של חומרים לפני ואחרי הבעירה אלא גם את משקל האוויר שבו התרחש התהליך כולו. שותפו למחקרים אלה היה מיודענו לַפּלַס, ויחד הניחו יסודות ראשונים למדע התרמודינמיקה. חוק חשוב – חוק שימור החומר – נזקף כיום לזכות לבואזיה.
אשת לבואזיה, מַרִי-אַן פּיֵרֶט (1758-1836), הייתה בת שלוש-עשרה כשנישאה לו והיא הייתה, בפשטות, מתנת-חייו. היא תרגמה עבורו מאמרים מאנגלית, הכינה את השרטוטים לעבודותיו והשתתפה אתו בוויכוחים עם מדעני הדור. לאור העובדה שלבואזיה נהג לפעמים לייחס לעצמו את תגליות עמיתיו האנגליים, חלוקים עד היום ההיסטוריונים בשאלה כמה מתגליותיו היו בעצם של אותה נערה-רעיה. לחיי הזוג המאושרים בא הקץ עם המהפכה הצרפתית. לבואזיה היה גם עורך-דין וגובה-מיסים חרוץ בשירות ממשלת המלך, שהקיף את פריז בחומה שאפשרה לו לגבות מסים מכל מי שנכנס הוא יצא ממנה, למרבה זעמו של ההמון המורעב (קשה שלא לחשוב כאן על הקבלה לפועלו הפיסיקלי של לבואזיה, חוק שימור החומר, שגם הוא מבוסס על פנקסנות קפדנית). ואם לא די בכך, שנים אחדות קודם לכן היה ללבואזיה ויכוח קולני עם ז'אן-פול מַרַא, רופא ומדען מוכשר מאוד אבל פסיכופט לא קטן. עכשיו, תחת שלטון האימים של רובספייר ודנטון, הפך הדוקטור המלומד לעיתונאי צרחני ומגיר-קצף, וההסתה של עיתונו הביאה להאשמת לבואזיה בבגידה ולהוצאתו להורג. ”רגע אחד נדרש לראש הזה ליפול,“ קונן לגרָאנז', ”אבל מאה שנים לא יוציאו עוד ראש כזה.“
וכמו הצמד אמפדוקלס-דמוקריטוס מימי קדם (ר' פרק ‏2.3), קם ללבואזיה עמית שהשלים את מחקר היסודות שלו ע"י חזרה לתורה האטומית. ג'ון דַלטוֹן (1766-1844), פיסיקאי שלמד בצעירותו אצל פילוסוף עיוור, קנה לו שם בחקר הראייה. הוא עצמו היה עיוור-צבעים (ליקוי הנקרא כראוי ”דלטוניזם“), חקר את התופעה וציווה לשמר את עיניו למדע, ואכן ניתוח שנעשה לעיניו ב 1995 גילה בהן את הגן הגורם לליקוי. דלטון, יש להודות, היה נסיין רשלני, אבל על כך פיצו כשרונותיו כתיאורטיקן. באותם ימים התנהל מרוץ הישגים ער בין האנגלים, הצרפתים והאיטלקים להבנת החוקים שביסוד המשקלים, הנפחים והלחצים של גזים ונוזלים שונים כשהם עוברים שינויי טמפרטורה או מגיבים אלה עם אלה. דלטון, כשהשווה יסודות שונים על-פי משקליהם הסגוליים, הבחין כי הם מתרכבים זה עם זה במנות שלמות כמו 1:1 או 1:2. לכן הציע הסבר למגוון התופעות הזה: א)החומר בנוי מאטומים בלתי ניתנים לחלוקה. ב)כל יסוד בנוי מאטומים זהים ואופייניים לו. כך זהה מגוון האטומים למגוון היסודות. האטומים של יסוד זהים לחלוטין במשקלם ובצורתם. ג)אטומים אינם ניתנים לשינוי. ד)כשיסודות שונים מתרכבים ליצירת תרכובות, החלק הקטן ביותר השומר על תכונת התרכובת – המולקולה – בנוי ממספר מסוים קבוע של אטומים מכל יסוד. ה)בתגובות כימיות אין נוצרים אטומים ואינם נהרסים. הם רק מסתדרים באופנים אחרים.
אלה מכם המתמצאים בכימיה מוזמנים לבדוק תחילה עד כמה תקפים העיקרים האלה בכימיה המודרנית. נכון, כבר (א) אינו נכון, אבל עכשיו החילו את המילה ”אטום“ (לא-מתפרק) על הלא-מתפרקים האמיתיים בימינו, כמו האלקטרון או הקוורק. חזון דמוקריטוס-דלטון עמד במבחן בצורה מפליאה.
פרק חדש נפתח. הכימיה הופכת לפיסיקה של חלקיקי החומר היסודיים, מה שאומר שכוחות וחוקי תנועה חדשים מצפים לגילויים.
*
זכה וולטר, ובדור שאחריו ליבו כתביו את רוח החופש גם במדע וגם בתרבות כולה. לפריחה של אותם ימים אנחנו חייבים תודה על המאורות הגדולים שנתנה צרפת לאנושות, ובהם המדען שאותו, לבושתה, גם רצחה. עשר שנים השתגעו הצרפתים בהנהגת כנופיית טרוריסטים, ואז שינתה המהפכה כיוון בהנהגתו של ”קיסר“ נפוח שיצא לכבוש את כל אירופה תחת עקרונות הצדק והנאורות שהשתבשו בימי קודמיו. גם זה לא ממש הצליח, אבל נפוליאון בכל זאת הצליח לעשות כמה דברים יפים: הוא השמיד את האינקוויזיציה בכל מקום אליו הגיע, וכמו אליליו אלכסנדר מוקדון ופרידריך הגדול, טיפח את המדע. מיודענו לַגרָאנז', עמיתו פוּריֶה (1768-1830) ואחרים היו בין באי חצרו.
דוברו הרהוט ביותר של המדע הצרפתי באותם ימים היה לַפּלַס, אותו פגשנו בדפים הקודמים פעם סוגר את הרווחים במערכת השמש ופעם חובר ללבואזיה בחקר הבעירה. יש סמליות עמוקה בשיתוף-פעולה זה בין כימאי ואסטרונום, והוא מתמצת את המסר העיקרי של פרק זה: אם היקום סגור מבחינה חומרית ואנרגטית, כדאי לעקוב אחרי כל כמות זעירה של חומר ואנרגיה המשתתפים בכל תהליך, כי כל חריגה מהם צופנת תגלית.
כשיצא לאור ”המכניקה השמימית“ של לפלס הלך לנפוליאון להעניק לו עותק.
אוֹ-לַה-לַה, אמר הקיסר, באמת יפה מצדך. אבל מה שמעתי עליך, שכתבת ספר על היקום בלי להזכיר בו את הבורא?
הוד מעלתך, השיב לפלס, להיפותזה הזאת לא נזקקתי.
כך, בקרב העם הראשון שהעז לבטל את איוולת המונרכיה, קיבל גם אלוהים פטור מהאחריות למאזן האנרגיה. החזון, שאפילו ניוטון לא העז לשאוף לו, מומש: יקום סגור שחשבונותיו מאוזנים, ושמלומד אפוף-הגיגים יכול להגיע בו לגילויים כבירים בלי לקום מכסאו. בפסקה מפורסמת דיבר לפלס על יצור הקרוי מאז ”השד של לפלס,“ אבל קל לראות שהרבה מתכונותיו של שד זה ביקש עידן הנאורות לתת לאדם עצמו:
נשווה נא בדמיוננו תבונה היודעת ברגע מסוים את כל הכוחות הפועלים בטבע ואת מיקומי כל הדברים מהם מורכב העולם; נניח עוד כי תבונה זו מסוגלת להעביר את כל הנתונים האלה בניתוח מתמטי. אז תפיק מהם תוצאה שתחבוק בנוסחה אחת ויחידה את תנועות הגופים הגדולים ביקום והאטומים הקטנים ביותר. מאומה לא יהיה בלתי-ודאי לתבונה זו. העבר והעתיד יהיו גלויים לעיניה. פַרַדֵי עושה פיסיקה בלי משוואות
היזהרו בבני עניים שמהם תצא תורה.
(נדרים פ"א 1)
הרומאנים של צ'רלס דיקנס, כמו ”דייוויד קופרפילד“ ו”אוליבר טוויסט,“ אהובים עליי מאוד, אבל יש אנשים שמעקמים את האף ואומרים: ”טלנובלות, דברים שלא קורים בחיים האמיתיים.“ לא נכון. דיקנס עצמו פגש אדם שסיפורו היה מופלא יותר מכל הרומאנים שלו. זה היה מייקל פַרַדֵי (1791-1867), נער כמעט אנאלפביתי שהוטל עליו לתקן את הכריכה של כרך מתוך האנציקלופדיה המפורסמת בעולם. הוא הציץ פנימה וקרא את הערך ”חשמל.“ כיום, שתים-עשרה מהדורות מאוחר יותר, מככב הוא עצמו באותו ערך באותה אנציקלופדיה.
ג'יימס פַרַדֵי, נפח כפרי עני שבא ללונדון מיוֹרקשֵיר עם משפחתו, היה חבר בכנסייה מוזרה שנוסדה בידי ג'ון סַנדֶמֶן ושהטיפה לחיי צניעות קיצוניים. בלונדון נולד לו מייקל, שלמד בבית-הספר ”יסודות קריאה, כתיבה וחשבון“ עד שנאלץ לעזוב בגיל שלוש-עשרה ולצאת לעבוד במקום אביו החולה. בלונדון של אותם ימים, מסלול חייו של הילד נראה מובטח כמו זה של בן-גילו מהמעמד הגבוה, רק לכיוון ההפוך: עוני, רעב ומחלות, בתקווה שאדיקותו בדת תמנע לפחות התדרדרות לפשע. והנה, הנער המתקשה בקריאה מצא עצמו מוקף בספרים: פליט מצרפת, ז'ורז' ריבּוֹ, שבא ללונדון אחרי המהפכה, נתן לו עבודה בהשאלת עיתונים: לך תביא את העיתון הזה למר סמית' ואחר-כך תעביר אותו למר ג'ונס וכו'. כשראה שהנער מצטיין בעבודה הציע לו קידום למקצוע מכובד יותר: כּורכוּת. כאן, בין חיתוך קרטונים לבישול דבק, החל מייק להסתכל גם במה שבתוך הכריכות. פעם היה זה ספר בכימיה מאת ג'יין מַרסֶט (לה ישלח בשנים הבאות עותקים ממאמריו כאות תודה ל”מורתי הראשונה“) שעודד אותו לעשות ניסויים בעצמו. פעם אחרת היה זה כרך מה"בריטניקה" (מהדורה שלישית) שבו היה ערך בן 127 עמודים על חשמל, והוא החל לעשות ניסויים גם בחשמל. ריבּוֹ הטוב הרשה לו לפתוח מעבדה בחדרון צדדי, שם רכש המדען הצעיר הרגל: לא להאמין לשום טענה עד שביצע את הניסוי בעצמו.
פרדיי קרא גם ספר בשם ”על שיפור הנפש“ שמחברו, הכומר אייזק וַּטס, הבטיח לצעירים עניים כי יוכלו להיות ג'נטלמנים מלומדים אם ישמעו לעצותיו: היה מודע לבורותך, לך להרצאות, דבר עם אנשים חכמים, אל תיכנס למחלוקות, אל... וכו'. באותם ימים לא הייתה פסיכולוגיה, ובעזרת הספר הזה למד הנער לעצב מחדש את עצמו. בגיל תשע-עשרה התייתם מאביו. באותה שנה ראה מודעה ברחוב על הרצאות ב”אגודה העירונית לפילוסופיה“ שנוסדה בידי צורף בשם ג'ון טֵיטוּם . מחיר הכניסה היה שילינג אחד. איפה מוצאים סכום כזה? האח הבכור רוברט, שירש את עבודת אביהם כנפח, נתן לו את הכסף. בהרצאות פגש פרדיי עוד צעירים שאהבו ללמוד. הוא רשם בשקדנות את ההרצאות והחל להתכתב עם אחד המשתתפים, ובכך העניק אוצר נפלא להיסטוריונים של המדע. בעיניי עולה עכשיו תמונה חיה של הבחורים האלה מגיעים במיטב בגדיהם למפגש לו חיכו כל השבוע, מתאמצים להסתיר איש מפני רעהו נעליים מבוקעות, שרוול מטולא ובטן ריקה, ומחקים ברצינות נוגעת-ללב את חברי ”המכון המלכותי למדע“ שהיה פתוח רק לבני המעמד הגבוה. יום אחד הזמינו חברי האגודה את פרדיי לתת להם הרצאה, ואנחנו יכולים לתאר לעצמנו מה הייתה הפנטאזיה של המרצה והשומעים ולמי ניסו להידמות. את כל ההרצאות העלה פרדיי על הכתב ואז עשה את מה שידע הכי טוב: הוא כרך אותן ל”ספר“ מהודר, שנשא הקדשה אוהבת לבוס שלו. ”פַּרלֶא ווּ!“ התמוגג ריבּוֹ מנחת והראה את הספר לכל לקוחותיו, שאחד מהם היה, במקרה, חבר ”המכון המלכותי למדע.“ האיש ביקש לשאול את הספר, וכשהחזירו מצא פרדיי בין דפיו כרטיסים לסדרת הרצאות במכון המלכותי מפי גדול אנשי המדע באותם ימים, סר המפרי דֵייוִי (1778-1829). ושוב עולה בדמיון סצנה דיקנסית כשהעלם נמוך-הקומה ובעל פני הנער, רחוץ, מסורק ובוודאי סמוק עד אוזניו, מתייצב להרצאה בבית חלומותיו, מקשיב ורושם כל מילה.
בינתיים פרש ריבּוֹ ואת מקומו תפס צרפתי אחר, פחות נחמד, שדרש מפרדיי להפסיק עם השטויות ולעבוד בכורך נודד. פרדיי הרגיש שהוא חייב לעשות משהו כדי שיוכל להתמסר למדע. הוא חזר על תרגיל ההתחנפות מימי החברה העירונית, ניגש לדייוי ונתן לו כרך מהודר – זה היה, מן הסתם, כרך מאוד מהודר – של ההרצאות שרשם מפיו, 386 עמודים, כולל ציורים. אולי, שאל, במבטא הקוקני שדבק בו כל חייו, במקרה... זת'ומרת... אולי אתם מחפשים עוזר?
מצטער, אמר דייוי, המדע הוא אישה קשה ולא כדאי לך לשנות מקצוע. תקוותיו של פרדיי התרסקו. אחר-כך נפגעה עינו של דייוי בתאונת מעבדה והוא שלח לקרוא לפרדיי לרשום לו רשימות, וכשהחלים שלח אותו חזרה לכריכייה ופרדיי היה שוב נורא עצוב. ואז קרה נס: האסיסטנט הכימי של המכון הסתבך בקרב אגרופים עם עובד אחר ופוטר. מרכבה הופיעה בשעות הערב בשכונת העוני ג'ייקוב'ס וֶּל, מול בית משפחת פרדיי. השליח מסר למייקל מכתב: בוא מחר למכון! הוא בא. במקום מעבדה מאולתרת בירכתי הכריכייה באו משרה מלאה פלוס דיור חינם בתוך בית-המקדש שלו. הללויה!
השנה הבאה, 1813, אפשרה לפרדיי להסתכל במבט קצת יותר מפוכח על ”הכוהן הגדול“ שאותו העריץ עד עתה מרחוק. דייוי לקח אותו כאסיסטנט למסע בן שנה וחצי באירופה. הייתה רק בעיה קטנה עם הגדרת התפקיד ”אסיסטנט.“ אתה מבין, אמר דייוי, אני נוסע עם האישה ואנחנו צריכים משרת, אבל בגלל המצב הביטחוני (אנגליה הייתה אז במלחמה עם נפוליאון, שנתן ויזה מיוחדת לדייוי) המשרת שלנו התפטר. אז מה דעתך שבתחילת המסע תבוא בשני התפקידים וברגע שנגיע לפאריז נמצא משרת ואתה תהיה שוב רק אסיסטנט?
כמובן, שום צרפתי לא נראה לדייוי טוב מספיק כמו מייק שלו, שבין צחצוח נעליים לקניית עיתון-הבוקר היה אפשר לדבר אתו על הפקת יוד מאצות או על פטנט חדש של מנורה למכרות. והייתה הדייוית הפטפטנית והמרושעת – סליחה: ליידי ג'יין – שהיה ממש חשוב לה להזכיר לבחור מבאר-יעקב כי מבחינתה הוא בסך-הכל עוד משרת החייב לשטוף רצפה ולאכול במטבח עם החדרנית והטבח. פרדיי היה אומלל וכבר חשב לחזור הביתה ולוותר על המדע. למזלו ולמזלנו, הוא בלע את העלבונות ונשאר. במהלך המסע הייתה לו הזדמנות ללמוד קצת צרפתית ואיטלקית ולהתוודע אל מדעני אירופה הגדולים, כדוגמת אלסנדרו ווֹלטָה (1745–1827) ואנדרה-מארי אַמפֶּר (1775-1836), ששמותיהם מופיעים עד היום כיחידות מתח ומטען על מכשירי חשמל בבתיכם. בין לבין הקשיב בנשימה עצורה לוויכוחי מורו עם גדולי הדור. גם דייוי עקב מזווית-עינו אחר בן-טיפוחיו ההולך ונעשה לאיש.
בשובם לאנגליה העלה דייוי את עוזרו בדרגה ונתן לו לעבוד לבד. פרדיי עסק בעיקר בכימיה, וגילה תגלית אחר תגלית. אבל ב 1820 הטיל עליו דייוי משימה ששינתה את חייו. הנה ניסוי מעניין שעשה דני אחד. שב תחקור את הנושא.
וְהִנֵּה תְאוֹמִים
למגנט יש תמיד שני קטבים: אם תשברו אותו לשנים יהיה כל חלק מגנט קטן בפני עצמו, עם קוטב צפוני וקוטב דרומי המצייתים לכלל פשוט: הדומים דוחים והשונים מושכים. כשמגנט מושך ברזל, הוא הופך אותו למגנט חלש המציית לאותו כלל. וכשמחט המצפן מצביעה צפונה, הקוטב הצפוני שלה נמשך אל הקוטב הנגדי של מגנט ענק העובר במעמקי כדור-הארץ.
הסבא-רבא-רבא שלנו, תַלֵס (פרק ‏2.1), הוא שכתב ראשון על המגנט, והוא גם כתב על תופעה דומה הגורמת לפיסות נייר להימשך אל גוש ענבר (ביוונית ”אלקטרון“) ששופשף. את הצורה הפשוטה הזאת של החשמל יכול לגלות כל אחד. חתכו נייר עיתון לחתיכות קטנות ככל האפשר והניחו אותן על השולחן. קחו פיסת ניילון, שפשפו אותה בשערותיכם וקרבו אותה מלמעלה אל פיסות הנייר. מה שגובר על כוח הכבידה ומושך אותן למעלה הוא הכוח החשמלי. פיסת הניילון התמלאה חשמל סטטי, כלומר עומד, הקרוי גם ”מטען.“ המטען הזה יכול לעבור מגוף אחד לגוף שני, ואז הוא יהיה ”זרם“ ויעשה דברים עוד יותר מעניינים.
תלס עצמו, מן הסתם, חשד שיש קשר בין המגנטיות והחשמל עליהם כתב. אבל רק כעבור הרבה מאות שנים בא שארל דוּ פַי (1698-1739) וגילה שגם לחשמל, כמו למגנט, שני סוגים: חיובי ושלילי. גופים הטעונים בחשמלים האלה מצייתים לכלל דומה לזה של קטבי המגנט: הדומים דוחים והשונים מושכים.
בא עוד שארל אחד, דה קוּלוֹן (1736-1806) והראה שלשני התאומים, המגנטיות והחשמל, עוד תכונה משותפת, גם להם וגם לאחיהם הגדול, הכבידה. כמו בחוק של ניוטון, גם כוחות חשמליים ומגנטיים נחלשים באופן תלול לפי מרחקם מהגוף:
חוק קולון: עוצמת השדה נחלשת ביחס ישר לריבוע המרחק מהגוף בעל המטען המגנטי או החשמלי.
האם זה הכל? ואולי לשתי התופעות יש לא רק תכונות משותפות אלא הן משפיעות זו על זו? חוקר מדנמרק, הנס כריסטיאן ארסטד (1777-1851) (שהיה חבר קרוב ותומך של דני גדול אחר, הנס כריסטיאן אנדרסן), עשה ניסוי לפני תלמידיו בבית-הספר: הוא הניח תיל חשמלי על השולחן והעביר בו זרם. במקרה היה כיוון התיל צפון-דרום ובמקרה היה מצפן מונח ליד התיל. כשעבר הזרם בתיל, הסתובבה מחט המצפן לכיוון מזרח-מערב! כשפסק הזרם חזרה למצבה הרגיל. בצילום משמאל תיל מאונך מוקף מצפנים. כשעובר בו זרם מסתדרות מחטי המצפנים בעיגול סביבו. אם יתהפך כיוון הזרם יתהפך כיוון המצפנים. הקשר בין כיוון הזרימה לכיוון המצפנים מבוטא ע"י כלל ידוע:
כלל היד הימנית: אם נניח את כף ידנו הימנית כשאצבעותיה כפופות על תיל בו זורם חשמל כך שהאגודל יהיה בכיוון אליו פונה הזרם, הכיוון אליו פונות האצבעות יהיה הכיוון אליו תפנה מחט המצפן.
משהו מאוד מוזר בתופעה הזאת: אצל ניוטון, כוח המשיכה פועל בקו ישר, כלומר הגופים המושכים נעים היישר זה אל זה. כך קורה גם במשיכה או בדחייה בין מגנטים או מטענים חשמליים לבין עצמם. אבל איזה מין כוח הוא זה, הפועל בין מגנטים ומטענים, הדוחף גוף בכיוון הניצב לו?
תודות לארסטד נוכל להבין ניסוי מעניין שעשה אַמפֶּר: שני תילים מקבילים, כשזורם בהם זרם לאותו כיוון, מושכים זה את זה. לכאורה זו סתירה לכלל הדומים דוחים והשונים מושכים, אבל אם נדמיין את כיוון הכוח המגנטי סובב סביב הזרם לפי ”כלל היד הימנית“ לעיל, נבין ששני הצדדים הסמוכים של התילים הם כמו שני מגנטים הפוכים ולכן הם מושכים זה את זה.
במכון המלכותי ישב פרדיי ושיחק כל היום במגנטים ובסוללות, אותן סוללות שמיודעו וולטה המציא ושאִפשרו ליצור זרם חשמלי (ר' פרק ‏12). תחילה חיזק את המגנט של ארסטד. אם הזרם יוצר כוח מגנטי חלש בכיוון המאונך לו, אפשר לחזק את המגנט הזה ע"י שנגרום לזרם לחזור ולזרום באותו כיוון הרבה פעמים. כך נולד האלקטרומגנט (ר' ציור). כשתיל מלופף על מוט ברזל, הוא מחזק את הכוח המגנטי של עצמו בכיוון המאונך לכיוון זרימת החשמל. הברזל עצמו מתמגנט ותורם גם הוא לחוזק המגנט.
הגדיל פרדיי לעשות ב 1821 כשהעמיק את תגליתו של ארסטד. הוא בנה מתקן מחוכם שבו היה מוט מגנטי צף במאונך בקערת כספית, צפון למעלה ודרום למטה, במקביל לתיל חשמלי, אנכי גם הוא. כשהעביר זרם בתיל החל המגנט לשחות במהירות סביב התיל! כך נולד המנוע החשמלי הראשון.
זו הייתה רק ההתחלה. אם ארסטד יצר מגנטיות מחשמל, אמר פרדיי, צריכה להיות דרך ליצור חשמל ממגנטיות. עשר שנים אחרי תגלית המנוע, ב 1831, הצליח. הוא ליפף תיל לסליל וחיבר אותו למד-זרם. כשהכניס מגנט לסליל, נוצר בתיל זרם רגעי – ונעלם. כשהוציא את המגנט, שוב נוצר זרם – ושוב נעלם. במילים אחרות, חשמל נוצר כשהמגנט זז.
כך המציא פרדיי את הגנרטור ובכך פתח פרק חדש בטכנולוגיה וגם בתולדות האנושות, כי עד היום מניע החשמל כמעט כל דבר בציוויליזציה שלנו, כולל המקלדת וכל מה שמחובר אליה שבעזרתם אני כותב עכשיו. אבל אנחנו מתעניינים לא בטכנולוגיה אלא בשאלה המדעית לגבי טבע התאומים האלה, לכן בואו נמשיך אחרי פרדיי התאורטיקן. נגלה כי גם הוא שייך לאליטה המצומצמת המלווה אותנו מראשית ימי המדע: האפלטוניסטים.
ה”שדה“
בסוף ימיו הכניס פרדיי לפיסיקה מונח חדש, שנשמע קצת רוחני ולכן התייחסו אליו אנשים בחשד. המגנט והחשמל, אמר פרדיי, יוצרים סביבם שדה, מין ישות המפעילה כוח על העצמים המצויים בה. את המושג ”כוח“ כבר הגדיר לנו ניוטון: כל דבר שגורם לגוף לשנות את תנועתו. הניסוי המפורסם שבעזרתו המחיש פרדיי את השדה בוודאי מוכר לכם. קחו מגנט בצורת מוט או פרסה, הניחו עליו דף נייר ועליו פזרו נסורת ברזל (קל ליצור נסורת כזאת מצמר הברזל לניקוי כלים במטבח: פשוט שפשפו אותו עד שיתפורר). כמה הקשות באצבע על הנייר ולעיניכם יופיע אוסף קווים היוצאים מקוטב אחד של המגנט אל השני. הקווים האלה קרויים קווי-כוח. יש אומרים שהקווים האלה הזכירו לפרדיי שדה חרוש ומכאן שם התופעה. גם המטען החשמלי, אמר פרדיי, מוקף שדה כזה. נחשוב למשל על חלקיק בעל מטען חשמלי שלילי. קווי-הכוח שלו הם קווים ישרים היוצאים ממנו לכל הכיוונים. השדה חזק יותר ככל שהקווים האלה צפופים יותר, כלומר בקרבת המקור. כל חלקיק בעל מטען חיובי שייקלע לשדה הזה, יימשך אל החלקיק הראשון לאורך הקו המחבר ביניהם, וכל חלקיק בעל מטען שלילי יידחה לכיוון ההפוך.
שני הצילומים הבאים מראים בשיטה דומה את השדות סביב שני גופים חשמליים קטנים. קווי-הכוח היוצאים מכל גוף מתוארים ע"י חלקיקי מתכת המרחפים על שמן ומקבלים בעצמם מטענים חשמליים זעירים. ניתן ממש לראות את כוחות הדחייה והמשיכה בין הגופים.
עם המושג היסודי החדש הזה שהכניס פרדיי לפיסיקה, בואו נחזור לרגע לניוטון ולכוח הכבידה שלו (פרק ‏8.4) ונוסיף לתיאוריה יסוד חשוב: סביב כל מסה קיים שדה כבידה, כלומר אינספור קווי-כוח היוצאים מהגוף ומתפשטים בחלל, ועל כל גוף שאליו הם מגיעים הם מפעילים כוח הפועל בקו ישר המחבר בין שני הגופים.
אבל בשני השדות שחקר פרדיי היה משהו חדש, לא דומה לשום דבר אחר.
שניים שהם אחד
חשוב לי להסביר לכם את לב-לבה של תגלית פרדיי, וגם הגרפיקאי שצייר את התמונה המצורפת השקיע מאמץ לעשות את הנושא מובן, כי כאן מתחבא אחד הסודות העמוקים של הטבע.
ועוד הערה: בניסויים שאתאר כאן אני רוצה למנוע מהשפעתו של שדה אחד מלהתערב בשדה השני, וגם למנוע מניוטון מלהתערב עם החוק השלישי שלו, ”חוק הפעולה והתגובה.“ למשל, אם ארצה לתאר את השפעתו של מגנט על מטען חשמלי, חשוב לי שפעולת המטען החשמלי עצמו על המגנט לא תבלבל אותנו ושהמגנט לא יזוז גם הוא. לכן אשתמש פעם במגנט גדול ומטען חשמלי קטן ופעם להפך, לפי הצורך.
מגנט בשדה חשמלי
נתחיל בשדה החשמלי. דמיינו לעצמכם גוף כדורי גדול טעון מטען חשמלי. לשם קיצור מכנים הפיסיקאים גוף כזה ”מטען.“ לאור מה שלמדנו, המטען הזה מוקף בשדה. השדה מורכב מקווי-כוח, כלומר זיליוני קווים היוצאים מהמטען לכל הכיוונים ויוצרים סביבו שדה בדמות כדור גדול האופף אותו בחלל. זה אומר שכל מטען חשמלי הפוך, שייקלע לאחד מקווי-הכוח האלה, יימשך אל המטען שלנו היישר לאורך הקו, וכל מטען חשמלי זהה יידחה בכיוון ההפוך.
עכשיו, מה יקרה למגנט קטן שיימצא בתוך השדה הזה? כלום. הוא לא יושפע בכלל מהשדה. אבל ל”כלום“ הזה יש סייג חשוב: כלום כל עוד המטען אינו נע ביחס למגנט.
יפה, עכשיו נתאר לעצמנו את המטען נע לימין. ברור שהשדה החשמלי הכדורי המקיף אותו נע אתו. עכשיו אבקשכם לשים לב רק לאותם קווי-כוח בשדה הזה הניצבים לכיוון התנועה של המטען: הם יוצרים יחד עיגול החותך את כדור השדה באמצעו, בניצב לכיוון התנועה (כיוונים למעלה-למטה וקדימה-אחורה ביחד למישור הדף).
פרדיי גילה כי ברגע שהמטען זז, והשדה זז אתו, קורה דבר מפליא לקווים האלה שבתוך העיגול: קווי-כוח חדשים יוצאים מהם, לכיוון הניצב ב 90 מעלות גם להם וגם לכיוון התנועה. קיבלנו, אם כן, בתוך העיגול החותך, שבתוך השדה הכדורי, קווי-כוח היוצרים הרבה מעגלים בגדלים שונים זה סביב זה, כשהמטען הנע במרכזם (להזכירכם: המעגל הוא הקו והעיגול הוא השטח הממלא אותו ). כל מעגל הוא אם כן קו-כוח עגול שצץ פתאום מתוך השדה החשמלי ברגע שהמטען החל לנוע, וכיוונו, כאמור, ניצב גם לכיוון התנועה של המטען וגם לכיוון קווי-הכוח החשמלי. הציצו שוב בתרשים לוודא שהבנתם את זה. ממש לא מסובך.
אמרתי שסביב המטען הנע הופיעו קווי-כוח ”חדשים“? הנה ההפתעה: אנחנו כבר מכירים אותם. אלה הם קווי-הכוח המגנטיים. לכן, אם עד עתה היה המגנט שבצד אדיש למטען החשמלי, עכשיו, כשהמטען נע, יסתובב המגנט ויעמוד בכיוון הניצב הן למטען והן לכיוון תנועתו. במילים אחרות: המגנט יסתדר לאורך קווי-הכוח המגנטיים שהופיעו סביב המטען הנע. אם ייעצר המטען, ייעלמו קווי-הכוח המגנטיים, והוא והמגנט יהיו שוב אדישים זה לזה.
גם כאן חל ”כלל היד הימנית“ לעיל: נשים את יד ימין בכל מקום סביב המטען כך שאגודלנו יפנה לכיוון תנועתו, וה”צפון“ של השדה המגנטי יהיה בכיוון שאר אצבעותינו.
מטען חשמלי בשדה מגנטי
עכשיו נחליף תפקידים בין המטען והמגנט. גם הפעם, כדי שהמטען לא יפריע לנו עם השדה שלו, נעשה את המגנט גדול ואת המטען קטן. עוד דבר שעלינו לזכור הוא שיש הבדל חשוב (עליו נתעכב בהמשך הספר) בין קווי-כוח מגנטיים לבין קווי-כוח חשמליים: קווי-הכוח המגנטיים אינם ישרים אלא יוצרים לולאות, מהקוטב הצפוני של המגנט אל הדרומי, ומשם דרך גוף המגנט חזרה לצפוני ולהיפך. אני רוצה להדגים על השדה המגנטי תופעה דומה ככל האפשר לזו שהדגמנו קודם על השדה החשמלי, ולכן, כדי לעשות את השדה המגנטי דומה לשדה החשמלי, אשתמש בסידור הזה: המגנט יהיה מגנט פרסה עגול ששני קטביו פונים היישר זה אל זה, כך שקווי-הכוח העוברים ביניהם יהיו ישרים. את המטען החשמלי הזעיר שלנו נשים ברווח הזה שבין הקטבים. לא יקרה כלום. עכשיו נזיז את המגנט ימינה בכיוון הניצב לכיוון קווי-הכוח שלו. והנה שוב, מכל קו-כוח מגנטי ייצאו קווי-כוח חדשים הניצבים ב-90 מעלות גם לו וגם לכיוון תנועת המגנט. ועכשיו לא תתקשו לנחש מהם קווי-הכוח האלה שצצו פתאום: נכון, אלה הם קווי-כוח חשמליים. ואם עשיתם את האנלוגיה נכון, תבינו שגם הגוף החשמלי יקבל דחיפה מוזרה למעלה או למטה, לכיוון הניצב גם לכיוון בו נמצא המגנט וגם לכיוון תנועת המגנט.
עד כאן הזזנו את המגנט לעומת המטען. מה יקרה אם נשאיר את המגנט במקומו ונזיז את המטען? אותה תוצאה. שימו לב שאני לא מדבר על השדה של המטען – דאגתי לעשות אותו זניח – אלא על השדה של המגנט: הוא הופך לשדה חשמלי לגבי כל מטען הנע בניצב לקווי-הכוח שלו.
עוד זוג ניסויים פשוט ויפה ימחיש לנו את השפעת השדה המגנטי על מטען נע. בציור הבא עוד מגנט פרסה עגול, העומד כך שה”דרום“ שלו קרוב אלינו בעוד ”צפון“ הוא בכיוון ההפוך, פנים הדף. בין שני קטביו, באמצע, עובר תיל. בתיל אין זרם ולכן הוא אדיש למגנט. מה יקרה אם יעבור בו זרם? במקרה הזה יעברו בתיל הרבה גופים בעלי מטען חשמלי שלילי – האלקטרונים (ר' פרק ‏12). אלה הם גופים קטנים מאוד-מאוד, אבל כיוון שהם רבים מאוד-מאוד, הם יכולים בכוחות משותפים למשוך את כל התיל לצד זה או אחר. ולכן:
ניסוי 1. נעביר זרם בתיל, מימין לשמאל. התיל יידחף למטה. נעביר זרם הפוך משמאל לימין: התיל יידחף למעלה.
ניסוי 2. עכשיו לא נעביר בתיל שום זרם ורק נדחוף אותו בעצמנו, נאמר בלחיצת אצבע, למטה. בתיל יעבור זרם מימין לשמאל. נדחף את התיל בכיוון ההפוך, למעלה. בתיל יעבור זרם הפוך, משמאל לימין.
מה קרה כאן? נזכור שגם בתיל שלא עבר בו זרם יש אינספור אלקטרונים היושבים בתוך האטומים שלהם. כשדחפנו את התיל למטה או למעלה מצאו האלקטרונים את עצמם נעים בתוך השדה המגנטי ומיד צייתו לחוק פרדיי: הם ברחו מהאטומים שלהם ונעו בזווית הניצבת הן לכיוון קווי-הכוח המגנטיים והן לכיוון תנועתם, כלומר, לאורך התיל.
לסימטריה היפה בין שני הניסויים נוסיף לסיום היבט כמותי. כוח הדחיפה ב (1) תלוי בעוצמת הזרם, ועוצמת הזרם ב (2) תלויה במהירות בה דחפתם את התיל.
ושוב האינווריאנטיות
כדי להעמיק את הבנתנו בטבע שני השדות נעשה עוד ניסוי מחשבתי אחד, שהוא וריאציה על ניסוי שעשינו מזמן-מזמן. הוא יחשוף לעינינו חיבור מפתיע בין פרדיי לבין גלילאו, וייתן בהמשך רמז חשוב לאיינשטיין. הנה אם כן צמד הגיבורים התנ"כיים שהבאנו מארצו של גלילאו, דוד ומשה, שבפרק ‏6 סייעו לנו כל כך יפה להבין את עיקרון האינווריאנטיות. עכשיו נזמין אותם לאנגליה (אחד מהם, נראה לי, לא אוהב את האקלים) ונבקש מהם לעזור לנו בניסויים במגנטיות וחשמל. דוד, בקרון שעוד לא החל לנוע, מחזיק במטען חשמלי קטן בעוד משה, היושב ברציף, מחזיק במגנט גדול. המגנט שביד משה מאונך, צפון למטה ודרום למעלה. עכשיו נניע את הקרון של דוד על פני משה, משמאל לימין. התוצאה: המטען שביד דוד עף אל מחוץ לדף, היישר אלינו.
זוכרים מה טען דוד בפרק ‏6 במצח נחושה? גם הפעם הוא מצהיר: ”אני והקרון שלי עומדים, וזה רק העולם, עם הרציף ממול והאיש עם המגנט הגדול היושב שם, הטסים מימין לשמאל, ובגללם ברח לי המטען שהחזקתי ועף לכיוונכם.“ מה יקרה, אם כן, אם דוד באמת ישב במקום משה, בעוד משה, עם המגנט שלו, יחלוף על פניו בקרון מימין לשמאל? אם גלילאו צודק, תתקבל אותה תוצאה.
ובכן, גלילאו שוב צודק, ושוב יכול דוד לטעון את טענתו האגוצנטרית, וכל חוקי הטבע יתנו לה את אותו מעמד כמו לטענת השכל הישר שהעולם עומד ודוד נע.
לבסוף, תארו לעצמכם שמשה התיישב בקרון של דוד. מה יקרה כשהקרון של דוד ינוע שוב? נכון: כלום. שני הגופים נעים, אבל תנועתם היחסית היא אפס.
מניסויים אלה הולכת ומתבררת עוד סימטריה מפליאה שתהפוך ליסוד הפיסיקה של ימינו. ראינו שהמטען שביד דוד עף בכיוון הניצב לדף, אלינו. מה צריך לעשות כדי שהמטען יעוף בכיוון ההפוך, אל ”עומק“ הדף? אפשר א)לבקש מדוד שינוע בכיוון ההפוך, ב)לבקש ממשה שיהפוך את כיוון המגנט, ג)להחליף את המטען שביד דוד משלילי לחיובי, ו-ד)לצלם את כל התהליך בווידיאו ולהריץ את הסרט אחורנית.
ומה יקרה אם נעשה את כל הפעולות יחד? יופיע התהליך המקורי! לפנינו עיקרון אינווריאנטיות המטען, הזוגיות והזמן (Charge, Parity and Time) בפיסיקה המודרנית, הנובע מתורות היחסות והקוונטים המצפות לנו בהמשך:
עיקרון שימור ה-CPT: בכל תהליך פיסיקלי, חוקי הפיסיקה יישארו בעינם אם נחליף כל מטען בהיפוכו, כל צד במרחב בהיפוכו וכל כיוון בזמן בהיפוכו.
מה שמתגלה כאן קשר הוא עמוק בין מטען, מרחב וזמן, שאולי נותן לנו רמז על ממדים נוספים של המציאות. להמחשת הדברים בואו נעשה ניסוי בשלושה ממדים. שימו מולכם ספר כלשהו כשהשער מולכם. עכשיו א)הפכו אותו לאחוריו כך שהימין והשמאל שלו יתהפכו גם הם, ב)הפכו אותו שוב פנים ואחור כך שגם ה”למעלה“ וה”למטה“ שלו יתהפכו, ו-ג)סובבו אותו על משטח השולחן כך שה”למעלה“ ו”הלמטה“ שלו יתהפכו שוב. הספר עבר שלושה סיבובים בשלושת מימדי המרחב – וחזר למצבו המקורי. מה שה-CPT אומר לנו הוא שהמטען, המרחב והזמן שלובים באיזה אופן זה בזה כמו שלושת ממדי המרחב!
טוב, נסחפנו קצת לפיסיקה של ימינו. בואו נחזור למסגרת הכרונולוגית.
צמד חוקים
אתם בוודאי מבחינים בייחוד המוזר של שני הכוחות האלה, המבדיל אותם מכל כוח אחר: השדה המגנטי אינו ”מרגיש“ במטען החשמלי הנמצא בתוכו כל עוד המטען אינו זז לעומתו, אבל פועל עליו ברגע שהוא עושה תנועה כלשהי בכיוון הניצב לקווי-הכוח שלו. אותו דבר מאפיין את השדה החשמלי ביחס למגנט. להמחשת הדבר נסו לדמיין נמר גדול ששערות שפמו יוצרים שדה מגנטי רב-עוצמה על פני כל היער, ואילו אתם עצמכם ארנבת קטנה שמרוב פחד נעשתה פרוותה טעונה במטען חשמלי. מה תעשו כדי שהנמר לא יגלה אתכם? באיזה צורה תתגנבו אל מחוץ לתחום השדה? ומה צריך הנמר לעשות כדי שתתגלו? ומה תעשו כדי לבטל את פעולתו? השדה האלקטרומגנטי, אם כן, רגיש לתנועה. על כך נוסיף את המוזרות השנייה: הכוח שמפעיל השדה החשמלי/מגנטי אינו רק ישיר אלא גם ניצב, כלומר מסובב/מעיף את המגנט/המטען הצידה.
וכך, מכל התצפיות האלה התגבשו שני חוקי-יסוד, הידועים כיום כחוק פרדיי והחוק המקביל של מקסוול (ר' בפרק הבא), המאחדים בין שתי התופעות:
א. שדה חשמלי נוצר בכל מקום שבו שדה מגנטי משתנה עם הזמן. עוצמת השדה החשמלי הנוצר פרופורציונית לקצב שינוי השדה המגנטי. כיוונו ניצב לכיוון השינוי בשדה המגנטי.
ב. שדה מגנטי נוצר בכל מקום שבו שדה חשמלי משתנה עם הזמן. עוצמת השדה המגנטי הנוצר פרופורציונית לקצב שינוי השדה החשמלי. כיוונו ניצב לכיוון השינוי בשדה החשמלי.
פרדיי לא אוהב טלנובלות
כשאדם שהצטרף לקבוצה מיוחסת מבחוץ מתחיל להתקדם בה, זו רק שאלה של זמן עד שיתחיל למשוך אש, אפילו אם הוא הבחור הכי נחמד בעיר. דֵייוִי, פטרונו של פרדיי, היה כימאי ופיסיקאי גאוני שרשם לזכותו שורה ארוכה של תגליות ומקומו בתולדות המדע היה כבר מובטח. אבל לרגש יש חוקים משלו. אין ספק שכיבד ואהב את בן-חסותו, אבל אין גם ספק שבשלב מסוים החל לשים לו רגל בכל פינה. צד פסיכולוגי מעניין בתסבוכת הזאת הוא העובדה שגם דייווי לא היה בן המעמד הגבוה אלא בנו של נגר (יש אומרים שנישואיו לאלמנה עשירה באו לא מאהבה אלא כדי לקדם את מעמדו), ונראה שפרדיי בן הנפח עורר בו לא מעט תסביכים בנושא הזה.
ראינו איך ב 1821 הציג פרדיי את המנוע החשמלי הראשון, כלומר מתקן שהפך אנרגיה חשמלית לאנרגיה קינטית. הבעיה הייתה שזמן קצר קודם לכן ניסה דייווי, יחד עם ויליאם ווֹלַסטון, לבנות מנוע כזה ונכשל. יותר מזה: פרדיי נכנס למעבדה בזמן שיחתם של השניים למלא את חובתו היומית – שטיפת בקבוקים – ולכן אפשר ששמע חלק משיחתם. וכך, מיד אחרי שפרסם פרדיי את המצאתו, החלה מסתובבת השמועה בחברה המלכותית שהוא גנב את הרעיון מווֹלַסטון. פרדיי, עכשיו בן שלושים, מיהר אל האיש לברר את פשר השמועה. וולסטון היה ג'נטלמן. אחרי הפגישה הצהיר ברבים על תמיכתו בפרדיי והלחישות המכוערות פסקו. רק מכיוון אחד נמשכה שתיקה מעיקה: דייווי. המתיחות גברה כעבור שנתיים, כשפרדיי גילה כיצד לנזל כלור. דייווי, לו הגיש את טיוטת המאמר, טען שזה היה הרעיון שלו ופרדיי, כמו תמיד, וויתר. אז הוצעה מועמדותו של פרדיי לחברה המלכותית, היוקרתי במוסדות המדע בעולם. דייווי, עתה נשיא החברה, דרש מפרדיי למשוך חזרה את מועמדותו, וזה השיב כי אין לו מה למשוך כי לא הוא הציע את עצמו. נערכה הצבעה חשאית שבסופה נספרו הפתקים. כולם היו לבנים מלבד שחור אחד, מעניין של מי.
אבל פרדיי שמר אמונים לדייווי ומעולם לא יצא נגדו. עשר שנים אחרי קבלתו לעבודה עדיין כלל תפקידו שטיפת בקבוקים יומית. מ-1824 הטיל עליו דייווי חובות אדמיניסטרטיביות ומחקר משעמם להפליא בייצור זכוכית. פרדיי מצדו החל להרצות לקהל הרחב, בעיקר לנוער. כך נטש את מחקריו בחשמל לכמה שנים ולא חזר אליהם עד אחרי מות פטרונו. אבל כשחזר, חזר בגדול: ב 1831 גילה, כפי שראינו, את המנוע החשמלי. אחריו באו תגליות חשובות נוספות, המצריכות דיון בתכונה ייחודית שהייתה לפרדיי – נכון יותר: תכונה שלא הייתה לו.
גם לא מתמטיקה
אם הצליח פרדיי לסגל לעצמו אנגלית יפה, הנה שפה חשובה יותר לא למד וגם לא רצה ללמוד. את תצפיותיו רשם במילים ולא במשוואות, ולעתים גם דיבר על המתמטיקה בנימה מזלזלת. בכך הוא תופס מקום יחיד במינו בתולדות הפיסיקה. בורותו במתמטיקה, לצד האופי המוזר של השדה, גרמו לכך שרעיונותיו לא נקלטו בדורו. היה זה מקסוול, אותו נפגוש בפרק הבא, שתרגם את גילויי פרדיי לשפת המשוואות ומיד הוציא מהם משהו חדש ומפתיע. השאלה המעניינת, שלדעתי לא נתנו עליה את הדעת כראוי עד היום, היא אם מושג השדה היה מתגלה לולא נאלץ פרדיי, בשל עילגותו המתמטית, לפתח כפיצוי את חשיבתו הוויזואלית. שאלה זו מביאה לשאלה מטרידה יותר: האם ההסתמכות ההולכת וגוברת של פיסיקאים על המתמטיקה אינה מביאה לניוון הכושר החיוני לחשוב בתמונות?
הלא-כלום כמוליך
חשיבתו הוויזואלית של פרדיי בולטת בהישג הגדול – ניסויי ועיוני – של חייו המאוחרים. בהרצאה ב 1843 שאל שאלה מפתיעה: האם ייתכן שהחלל הריק – החלל עצמו, לא האוויר – הוא מוליך חשמלי? זה הייתה שאלה די משונה כי הוא ייחס תכונה פיסיקלית ל”שום-דבר“ עצמו. ההשערה עוררה לגלוג, אבל הערה של מדען צעיר ומבטיח, וויליאם תומסון (1824-1907; לימים לורד קלווין, ממייסדי התרמודינמיקה) עוררה אותו לעשות ניסוי: הוא שיחק עם הקיטוב של האור (קיטוב הוא הכיוון שבו מתנודדים גלי האור, וזה מושג שעוד נחזור אליו בהמשך), וכשהעביר אור מקוטב בשדה מגנטי מצא שהשדה מסובב אותו! תגלית זו ידועה כיום בשם האפקט המגנטו-אופטי. כך התגלתה ראשיתו של קשר טמיר בין האור, החשמל והמגנטיות.
הממצא הזה חיזק את השערת פרדיי שלחלל עצמו תכונות חשמליות ומגנטיות. תוך זמן לא-רב תוביל השערה זו לתגליות מרעישות בנוגע לתכונותיהם הפיסיקליות של החלל והזמן.
המורה
שם גדול עשה פרדיי בזכות הרצאותיו, שמשכו קהל גדול ולוו בניסויים. הוא החשיב מאוד את אמנות ההרצאה ורשם הרבה עצות למי שרוצה להצליח בה. תחילה הרצה ב”אגודה העירונית לפילוסופיה,“ שם עשה את צעדיו הראשונים ושחבריה היו עכשיו גאים בו עד הגג. אחר-כך, כפרופסור ומנהל המכון המלכותי, החל להרצות באותו אולם אליו הגיע לראשונה כשומע. בקהל ישב צ'ארלס דיקנס, שהדפיס ופרסם את ההרצאות לציבור הרחב. גם צ'ארלס אחר, דארווין, נראה בקהל, אבל מעולם לא נרשמה שום התייחסות של פרדיי האדוק לתורת האבולוציה. ספר קטן וחמוד, מבוסס על סדרת הרצאותיו לחג המולד, נקרא The Chemical History of a Candle (הוא זמין כיום ברשת) ותורגם לפני שנים רבות לעברית בשם ”מעשה הנר.“[] פרדיי היה פותח בהדלקת נר, כנהוג בחג המולד או בחנוכה שלנו בתקופת שנה זו. ”אין חוק מחוקי היקום,“ היה אומר, ”שאינו מתבטא בצורה זו או אחרת בתופעה של הנר הדולק.“ ואז היה שואל שאלות של ילד קטן: למה השלהבת כהה מבפנים ובהירה מבחוץ? למה השעווה זקוקה לפתיל כדי לבעור? וכך הלאה למה ולמה ולמה, ומתוך החיפוש אחרי התשובות שמעוררת תופעה כל כך פשוטה ויומיומית היה מוביל את שומעיו אל כל פרק מספרי הפיסיקה והכימיה. אילו היה נותן את ההרצאות האלה כיום, האם לא היה מגיע באותה טבעיות לחידות הקוונטים והקוסמולוגיה?
שקיעה
כל חייו נשאר פרדיי נאמן לכנסייה הסַנדֶמֶנית, בה שירת כמטיף. בניגוד בולט למורו, שנשא בגאווה את ה”סר“, דחה פרדיי תארי אצולה שהוצעו לו על שירותים ציבוריים רבים מספור. הוא סירב לפתח נשק כימי עבור ממשלת בריטניה, לא רשם פטנטים על אינספור המצאותיו (אחיו רוברט, ששילם כזכור את השילינג הראשון להשכלתו, רשם פטנט אחד על הארובה שהמציא פרדיי) ואפילו לא עשה ביטוח חיים כי לא רצה להפגין חוסר ביטחון באלוהים. כללי ההסתפקות-במועט שדרשה אמונתו עשו אותו סגפני עם השנים. לסנדמנים, כנראה, לא הייתה מקבילה לתוכחה היפה בתלמוד (ירושלמי קידושין פ"ד 12) ”עתיד אדם ליתן דין וחשבון על כל שראתה עינו ולא אכל.“ רק פעם אחת, ב 1844, לא בא לתפילת יום א' ומיד נקרא לבירור בפני זקני העדה: מה זה צריך להיות? אה-בה-מה, אמר האח מייקל. הוזמנתי לארוחת-ערב בווינדזור. הוד-מעלתה, אתם מבינים, לא נעים לסרב.
המלכה? התרתחו הזקנים, זו סיבה לא להתייצב בפני מלך מלכי המלכים הקדוש ברוך-הוא? תבקש סליחה מיד! הפעם, סוף-סוף, אמר פרדיי ”לא“ לבית-הדין ההמום, וקיבל עונש הורדה בדרגה והרחקה זמנית.
לרוע המזל, בריאותו הנפשית של פרדיי לא הייתה איתנה. הוא נשא את הסנדמנית שרה ברנרד בהיותו בן שלושים, נישואים מלאי אהבה, וארבעים שנה גרו שניהם בדירה הצנועה שבקומה העליונה במכון המלכותי, משם הייתה מביאה ארוחות למעבדת בעלה שבקומת המרתף. למרות אהבתם לילדים (מייקל כתב להם כמה ספרי מדע) לא זכו ללדת. את כל זמנו השקיע פרדיי במדע ובכנסייה, ללא עניין במוסיקה, ספורט, פוליטיקה או חיי חברה. משבר נפשי ראשון (דיכאון?) פקד אותו כשהתקרב לגיל חמישים. באותה עת הועלה לדרגת ”זקן“ בכנסייתו ואיכות פרסומיו ירדה, אבל התגלית שהחלל הריק משמש כמוליך באה דווקא בתקופה זו.
החל מגיל ששים וחמש החלה ניכרת בו ירידה אינטלקטואלית, וכשנפטר כעבור עשר שנים, מוקף בדאגה ואהבה בבית שהעניקה לו המלכה ויקטוריה, כבר סבל מסניליות מתקדמת. זו בוודאי הסיבה שעל מכתביו הנלהבים של מקסוול ענה במעט ריחוק. הכישלון הקולוסאלי של חייו היה שדווקא המורה הווירטואוזי הזה לא העמיד ממשיכי-דרך, כפי שריבּו עודד אותו ללמוד בנערותו וכפי שדייווי הדריכו בראשית דרכו. מי יודע, אולי קרה גם לפרדיי מה שאנו רואים עד היום באנשים שהגיעו לגדולה אבל לא ממש הפנימו את הצלחתם; אולי, בסתר-לבו, עדיין חש הגאון אציל-הנפש הזה כשוליית-כורכים בודד המתמרד נגד חוקי תקופתו, מתוודע אל סודות הטבע באפלולית החדר הקטן שהוקצה לו מתוך חמלה?
*
פרדיי עשה נפלאות בחקר הכימיה והחשמל, מבלי להבין את הקשר ביניהם, קשר שרק כיום אנחנו מבינים אותו אחרי שהתגלה כי באטום יש כוחות חשמליים. הכימאים רואים בו את אחד מאבותיהם, ובין הפיסיקאים הניסיוניים יש הרואים בו את גדול הנסיינים בתולדות המקצוע. בהתחשב בכך שפרס נובל מוענק על תוצאות נסיוניות, גילוייו היו בוודאי מזכים אותו כיום ביותר מנובל אחד. אנחנו האפלטוניסטים נזכור אותו כמאחד גדול. אם בימיו האמינו שיש כמה סוגי חשמל, הוא הראה שכולם סוגים של אותה תופעה, כמו שכל סוגי המגנטיות הם אחד. אחר-כך המשיך ואיחד את שתי התופעות, וגם הראה את הקשר בינן לבין האור. מכאן פנה לאיחוד גדול יותר: פרדיי היה בטוח שגם לכבידה יש קשר למשפחה הזאת, וחיפש אותו עד סוף ימיו. גם אנחנו כיום בטוחים שיש קשר כזה, אבל עוד איננו יודעים מהו בדיוק. איינשטיין, ואחריו הרבה אנשים, ניסו למצוא אותו ולא הצליחו עד היום, וזה דבר שאני רואה בחומרה רבה. מקסוול מאיר את האור
אור, אורי, האור הממלא-עולם
האור נושק-העין ץ
אור ממתיק-לב! ץ
רבינדרנאת טגור
זה היה נחמד אם כמה מהצ'יזבטים ב”צופן דה-וינצ'י“ היו נכונים, למשל, הסיפור על אגודת-סתר עתיקה בשם ”מסדר ציון“ שעל ראשיה נמנו לאונארדו, בוטיצ'לי, ניוטון וויקטור הוגו. יש משהו מסעיר במחשבה על ארגון חשאי כזה בו חברים כמה מגאוני כל הדורות, במיוחד כשמדובר באנשים הידועים לנו כמתבודדים. לרעיון הקוסם הזה יש כל מיני הדים, לפעמים קצת מטורללים, כמו ב”מרד הנפילים“ של איין ראנד או בכל מיני סיפורים על ”הבונים החופשיים.“ והנה, במציאות קיימת אגודת גאונים חשאית בדיוק כזאת ושמה ”האפוסטולים מקיימברידג'.“ היא נוסדה ב 1820 בידי ג'ורג' טומלינסון, לימים בישוף גיברלטר, והיא מונה שנים-עשר סטודנטים נוצרים מקיימברידג', כמספר שליחי ישוע. זהות ה”שליחים“ נודעת רק אחרי שהם פורשים מהאגודה בסיום לימודיהם והופכים ל”מלאכים.“ ממלאי מקומם באים מתוך קבוצת ”עוּבָּרים“ המוזמנים למסיבה בלי לדעת את מטרתה, ובסופה נבחרים מתוכם ה”שליחים“ החדשים. מדי שבת בערב נפגשים שנים-עשר המופלאים, אוכלים סנדביצ'ים עם סרדינים (הקרויים משום-מה ”לווייתנים“) ודנים במאמר שמציג אחד מהם. במהלך הדורות הוציא החוג כמה מהמאורות הגדולים של תרבות המערב: המשורר אלפרד טניסון, ראש הממשלה ארת'ור ג'יימס בלפור, המתמטיקאי גודפרי הארדי, הסופר אולדוס האקסלי, והפילוסופים ג'ורג' מוּר, לודוויג ויטגנשטיין וברטרנד ראסל. במאה ה-20 הופיעו גם כבשים שחורות: שניים ממרגלי קיימברידג' הידועים לשמצה, גאי ברג'ס ואנת'וני בלאנט, היו ”מלאכים.“ מצד שני, ”מלאכים“ אחרים, כמו האחים ליטון וג'יימס סטרייצ'י ואבי הכלכלה המודרנית ג'ון מיינארד קיינס, ייסדו את ”חוג בלומסברי“ המפורסם. אין ספק, זו הייתה מדגרת גאונים משובחת.
ובין המאורות האלה זוהר באור יקרות סקוטי אחד בעל פני נביא, ג'יימס קלרק מקסוול (1831-1879), שנבחר ל”שליח“ ב 1852. הוא היה נוצרי אדוק, ובהתחשב בכך שההומוסקסואליות החלה אז רווחת בין חברי האגודה (עד 1985 לא הייתה ביניהם אישה), היה בוודאי צריך פה ושם להתעלם מדברים ששמע או ראה סביבו. כיוון שחובת הכניסה שלו הייתה להציג בפני חבריו מאמר משלו, לא מן הנמנע שהמאמר שהציג היה טיוטה של מאמרו ”על קווי-הכוח של פַרַדֵיי,“ בו פיתח את החלק הספקולטיבי והפרוע ביותר בעבודתו של אבי תורת החשמל המודרנית.
צורות לובשות מספרים
פרדיי, כזכור, לא ידע מתמטיקה ואפילו הרשה לעצמו לזלזל בה. צורת חשיבתו הייתה ויזואלית: הוא חקר את קווי-השדה כאילו היו ממש קיימים לנגד עיניו בחלל המקיף את המגנט או המטען. מקסוול, לעומתו, התברך בשרירים מתמטיים חזקים. אבל כשהוא מזכיר במאמריו את פרדיי (שעוד חי בימיו והספיק להחליף אתו כמה מכתבים לבביים), הוא חולק שבחים כנים לגישתו שנחשבה ל”פרימיטיבית,“ ואומר כי לולא חשיבה זו לא היה פרדיי מגלה את השדה ואת הקווים המרכיבים אותו. מכאן ממשיך מקסוול בשני שלבים: תחילה הוא ממשיך ומפתח את רעיונותיו הוויזואליים של פרדיי, ואחר כך מלביש אותם בלבוש מתמטי המגלה את מלוא כוחם.
את רעיונותיו הוויזואליים של פרדיי, שבעת ההיא כבר הולידו כמה חוקים הנוגעים לחשמל ולמגנטיות, תמצת מקסוול לארבע משוואות מפורסמות. זה היה, בעצם, מתבקש מאליו: מצד אחד חוקי החשמל והמגנטיות עוסקים בשינויים בשדה החשמלי והמגנטי, ומצד שני יש תיאוריה מתמטית שהומצאה בדיוק כדי למדוד שינויים בצורה הכי מדויקת, הלא היא החדו"א, אז בואו נבטא תורה אחת באמצעות השנייה. המשוואות מוסברות בנספח, אבל כאן נעשה כבוד לפרדיי ונביע אותן כמו שהוא דרש, במילים:
א. עוצמת השדה החשמלי תלויה בגודל המטען החשמלי המחולל אותו נחלשת ככל שגדל המרחק מהמטען (חוק גאוס).
ב. לשדה מגנטי קווי-כוח ללא קצוות. כל קו יוצא מהקוטב הצפוני של המגנט, עובר דרך הקוטב הדרומי ומשם חוזר אל הקוטב הצפוני (חוק גאוס).
ג. שדה מגנטי משתנה מחולל שדה חשמלי (חוק פרדיי).
ד. שדה חשמלי משתנה מחולל שדה מגנטי (חוק אמפר).
קפיצה מחשבתית אל הלא-כלום
תחילה רשם מקסוול את משוואותיו כך שיתארו את השתנות השדות בתוך חומר, אבל מה לגבי הריק? זכרו שפרדיי כבר עשה פעם קפיצה כזאת כשייחס מוליכות חשמלית לחלל הריק עצמו. מקסוול ניסה אם כן לרשום את משוואותיו לא עבור מוליך אלא עבור החלל הריק. במקום האיברים במשוואה המתארים מוליכות הכניס מקסוול 0, והתקבלה רביעיית החוקים המשלימה:
א. אין מטענים חשמליים בריק.
ב. אין קטבים מגנטיים בריק.
ג. שדה מגנטי משתנה מחולל שדה חשמלי.
ד. שדה חשמלי משתנה מחולל שדה מגנטי.
אתם בוודאי מבינים היכן ההפתעה: בשתי המשוואות האחרונות התייחס מקסוול לחלל הריק כאילו הוא משהו. ההשערה הפרדוקסלית הזאת הביאה לו את תגליתו האדירה. מה הדריך אותו?
הנה מתקן חשמלי שימושי הנקרא קַבַּל, המורכב משני לוחות של חומר מוליך (מתכת), וביניהם חומר מבודד כלשהו או סתם אוויר. אל לוח א' מגיע זרם דרך תיל המחובר אליו, ומלוח ב' יוצא הזרם דרך תיל שני (ר' ציור). שני התילים מחוברים למקור זרם (סוללה או גנרטור), וכך מגיע זרם מצד אחד וטוען לוח אחד במטען שלילי, בעוד שמטען שלילי דומה ”נשאב“ מהלוח השני אל אותו מקור זרם ומשאיר בלוח מטען חיובי עודף. כך נטענים שני לוחות הקבל במטענים מנוגדים שיישארו שם זמן רב, וזו צורת אחסון נוחה של מטען שמהנדסי אלקטרוניקה משתמשים בה בבניית טרנזיסטורים ועוד כל מיני דברים מאוד מועילים (שאני לא מבין בהם כלום).
עכשיו בואו נתוודע אל
חוק אמפר: קיים יחס ישר בין הזרם החשמלי העובר דרך משטח סגור לבין השדה המגנטי המשיק לשפת המשטח הנוצר כתוצאה מהזרם הזה.
כלומר, אם נשרטט צורה סגורה כלשהי, למשל מעגל, סביב נקודה על מוליך בו זורם חשמל, כך שהצורה הזאת סוגרת על משטח, למשל עיגול (תזכורת: ”מעגל“ הוא קו, הנראה כך , ו”עיגול“ הוא השטח הממלא אותו, כך ), אזי על כל נקודה שעל פני הצורה הזאת יש שדה מגנטי המשיק לה, שעוצמתו היא ביחס ישר לזרם ה”מנקב“ את המשטח.

עכשיו מחיל מקסוול את חוק אמפר על הקבל לעיל. לא קשה להבין מה קורה בנקודה כלשהי על התיל בו זורם חשמל (ר' ציור, חלק א'). בכל מעגל סביב הנקודה הזאת עובר שדה מגנטי שעוצמתו תלויה בשטח העיגול שבתוכו. אבל מה לגבי נקודה כלשהי ברווח שבין הלוחות? שם, מוסכם עלינו, לא עובר שום זרם. האם סביב הנקודה הזאת השדה המגנטי הוא אפס (ב')? מקסוול לא בטוח: הוא שואל שאלה חדשה לגבי העיגול ב א' ה”מנוקב“ ע"י הזרם: נניח שמתחנו וכופפנו את משטח העיגול כך שעשינו ממנו חצי כדור, ששוליו (כלומר המעגל) עדיין מקיפים את אותה נקודה על התיל, אבל המשטח עצמו עובר דווקא במרווח הריק שבין לוחות הקבל (ג'). מה תהיה עכשיו עוצמת של השדה המגנטי על המעגל? אפס? הרי זה אותו מעגל כמו ב א'! הוא הציע, לכן, תיקון לתיאוריה: גם ברווח שבין לוחות הקבל עובר זרם חשמלי. אין זה הזרם המוכר לנו אלא ”זרם העתקה.“ מקסוול האמין, ככל בני דורו, שגם החלל הריק, כלומר הוואקום, מלא בסוג מאוד קלוש של חומר החודר לכל מקום. זהו ה”אתר,“ שכבר פגשנו בתורת דקרט בדמות מין ”אבק“ שעושה מערבולות סביב השמש, ועכשיו האמינו אנשים שגם השדה המגנטי והחשמלי הם מין זרמים שלו. המשיך מקסוול: כשעובר זרם במוליך, החלקיקים החיוביים שלו (היום אנחנו יודעים שאלה הם האלקטרונים) בורחים מהחלקיקים החיוביים שלו (האטומים שבתוכם הם יושבים). לעומת זאת, כשעובר זרם במבודד, החלקיקים השליליים לא מצליחים לברוח מהחיוביים, אלא רק קצת מתרחקים מהם בכיוון השדה החשמלי. להתרחקות הרגעית הזאת בין החלקיקים, המתרחשת בתוך חומר מבודד, קרא מקסוול ”זרם העתקה.“ גם לאתר, המשיך מקסוול, יש אטומים המורכבים מחלקים חיוביים ושליליים, ולכן קיים זרם הזזה גם במרווח הריק שבין לוחות הקבל. לכן, בכל פעם שהקבל נטען או נפרק, גם משטח שעובר במרווח שבין לוחותיו ”מנוקב“ ע"י זרם, הוא זרם ההעתקה (ד').
חלק מכם יודעים שהשערת האתר אינה מקובלת כיום, אבל השורה התחתונה של כל הפלפול של מקסוול היא זו: גם בחלל הריק עוברים זרמים. טענה זו עצמה נחשבת לנכונה כי היא עומדת במבחן הניסוי, ויש לה תוצאות מעניינות.
גלים בלא-כלום
אם בחלל הריק עובר זרם, הרי חוק פרדיי (ר' פרק ‏10.3) מחייב שייווצר סביבו שדה מגנטי. ואם הזרם הזה אינו קבוע אלא משתנה – כלומר, אם הזרם הזה הוא בתאוצה (הנה חוזר אלינו מושג היסוד) – אזי גם השדה המגנטי שייווצר סביבו ישתנה עם הזמן לפי השתנות השדה החשמלי, אבל אז, החוק המשלים (ר' שם) דורש שסביב השדה המגנטי ייווצר שדה חשמלי חדש, משתנה גם הוא, שסביבו ייווצר שוב שדה מגנטי משתנה וכך הלאה. כיוון שכל שדה מתפתח מסביב לחברו בכיוון הניצב לו, כל המהומה הזאת הולכת ומתפשטת במרחב לכל הכיוונים. קיבלנו אם כן גל הנראה כך:

להשלמת התמונה נוסיף ששרשרת התנודות הזאת מתרחשת לא רק בקו, כלומר, הגל מתקדם ממקור האור לא רק בכיוון אחד, אלא בכל הכיוונים, כך שיש לנו גל כדורי המתפשט לכל עבר בשרשרת זיגזגית כזאת של תנודות, חשמלית-מגנטית-חשמלית וכו'.
מה מהירות הגל הזה? הנה הגענו לאחד הרגעים הדרמטיים ביותר בתולדות הפיסיקה.
קרוב שלישי מתגלה
האנלוגיה שתשמש אותנו היא מהירות הקול. באוויר, בגובה פני הים, בתנאים אטמוספריים רגילים ובטמפרטורה של 21 מעלות צלזיוס, הקול מתקדם במהירות של 344 מטר בשנייה. למה טרחתי למנות את התנאים האלה? כי מהירות הגלים תלויה בתכונות התווך בו הם מתקדמים. לו היו נעים, למשל, במים, הייתה מהירותם שונה. הכלל הקובע את מהירות גלי הקול בתווך כלשהו אומר: מהירות הגלים שווה לשורש הריבועי של קשיחות התווך המחולקת בצפיפותו.
הצעד הבא ברור, אבל מיד צצה בו בעיה. מהו התווך בו נעים הגלים האלקטרומגנטיים? במילים אחרות: אלה גלים של מה? את תשובת מדעני הדור אתם כבר מכירים: כשם שגלי הקול הם גלים של אוויר, כך צריכים להיות גלים של האתר, אותו חומר קלוש מאוד-מאוד שאף אחד עוד לא מדד אותו. ומהרגע שהבינו שהאור הוא גלים, ניחשו שאלה הגלים של האתר. גם מקסוול חשד שהגלים האלקטרומגנטיים היוצאים מהמשוואות שלו הם גלים של אתר. אבל אם נרצה למצוא את מהירותם באופן תיאורטי, כפי שמהירות הקול ניתנת לחישוב מתוך הקשיחות והדחיסות של האוויר, נצטרך לשאול: מה הן הקשיחות והצפיפות של האתר?
עכשיו עשה מקסוול את קפיצת חייו: במקום לעשות ניסויים שיגלו את התכונות האלה של האתר הוא גזר את הקשיחות מחוק קולון הקובע את תכונות השדה החשמלי ואת הצפיפות מחוק אמפר הקובע את תכונות השדה המגנטי. את שני המספרים האלה הציב בנוסחה , חישב חישב, וקיבל את התוצאה 300,000 ק"מ בשניה.
מאיפה היה המספר הזה מוכר לו? גוּד הֵוֵנס, הרי זו מהירות האור! מקסוול התחיל להתרגש. דמיינו את עצמכם במקומו ותראו איך תקבלו גם אתם דפיקות-לב. ניסיתם לאחד חשמל ומגנטיות, המשוואות באמת הסתדרו יפה, ואז התברר ששני השדות שחקרתם יוצרים מן זיגזג המתקדם בחלל, וכשחישבתם את מהירות הזיגזג קפצה לכם מבין המשוואות המהירות הידועה של האור, שבכלל לא חשבתם עליו!
באותו ערב הייתה למקסוול פגישה עם בחורה. הם טיילו בגן וה”דייט“ שלו העירה משהו על הכוכבים שעליהם. תסכימו אתי שזו הערה די מקובלת במקרים כאלה, אבל התשובה של מקסוול הייתה הכל חוץ ממקובלת: ”מה היית מרגישה אילו ידעת שאת הולכת עכשיו עם האדם היחיד בעולם שיודע מה האור שבא מהכוכבים האלה?“ נראה התשובה הזאת עשתה רושם עמוק על הגברת הצעירה, לימים ליידי קת'רין מקסוול.
רמזים: תופעות גליות והאור הבלתי-נראה
לנגד עיני מקסוול היו עוד רמזים לכך שהוא בדרך הנכונה: בשאלת טבעו של האור כבר ניצחה התורה הגלית, כפי שראינו בפרק ‏9.5: הניסוי של יאנג הראה שאור עושה התאבכות ממש כמו גלי מים. כאן המקום לספר איך זכה מיודענו הרשל לחנוך בצורה יפהפייה את תחילת המאה ה-19: הוא חזר ב 1800 על ניסוי המנסרה של ניוטון ובו הפריד את אור השמש לצבעיו השונים, ובנוסף מדד את החום שיצר כל צבע. החום עלה מצבע לצבע ככל שהרשל התקרב אל האדום. עכשיו הציב את המדחום מעבר לאדום, במקום בו לא ראה שום צבע. המדחום הראה חום גבוה יותר! כך התגלה האינפרא-אדום. על האור הבלתי-נראה הזה הפגין הרשל את כל התכונות הידועות של אור, כגון החזרה ממראה ושבירה ע"י זכוכית. כעבור שנה עשה יוהן וילהם ריטר (1776-1810) את הניסוי המשלים. אמנם ככל שנלך על ספקטרום הצבעים לכיוון ההפוך, הסגול יהיה האור ”קר“ יותר, אבל פעולתו הכימית על מלחי כסף, החביבים על הצלמים, דווקא גוברת. ריטר הניח כסף כלורי על הקשת מעבר לסגול, במקום בו לא נראה כל צבע, וקיבל את התגובה החזקה ביותר! התגליות הללו הרחיבו את תחום האור אל מעבר לתחום הנראה. השאלה שנשארה פתוחה הייתה: עד כמה נרחב התחום הזה? האלקטרומגנטיות הציעה בסיס תיאורטי חדש לאופטיקה. עכשיו נחוץ היה נסיין שישלים את המלאכה.
הרץ מוכיח
את האישוש הניסיוני קיבלה התיאוריה האלקטרומגנטית מילד הפלא של המדע הגרמני, היינריך רודולף הרץ (1857-1894), תלמידם של קירכהוף והלמהולץ (ר' פרק ‏12). הוא היה בנו של יהודי מומר. לא ידועה לי התייחסות שלו למוצאו היהודי (מקורות אינטרנט מציינים שנקבר בבית-קברות יהודי), מלבד אולי העובדה שהצטיין בנערותו דווקא בלימודי ערבית וסנסקריט. כך או אחרת, הנה סנונית ראשונה לעם שיכבוש בסערה את הפיסיקה במאה ה-20.
הוא קיבל את הדוקטורט בגיל עשרים ושתים, למרות הפסקות עקב שירותו הצבאי כקצין, וכעבור שש שנים נעשה פרופסור באוניברסיטת קרלסרוּהֵה, שם החל בניסויים באלקטרומגנטיות. הניסוי עצמו פשוט: אם נוצר מתח חשמלי גדול בין שני כדורי מתכת, יעבור ביניהם ברק. אם נטעין את שני הכדורים במטענים הפוכים לסירוגין, בקצב של פעמים רבות בשניה, יעברו במרווח הריק שביניהם ברקים הלוך-ושוב, מה שייראה כהבזק מתמיד. לפנינו מטענים חשמליים בתאוצה, ועל כן, על-פי מקסוול, הם צריכים לפלוט סדרת גלים רציפה. גלים אלה מתפשטים במהירות האור ומעבירים אנרגיה לכל מוליך באורך המתאים הנקרה על דרכם. במקום אחר במעבדה העמיד הרץ מוט ברזל מכופף לעיגול כמעט שלם, ששתי קצותיו הסתיימו בעוד זוג כדורי מתכת. הגלים ששידר המתקן הראשון יצרו זרם חילופין חדש במוט המעוגל, ושוב נוצרו מטענים מתהפכים בשתי גולות המתכת. התוצאה: ברגע שהופעל המתקן הראשון, הופיע הבזק מתמיד בין שתי הגולות שלו, והבזק כזה הופיע בין שתי הגולות המוט המעוגל בקצה השני של החדר!
חשוב שתדעו להבדיל בין עיקר וטפל בניסוי הזה. ההבזקים היו רק דרך לדעת שבמתקן המשדר ובמתקן הקולט עוברים זרמים באותו זמן. התהליך המהותי הוא זה: כשמטען חשמלי נע בתאוצה, הוא יוצר גל אלקטרומגנטי. זרם חילופין לאורך תיל מבטיח תאוצה של מטענים חשמליים (אלקטרונים) החוזרת על עצמה, כלומר סדרה קבועה של גלים. גלים כאלה יוצרים מחדש זרם חילופין בכל גוף מוליך המונח במאונך--- להם. זו, בתמצית, פעולת המשדר והאנטנה.
נותר להרץ לקבוע שמהירות התמסורת בין המשדר והקולט הייתה מהירות האור. היא הייתה. הוא גם הוכיח שהקרינה החדשה מוחזרת ע"י משטח מוליך כמו שאור מוחזר ע"י ראי.
זה היה בוודאי הופך לראשיתה של קריירה מופלאה לולא פגע הסרטן במדען הצעיר. ”התלמיד המוכשר ביותר שלי“ קונן עליו הלמהולץ. תלמידיו זכרו אותו כאיש נעים וביישן וכמדען בלתי-מעשי לחלוטין. כששאלו אותו לאן אפשר להמשיך אחרי גילוי הגלים האלקטרומגנטיים ענה במבוכה ”אני חושב שלשום מקום.“ תוך שנים מעטות יקבל וילהלם קונרד רנטגן (1845-1923, נובל 1901) את פרס נובל על גילוי הקרינה הנושאת את שמו, גואיללמו מרקוני () על המצאת הרדיו, ואחריהם יבואו הרדאר, המיקרו-גל, ה-MRI והטלפון הסלולארי. את הרץ עניינו דברים אחרים לגמרי. הוא הבחין שאור אולטרא-סגול המוקרן על מוליך --- – כמעט גילוי האפקט הפוטו-אלקטרי שייפול לבסוף בידי איינשטיין. כתב-יד שהתגלה רק לאחרונה, של הרצאה אותה לא נתן לבסוף, מגלה שאת מחשבתו העסיק :
--- היופי והכוח
”לא רבים בעולמנו זכו לחוויה כזאת,“ אמר איינשטיין על התגלית של מקסוול. המשוואות שלו הפכו במרוצת הדורות לסמל ליופי של חוקי הפיסיקה. קל להבין למה: הכל התגבש לארבע משוואות קצרצרות, שביניהן התגלתה סימטריה יפה, וכשהמשוואות ניבאו תנועה מסוימת, התברר שהיה משהו מיוחד במהירות שלה:
מהירות גלי האוויר נקבעת ע"י התכונות הפיסיקליות של האוויר,
מהירות גלי המים נקבעת ע"י התכונות הפיסיקליות של המים,
ומהירות גלי האור נקבעת ע"י התכונות הפיסיקליות של ה...
אנשים שמו את המילה ”אתר“ במקום החסר, אבל משהו היה פה מפליא: מקסוול לא ידע שום דבר על התכונות הפיסיקליות של האתר כשגילה את מהירות הגלים שלו. כיום אנחנו לא מתפלאים על זה, כי למדנו שהאתר לא קיים, אבל מקסוול, כמובן, לא ידע גם את זה. יש לנו, אם כן, מהירות שניתנה לא ע"י מדידה הניסיונית אלא ע"י החשיבה התאורטית – החלום של כל אפלטוניסט – כלומר: יש כאן מין גודל מיוחס, כמו ה-π וה-φ של המתמטיקאים.
(הרץ?) נכיר מיד, אבל בואו נקשיב תחילה למה שהוא אומר על משוואות מקסוול: ”אי-אפשר להימנע מהתחושה שלנוסחאות מתמטיות אלה יש קיום עצמאי ותבונה משלהן, ושהן חכמות יותר מאתנו, חכמות יותר אפילו ממי שגילה אותן, ושאנו יכולים לקבל מהן יותר מאשר הושם בהן מלכתחילה.“
סייגן
"One cannot escape the feeling that these mathematical formulae have an independent existence and an intelligence of their own, that they are wiser than we are, wiser even than their discoverers, that we get more out of them than was originally put into them."

חיים בצל המוות בימים ההם עלתה על כס המלוכה בבריטניה גברת עגלגלה, פשוטה ולבבית שנכונו לה שנים רבות בשלטון. ויקטוריה לבית הנובר זכורה לנו בעיקר כמי שבתקופתה היה צריך להתנהג כאילו אין סקס בעולם. מבין ראשי-הממשלה שלה, החביב עליה ביותר היה בנג'מין דיזראלי, יהודי מומר, סופר מוכשר וקומבינטור גאוני שהעלה את החנפנות למלכתו לדרגת אמנות ממש. כמו הרבה מומרים, הפך דיזראלי ללאומן וקולוניאליסט, יותר בריטי מהבריטים. תחת שניים אלה, שכנראה שרר ביניהם גם מתח מיני בלתי ממומש מאז התאלמנה ויקטוריה, המשיכה הממלכה להתרחב. בעזרת חבריו הרוטשילדים קנה דיזראלי מהמצרים את תעלת סואץ ואחר-כך סיפח את הודו והכתיר את ויקטוריה לקיסרית. יריבו, גלדסטון, היה היפוכו הגמור: חוטב-עצים חסון שחי חיי פשטות, תיעב את הקולוניאליזם ונהג לצאת בלילות לרובעי הזונות כדי להחזיר נערות למוטב. ללא הועיל: בריטניה כבר איבדה אמנם את ארה"ב, אבל עדיין השתרעה על פני קנדה ודרום-אפריקה, אוסטרליה והודו, כמו גם על הרבה ארצות קטנות יותר.
סיפור חייו אפוף נימה קודרת המזכירה את חיי האחיות לבית ברונטה. הוא נולד כבנו היחיד של עורך-דין מאדינבורו. פעוט סקרן ללא גבול. בהיותו בן שנתיים רשמה אמו כי הוא מוליך את אביו על פני הבית ומבקש להראות לו היכן עוברת שרשרת הפעמון. הוא חונך בידי אמו והיה מסוגל לצטט פרקים שלמים מספר תהילים.
בהיותו בן שמונה מתה אמו, ממנה ירש את הרגש הדתי. מחנך נשכר ללמד אותו. היה מכה אותו עד שפוטר. האב מת ב 1856
מות אמו. להשוות עם הקודמים.
כמובן אפשר לדבר כאן על ההשפעה של הגנים, אבל נראה לי שהפסיכולוגים צודקים כשהם
בגיל 14 כתב את מאמרו המתמטי הראשון שזכה להערכה כבר ידע בעל-פה את כל פרק קי"ט מתהילים. אוכל לחסוך לכם הצצה בתהילים כדי לדעת מה מיוחד בפרק הזה אם אספר שהעתקת הפרק הזה הייתה העונש החביב על אחד ממוריי בבית-הספר היסודי...
אשתו הייתה היפוכונדרית ”בתר עניא אזלא עניותא (אחרי העני הלך העוני),“
ועוד בחור מוזר
אם לא די היה בפרדיי האוטודידקט, שרעיונותיו הושלמו בידי מקסוול המתמטיקאי המחונן, נגזר שאת עבודתו של מקסוול ישלים אוטודידקט אחר, גם הוא בריטי, מתבודד ותמהוני שלבסוף יחצה את גבול השפיות. אוליבר הביסייד (1850-1925) גדל כילד חירש-למחצה ומתבודד, ולמרות שהיה תלמיד מצטיין עזב את בית-הספר בגיל שש-עשרה והתמסר ללימוד כתב-המורס – בחירה נוגעת-ללב מצד ילד שהתקשה לתקשר – ולתורה האלקטרומגנטית. שנים אחדות עבד כמפעיל טלגרף אבל בגיל עשרים ושבע חזר לבית הוריו ובמקביל השתקע במחקר עצמאי. מאמר שכתב על חשמל משך את תשומת-לבו של מקסוול, שהזכיר אותו במהדורה הבאה של ספרו. המחמאה הזאת מפי גדול מדעני אנגליה בעת ההיא עוררה את התעניינותו של הבחור באלקטרומגנטיות והוא התפטר מהעבודה והתמסר למחקריו לדיון בקוונדיש:
Why should I refuse a good dinner simply because I don't understand the digestive processes involved.
[reply when criticised for his daring use of operators before they could be justified formally.] Maxwell concluded that Saturn's rings could not be completely solid or fluid. Instead they must consist of small but separate solid particles—'a conclusion that was corroborated more than 100 years later by the first Voyager space probe to reach Saturn.'2
1. div E = 0
2. div H = 0
3. curl E = c x dH/dt
4. curl H = c x dE/dt
Where E = electric field strength,
H = magnetic field strength,
curl = rotation (or rate of change and vorticity),
div = divergence,
dH/dt and dE/dt are partial differentiations with respect to time.
x = multiplication כשהיה בן שלוש רשמה אמו שהוא אומר בלי הרף show me how it does הרהורים על הפסיכולוגיה של המדען
בפתח עולם חדש
התאבכות ברעש


On Maxwell and Maxwellian views of charge and current
Diane Greco, M. A., Massachusetts Institute of Technology The desire to connect the disparate behaviors of imponderables characterized much physics in the nineteenth century, both on the Continent and in Britain. But imponderables themselves did not persist for very long in the hard-nosed climate of the nineteenth-century. Based on a program of mechanical explanation, the physics of imponderables eventually came to be re-defined, in terms of a unifying concept of energy to which all imponderable phenomena could ultimately be reduced.
By the end of the century, James Clerk Maxwell's derivation of general equations describing the behavior of the electromagnetic field was thought have almost completely fulfilled this demand for a unified physics. The need for a field -- initially a mechanical agency for transporting energy with finite velocity -- arose with the realization, pioneered by H. C. Orsted and Michael Faraday, that electrical and magnetic phenomena could not be adequately explained as the result of forces exerted between elements of imponderables (central forces). Although Maxwell's model of the field provided a way to understand electromagnetic phenomena from a mechanical point of view, his mathematical structure of the field survived the late nineteenth century rejection of the mechanistic world view (in favor of electrodynamics) and became the basis of later elaborations developed by Heinrich Hertz and others.
In contrast to the mechanical ideal of physics so strongly characteristic of the early nineteenth century, Maxwell's work supported the rise of a more energy-centered physics -- electrodynamics. To be dynamical in the sense used in the mid- to late nineteenth century, a theory need only provide expressions for kinetic and potential energy, expressions that one may deploy in what are known as Lagrange's equations. Lagrange's equations are a set of second-order differential equations that describe a system of particles; the equations relate the kinetic energy of the system to a set of generalized coordinates as this energy changes over time (generalized velocities). But, as Buchwald points out, these coordinates and velocities "need not directly represent an actual mechanical state." For this reason, Maxwell's use of Lagrange's equations rendered mechanical models essentially superfluous. Instead of seeking a complete, tangible realization of the material microstructure thought by many to support electromagnetic phenomena, Maxwellian theory sought unity by means of a set of field equations linked with Hamilton's principle.
Roughly, Hamilton's principle asserts that potential and kinetic energies tend to equalize during a motion. Therefore, Hamilton's principle requires that the path actually taken by any physical system between two states at specified times and with appropriate constants (for the medium of propagation) at these times must be such that the potential and kinetic energy of the system are an extremum -- their difference, integrated over the time interval, equals zero. In Maxwell's hands, Hamilton's principle became one important key to the transformation from a mechanical interpretation of electromagnetic phenomena to a dynamic one. In this way, Maxwell's use of the principle neatly aligns his work with a central characteristic of nineteenth-century physics in general -- the concept of energy as a unifying foundation for all interactions of imponderables.
Maxwellian theory has one deep feature that distinguishes it from electromagnetism after the electron: Maxwellian theory assumes that applying Hamilton's principle to suitably chosen field energy densities (with appropriate medium constants) is all that is necessary to obtain satisfactory mathematical expressions of electromagnetic phenomena. That is to say, if one adopts Hamilton's principle as the fundamental formula of electromagnetism, every problem in field theory reduces to finding an appropriate expression for the field's potential and kinetic energies. As a result, where modern theory introduces the electron, Maxwellian theory introduced new forms of energy.
Today, Maxwell's equations are foundational; even Albert Einstein's revolutionary theory of special relativity took Maxwell's equations as uniquely invariable between different frames of reference. To put a finer point on the difference between Maxwellian physics and today's understanding of electricity and magnetism, Jed Buchwald's summary is worth quoting in full: For the Maxwellians, the world was fundamentally a continuum, and the laws which governed it had to be expressed in an appropriate mathematical form. [É] The goal of the theory was a general set of equations containing variables whose values were defined at every point. Phenomena were to be generated by manipulating functions of these variables -- in particular, energy functions. In practice this meant that the Maxwellians were willing to alter what modern theory considers to be basic equations and were unconcerned with the factors modern theory uses to avoid modifying the basic equations, namely, material microstructure.
Maxwellian charge and current
In modern electromagnetic theory, charge is the source of electric fields, and current is the source of the magnetic fields. In Maxwellian theory, by contrast, charge is produced by the electric field as a result of what was known as "displacement" (of which more anon). As Maxwell and his contemporaries understood it, charge did not provoke an image of a substance; it was not a "stuff."
Moreover, current, in the usual sense of the rate of change of charge over time, was related only indirectly to the magnetic field at this time. As historian Jed Buchwald has demonstrated, in Maxwellian theory "a current is not a substance to be acted upon; it is merely a condition to be changed." That is, current was not considered as a flow of charged particles, but as a series of chargings and dischargings. Maxwellians interpreted these chargings and dischargings as the growth and decay of "displacement," that is, the shift in location of some "incompressible substance" (such as the ether) whose very shifting endows it with a potential energy. If nothing happens to change this potential energy, Maxwellians reason that it will simply dissipate, lost as material heat. This loss results in an inequality of displacement values (between say, one charged surface and another, uncharged one) that engenders to a discontinuity between the two regions. The magnitude of this discontinuity is the charge.
________________________________________ Last modified 21 March, 2002 בניין כלול בהדרו
השלמוּת מושגת לא כשאין עוד מה להוסיף אלא כשאין עוד מה לגרוע.
אנטואן דה-סאן אקזיפרי
מסענו הגיע לחצי הדרך. עוד מעט תהיה גם המאה ה-19 מאחרינו. העולם, לטוב ולרע, הולך ונעשה מודרני. ”מדען“ הוא כבר אדם עם פרנסה מכובדת, כרוכה בדרך-כלל בהוראה באוניברסיטה, מה שמבטיח לו הרבה ממשיכים. הוא כבר לא צריך להנמיך מדי-פעם את קולו למקרה שאיזה כומר עובר בחוץ (אם כי עדיין צריך להיזהר מהשלטונות), והצבא והתעשייה אפילו מתעניינים לפעמים במחקריו. לציבור ברור כי גם אם מדענים משתקעים לפעמים בעיסוקים הנראים טיפשיים להפליא, כמו לגלגל כדור אינספור פעמים על מישור (גלילאו) או לטחון טונות של זבל סוסים (הרשל ואחותו), כדאי לתמוך בהם כי מדי פעם יוצא מהם בטעות משהו מאוד מועיל.
ועוד שינוי חשוב חל במדען: עכשיו הוא חלק מקהילייה גדולה שרוב עיסוקה הוא עבודה שיטתית, לפעמים חדגונית, של איסוף נתונים ועיבודם. אם עד עתה ליווינו את החלוצים המיתולוגיים שפריצות-הדרך שלהם נעשו בבדידות, הגיע הזמן לתת את הכבוד לעובדים הרבים מן השורה, אלה שבמונחיו של קון[] עובדים ”בתוך הפרדיגמה.“ בלעדיהם יישאר המדע אוסף הברקות מעניינות ללא קשר למציאות. ציבור גדול זה מתמסר בסבלנות לתצפיות, ניסויים, מדידות, הצלבות, חזרות ושיפורים, ואת התוצאות הוא מארגן בטבלאות, גרפים וקטלוגים משעממים. רק על סמך עבודת-דורות מסוג זה הצליחו ענקי המדע לחולל את מהפכותיהם, ואחרי כל מהפכה שב ציבור המדענים מן השורה לעבד את כל פרטיה. כי מדע, בסופו של דבר, הוא היכולת לענות לאינספור שאלות הילד: ”אבא, למה השמים כחולים? למה הבצל חריף? למה הקרח קר והעננים לא נופלים? ולמה...“ בפרק הזה נראה איך כל תשובה לשאלות פשוטות כאלה פורטת לפרוטות את ההון שצברנו בפרקים הקודמים.
וראו זה פלא, דווקא העבודה הפדנטית הזאת תניב את השילובים המדהימים ביותר שבזכותם יגיע בניין הפיסיקה הקלאסית לשיא יופיו ועוצמתו. אם הנפילים מהפרקים הקודמים בנו את היסודות והעמודים, בפרק הזה יבואו המומחים בעבודות היומיום שיחברו אותם בקשתות ויוסיפו תקרה, מרצפות, חיבור לכבלים, ג'קוזים – טוב, אני קצת נסחף, אבל אתם מבינים את הרעיון הכללי.
נכון, תוך כמה שנים יהפוך כל הארמון הזה להיכל אחד בתוך הארמון הגדול יותר של תורת היחסות, ובאיזושהי דרך לא-מובנת הוא יהיה, בו-זמנית, גם אגף של עוד ארמון הנמצא במקום אחר לגמרי, זה של תורת הקוונטים, ויתחילו לבצבץ קווי-המתאר של בניין רם ונישא, שבו ישתלבו כל ההיכלות כולם למכלול אחד שאיש אינו מסוגל עדיין לדמיין. אבל למרות כל אלה, הפיסיקה הקלאסית נותרה עד היום כמו בגמר בנייתה: ארמון איתן ומרהיב-עין.
האנרגיה מקבלת שם ומידה
נפתח בבחינה מחודשת של שלושת מושגי-היסוד שעליהם השתית ניוטון את הפיסיקה: ”מאסה,“ ”תאוצה“ ו”כוח.“ בפרק # הכרנו את חשיבותם של חוקי השימור בפיסיקה, ולכן מתבקשת עתה השאלה: האם גם שלושה אלה הם גדלים קבועים? לגבי המאסה התשובה היא חיובית, כפי שגילה לַבוּאַזֶיה כשניסח את חוק שימור המאסה. תאוצה, לעומת זאת, מופיעה ונעלמת, אבל המושג הבסיסי יותר שביסודה, ”מהירות,“ כשהוא מוכפל במאסה, יוצר גודל חדש ”תנע,“ שתודות ללייבניץ גילינו שגם הוא משתמר. המושג השלישי, ”כוח,“ אינו משתמר אלא מופיע ונעלם: הכוחות שאתם והכסא מפעילים זה על זה ייעלמו ברגע שתקומו. האם זה הכל או שמא מסתתר כאן עוד גודל יסודי יותר, שגם הוא קבוע? אכן, יסוד נוסף בצבץ בעבודותיהם של גלילאו וניוטון וזה הזמן להכירו.
תחילה ניתן את הכבוד לניחושים הראשונים, שלא עמדו במבחן המדעי אבל סללו את הדרך להבנה חדשה. לַבוּאַזֶיה, הפנקסן הנאמן של שימור החומר, הפריך כזכור את תיאוריית הפלוֹגִיסטוֹן, לפיה האש היא סוג של חומר, אבל במקומה הציע את תיאוריית ה”קַלוֹרִיק,“ לפיה החום הוא נוזל חמקמק העובר מגוף חם לגוף קר. האינטואיציה שלו, אם כן, הייתה שמדובר בעוד גורם קבוע ביקום, העובר מגוף לגוף, והוא האמין שגם גורם זה הוא חומר. אבל גם תאוריה זו נקלעה לקשיים: מהיכן בא החום כששני גופים קרים מתחככים זה בזה?
יש לנו עסק עם גורם מופשט יותר. הראשון שהצביע עליו היה מיודענו הרופא הטוב יָאנג, ובהמשך יצטרפו לדיון עוד שנים מחבריו למקצוע, שבין מדידת דופק לכתיבת רצפט חקרו את היישות המסתורית הקרויה ”אנרגיה.“ בכך ייסדו ענף חדש בפיסיקה, התרמודינמיקה, החוקר את גלגולי האנרגיה. מהי, אם כן, האנרגיה? יאנג הגדיר אותה בפשטות:
אנרגיה = היכולת לבצע עבודה.
מה שמחייב הגדרה נוספת. ”עבודה“ בפיסיקה מוגדרת באופן דומה לזה היומיומי, אבל מדויק יותר:
עבודה = הכוח שהופעל על גוף כפול הדרך שלאורכה הופעל.
דרך, אולי שמעתם, מודדים בסרגל, בעוד כוח למדנו למדוד בפרק # ע"י השינוי במהירות הגוף שעליו פועל הכוח. לכן, אם מישהו הזיז משהו, מִדדו לאיזה מרחק זז אותו משהו (במטרים), וכמה כוח הפעיל לשם כך אותו מישהו (בניוטונים), הכפילו זה בזה ותקבלו את העבודה שנעשתה (בג'וּלים). אם המשהו הזה זז עם אפס חיכוך, כך ששום אנרגיה לא הפכה לחום במהלך ההזזה, אזי כמות האנרגיה שהושקעה שווה בפשטות לעבודה שהתבצעה.
אילו סוגי אנרגיה אנו מכירים? הרבה, והם מחליפים זהויות ביניהם שוב ושוב, כמו חברי ארגון חשאי, בעברם ממקום למקום. בשמש משתחררת אנרגיה גרעינית, ההופכת לאור שהוא אנרגיה אלקטרומגנטית, שבהגיעה לכדור-הארץ הופכת לאנרגיה תֶרמית, מחממת אותו ומעלה עננים למעלה ומקנה להם אנרגיה פוטנציאלית, שתהפוך לקינֶטית כשיירד גשם ומים יזרמו בנהרות, וחלקה יהפוך לאנרגיה חשמלית בצורת ברקים כתוצאה מחיכוך טיפות המים זו בזו, בעוד חלק אחר מאור השמש, הנקלט בצמחים, הופך לאנרגיה כימית, העוברת בחלקה לבעלי-החיים, שבגופם היא הופכת בחלקה לקינטית וחשמלית, בעוד השאר עובר, כעבור מיליוני שנים, אל הנפט, שבזמן הבעירה בתחנת הכוח הופך אותה חזרה לאנרגיה תרמית, המניעה את המגנט בגנרטור שוב באנרגיה קינטית, ההופכת בהשפעת השדה המגנטי לאנרגיה חשמלית, ההופכת במנורה שלכם חזרה לאנרגיה אלקטרומגנטית, או, במעלית המעלה אתכם למעלה, לאנרגיה קינטית, מה שצובר בגופכם אנרגיה פוטנציאלית, כלומר אנרגיה שתהפוך לקינטית אם תחליטו לרדת חזרה היישר מהחלון, מה שאני סומך עליכם שלא תעשו אחרי שתשמעו מה קרה לאיש הטוב שתפגשו בשורות הבאות.
הרופא שמדד לטבע חום
רופא צעיר ששירת על אוניה הולנדית, יוליוס רוברט פון מַאייֵר (1814-1878), הבחין בתופעה מעניינת: מי גלים גבוהים, שנדחפו ע"י הרוח, חמים קצת יותר ממי ים שקטים. במילים אחרות: תנועה הפכה לחום. לתגלית מפתיעה יותר זכה בימי שירותו באי יאווה. באותם ימים, הקזת-דם הייתה שכיחה כטיפול רפואי, הנחשב כיום לחסר ערך, אבל היה ערך רב מאוד להקזת-הדם שעשה מאייר מווריד של מַלח. הדם הוורידי, החוזר מהגוף אל הלב, הוא דל בחמצן ולכן כהה. אבל הדם שיצא היה אדום, ומאייר חשש שעשה את הטעות הרווחת בין רופאים טירונים של החלפת וריד בעורק. אבל זה כן היה וריד, וכך גילה מאייר כלל: בארצות חמות הדם הוורידי אדום יותר. למה? הוא ניחש שבאקלים חם הגוף אינו צריך את כל החמצן שבדם לצורך הפקת חום מבעירת המזון.
האם יש קשר בין חום גלי הים לחום הגוף? שאלה יפה מזמינה תשובה יפה. כשחזר מאייר לארצו התמסר למחקר התופעות שראה במסעותיו. הוא הציע את חוק שימור האנרגיה, האומר בניסוחו המודרני:
החוק הראשון של התרמודינמיקה: אנרגיה אינה להיווצר או להיעלם. היא יכולה לשנות את צורתה אבל כמותה הכוללת נותרת בעינה.
ניסוחיו של מאייר לא היו מקצועיים והחישובים שעשה היו קצת מרושלים, ואולי משום כך זכתה עבודתו לביקורת עוינת מצד הממסד המדעי. מצד שני, לכולם היה ברור שאם הוא צודק, זהו אחד העקרונות החשובים ביותר בתולדות הפיסיקה. אבל בעת ההיא עבדו על אותה בעיה שני גיבורינו הבאים, שהתנהגו אל מאייר בחזירות. ואז, ב 1848, נפטרו שנים מילדיו. לא מצאתי במקורות ההיסטוריים שום פרטים נוספים על האסון הזה, אבל לא קשה לנחש מה זה עשה לו. כעבור שנתיים ניסה להתאבד בקפיצה מקומה שנייה – יותר זעקה לעזרה מניסיון רציני – ונעשה נכה, ובמשך כמה שנים היה, כמו שאומרים, ”נכנס ויוצא“ מהאישפוז הפסיכיאטרי. רק ב-1859 החלה לבוא ההכרה במאייר, תחילה מארצו שנתנה לו את תואר-האצולה ”פון,“ ואחר-כך מבריטניה ארץ הג'נטלמנים, בה קמו מלומדים שתבעו צדק כלפי מגלה החוק בערוב ימיו.
שער החליפין
מה שמאייר התאמץ לעשות כל השנים, בהצלחה חלקית, היה נוסחה להמרה כמותית של אנרגיה, בדומה לשער החליפין של השקל בדולר וביוּרו. אם אנרגיה קינטית, למשל, מתגלגלת לאנרגיה תֶרמית, איך הופכים מהירות ומסה למעלות חום? ואיך נמיר מעלות חום לוַאטים של חשמל? את המשימה הזאת לקח ג'יימס פרסקוט גַ'אוּל (1818-1889), בנו של יצרן בירה עשיר, שלמד מדע מפי מורים פרטיים שהבולט שבהם היה דלטון. כמו דלטון היה ג'אול אדם דתי מאוד וראה במדע דרך להכרת האלוהים.
מחלת האב אילצה את שני בניו לקחת לידיהם את ניהול מבשלת הבירה. ג'אול ויתר על לימודים באוניברסיטה אבל החל לעסוק במחקר במעבדתו הפרטית. ב 1840 שלח לחברה המלכותית מאמר על החום הנוצר ע"י זרם חשמלי. המאמר פורסם בקיצור ורוב החוקרים התעלמו ממנו. לעזרתו באו מיודעינו פַרַדֵיי ומקסוול, וכן מדען בן עשרים ושלוש, ויליאם תומסון, לימים לורד קֶלוין, שתמך בו בוויכוח עם מאייר. ג'אול קבע את יחידת האנרגיה הבסיסית, הקרויה כיום על שמו:
1 ג'וּל = 1 ניוטון לאורך 1 מטר.
אפקט ג'אול-תומסון משמש עד היום בהתקנת מקררים. הוא קובע כי כשגז מתפשט, הוא מתקרר בהתאמה להתפשטותו. תוכלו להיווכח בכך כשתנשבו על ידכם תחילה בפה פעור ותחושו את חום נשימתכם, ואחר כך ב”פוּ“ צר. זרם האוויר הדקיק המגיע אל ידכם נאלץ להתפשט פתאום ובכך מתקרר את ידכם.
ועוד דוקטור מיילד את החוק
בעת ההיא החל לעלות כוכבו של הרמן לודויג פרדיננד פון הֶלמהוֹלץ (1821-1894), רופא, פיסיקאי, פילוסוף, מתמטיקאי וגם מומחה לאסתטיקה ואמנות. האופתלמוסקופ, הנמצא כיום בכל מרפאת עיניים, הוא אחד מהמצאותיו.
אני יודע למה אתם מצפים עכשיו: שבסיפור חייו אביא לכם אסונות, מחלות, משפחה מופרעת ושאר מרעין בישין. לא הפעם. הלמהולץ, לשם שינוי, היה גאון שפוי, רגוע ואפילו די משעמם, מלבד זה שעד גיל שבע היה ילד חולני – פרט המופיע בחייהם של הרבה רופאים. אביו היה מורה שלימד אותו פילוסופיה ומוסיקה. כיוון שלא יכול היה לממן לימודים אוניברסיטאיים, פנה ללימודי רפואה כעתודאי בצבא הגרמני. במסגרת עבודתו השגרתית כרופא צבאי בשירות קבע היה לו הרבה זמן לניסויים במעבדה מאולתרת שהקים. הישגיו המדעיים הביאו לשחרורו המוקדם מהשירות ולקריירה באוניברסיטאות רבות.
כמו מאייר, גילה הלמהולץ את חוק שימור האנרגיה דרך מחקריו בפעולת השריר. בביולוגיה שלט אז הוויטליזם, התורה שראתה בחיים כוח הנבדל משאר כוחות הטבע. הלמהולץ הצליח למדוד את כל סוגי האנרגיה הנפלטים בשריר העושה עבודה ולהוכיח ששום דבר לא הולך לאיבוד. מלבד אלה, הספיק האיש הזה להוכיח את תורת תפיסת הצבעים של יאנג לפיה מגיבה העין לשלושה צבעי יסוד, לחשוב על גיאומטריה לא-אוקלידית ולנסות לחבר את כל אלה לפילוסופיה של קאנט. בקיצור: הלמהולץ לא חסך באנרגיה, אבל בהחלט לא בזבז אותה.
סיכום: חמקמקה אבל קבועה
הנה, אם כן, המאפיין המדהים ביותר של האנרגיה: ישות בלתי-נראית המתגלגלת בין תופעות שונות שלכאורה אין שום קשר ביניהן. מכל האיחודים שיצרה הפיסיקה התאורטית, זה אולי בעל העוצמה הגדולה ביותר. חִשבו לרגע על תנועת עיניכם לאורך השורות ברגע זה: מה שמניע אותן הניע פעם ברק בעננים, גל באוקיאנוס, גלגל מכונית, התפרצות הר-געש, סופת ברד, כנף ציפור, נצנוץ כוכב וכך הלאה – עד למפץ הגדול!
חוק שימור האנרגיה וגילוי שער החליפין שלה הוסיפו לפיסיקה כלי רב-עוצמה: בכל תהליך שבו מופיעה חריגה, ולו הזעירה ביותר, מחשבּון האנרגיה המתגלגלת מצורה לצורה, כדאי לעצור ולבחון מה קרה. חוק חדש או צורה חדשה של אנרגיה בוודאי מתחבאים שם.
החומר מגלה את יסודותיו
זה הזמן לחזור ולבקר את בני-דודינו הכימאים, שעבודתם העניקה לפיסיקה את אחד מיסודותיה האיתנים ביותר: מי שחוקר את החלקיקים הקטנים ביותר של החומר, מגלה בהם לא סתם חוקים פיסיקליים אלא חוקי-יסוד.
גם הפעם, הגיע תחילה רמז חשוב מהשמים: אסטרונום גילה כי הכימיה המתגלה במבחנות ובאביקים שעל הארץ שולטת ביקום כולו.
הכימיה של אור הכוכבים
החיים היו רעים אל יוזף פון פראוּנהוֹפֵר (1787-1826), בנו של זגג מבוואריה, ממש מההתחלה: עד גיל שתים-עשרה איבד שבע מאחיו ואחיותיו, את אמו ולבסוף את אביו. את סאת צרותיו השלים זגג קשה-לב שהעבידו לא רק כשוליה אלא גם כמשרת ואסר עליו ללכת לבית הספר או אפילו לקרוא. ואז, כמו שאומרים, כשנדמה היה שגרוע יותר לא יכול היה להיות, התמוטט בית הזגג על יושביו. ארבע שעות נמשכו מאמצי הפינוי ובמהלכם נמצאה אשת הזגג ללא רוח-חיים. ואז, כמו שאומרים, קרה נס: השוליה בן הארבע-עשרה הוצא ללא פגע. ואז, כמו שאומרים, קרה עוד נס: למקום האסון הגיעו הנסיך מקסימיליאן הראשון, לימים מלך בוואריה, ויועצו הבכיר. רחמי השניים נכמרו על הניצול הקטן והם לקחהו תחת חסותם. מעתה הרשה הזגג ליוזף ללמוד בבית-ספר והארמון העניק לו תמיכה. הנער הזה גדל וגמל לפטרוניו כפל-כפליים: הוא נעשה לוטש עדשות, תעשיין של טלסקופים ומכשירים אופטיים, ומעל לכל מדען מזהיר, אחד מאבות האופטיקה המודרנית.
פראונהופר חקר תעלומה ישנה: כשניוטון העביר אור שמש בניסוי המפורסם שלו במנסרה, הוא לא ראה, או אולי התעלם מהעובדה, שבין הצבעים השונים שנוצרו בהשתברות האור הלבן, היו פה ושם פסים דקים שחורים. וולאסטון, חברו של פרדיי, הבחין בתופעה אבל סבר שאלה הם סתם ”גבולות“ בין הצבעים. פראונהופר שקד על חקירת הפסים האלה, ספר, מדד ומיין אותם (574 במספר), ועד היום הם קרויים על שמו. הוא חיבר מנסרה לעדשת טלסקופ – הספקטרוסקופ הראשון – וחקר את קשת הצבעים המשתברת מאורם של כוכבים רחוקים, אותם השווה לאור השמש. הסתבר שלכל כוכב יש ספקטרום ייחודי. ואז, בגיל 39, מת ילד-הפלא, עטור תארי אצולה ואותות-כבוד מדעיים.
דור חלף ושני כימאים חברו להשלים את עבודתו. כל מי שלמד כימיה מכיר את מבער הגז שאותו המציא אמנם פרדיי, אבל שוכלל בידי רוברט וילהלם אברהרד בּוּנזֵן (1811-1899). במבער בונזן, הגז המוזרם בצינור מתערבב היטב באוויר (או, מוטב, בחמצן) לפני שהוא מגיע אל הפִּייה, וכך מתקבלת להבה כחולה, הפולטת פחות אור אבל חמה הרבה יותר מהלהבה הבהירה. בא חברו של בונזן, גוסטב רוברט קִירכהוֹף (1824-1887), ואמר לו: ידוע שחומרים שונים יוצרים להבות בצבע שונה כשמבעירים אותם. בוא נבחן בספקטרוסקופ את האור הנפלט מהם כשהם בוערים במבער שלך! ואכן, התברר שהאור הנפלט מכל יסוד כשהוא לוהט מפיק קשת צבעים האופיינית לו, מעין ”טביעת אצבע“ כימית. כשבדקו את ספקטרום הנתרן הלוהט, גילו שני פסים בהירים בדיוק במקום בו נמצאים שניים מהקווים השחורים של פראונהופר! מקרה? ממש לא: כשהעבירו השניים אור דרך גז, גילו בספקטרום קווים שחורים בדיוק באותם מקומות בהם מופיע אור חזק בספקטרום האור שאותו פולט גז זה כשהוא לוהט! הנה סימטריה רבת-משמעות: כל יסוד, כשהוא קר, בולע אור באותם אורכי-גל שאותם הוא פולט כשהוא חם!
עכשיו, כשזכתה הכימיה בכלי רב-עוצמה לבידוד יסודות חדשים, פנו השניים להמשיך את העבודה שנקטעה עם מות קודמם: כשהעבירו בספקטרוסקופ את האור הבא מכוכבים שונים, יכלו לקבוע מה הם היסודות השכיחים בכוכבים אלה. מהם, אם כן, הפסים השחורים? השמש לא רק פולטת אור, אלא גם בולעת אותו חזרה. אור באורכי-גל קצרים (כלומר, חם מאוד) הנוצר בליבה הלוהטת של השמש ומגיע אל קליפתה הפחות חמה (בשמש, ארבעת אלפים מעלות צלזיוס=== זה נורא קר) נבלע שם, ולכן החלק הזה בקשת הצבעים מופיע כפס שחור.
כך גילה הספקטרוסקופ שפע יסודות חדשים. חלקם נקראו על שם הצבע שהם פולטים, כמו צזיום (כחול) או רובידיום (אדום) וחלקם על שם המקום בו התגלו, כמו ההליום (שמש), וכמובן, יסודות שהתגלו תחילה בכוכבים התגלו עד מהרה כאן בארץ.
מדע חדש, האסטרופיסיקה, נולד במזל טוב, והוא האיץ בכימאים: פענחו את הסדר שבחומרים המתלהטים בבונזנים שלכם, כי ממנו תלמדו על כל היקום!
אלמנטרי, ווטסון יקירי
כבר האלכימאים הבחינו כי החלוקה היוונית לארבעה יסודות החומר אינה נכונה והחלו לחתור להכרת היסודות האמיתיים. בואו נעשה ניסוי פשוט, ”אלקטרוליזה.“ ניקח כוס מים ונערבב בה מעט מלח. המלח עצמו אינו בעל תפקיד כימי והוא נועד רק להגביר את המוליכות החשמלית של המים. עכשיו נחבר שני תילים חשמליים לשני קצות סוללה ואת שני קצותיהם החופשיים נטבול במים (ר' ציור). בועות יופיעו ליד כל קצה תיל ופני המים ירדו עד שייעלמו. המים, כך מלמד הניסוי הזה, אינם יסוד. פירקנו אותם לשני חומרים יסודיים יותר, הגזים חמצן ומימן. נוכל לאגור את בועות שני הגזים האלה בשתי מבחנות. אם נערבב אותם נקבל תערובת גזים פשוטה, שאותה נוכל להפריד מחדש בקלות יחסית. אבל אם נדליק גפרור בתוך התערובת (שימו לב להדגשה שב”אם“: אל תנסו את זה בבית!), יתרחש פיצוץ ושני הגזים יהפכו שוב למים. המים הם תרכובת: שלא כתערובת, בה שומרים החומרים על תכונותיהם, כאן נוצר חומר חדש עם תכונות שונות לחלוטין מאלה של מרכיביו: שני גזים דליקים הפכו לנוזל ממש לא דליק.
את המימן והחמצן אי-אפשר לפרק יותר, ולכן הם יסודות, כלומר חומרים פשוטים, טהורים, שלא ניתן לפרקם לחומרים יסודיים יותר. כמה יסודות כאלה קיימים? מיודעינו לַבוּאַזיֶה, קַוֵנדִיש, דֵיוִי, פַרַדֵי ורבים אחרים שקדו להוסיף על הרשימה מתכות, גזים וחומרים נוספים, יסוד-יסוד ותכונותיו הייחודיות עמו, וכל אחד מחזק את השאלה: האם יש סדר נסתר ביסוד השפע הזה של יסודות החומר?
ההשערה האטומית
את הצעד הראשון להשלטת החוקיות הפיסיקלית על הכימיה פגשנו כבר ביוון כשדמוקריטוס הציע, משיקולים עיוניים בעיקר, את ההשערה האטומית. כאלפיים שנה אחריו בא דלטון ונתן להשערה זו חיזוקים ניסיוניים. לעיל עשינו הבחנה בין יסוד, תערובת ותרכובת. בואו וננסח אותה במונחי ההשערה האטומית:
אטום: החלק הקטן ביותר של יסוד כימי שבו מצויות תכונותיו הכימיות של אותו יסוד.
מולקולה: החלק הקטן ביותר של תרכובת שבו מצויות תכונותיה הכימיות של אותה תרכובת, והיא מורכבת מהאטומים המחוברים של היסודות המרכיבים אותה.
איך נוכל לדעת, אם כן, שחומרים עשויים באמת מאטומים או ממולקולות? ראשון בא לעזרתנו החשבון: מההשערה האטומית מתחייבים כמה ניבויים כמותיים פשוטים שמהם נוכל להתחיל את חקירתנו.
עזרת המספרים
דלטון נתן להשערה האטומית ביטוי מתמטי. אתם בוודאי זוכרים את
חוק דלטון: יסודות שונים מתרכבים ביניהם ביחסים קבועים.
על כך נוסיף תגלית שעשה ז'וזף-לואי גי-לוסק (1778-1850) יחד עם הכימאי והגיאוגרף הגדול אלכסנדר פון-הוּמבּוֹלט (1769-1859):
חוק גי-לוסק: גזים מתרכבים ביניהם בנפחים קבועים.
הדמיון בין החוקים ברור, מה שכמובן לא מנע מדלטון וגי-לוסק לפתוח בריב. עודם משמיצים זה את זה בא רוזן איטלקי מהפכן, לורנצו רומנו אמדאו קרלו אַבוֹגַדרוֹ (1776–1856), ושיער השערה שמיזגה את שני חוקיהם לחוק חדש. השנים מיד פנו להתקוטט גם אתו, אבל ההשערה שלו – כמה נחמד – הוכחה כנכונה:
חוק אבוגדרו: כאשר שני גזים באותו נפח נמצאים באותה טמפרטורה ובאותו לחץ, מספר האטומים שלהם שווה.
כלומר, אם תנפחו צמיג אחד של מכונית במימן ואת השני בחמצן עד שבשני הצמיגים יהיה אותו לחץ, בכל צמיג יהיה אותו מספר אטומים. כמובן, המשקלים של שני הגזים אינם שווים, מה שאומר, בפשטות, שאנחנו יודעים עכשיו את היחסים בין אטומי החמצן והמימן! בשיטות דומות ניתן היה למצוא את המשקלים היחסיים של אטומי נוזלים ומוצקים. חוק אבוגדרו, אם כן, הוא צעד ענק בהבנת מבנה האטום. כך התבררו שני מושגים שסייעו למיין את היסודות על-פי תכונותיהם:
עֶרכִּיוּת מציינת את כמות הקשרים הכימיים שיסוד מסוים יכול ליצור עם יסודות אחרים. זהו כמובן מספר הקשרים שיכול ליצור אטום בודד של אותו יסוד. ניתן לדמיין את זה כאילו יש לאטומים ”ידיים“ שהם יכולים לתת זה לזה. ניקח למשל את המימן, החומר הקל ביותר, שכפי שנראה בהמשך, האטום שלו הוא הפשוט ביותר. נניח שהוא מסוגל ליצור קשר אחד, כלומר ”יש לו יד אחת.“ עכשיו ניקח יסוד אחר, למשל החמצן, ונשאל: עם כמה אטומי מימן יכול האטום שלו להתקשר (”כמה ידיים יש לו“)? התשובה היא שתים, ולכן הערכיות של החמצן היא שתים, הפחמן יכול להתקשר עם שני חמצנים (דו-תחמוצת הפחמן הידועה) או עם ארבעה מימנים (מתאן, גז הביצות), ולכן ערכיותו היא ארבע וכך הלאה. עליי למהר ולהזהיר כי ”ערכיות“ אינה מושג מדויק אלא מלא יוצאים מן-הכלל: יש יסודות המגלים ערכיות שונה בנסיבות שונות. לכן, כשרוצים לציין את תכונותיו הכימיות של היסוד, משתמשים כיום בערך מדויק יותר: מספר האלקטרונים בקליפה החיצונית של האטום שלו, אבל בדיון זה המונח ערכיות יספיק.
משקל אטומי הוא משקלו של אטום בודד של היסוד, אותו אנו יכולים לחשב על-פי חוק אבוגדרו. כדי לוודא שהבנתם, נחזור לניסוי האלקטרוליזה לעיל: אם פירקנו קילוגרם אחד של מים, שהם בערך ליטר, נקבל .111111 גרם (תשיעית הק"ג) חמצן ו-888.888 גרם (שמונה תשיעיות) מימן. למה, אם כן, אנו אומרים שמולקולת המים מורכבת מאטום אחד של חמצן ושני אטומי מימן? כי אטום אחד של חמצן כבד פי שש-עשרה יותר מאטום המימן. הנפחים של שני הגזים יהיו באמת ביחס של 1:2.
כל יסוד, אם כן, מתייחד במשקל אטומי ובערכיות משלו. האם יש קשר בין שתי התכונות? כן. היכונו עכשיו לאחד האיחודים היפים ביותר בתולדות המדע.
מנדלייב קורא את החומרים לסדר
הצצה ברעמת האריה של גדול מדעני רוסיה מעלה בזיכרון דמות אחרת ומאיימת מאותם ימים: הנזיר המופרע רספוטין שהשתלט על משפחת המלוכה הרוסית. אבל אל דאגה: דימיטרי איוַנוביץ' מֵנדֵלייֶב (1834-1907), היה רציונליסט נאור וטוב-לב, אם גם קצת חם-מזג, כיאה לייחוסו האתני המעורב: היה בו דם טטארי, אבל סבו היה יהודי מומר משקלוב, עירם של רבנים נודעים כמו ר' ברוך הרופא שתרגם לעברית את ה”יסודות“ של אוקלידס. גם חינוכו היה מגוון: ”הכל הוא מדע,“ שינן לו גיסו המהפכן בילדותו. ”הכל הוא אמנות,“ הבטיח לו מנפח הזכוכית בבית-החרושת של אמו. ”הכל הוא אהבה,“ ענתה האם. לכולם הקשיב הנער רב-קשב.
הוא היה בן זקוניו (ה-11? ה-14? ה-17? יש גרסאות שונות) של מורה לספרות שהתעוור אחרי שהולידו. לפרנסת המשפחה ניהלה האם בית-חרושת לזכוכית. בתוך שנה נפטר האב ובית-החרושת נשרף. מעתה הקדישה אמו את מעט שנות חייה הנותרות כדי לעזור לבנה לקנות השכלה. היא הצליחה. דימיטרי, שזכה לשמוע תורה מפי בּוּנזֵן בגרמניה, נעשה כימאי רבגוני מאוד ולמרצה נערץ הן על הסטודנטים והן על המוז'יקים (האיכרים), שאת חייהם שקד לשפר בעזרת חידושי הכימיה. גם איש אמיץ היה, ולא פעם הסתכסך עם השלטונות בשל קנאותו לחופש הדיבור ותמיכתו במאבקי הסטודנטים.
נושא הדוקטורט של מנדלייב היה ”על העירוב של מים עם אלכוהול,“ ועד היום מהולה הוודקה הרוסית לפי האחוזים שקבע (על סמך הרבה לגימות קפדניות!) בהיותו ראש מכון התקנים הרוסי. בהיותו כבן חמישים התאהב עד מעל לאוזניו בנערה בת שבע-עשרה והציע לה נישואין. הייתה רק בעיה קטנה: הוא היה כבר נשוי ואב לילדים, ובאותם ימים חִייֵב החוק הרוסי לחכות שבע שנים בין אישה לאישה. קרובי הנערה המזועזעים שלחו אותה לרומא. מנדלייב נסע אחריה. כשהביעה את חששותיה מהנישואין העמיד אותה בפני חשש כבד יותר: אם לא תינשאי לי אקפוץ לים! היא נישאה לו, ילדה לו ארבעה ילדים, לימדה אותו אמנות וחיה אתו עד סוף ימיו, ככל הנראה בלי שיצטרך לרוץ שוב אל חוף הים. כשהתלוננו אנשי החצר של ניקולאי ה=== על המלומד הביגמיסט ענה הצאר: "למנדלייב יש שתי נשים, אבל לי יש רק מנדלייב אחד."
לגילוי הטבלה המחזורית שלו זכה מנדלייב תודות להיותו מורה מסור: הוא לא מצא ספר לימוד לכימיה ברוסית שהשביע את רצונו ולכן כתב ספר בעצמו. בין הדברים שניסה להסביר לתלמידיו הייתה העובדה שכבר העסיקה כימאים רבים: המשקלים האטומיים של היסודות יוצרים סדרה, אמנם לא רציפה, של מספרים כמעט שלמים. זאת ועוד, לאורך הסדרה הזאת יש תכונות החוזרות על עצמן. למה? הוא לקח 63 כרטיסים ועל כל אחד רשם את אחד היסודות שהיו ידועים בימיו. כשסידר אותם בשורה על-פי משקליהם האטומיים, הבחין שתכונות כימיות כמו הערכיות חוזרות על עצמן לאורך השורה במחזוריות מסוימת, ולכן, כששבר את השורה לפי המחזורים וסידר את השורות הקצרות זו מתחת לזו, הופיעו, כמו בתשבץ, גם סדרות אנכיות!
בשלב זה הייתה התמונה רחוקה מלהיות חלקה, ולכן, כדי לפשט את הדיון, אתייחס לקטע הראשון מסדרת היסודות כפי שהיא ידועה כיום. המשקלים האטומיים שלהם, כאמור, קרובים למספרים שלמים: 1.008 (מימן), 4.003 (הליום), 6.941 (ליתיום), 9.012 (בריליום) וכו'. והנה, מבחינת הערכיות של כל יסוד, מופיעה מחזוריות: לליתיום ולנתרן תכונות כימיות דומות לאלו של המימן, למגנזיום ולסידן תכונות דומות לאלו של הבריליום וכך הלאה.
אתם בוודאי מבינים שבמידה שיש כאן סדר, הוא לא ממש ברור, ואני עוד עשיתי לכם חיים קלים בכך שהשתמשתי בנתונים של ימינו. למנדלייב היה קושי משולש: א) הוא היה מוגבל ל-63 היסודות שנודעו באותם ימים, ב) הוא הכיר רק שתי תכונות כימיות, ”משקל אטומי“ ו”ערכיות,“ בלי לדעת דבר על ”המספר האטומי“ עליו נדבר בהמשך, ו-ג) הוא התבסס על משקלים לא מדויקים. מסיבות אלה, אחרים ניסו למצוא סדר דומה לפניו ונכשלו. מה שעזר למנדליב היה, בפשטות, העובדה שנהג על-פי מוסר כפול: לפעמים ריסן את התיאוריה כדי שתתאים לעובדות – כפי שדורשים האריסטוטלים הפדנטים – ולפעמים בדיוק ההיפך, אנס את העובדות להתאים לתיאוריה – כמו שעושים אפלטוניסטים חסרי-אחריות. כך, למשל, המשקלים האטומיים של כשני תריסרי יסודות (מתוך 63!) לא התאימו למקומות שייעד להם בטבלה. כאן, יאמר אולי מדען הגון, צריכה התיאוריה להיזרק לפח. ”בשום אופן!“ עונה מנדלייב. ”אין שום סיבה לוותר על טבלה כל כך יפה רק בגלל עשרים ומשהו יסודות שלא משתלבים בה. אם המשקלים האטומיים שלהם לא מתאימים לטבלה, אז בבקשה, במקום להפריע לי, לכו למעבדה וזקקו אותם יותר טוב ואל תחזרו עד שהמשקלים יתאימו. חַרַשוֹ?“
הכימאים לגלגו על ההתנהלות הבריונית הזאת של תאורטיקאי בעולם העובדות, אבל שקילות מדויקות יותר אכן הזיזו את היסודות בדיוק אל המקומות שהקצה להם מנדלייב. וכמובן, היה ההישג המהמם המהמם ביותר: בטבלה נותרו משבצות ריקות. מה עשה מנדלייב? פשוט: בסנסקריט, ”אֶקַה,“ ”דֶבִי,“ ו”טְרִי“ הם ”אחת,“ ”שתים ו”שלוש,“ ובהם השתמש כדי לציין מקום אחד, שני או שלישי אחרי יסוד ידוע כלשהו. כך נולדו ”אֶקַקַרבּוֹן“ שהיה אמור להיות אחרי הפחמן, ”אֶקַאַלומיניום“ וכו', שעד מהרה אכן התגלו וקיבלו שמות משלהם.
וכאן הגיעה גאונותו של ידידנו אל גבולה. דווקא הוא, מכל האנשים, פקפק בקיום האטומים ובוודאי בגופים קטנים יותר, החל לחפש יסודות קלים יותר מהמימן והתעמק בתכונות האתר. היה שלום, אם כן, דימיטרי איבנוביץ'. אנו נמשיך לחפש תשובות לשאלות רבות המתעוררות בנו למראה הטבלה: למה המפרץ הזה בשלושת השורות הראשונות? ולמה הפער הזה בין המספר הסידורי לבין המשקל האטומי? ולמה זה האחרון אינו מספר שלם?
אל צרפת נשוב עתה, שם, בין אכילת קרואסון לגלגול כמה רכילויות, נתוודע אל דור שהחל בשלב הבא של המסע אל יסודות החומר.
מסתרי החומר הקורן
את פריצת-הדרך הראשונה הביא, כרגיל, המקרה: אנטואן אָנרי בֵּקֵרֶל (1852-1908, נובל 1903) פתח לוחות צילום שהיו סגורים במעטפה אטומה והופתע לגלות בהם כתמים מוזרים. לידם היו כמה גושי מלח אורניום, שכבר אז נודעו כבעלי תכונות מוזרות. הוא הסיק שגושי המלח פולטים קרינה שלא הייתה אור והחודרת דרך עצמים. לעת הזאת כבר נודעה קרינת רנטגן שהצטיינה בחודרנות כזאת, אבל הקרינה החדשה לא נפלטה ממתקן חשמלי אלא מחומר דומם. כך התגלתה הרדיואקטיביות, שפתחה עידן חדש בפיסיקה.
את שמה קיבלה התופעה ממריה סלומה סְקְלוֹדוֹבסקָה (1867-1934) מהגרת מפולין שנאנקה אז תחת כיבוש הרוסים. בצרפת נישאה ונעשתה מארי קִירִי, האשה הראשונה שזכתה בנובל, יחד עם בעלה פּייֶר (1859-1906) ב-1903. הפעם השנייה בה זכתה אשה בנובל, הייתה ב-1911, כשהוענק הפרס ל... מארי קירי, ואילו האריכה ימים עוד שנה הייתה רואה את הפעם השלישית, כשהוענק הפרס ל...בתה אירן (1897-1956) ולחתנה ז'אן פרדריק ז'וֹליוֹ- קִירִי (1900-1958), שאף צירף לשמו, במחווה פמיניסטית יפה, את שם משפחת אשתו.
סיפורם של מארי ופייר הוא ללא ספק סיפור האהבה המרגש ביותר בתולדות המדע, וברברה גולדסמית' מגוללת אותו ברגישות ובחן. כמו רבים מגיבורינו הקודמים, עברה ילדותה של מניה בצל פטירת שתי אחיותיה, זו אחר זו, מה שהשאיר בה נטייה כרונית לדיכאון. האב היה מורה למדעים שהכיבוש הרוסי מנע ממנו להיות מדען. בגיל 23 נסעה ללמוד בפריז, שם פגשה את פּייֶר בן ה-34, כבר מדען מבריק בזכות עצמו: הוא גילה את עיקרון הסימטריה הסיבתית (ר' פרק #) וכן, יחד עם אחיו, את תופעת הפּייֶזוֹאלקטריות, = = = . פגישה ראשונה עם הפולנייה הצעירה גרמה למלומד הביישן, שעד אז התרחק מנשים, לחוש כי הוא ניצב בפני גאונית, שכמותו הייתה מתבודדת מטבעה. הם נישאו ומעתה התבודדו יחד.
מארי בחרה את קרינת בֵּקֵרֶל כנושא הדוקטורט שלה. התברר שהאורניום הוא המקור החזק ביותר לקרינה זו. אנשים נהגו באותם ימים לכרות אורניום כדי להשתמש בו להכנת כלי זכוכית וקרמיקה זוהרים. אחרי הפקת האורניום נשארה פסולת דמויית-זפת המכונה פִּיטשבּלֶנדֶה (פצלת העטרן). מארי בדקה את הפסולת הזאת ולהפתעתה גילתה בה קרינה חזקה אף יותר מזו של האורניום. עכשיו החל מפעל הרואי של בישול ערימות עפר שהובאו מהמכרות לשם זיקוק היסוד הרדיואקטיבי הנוסף שהסתתר בהן. באנליזה הכימית השתמשה בשיטה מארי אותה כבר הכרנו, הספקטרוסקופיה, וגם זו הוכיחה לה שיסוד חדש הולך ומשתחרר. פייר, הפיסיקאי, מדד את הרדיואקטיביות של החומר המזדקק באמצעות מכשיר מיוחד שפיתח. ימים ולילות חלפו ובני הזוג המותשים עבדו יומם ולילה בצריף המלא ערימות עפר, פה מכרסמים פרוסת נקניק יבש ופה שותים כוס תה להתחמם. לאט-לאט הלך העפר המזדקק ונעשה זוהר יותר בחשכה, ואתו הלכה וגברה הרדיואקטיביות שלו, עד שנותרו בידי מארי כמה גרגרים של יסוד חדש, רדיואקטיבי פי 400 מהאורניום, אותו כינתה פולוניום לכבוד מולדתה. אבל עכשיו הייתה הפסולת שנותרה בצד קורנת עוד יותר! מארי חזרה לבשל ולזקק אותה עד שלבסוף נותרה בידיה כמות זעירה ביותר של חומר רדיואקטיבי פי כמה מיליונים מהאורניום. היא ידעה שמדובר בחומר המתפרק במהירות והופך ליסוד אחר, ולכן רצה אתו אל מעבדת הספקטרוסקופיה, שם גילתה את הרדיום. עכשיו החל מבצע ענק: בסיוע הברון רוטשילד קנו בני הזוג טונות של עפר שהצריכו מאות טונות של מים לשטיפה, וכעבור שלוש שנים
מארי שמה לב ששום ריאקציה כימית אינה משנה את הרדיואקטיביות של יסוד כלשהו, ומכאן הסיקה שהייתה זו תכונה של האטום עצמו. סיפור האהבה בין מארי ופייר קירי הוא אחד המרגשים ביותר בתולדות המדע, ונקטע באכזריות ביום השנה ה--- ליום נישואיהם כשפייר, ממהר ל---, נדרס ע"י עגלה שעברה ברחוב. שנים אחדות חלפו והאלמנה השבורה מצאה ניחומים בזרועות הפיסיקאי פול לָאנזֵ'וֶן (1872-1946), שלמד אצל לורד קלווין והתדקטר אצל פייר קירי. זיווג יפה לכל הדעות, אבל הייתה רק בעיה אחת: האיש היה נשוי. עיתוני צרפת עטו על שערוריית האלמנה שפגעה בזכר בעלה וגם גזלה צרפתי הגון ממשפחתו. לָאנזֵ'וֶן נבהל וחזר אל חיק רעייתו. הגדילו לעשות כמה עיתונים שטענו שה”פולנייה“ הורסת-המשפחות היא בכלל יהודייה!
ומדאם קירי נעלבה עד עמקי נשמתה.
כיובל שנים חלף וב-1995 הורה הנשיא פרנסואה מיטראן להעביר את עצמות בני-הזוג קירי אל הפנתיאון הלאומי לצד שאר גדולי האומה. בין המוזמנים היו נשיא פולין לך ולנסה, שלא-מכבר שחרר את ארצו מעול הרוסים, וכמה מבני שושלת קירי, בהם פרופסור לפיסיקה גרעינית ושמה... הלן ז'וֹליוֹ-לָאנזֵ'וֶן. אפשר לדמיין את הרומן שהתחיל ב”מה הסיפור על ה-liaison שהיה לסבתא שלי עם סבא שלך?“
א-טומוס? כן-טומוס!
המדע קיבל צעצוע חדש, הקרינה הרדיואקטיבית. הפן המסוכן שלו יתגלה רק בהמשך וכרגע הוא מקור אינסופי של חידות והפתעות. עכשיו נפנה אל האנגלים, שחדרו אל תוך האטום מכיוון אחר ומשם התחברו עם מחקרי עמיתיהם שמעבר לתעלה.
זוכרים את פַרַדֵיי? הוא חקר לא רק זרמי חשמל העוברים דרך מתכת אלא גם זרמים העוברים באוויר, כמו הברקים, או, אפילו יותר טוב, בוואקום. ”קרניים קתודיות“ הן מעין נחשי-אור מתפתלים מהפנטים ביופיים העוברים בתוך צנצנת ואקום מהקוטב השלילי (קתודה) של תיל המחובר לסוללה אל הקוטב החיובי (אנודה). לקרניים האלה מטען שלילי, כפי שמוכיחה הטייתן הצִדה כשהן עוברות בשדה חשמלי או מגנטי. צעד נוסף עשה מיודענו הרץ, יחד עם תלמידו פיליפ לנרד (1862-1947, נובל 1905) שעוד נפגוש באחד הפרקים הבאים (זו תהיה פגישה לא נעימה, אבל נניח לזה כעת). השניים הוכיחו שהקרן מסוגלת לעבור דרך לוח מתכת דק, רמז לחלקיקים קטנים יותר מאטומים.
את הניסויים המכריעים עשה ג'וזף ג'ון תומסון (1856-1940, נובל 1906). בניסוי קפדני מאוד מדד את התעקמות הקרניים בהשפעת שדה חשמלי כדי לקבוע את היחס בין המסה של החלקיקים לבין המטען שלהם. ההפרש היה ענק! נראה היה שכמות עצומה של מטען אצורה בחלקיקים שמשקלם כמעט אפסי. לשם השוואה, אטומים של מימן טעונים חיובית (היום אנחנו יודעים שהם פרוטונים) היו כבדים פי אלף, למרות שמטענם החיובי היה זהה בעוצמתו לזה של האלקטרונים. ניסוייו של לנרד הביאו למסקנה דומה.
תומסון סבר שהקרניים מורכבות לא מאטומים אלא מחלקיקים קטנים יותר שהאטומים היו מורכבים מהם. כיצד עלינו להבין אם כן את את הנייטרליות החשמלית של רוב העצמים שסביבנו? אמר תומסון: אולי האטום דומה לפודינג שזיפים, שבו מטען הפודינג עצמו הוא חיובי, ובתוכו שוחים צימוקי שזיפים שמטענם שלילי. המודל, אין ספק, מעורר תיאבון. אבל האם הוא גם נכון?
יורשו של תומסון במעבדות קוונדיש היה ארנסט רת'רפורד (1871-1937), בריטי מניו-זילנד. הוא פנה לחקור את הקרינה הרדיואקטיבית שגילו הצרפתים. בהשראת ניסויי תומסון העביר את הקרינה הנפלטת מהרדיום בשדה חשמלי. להפתעתו התפצלה הקרן לשנים: חלק אחד פנה לצד החיובי, ומכאן הסיק שמטענו החשמלי שלילי, כמו מטען הקרניים שמדד מורו לפניו, אבל החלק השני פנה לכיוון ההפוך, כלומר היה טעון חיובית, וחלקיקיו היו בעלי מאסה גדולה אלפי מונים מאלה של הקרינה בעלת המטען השלילי. הוא כינה אותן קרני ”אלפא“ ו”בטא,“ אליהן תצטרף ”גמא“ בעמודים הבאים.
בשל האנרגיה האדירה של קרני האלפא השתמש בהן רת'רפורד להפציץ חומרים אחרים. כשהפציץ בהן עלה זהב דקיק, הופתע לגלות שחלק מהן לא חדר דרך העלה כיום ידוע שהגיבור האמיתי של הסיפור הוא אשה, ליזה מייטנר, היהודייה שנוצלה עד תום בידי עמיתיה רת'רפורד גילה שהקרינה הולכת ונחלשת עם הזמן, ”מחצית חיים“ נוצר יסוד חדש! רדיום פולט רדון והופך לעופרת!
רת'רפורד היה פיסיקאי שוביניסט. ”המדע היחיד זה פיסיקה,“ אמר. ”כל השאר זה איסוף בולים.“ כשהתבשר כי זכה בפרס נובל לכימיה, לא נשאר חייב ובנאום קבלת הפרס העיר כי ראה הרבה תמורות של חומר אחד למשנהו, אבל מעולם לא ראה תמורה כה מהירה של פיסיקאי לכימאי. זכה תומסון ושבעה מלתמידיו, בהם רת'רפורד, זכו בפרסי נובל, תלמיד אחר הוכיח שתומסון טעה ושהאקלטרונים שלו מתנהגים לפעמים דווקא כגלים (פרק #). שמו היה - - תומסון – נכון, בנו. הכל (כמעט) מסתדר בתמונה החדשה
מכל העבודות עליהן שמענו בעמודים הקודמים עולה ומתבהרת תמונה של האטום המסבירה את כל תכונותיהם של העצמים סביבנו: משקלם, חוזקם, צבעם, טעמם, ריחם וכל מה שיעלה בדעתכם. זה הזמן לצייר את התמונה בשלמותה וליהנות מפירותיה.

את תכונותיו העיקריות של האטום קובעים שלושה חלקיקים קטנים יותר מהם הוא בנוי: 1) הפרוטון, שמטענו החשמלי חיובי, 2) האלקטרון, שהוא בעל מטען חשמלי שלילי שעוצמתו זהה לזו של הפרוטון רק הפוכה, אבל משקלו קטן מזה של הפרוטון ב-xxx, 3) הנייטרון, שמשקלו כמעט זהה לזה של הפרוטון, אבל הוא נטול מטען חשמלי. הפרוטונים והנייטרונים נמצאים בגרעין האטום בעוד האלקטרונים "סובבים" סביבם. המילה "סובבים" נתונה במרכאות כי תורת הקוונטים תתערב בהמשך ותראה שהם לא ממש סובבים אלא איכשהו נמצאים בתנועה סביב הגרעין.
לפניכם שני אטומים. משמאל האטום הפשוט ביותר, אטום מימן, המורכב מפרוטון בודד ואלקטרון בודד הנע סביבו. מימין אטום מורכב יותר, זה של הליתיום. בגרעין שלו מצטופפים שלושה פרוטונים וארבעה נייטרונים. סביבם נעים, בשני מסלולים הקרויים "קליפות", שלושה אלקטרונים.
את תכונות האטום מבטאים במדויק שני גדלים: המספר האטומי של יסוד הוא מספר הפרוטונים בגרעין האטום שלו, שבמצב הנורמלי שווה למספר האלקטרונים בקליפותיו הקובעים את תכונותיו הכימיות. המשקל האטומי הוא המספר הכולל של החלקיקים בגרעין, פרוטונים ונייטרונים יחד. איזוטופים הם אטומים הזהים בכל תכונותיהם הכימיות, כלומר הם בעלי אותו מספר פרוטונים ואלקטרונים, אבל בגרעיניהם יש יותר או פחות נייטרונים, מה שהופך אותם לכבדים או קלים יותר. כך, "מים כבדים" הם מים שבמימן שלהם יש, מלבד הפרוטון הבודד, גם נייטרון או שנים, או שבאטום החמצן שלהם יש X נייטרונים במקום X.
הבנה טובה של האטום מחייבת להדגיש שקנה-המידה האמיתי שלו אינו ניתן לתיאור בתמונה רגילה. במילים אחרות: אל תאמינו לתמונה שציירתי. אם רצונכם לקבל מושג על היחסים האמיתיים בין חלקי האטום, דמיינו לעצמכם כדור גולף מרחף באוויר וסביבו כדור שהרדיוס שלו הוא קילומטר אחד. זה בערך היחס בין גרעין האטום שבתמונה לבין קליפת האלקטרונים הראשונה שבה סובבים האלקטרונים סביבו. הקליפה השנייה נמצאת בריחוק של ארבעה ק"מ מהגרעין, ובאטומים בעלי קליפה שלישית היא נמצאת במרחק תשעה ק"מ. אשר לאלקטרונים עצמם, הנעים במסלולי הקליפות הענקיות סביב "כדור הגולף," הרי בקנה-מידה זה עלינו לדמיין אותם בגודל של גרגירי חול! בקיצור, רוב האטום מורכב, בפשטות, משום-דבר, ואם תביאו בחשבון שהמרחק בין אטומים בגוף מוצק הוא בערך חצי קוטר האטום, תבינו שרוב גופכם הוא בעצם חלל ריק, כמו גם העצמים שסביבכם.
עם התמונה המוזרה הזאת, תוכלו עכשיו לענות כמעט על כל שאלה לגבי תכונות העצמים שסביבכם: צבע, ריח, גמישות ועוד. בואו נראה כמה דוגמאות.
קשיות
קני-המידה הענקיים של האטום מעלים מיד שאלה פשוטה: אם רוב האטום עשוי מחלל ריק, איך זה שאיננו יכולים לעבור דרך הקיר? התשובה פשוטה גם היא: בחללים הריקים האלה פועלים כוחות אדירים. כוח אחד אנו מכירים תודות לפרדיי, הוא הכוח החשמלי, המציית כזכור לחוק פשוט: מטענים שווים דוחים זה את זה ומטענים שונים מושכים זה את זה. לכן, האלקטרונים נמשכים אל הפרוטונים שבגרעין, והאטום כולו נמשך אל האטומים השכנים בשל עודף או מחסור במטענים החשמליים שלהם. סוג אחד של משיכה בין אטומים נכיר בהמשך, הוא הקשר הכימי, אבל גם אטומים או מולקולות שאינם נקשרים זה בזה נוטים להיצמד זה אל זה בשל כוחות חשמליים יותר חלשים הפועלים ביניהם. זה מה שמקנה לגופים המוצקים את צורתם הקבועה, ולנוזלים את נטייתם להרטיב או להתלכד לזרמים ולשלוליות, בעוד הגזים הם חומרים שבהם האטומים או המולקולות רק מתנגשים זה בזה.
זו גם הסיבה לקשיותם של הגופים: הקיר שמולכם עשוי אמנם ברובו מלא-כלום, אבל אינכם יכולים לחדור דרכו כי קליפות האלקטרונים של האטומים שלכם דוחים את קליפות האלקטרונים באטומים של הקיר.
אנרגיה אטומית
כאן מזדקרת השאלה הבאה: למה, אם הפרוטונים שבגרעין טעונים חיובית, הם אינם דוחים זה את כפי שמחייב חוק המטענים? הבטחתי לכם שהכרת חלקי היסוד של החומר תחשוף בפנינו חוקי-יסוד של הטבע, אז נא להכיר כוח חדש: הכוח החזק. זהו כוח מוזר, וכפי שתבינו מיד לא כדאי לכם להתעסק אתו. בניגוד לכוחות הכבידה והחשמל שאותם אנו יכולים לראות בחיי היומיום, פועל כוח זה רק למרחקים תת-אטומיים, אבל עוצמתו עולה עליהם פי כמה מונים: היא-היא שחוללה את זוועת הירושימה ונגסאקי כשהשתחררה מהאטומים שבוקעו. בגרעין פועל עוד כוח אחד, הוא הכוח החלש, החבר הרביעי במשפחת כוחות היסוד, ואליו נשוב בפרק #.
הנה אם כן ההסבר לתופעות שלמדנו בפרק #: כשיש בגרעין יותר מפרוטון אחד, דרושה נוכחות של מספר דומה של נייטרונים כדי להוסיף כוח חזק שיתגבר על כוחות הדחייה החשמליים. בכל זאת, אטומים גדולים (מעל ---) הם לא יציבים (כלומר, הכוח החזק בהם אינו מצליח להתגבר לאורך זמן על הדחייה בין הפרוטונים===) ולכן הם רדיואקטיביים: האטום מתפרק ע"י פליטת חלקיקי אלפא, שהם גרעינונים שבהם שני פרוטונים ושני נייטרונים, חלקיקי בתא, שהם אלקטרונים הנעים במהירות הקרובה למהירות האור, וקרני גמא, שהן קרניים אלקטרומגנטיות בעלות גלים קצרים ביותר ולכן בעלי כושר חדירה עצום. כל סוגי הקרינה האלה מסוגלים לחדור עמוק ולגרום לשינויים כימיים שונים ומשונים בגוף החי, ולכן מסוגלים להיות מסרטנים, או, כשמשתמשים בהם בזהירות הראויה, לקרינה המסוגלת להשמיד תאים סרטניים.
משקל
בשלב זה אתם כבר יכולים להסביר על סמך התורה האטומית את תכונתו היסודית ביותר של כל חומר, דהיינו, את משקלו, וליתר דיוק המסה שלו. אמנם את ההסבר העמוק ביותר למסה ולכבידה תתן רק תורת היחסות בפרק #, אבל כאן נעשה צעד ראשון. גם לחלקיקים האלמנטריים עליהם דיברנו, זעירים ככל שיהיו, יש מסה. לכן, כיוון שרוב החומר נמצא בגרעין האטום, המסה של כל חומר נקבעת על-פי מספר החלקיקים בגרעיני האטומים שלו. גרעין אטום המימן מכיל רק פרוטון בודד, ולכן המימן הוא היסוד הקל ביותר ומשקלו האטומי הוא 1. גרעין אטום ההליום מכיל שני פרוטונים ושני נייטרונים ולכן הוא היסוד הקל הבא ומשקלו האטומי הוא 4. גרעין אטום העופרת מכיל --- פרוטונים ו--- נייטרונים ומשקלו האטומי הוא --- וכך הלאה.
פעילות כימית
כמובן, הדבר הכי מעניין בנוגע לחומרים הוא פעילותם הכימית: למה ניטרוגליצרין הבא במגע עם חמצן יוצר התפוצצות אדירה? למה המסמרים מחלידים? למה חצי בקבוק וודקה הופך אדם לרקדן מעולה והחצי השני עושה ממנו סמרטוט רצפה?
את התשובות הספציפיות לא תמצאו כאן, כי הבנת כל תגובה כימית מצריכה הכרת הרבה פרטים מקצועיים, אבל הפיסיקה של האטום נותנת את התשובה העקרונית: תכונותיהם הכימיות של כל החומרים נובעים מהתכונות החשמליות של האטומים שלהם.
אטום שיש לו מספר שווה של פרוטונים ואלקטרונים, והמסודרים בצורה המאפשרת להם לנטרל זה את מטענו החשמלי של זה, הוא אטום מאוזן, ואז אינו נוטה להתרכב עם אטומים אחרים. כאלה הם הגזים האצילים כמו ההליום והארגון. למזלנו, רוב האטומים אינם מאוזנים, מסיבות הקשורות בעיקר לתורת הקוונטים שאותה נלמד בהמשך, ולכן כל אטום כזה מנסה, בכל פגישה עם חבריו, לשפר את מצבו: לגנוב מהם אלקטרונים, לדחוף להם אלקטרונים לא רצויים או ליצור שותפויות שונות ומשונות כדי להגיע לאיזון. זוהי התגובה הכימית בין שני יסודות היוצרת תרכובת חדשה: אטומים, שאינם מרוצים ממספר האלקטרונים שלהם ומסידורם, עושים עסקות כאלה או אחרות ביניהם ויוצרים יחד מולקולה, כלומר, גרעינים שיש להם קליפת אלקטרונים משותפת. כך, למשל, יון הוא אטום לא מאוזן, שמספר הפרוטונים והאלקטרונים שבו אינו שווה ולכן הוא נושא מטען חשמלי חיובי או שלילי. אטומים אלה הם כמובן פעילים מאוד מבחינה כימית בהיותם להוטים להתחבר לאחרים כדי להתאזן.
זו הסיבה שרוב החומרים מסביבנו הם תרכובות ולא יסודות, מה שאומר שיחידות הבניין שלהם אינם אטומים אלא מולקולות (ר' #). המולקולה, על-פי התורה האטומית, היא כמה אטומים שעקב עסקאות האלקטרונים שעשו ביניהם הפכו למעין אטום-על, כלומר כמה גרעינים העטופים בקליפת אלקטרונים משותפת. למולקולה זו תכונות חשמליות משלה, כלומר גם היא יכולה לעשות עיסקאות אלקטרונים עם אטומים או מולקולות אחרות. הריח והטעם של חומרים שסביבכם, רעילותם או ערכם התזונתי – כל אלה נובעות מהתגובות הכימיות בין המולקולות של החומר לבין המולקולות שבמערכות גופכם.
צבע
ומה עם הצבע של העצמים? גם תכונה זו מקבלת הסבר פשוט בתורה האטומית. האור הלבן, כפי שניוטון הוכיח, הוא תערובת של אורות בצבעים שונים, כלומר, כפי שהוכיחו יאנג ומקסוול, גלים אלקטרומגנטיים באורכים שונים: הקצרים הם עתירי אנרגיה והארוכים חלשים יותר. כשגלי אור פוגעים באטום, רובם מוחזרים אחורנית ע"י השדה החשמלי של קליפות האלקטרונים שלו, אבל חלק מהם נבלע ע"י האלקטרונים.
מי מוחזר ומי נבלע? בואו נזכור את העובדה, שתוסבר מאוחר יותר בתורת הקוונטים, שהאלקטרונים מסתובבים באטום רק בקליפות מוגדרות, שמרחקן מהגרעין הוא קבוע. בכל קליפה כזאת מסתובבים אלקטרונים שיש בהם כמות מסוימת של אנרגיה. אם פוגע באלקטרון גל אלקטרומגנטי הנושא בדיוק את כמות האנרגיה הדרושה לאלקטרון כדי להימצא בקליפה הרחוקה יותר מהגרעין, האלקטרון בולע את האנרגיה הזאת ו"קופץ" אל הקליפה הבאה. גם ההיפך יכול לקרות: הוא יכול "ליפול" חזרה לקליפה נמוכה יותר ואגב-כך לפלוט חזרה גל באותו אורך שהיה צריך כדי להקפיצו מהקליפה הנמוכה לגבוהה. הנה, אם כן, ההסבר לתגליתם של בונזן וקירכהוף: כל חומר קר בולע אור באותו אורך גל שאותו הוא פולט כשהוא לוהט. זה אומר שהנחושת, למשל, היא בולעת את כל אורכי-הגל המעורבבים בצבע הלבן מלבד האדום, שאותו היא פולטת חזרה, מה שאומר שאם תלהיטו נחושת, תקבלו להבה ירוקה===, כלומר הצבע המשלים של האדום. ובמונחי התורה האטומית: לאטומי הנחושת יש אלקטרונים בקליפה ה===, שכשהם בולעים אור === הם קופצים לקליפה ה===. האור האדום אינו באורך-הגל המתאים להקפצה זו ולכן הוא מוחזר מהנחושת. האלקטרון אינו מחזיק באנרגיה שבלע לאורך-זמן אלא פולט אותה חזרה, אבל לא באותה צורה. למשל, אלקטרון שבלע גל קצר מאוד (עתיר אנרגיה) וקפץ שתי רמות יכול ליפול חזרה קודם ברמה אחת, ולפלוט גל ארוך יותר (פחות אנרגטי), ואז ליפול שוב לרמה המקורית ולפלוט עוד גל ארוך.
חלק ממנה נפלט כגלים ארוכים יותר, בתחום האינפרא-אדום, כלומר, הגוף שהואר פולט חזרה חום, וחלק אחר מהקרינה נפלט באורך-גל ארוך יותר מהגל המקורי שנבלע.
צבעו של חומר, לסיכום, מבטא את יכולת הבליעה האלקטרומגנטית של האלקטרונים בקליפה החיצונית של האטומים שלו.
חשמל ומגנטיות
עם התורה האטומית נוכל עכשיו לחזור גם אל עולם החשמל והמגנטיות שהכרנו בפרק # ולהבין מה באמת קורה שם.
אם האלקטרונים, המתרוצצים בקליפת האטום סביב הגרעין, הם החלקיקים נושאי המטען החשמלי השלילי, הרי זרם חשמלי הוא בפשטות שטף של אלקטרונים. דרך אחת ליצור זרם חשמלי היא כימית: נטבול את קצותיהם של מוט אבץ ומוט פחמן בתוך חומצה. החומצה תמיס את האבץ, משיכתה החשמלית תגרום לאטומי האבץ להיתלש מהמוט ולחדור אליה, אבל הם ישאירו מאחור את האלקטרונים שלהם וכך, עם עודף מטען חיובי, ישחו אטומי האבץ בחומצה אל מוט הפחמן וייספגו בו. מוט האבץ טעון עכשיו בעודף מטען שלילי ואילו במוט הפחמן עודף מטען חיובי. כיוון שהאלקטרונים הנטושים אינם יכולים לעבור דרך החומצה===, הם זקוקים לנתיב אחר כדי להשיג את האטומים הבוגדניים שלהם. את הנתיב הזה נספק ברוב נדיבותנו בצורת תיל נחושת בין שני המוטות. זוהי הסוללה החשמלית.
דרך אחרת בה למדנו בפרק # ליצור זרם היא ע"י מגנט. עכשיו, על סמך מה שלמדנו על האטומים, נוכל להבין איך פועל המגנט עצמו. למדנו כי כדי שיתקיים מגנט צריך זרם חשמלי לנוע בלי הפסקה. אפשר להבין את זה באלקטרומגנט, שבו באמת עובר זרם, אבל איזה זרם עובר במגנט הפשוט המצמיד לנו פתקים לדופן המקרר? כזכור, האלקטרונים ”סובבים“ במהירות עצומה סביב הגרעין. בנוסף לכך, התגלה שהם סובבים גם סביב עצמם, והתופעה השנייה קרויה ספין. אם כל אלקטרון נמצא במעין תנועה מתמדת סביב עצמו, הוא מהווה מגנט זעיר, שקוטבי ה”צפון“ וה”דרום“ שלו הם משני צדי ציר הסיבוב שלו. למה, אם כך, לא כל חומר הוא מגנט? כי בכל אטום, האלקטרונים פונים לכיוונים שונים וכך מבטלים זה את השדה המגנטי של זה. הברזל הוא חומר מיוחד מבחינה זו: באטום שלו יש ארבעה אלקטרונים שהספינים שלהם פונים לאותו כיוון וכך דווקא מחזקים זה את זה. לכן כל אטום ברזל הוא מגנט מיקרוסקופי. הכוח המגנטי הזה של אטום הברזל חזק דיו כדי לגרום לאטומים השכנים להסתדר באותו כיוון ולחזק זה את זה, וכך נוצרים בברזל אזורים מגנטיים זעירים. אבל הכוח של כל אזור כזה אינו מספיק חזק כדי לגרום גם לאזורים הסמוכים להסתדר באותה צורה, ולכן גוש הברזל כולו אינו מגנט. רק כשמקרבים אליו מגנט מסתדרים האזורים יפה: הם מפנים לקוטב המתקרב – צפוני או דרומי – את צדם ההפוך ומושכים אותו יחד. אבל כשיורחק המגנט יחזרו האזורים למצבם הקודם. מהו, אם כן, מגנט? פשוט, זהו ברזל שהושם בשדה מגנטי חזק ו”שוכנע“ ע"י דפיקות, שפשופים ושאר אמצעים עדינים או פחות עדינים להסתדר בצורה כזאת שאפילו אחרי הרחקת השדה המגנטי המקורי יישארו האזורים המגנטיים מיושרים לאותו כיוון.
סיכום: הכל (כמעט) מסתדר בתמונה החדשה
כך, בעמל משותף ומפרך על פני ארצות ודורות, התגבשה תמונה לכידה ובעלת כוח הסבר רב. כך גם קיבלנו פיתרון מספק לחידה שהעסיקה את מנדלייב ובני דורו: המספר האטומי (מספר הפרוטונים) של כל היסודות נותן סדרה רציפה: מימן הוא 1, הליום הוא 2, ליתיום 3, וכך הלאה. המשקל האטומי (מספר הפרוטונים והנייטרונים יחד) הוא בדרך-כלל כפול מהמספר האטומי. אם כך, למה לרוב אין זה מספר שלם? פשוט: זכרו את האיזוטופים, אטומים אחים הנבדלים זה מזה רק במספר הנייטרונים שלהם. כל יסוד מופיע בטבע כתערובת של כמה איזוטופים, ולכן משקלו הוא הממוצע שלהם. עוד אנו מבחינים כי בכל שורה בתשבץ של מנדלייב מבצבצת עתה תכונה משותפת חדשה, עליה לא ידע מנדלייב: פשוט, לכל היסודות באותו עמוד=== אותו מספר אלקטרוניים בקליפה החיצונית!
וכך, באיחור של --- שנה, התגשם חזונם המשותף של פיתגורס, אמפדוקלס, דמוקריטוס ואפלטון: כל מה סביבנו מורכב משלושה חלקיקי יסוד, שהיחסים המספריים והמרחביים ביניהם מסבירים את כל תכונות החומר. נכון, תורת הקוונטים תשוב ותבלגן לנו כמה פרטים בתמונה הזאת, אבל בכללותה היא נשארה מדויקת ורבת-עוצמה.
האנרגיה והחומר עושים יחד בלגן
אם החוק הראשון של התרמודינמיקה, בו פתחנו פרק זה, נחשב לאחד מחוקי הפיסיקה ה"יפים" בשל פשטותו וכלליותו, הנה יש הרבה שבעיניהם החוק השני של התרמודינמיקה הוא חוק ממש מכוער ומוטעה, כפי שיעידו הטרגדיות להלן שפקדו כמה ממגליו. עד היום הוא מעורר מחלוקות סוערות, ו/אפילו אני נקלעתי לאחת מהן (פרק #). מצד שני, דווקא אסתטיקאי נלהב כ/איינשטיין ראה בחוק הזה - - - סאדי קרנו תלמידם של אמפר וגי-לוסק קלאוזיוס: החוק
מקסוול ובולצמן: הביטוי המולקולרי בואו נבחן עכשיו מקרוב את הטענות נגד האסימטריה התרמודינמית, שעוד מושמעות מפי פיסיקאים עיוניים רבים, ונראה איך האסימטריה החלקיקית מפריכה אותן בצורה העושה את בעיית אסימטריות-הזמן לחריפה במיוחד. מה אומר החוק השני של התרמודינאמיקה? הניסוח הפשוט שלו הוא זה: במערכות סגורות שיווי-המשקל הולך וגדל עם הזמן. הנה ספל הקפה שלפניי, שאני מנהל עליו מירוץ נגד הזמן במהלך ההקלטה הזאת. אם לא אמהר לשתות ממנו, הוא יאבד חום לאוויר האולפן הקר עד שישתרר שיווי-משקל, שבו הקפה והאוויר יהיו באותה טמפרטורה. התהליך ההפוך, כמובן, אינו סביר: אם מישהו יספר לנו שראה כוס פושרת הנמצאת בשיווי-משקל עם האוויר, שהלכה והתחממה מאליה, והאוויר שסביבה התקרר קצת בהתאם, נסיק שאולי באמת מדובר פה ב"ערעור שיווי-המשקל" של מישהו, אבל מסוג אחר.
ניסוח פשוט יותר של החוק השני אומר שאי-הסדר במערכות סגורות הולך וגדל עם הזמן. יש אנשים שמתבלבלים משני הניסוחים האלה, כי "שיווי-משקל" שבו כל החומר או האנרגיה מפוזרים באופן שווה בחלל נראה להם דווקא כצורה של "סדר." אבל עקרות-הבית יבינו בקלות שאין זה כך, כי בית מסודר הוא מצב רחוק משיווי-משקל: כלי המטבח מרוכזים רק במטבח, כלי המיטה רק בחדר השינה וכלי הרחצה רק באמבטיה. בית שבו נמצאים החפצים האלה בשיווי-משקל מבחינת פיזורם, הסדר בו טעון שיפור. "אי-סדר" הוא אם כן מונח נרדף ל"שיווי-משקל," או, במונח הנפוץ, "אנטרופיה."
אנטרופיה זו יוצרת חץ-זמן ברור. ניקח שולחן ביליארד, נסדר עליו משולש של כדורים ונשגר לתוכם כדור אחד. המצב המסודר, המשולש, יפנה את מקומו למצב הבלתי-מסודר של כדורים המתרוצצים לכל הכיוונים. זה התסריט המוכר לכולנו. לעומת זאת, בהילוך לאחור נקבל סרט מוזר: תחילה ערבוביה של כדורים מתרוצצים, ואחר כך, מאליהם, הם מתכנסים במרכז ויוצרים משולש מושלם הפולט החוצה כדור יחיד. ההתרחשות הראשונה היא מציאותית והשנייה לא, בהתאם לחוק השני.
החוק הזה גרם בעיות תיאורטיות ומושגיות רבות החל מהרגע שבו נוסח. הסיבה לכך הייתה שבתנועות האטומים והמולקולות הבודדים שולטת המיכאניקה הניוטונית, שהיא סימטרית לחלוטין בזמן. והרי כל המערכות עשויות מאטומים ומולקולות. כיצד, אם כך, יכולות הרבה התרחשויות סימטריות ליצור יחד משהו אסימטרי? לודוויג בולצמן {{L.Boltzmann, אחד מאבות התרמודינאמיקה, חשב שהוא יכול לגייס את הסטטיסטיקה להשיב על שאלה זו. בנוסחה מפורסמת, החקוקה על מצבתו, הוא הראה כי כל המערכות שואפות לעבור ממצב בלתי-מסתבר אל מצב יותר מסתבר. כשאני רואה בחול טביעת-נעל ברורה, אני לא מאמין שהצורה הזאת נוצרה באקראי, מאליה. "מסתבר" הוא אפוא מונח נרדף ל"מבולגן." הטבע, אמר בולצמן, שואף למצב המסתבר יותר, וכך הופכים מצבים מסודרים למצבי אי-סדר. אבל עד מהרה קמו לניסוח הזה מתנגדים חריפים, בעיקר תלמידי מיודענו מאך. הבולט שבהם היה לושמידט, שאמר לבולצמן כך: אתה מגייס את חוקי ההסתברות כדי להסביר את חץ הזמן. אבל חוקי ההסתברות עצמם הם אדישים לכיוון הזמן. לכן, אם אתה מנבא שהמערכת תהיה בעתיד במצב יותר מסתבר, הרי טיעון זה חל גם על מצבי העבר שלה. לכן, כשאני רואה שולחן ובו כדורי ביליארד מסודרים, אני צריך דווקא להניח שבעבר היה השולחן במצב המסתבר, כלומר, בערבוביה מוחלטת, ורק אחר-כך עבר למצב המסתבר, המסודר. ההוכחה של בולצמן, אם כן, סותרת את עצמה עקב הניסיון להשתית תהליך פיסיקלי אסימטרי בזמן על חוקי ההסתברות, שהם עצמם אינם תלויים בכיוון הזמן.
יתרה מזאת, יש עד היום פיסיקאים הטוענים כי אפילו עצם מושג ה"אנטרופיה" אינו אלא מונח סובייקטיווי, המתאר רק את הבורות של הצופה אבל אין לו משמעות אובייקטיווית. נגד הגדרתו של בולצמן, שלפיה "אנטרופיה" היא המצב בעל הסבירות הגבוהה ו"סדר" הוא המצב הפחות מסתבר, הם טוענים כך: אם ניקח מצב בלתי מסודר, נמדוד ונגדיר את מצבי כל המולקולות המרכיבות אותו, ונשאל מה הסיכוי שיתקבל מצב כזה בדיוק, תהיה הסבירות נמוכה גם הפעםB קיימים אין-ספור מצבי אי-סדר, ורק מפני שאיננו יודעים להבחין ביניהם אנו קוראים לכולם באותו שם. לכן, הם מסיקים, ההבדל בין "סדר" ואי-סדר אין לו משמעות פיסיקלית, כמו ההבדל בין "יופי ל"כיעור."
הטיעון הפוזיטיוויסטי הזה הוא, לדעתי, מופרך גם מבחינה אינטואיטיווית וגם מבחינה פיסיקלית. אינטואיטיווית, נראה לי מגוחך לומר שמה שכל ילד יכול להבחין, דהיינו, ההבדל בין סדר לאי-סדר, הוא מעבר להבנת הפיסיקה. אבל יש לי גם טיעון פיסיקלי פשוט. בואו נחשוב שוב על ספל הקפה שעמד פה. כשהקפה חם ואוויר החדר קר זהו "סדר," וכשהטמפרטורה של הקפה שווה לזו של אוויר החדר זהו "אי-סדר." לטענת הפוזיטיוויסט, גם המצב השני הוא מאוד מסודר, כי יש הסתברות נמוכה מאוד לקיומו כאשר יודעים בדיוק את מצבי כל המולקולות שלו. אבל שימו לב: מצב הסדר הוא בכל זאת מצב פיסיקלי ייחודי הנבדל מכל מצבי אי-הסדר במובן הבא: מכוס הקפה החמה הנמצאת בחדר קר ניתן להפיק עבודהB לכל מנוע דרוש מאגר של חום ומאגר של קור, ובמקרה זה יש לנו הפרש טמפרטורות הדרוש לביצוע עבודה. לעומת זאת, במצב הלא-מסודר, אין שום אפשרות לבצע עבודה מאקרוסקופית. זהו בהחלט הבדל פיסיקלי ולא סובייקטיווי. לכן, גם אם בולצמן לא הצליח לתת הסבר לחוק השני, הרי שההגדרה ההסתברותית שלו לאנטרופיה היא בהחלט שימושית: "סדר" הוא מספר מצומצם של מצבים שבהם ניתן להפיק עבודה מהאנרגיה שבמערכת, ו"אי-סדר" הוא המספר העצום של מצבים שבהם האנרגיה היא בלתי-נצילה. מערכת סגורה עוברת תמיד ממצב מהסוג הראשון אל מצב מהסוג השני.
משמצאנו הגדרה אובייקטיווית לאנטרופיה, נוכל לשוב ולשאול: מדוע היא עולה? הפיסיקאי השמרן, המאמין בסימטריה של חוקי הטבע, עונה כך: האסימטריות בזמן אינן נובעות מחוקי טבע כלשהם, אלא רק ממצבי-ההתחלה השכיחים בעולמנו. לשאלה מדוע תסריט שבו כדורי ביליארד המסודרים במשולש מתפזרים על השולחן הוא סביר, בעוד התסריט ההפוך אינו סביר, תשובתו היא זו: נכון, ההתרחשות השנייה אינה סבירה. אבל זה רק בגלל שתנאי ההתחלה שבחרתם מאפשרים רק את ההתרחשות הראשונה. מהנדס מוכשר יוכל לסדר את הכדורים על השולחן במצב התחלתי מיוחד, ולתת לכל אחד מהם את המכה ברגע הנכון ובכיוון הנכון, כך שלבסוף אכן ייווצר המצב המסודר. ושימו לב: אמנם התהליך בכללותו אינו סביר, אבל אם נסתכל בנפרד על כל אינטראקציה בין שני כדורים או בין כדור לדופן, נראה שהיא סימטרית בזמן בהחלט. האסימטריה מופיעה רק בתהליכים שבהם יש הרבה כדורים. אבל תנועותיו של כל כדור יחיד הן סימטריות. לכן, ימשיך הפיסיקאי השמרן, האסימטריה אינה נובעת מחוקי היסוד אלא רק מתנאי ההתחלה שאנו יוצרים. וכך בנוגע להתנהגות האסימטרית של כוס הקפה המתקררת: גם כאן, כל מולקולה בודדת מתנהגת באופן סימטרי לחלוטין בזמן. המולקולות המהירות של המים החמים מתנגשות בדפנות הספל ומעבירות להן אנרגיה קינטית, והמולקולות של הדופן מעבירות את האנרגיה הקינטית לאוויר. כל אחת מהאינטראקציות האלה יכולה להתרחש באופן הפוך, ומדי פעם כך אכן קורה. לכן גם התהליך הזה הוא, בעיקרון, הפיך. הוא רק בעל סבירות נמוכה. אם המהנדס הגאוני שלנו היה מתאם מראש את כל תנועות המולקולות בחדר בצורה המתאימה, היינו אכן רואים ספל קפה פושר מתחמם מאליו.
גם הטענה הזאת לא הכי משכנעת. בשני המקרים, יכולתו של המהנדס להפוך את גידול האנטרופיה יש לה מחיר בהגדלת האנטרופיה מחוץ למערכת. אחרי הכול, החכם הזה ילכלך הרבה ניירות במהלך עבודתו, יבזבז הרבה זמן מחשב, ישתה הרבה ספלי קפה כדי לא להירדם ואחר-כך ירוץ הרבה פעמים לאיזה מקום, בקיצור: הוא יגדיל את האנטרופיה מחוץ למערכת שבה הוגדל הסדר. לכן, החוק השני נכון תמיד לגבי המערכת הגדולה יותר, הכוללת את המערכת שבה הוקטנה האנטרופיה. אבל מי שטוענים שהחוק השני איננו חוק טבע יסודי, נאחזים בנימוק ההפיכות כדי לטעון שגידול האנטרופיה הוא לא חוק ממש אלא תולדה של תנאי התחלה, בעוד כל ההתרחשויות המיקרוסקופיות המרכיבות אותו הן הפיכות.
יפה. עד כאן איכשהו הצליח יריבנו, די בקושי, להיחלץ מהוויכוח מבלי להודות בקיומה של אסימטריית-זמן יסודית. אבל מול האסימטריה שראינו בעולם החלקיקים, שום דבר לא יעזור לו. אין כאן עניין של תנאי התחלה כי זוהי אינטראקציה יסודית שמעורבים בה שני חלקיקים בלבד ואי-אפשר לפרק אותה לאינטראקציות יותר יסודיות שבהן תימצא הסימטריה האבודה. יש, אם כן, מקום לחשד כי גם החוק השני של התרמודינאמיקה, היוצר את האסימטריה המאקרוסקופית, אינו נובע מתנאי-התחלה גרידא אלא מייצג תכונה מהותית של עולמנו. היטיב לבטא את ייחודו של החוק השני ארתור אדינגטון, שהאמין כי לחוק זה יש מעמד עליון בין חוקי הטבע. אם יאמר לנו פיסיקאי שהוא מצא סתירה לתורת היחסות, אמר אדינגטון, נקשיב לו. אבל אם יאמר שמצא סתירה לחוק השני נשלח אותו לחפש מקצוע אחר.
אם כן, הטבע, אפילו ברמה היסודית ביותר, מבדיל בין עבר לעתיד, ובכך נבדל הזמן מהממדים שבהם קיימת סימטריה. כמה מנוגד הדבר למה שכתב איינשטיין לבסו: "אין אי-הפיכות בחוקי- היסוד של הטבע." מתברר שדווקא יש, ולכך אין לפיסיקאים עד היום הסבר מניח את הדעת. משימתנו הבאה תהיה לחקור את הקשרים בין שמונת אסימטריות-הזמן שהכרנו היום, אולי נגלה שיש להן שורש משותף.
בתקופה שבה החל הוויכוח על אי-ההפיכות בזמן, נפגע בולצמן קשה מהוויכוחים עם תלמידי מאך ולבסוף התאבד. פאול אהרנפסט, שבמובנים רבים המשיך את עבודתו של בולצמן, שלח גם הוא יד בנפשו. אז אני מבקש, חברים, למרות שהנושא מטריד, לא לקחת אותו ללב יותר מדי. חום פירושו אנרגיה קינטית גבוהה של המולקולות
קלווין החל ללמוד באוניברסיטה בגיל 10
הענף המדעי הרלוונטי: סטטיסטיקה, פסקל החוק השני של התרמודינמיקה: בכל מערכת סגורה, כמות האנטרופיה אינה יכולה לרדת. היא יכולה רק להגיע למקסימום ושם להישאר.
בציור שלפניכם קופסה המחולקת לשנים ע"י מחיצה. צדה האחד מלא גז והשני ריק. אם תעשו חור במחיצה, יתפזר הגז במידה שווה בין שני חלקי הקופסה. זו דוגמה פשוטה לעליית ה\אנטרופיה. מהי אנטרופיה זו? יש כמה דרכים להגדיר ולמדוד אותה, ולכל מורה הגדרה מועדפת. אני נוהג להביא את כולן ולהראות איך הן חופפות ומשתלבות.
א. שיווי משקל
זו נראית לי ההגדרה הברורה ביותר. הקופסה החלה במצב רחוק משיווי-משקל מבחינת הלחץ והטמפרטורה (הגז היה חם יותר כשהיה דחוס) וסיימה במצב שבו הלחץ והטמפרטורה שווים בכל חלקיה. כך קורה כשכוס קפה חם מתקררת: ב. אי-סדר
זו ההגדרה הפשוטה ביותר. הרבה אנשים לא אוהבים אותה כי "סדר" נשמע להם מושג סובייקטיבי. מי קבע, למשל, שהסדרה 0000000000 היא מסודרת והסדרה 7065132446 היא סתם אקראית? תמיד יכול מישהו לשלוף הוכחה שבסדרה השנייה מסתתר סדר עמוק! אני לא מתרשם מהטענה הזאת. "סדר" ניתן להגדרה מתמטית אובייקטיבית, כמו, בדוגמה שלפנינו, מידת השכיחות של ספרה אחת לעומת האחרות, וכבר הרחבתי על כך במקום אחר.[] לכן ההגדרה של אנטרופיה כאי-סדר יכולה בהחלט לשרת אותנו.
מצד שני, יש כאלה שההגדרה הזאת של אנטרופיה כאי-סדר נראית להם סותרת את הגדרתה הקודמת כשיווי-משקל. הם אומרים: לי המצב של שיווי-משקל בתמונה לעיל נראה יותר מסודר מהראשון. הסתירה תיעלם כשנחשוב לרגע על משק-הבית שלנו. תארו לעצמכם אדם בא הביתה ושואל: איפה נעלי-הבית שלי? אומרים לו בני-ביתו: חפש במטבח, באמבטיה או במרפסת, כי בבית הזה הנעליים מפוזרות במידה שווה בכל החדרים. ואם ישאל המסכן איפה הספל שלו יסבירו לו כי ייתכן באותה מידה שימצא אותו בחדר השינה או בסלון, כי גם הספלים בבית מפוזרים במידה שווה. אתם מבינים אם כן ש"סדר" פירושו מצב הרחוק משיווי-משקל.
ג. הסתברות גבוהה
אם אספר לכם שאתמול הייתי במועדון ביליארד ד. ירידת יעילות האנרגיה
זו הגדרה שמהנדסים מרבים להשתמש בה. החוק הראשון () מרשה לכל אנרגיה להתגלגל לאנרגיה אחרת, אבל כאן מתערב החוק השני בצורה נבזית ואומר: אני מרשה לאנרגיה להתגלגל כמה שתרצה, בתנאי ש-א) הגלגול לעולם לא יהיה שלם אלא חלק מהאנרגיה הראשונה יתגלגל לחום, ו-ב) האנרגיה השנייה תהיה בעלת נצילות נמוכה יותר מהראשונה. האנרגיה בעלת הנצילות הגבוהה ביותר היא ---, אחריה --- ואילו האנרגיה בעלת הנצילות הנמוכה ביותר היא החום. לכן, כל האנרגיות מלגלגלות במורד סולם הנצילות: בכל גלגול של אנרגיה בורח חלק ממנה והופך לחום, עד שלבסוף כל האנרגיה שבמערכת הופכת לחום.
ה. מספר המצבים הפנימיים
זו ההגדרה שסיבכה את בולצמן המסכן, שחשב שהיא נותנת הסבר לחוק השני. היא לא, אבל היא המדד המדויק ביותר ל\אנטרופיה. שוב, היזכרו במשק-הבית שלכם ונסו לחשוב כמה דרכים יש כדי לסדר את הבית: הרבה, נכון? אפשר לסדר במטבח צלחות בארון הימני וכוסות בארון השמאלי ולהיפך, אפשר לשים לסדר בארון הבגדים חולצות למעלה ומכנסים למטה ולהיפך, וכו'. יפה, אבל כמה דרכים יש "לסדר" את כל הדברים האלה בבלגן? האמת המתמטית העצובה היא שרובם המכריע של הצירופים המרחביים של העצמים נמצא בקטגוריה של אי-הסדר לעומת המעט
ארבעה חוקים
רק לצורך השלמות נציין את הרשימה המלאה של חוקי התרמודינמיקה. החוק השלישי קובע שלא ניתן להגיע אל האפס המוחלט ===. אחרי שלושת החוקים האלה התגלה חוק נוסף, והוא נקרא כראוי החוק ה...לא, החוק האפס. פשוט, אנשים הבחינו שהוא יותר בסיסי משלושת קודמיו כי הוא אומר: בהינתן שתי מערכות ====. *
קלווין המסכן: הוא עשה כל מיני דברים חשובים ויפים בתרמודינמיקה והעניק עידוד ורעיונות להרבה מעמיתיו בדור ההוא, ובכל זאת הרבה אנשים זוכרים לו רק את האמירה האומללה שהפיסיקה הושלמה ונגמרה ואין עוד מה לגלות בה
1900 אני בנאדם נחמד ולא אוהב לרמות אנשים, אז ברצוני להבטיח לכם שאם תסגרו את הספר הזה מיד עכשיו תישאר הפיסיקה בזכרונכם כארמון http://www.gutenberg.org/dirs/etext98/fdayd10.txt שימור התנע והתנע הסיבובי: להעביר לפרק 9 (או לפרק החדש המתוכנן על הסימטריה)
שם: יאנג: צבע בועות הסבון הוא התאבכות.
כן להתייחס לחוק ברנולי על הנוזלים והגזים (עשה ניסוי!). הסבר את עילוי המטוס. (הערת שוליים: את המצב האידיאלי מוצאים בעזרת חדו"א. או אולי להעביר את זה לניוטון??) וחוק בויל.
לעשות את כל הספר ניסויי יותר: לפרק על גלילאו ונפילה חופשית להוסיף את ניסוי המטולטלת (?). לפרק על ניוטון להמליץ על מנסרה (קווי פראונהופר?). ארכימדס? ומה עם ניסוי הכוס והנר? בפרק 9 על השתברות האור: לחזור למנסרה. שרוף מלח על הכיריים החשמליים. נחושת? ניסוי פיסות הנייר והחשמל בתוספת ההסתכלות של קון! אמי נתר
לפרק על האסימטריה של הזמן. אולי יהיה צורך בפרק קודם על סימטרייה? אכן ראוי שהוא יהיה אחרי היחסות והקוונטים כי אז ניתן יהיה לצרף את פאולי.
משהו על מחול וחלל.
ליזה מייטנר בפרק זה ניאלץ שוב לסטות פה ושם מהמסגרת הכרונולוגית לטובת אחידות התיאור לאמן ולמדען מטרות שונות. הראשון יוצר יופי והשני מנסה להבין את המציאות הסובבת אותו.
בחתירה של המדען והמתמטיקאי אל גילוי יסודות טהורים עד כדי הפשטה – מושגים כמו מספר, אנרגיה וכדומה – יש הקבלה מעניינת למה שעושה האמן. לכאורה האמן יוצר דווקא מורכבות ולא פשטות, אבל גם הוא מנסה תחילה לבודד יסודות של העולם הדמיוני אותו הוא יוצר. אמנות הציור התפתחה תודות לחיפושיהם הבלתי-נלאים של אבותינו אחרי האדום הטהור, הצהוב הטהור ושאר הצבעים, שאחרי גילויים בצורתם הנקייה ניתן היה לצייר אינספור ציורים משלל צירופיהם. גם המוסיקאים הקדומים הקדישו את חייהם לנסיונות להפיק צלילים נקיים של "דו, רה מי" וכו' כדי ליצור מהם כל מנגינה שתעלה על הדעת. Bernoulli's problem was an early example of a class of problems called Calculus of Variations now. These are extremal problems (finding maxima and minima), where the independent variable is not a number, not even several numbers, but a curve or a function. A rule which assigns a number to each curve of a given collection is called a "functional". It is like an ordinary function, except that a collection of curves instead of numbers serves as an independent variable. Observe the motion of the surface of the water which resembles that of hair, and has two motions, of which one goes on with the flow of the surface, the other forms the lines of the eddies; thus the water forms eddying whirlpools one part of which are due to the impetus of the principal current and the other to the incidental motion and return flow.

איינשטיין רואה יופי פעמיים
חייב אדם להושיט ידו אל מעבר להישג-ידו.
אחרת, לשם מה קיימים השמיים? .
רוברט בראונינג
בשנים 1902-1905 נהגה חבורה קטנה להיפגש בדירה קטנה בברן לשיחות על מדע ופילוסופיה. ה”נשיא,“ אלברט איינשטיין (1879-1955), סיים תואר ראשון בפיסיקה באוניברסיטת ETH בציריך, אבל לא התקבל לתואר שני--- ונאלץ לעבוד כפקיד במשרד הפטנטים. לפיכך הקים מוסד משלו, ה”אקדמיה אולימפיה.“ הכל התחיל כשפרסם מודעה בעיתון ובה הציע שיעורים פרטיים במתמטיקה ופיסיקה עם שיעור חינם לניסיון. רומני דלפון בשם מוריץ סוֹלוֹבִין בא לנסות את שיעור החינם. השניים שקעו בשיחה ארוכה, ויתרו על השיעורים הפרטיים ועברו לשיחות קבועות. אחר כך צירף איינשטיין את המתמטיקאי קונרד הַבִּיכט ושלושתם קבעו תוכנית פגישות בהן היו אוכלים יחד ארוחת ערב ואחר כך דנים בכתבי יוּם, ספינוזה, מַך, פּוּאָנקַרֵה ועוד פילוסופים ומדענים, בתוספת קצת ספרות יפה ולקינוח פרקי נגינה בכינור מאת איינשטיין. משטר הלימודים היה קפדני. כשהעז פעם סולובין ללכת לקונצרט במקום לפגישה, הלכו איינשטיין והבּיכט לדירתו והשתוללו שם, לכלכו והפכו לו את הרהיטים, וכשהופיע לפגישה למחרת עשה לו איינשטיין סצנה מאוד לא יפה עם צעקות וכינויי-גנאי, ומאז נזהר המסכן לא להבריז שוב. לא שפר גם גורלו של הבּיכט, שספג גידופים משלו כשהחמיץ פגישות. חברי האקדמיה לא נשארו חייבים וקראו לנשיאם הדיקטטור ”אלברטוס ריטר פון שטַייסבַּיין,“ משהו כמו ”אביר עצם התחת.“ עם הזמן צירף איינשטיין את אשתו, הביכט את אחיו וכך חבר הביא חבר. בתוך קבוצה זו מצאה את איינשטיין שנת 1905. ”שנת הפלאות,“ אותה חווה ניוטון בגיל עשרים וארבע, פקדה את איינשטיין בהיותו בן עשרים ושש.
ארבעה מאמרים כתב בשנה ההיא. בראשון העניק דחיפה מכרעת לתורת הקוונטים. בשני ניתח את ”תנועת בּרַאוּן“ (התנועות המיקרוסקופיות של חלקיק עשן המרחף באוויר) וממנה גזר את ההוכחה הראשונה לקיום האטומים. בשני המאמרים הנותרים הביא לעולם את תורת היחסות הפרטית. על המאמר הראשון, שדווקא לא היה החשוב ביותר בעיניו, קיבל פרס נובל. כיום אין ספק שתורת היחסות ראויה לא פחות לפרס הזה, ובעיני רבים ראוי ניתוח התנועה הבראונית לנובל שלישי. אתם מבינים, אם כן, ששום דבר כבר לא יהיה כפי שהיה מהרגע שהבחור הזה יעלה על במת הפיסיקה, ולכן הוא יעסיק אותנו הרבה בפרקים הבאים. היום נתחיל מהמהפכה היסודית ביותר שחולל, תורת היחסות הפרטית.
שני דברים יפים מתנגשים
אחת-עשרה שנה אחרי ”שנת הפלאות“ ישב הפסיכולוג מקס ורטהיימר שעות רבות עם איינשטיין, אז כבר מנהל ”מכון הקיסר וילהלם“ בברלין ובעיצומה של המהפכה השנייה של תורת היחסות הכללית, וניסה לשחזר אתו את הגילוי.[] בואו ננצל את ההזמנה הזאת להציץ לתוך מוחו.
איינשטיין היה רגיש, כצפוי, ליופי של הפיסיקה הקלאסית. תיאוריה, לפי האידיאל האוקלידי, היא יפה כשהיא מסבירה מקסימום תופעות במינימום חוקים. בואו ניזכר בשני החברים שבפרק ‏3.8 חקרו את המצפן: הם החלו עם כמה ”חוקי מצפן“ שונים לכל צופה ובהדרגה גיבשו אותם לחוק אחד. החוק הבודד הזה הצטיין באינווריאנטיות, כלומר בתוקף כללי החל על כל הצופים. צעד גדול בכיוון זה עשה גלילאו, כשבפרק ‏6.4 הוכיח לנו שלא ניתן להבדיל בין מהירות קבועה לבין מנוחה (שגם היא מהירות קבועה, בגודל אפס). לכן, כל חוקי התנועה שניסחו גלילאו, ניוטון וממשיכיהם תקפים באותה מידה לכל המהירויות הקבועות. בעיני איינשטיין, זה היה פשוט יפה.
והיה יופי שני, שונה לגמרי, שבגללו כמעט עף איינשטיין מהאוניברסיטה בזמן לימודיו לתואר ראשון. אחד המרצים שלו היה פיסיקאי חשוב בשם וֶבֵּר. איינשטיין שאל אותו למה הוא לא מלמד את חוקי מקסוול והפרופסור רשם לפניו את ההתחצפות. חוקים אלה היו מאוד יפים בעיני איינשטיין, ומפרק ‏11 אתם יודעים למה: ראשית, כל חוקי החשמל והמגנטיות גובשו בהם לארבע משוואות קצרות. שנית, ממשוואות אלה נבעה המהירות של גלים מסוג חדש, בלי תלות בתכונות הפיסיקליות של המדיום שבו הם נעים. היה זה כאילו הטבע עצמו נתן לנו ”מספר מיוחד.“ ושלישית: המספר המיוחד הזה התאים בדיוק למשהו שכבר היה ידוע מהמציאות, מהירות האור! זה, בעיני איינשטיין, היה כמובן יפה מאוד.
הייתה רק בעיה אחת, קטנטנה: שני הדברים היפים האלה, של גלילאו ושל מקסוול, סותרים זה את זה.
כדי להיווכח בכך בואו נחזור אל ניסוי המחשבה עם דוִד הזורק אבנים בתוך הקרון ומשה המסתכל עליו מבחוץ (פרק ‏6.4). ראינו שכל מה שעושה דוִד בקרון הזה, כל עוד הוא נוסע במהירות קבועה, אינו מאפשר לו לדעת אם הוא נע או נח. אבל מה אם דוִד ימדוד לא אבני קלע בזמן נסיעתו אלא קרני אור? כאן חייב אחד משני סוגי היופי להתקלקל:
א. אם תתנהג אלומת האור כפי שנהגה אבן הקלע ותקבל מדוִד הנוסע תוספת מהירות, משוואת מקסוול לא תהיה נכונה לגבי כל הצופים: בעיני משה, מהירות הקרן תהיה גבוהה יותר כשדוִד יכוון את הפנס לכיוון הנסיעה, ונמוכה יותר כשיאיר בכיוון ההפוך. ”המספר המיוחד“ של מקסוול לא יהיה עוד מיוחד.
ב. מצד שני, אם אלומת האור לא תושפע ממהירותו של דוִד, משה יראה את המהירות הידועה אבל דוִד עצמו יבחין שמהירות האור אינה נכונה לגביו: אלומת האור תברח ממנו לאט יותר אם ישגר אותה בכיוון נסיעתו ומהר יותר אם יאיר בכיוון ההפוך. אם המספר של מקסוול הוא אכן ”מיוחד“ והזיוף נובע רק מתנועתו של דוִד, הלכה האינווריאנטיות של גלילאו: כל צופה יכול לדעת אם הוא נע או נח!
בפני חברי ”אולימפיה“ החל איינשטיין פורשׂ את מחשבותיו על פיסיקה חדשה שתשמור על שני העקרונות יחד, במלוא כוחם ובלי שום סתירה. אחד הבחורים האלה היה מיקלה-אנג'לו בֶּסוֹ, איטלקי-שווייצי יהודי שעוד ימלא תפקיד חשוב בפרקים הבאים, ושעבד עם איינשטיין – כמה נוח – במשרד הפטנטים. מתי שהוא בסביבות מאי 1905 החל איינשטיין להזמין אותו לצאת אתו לכמה טיולי צהריים ולהקשיב לו. בסו, כפי שמעידה התודה הלבבית של איינשטיין בסוף מאמרו, לא רק הקשיב אלא גם הציע הצעות משלו, וכך התגבשה בטיולים אלה, בתוך כמה שבועות, תורת היחסות הפרטית.
בהחלט לא הכל יחסי
הנה, אומר איינשטיין, שתי הנחות-יסוד פיסיקליות:
1. המרחב שווה לכל הצופים (אם דוִד מודד את אורכו של עצם כלשהו ומוצא שהוא מטר אחד, זה יהיה אורך העצם גם על-פי הסרגל של משה).
2. הזמן שווה לכל הצופים (אם דוִד מודד את הזמן החולף בתהליך כלשהו ומוצא שהוא דקה אחת, זה יהיה משך התהליך גם על-פי שעונו של משה).
בעיני כל אדם, שתי ההנחות האלה הן כל כך מובנות מאליהן עד שהוא לא אפילו לא מודע להן. עכשיו מציע איינשטיין להחליף אותן באחת:
א. מהירות האור שווה לכל הצופים (לכן הסרגלים והשעונים של דוִד ומשה מראים תוצאות שונות, וכל הזיופים האלה יבטיחו שמהירות האור תהיה בדיוק אותו דבר עבור שניהם).
רגע, משהו מוזר פה: האם לא אמרו לנו ש”הכל יחסי“? נכון, אמרו, משיב איינשטיין, אבל לא אני! זו הייתה הטענה של גלילאו, ואני מצאתי דווקא את היוצא-מן-הכלל שלה! האמת היא שמעולם לא אהבתי את השם ”תורת היחסות“ והעדפתי לקרוא לה ”תורת האינווריאנטיות,“ אבל השם הפשוט יותר כבר תפס.
חברים, זה אחד מהרגעים המכריעים בהתפתחות הפיסיקה אז תוודאו בבקשה שאתם מבינים כמה הטענה הזאת הזויה לפני שנמשיך: יש משהו, שבין אם אנו רודפים אחריו, בורחים ממנו, מתנגשים אתו או יושבים ומחכים לו, מהירותו ביחס אלינו נשארת קבועה. הנה שלושה תרגילים בחיבור מהירויות, אחד משעמם, השני גם, והשלישי... חכו ותראו.
תרגיל משעמם עם אבנים
הנה שוב דוִד ומשה, והפעם גם משה מוכן להיות בתנועה כדי להמחיש את מושג המהירות היחסית. אם דוִד נוסע במהירות של 90 קמ"ש ומשה דולק אחריו ב-100 קמ"ש, אז משה מתקרב אל דוִד לאט מאוד: 10 ק"מ בשעה. ואם שניהם נוסעים זה לצד זה במהירות של 100 קמ"ש בדיוק, הרי מהירותם היחסית היא בדיוק 0 ושניהם יכולים למזוג זה לזה קפה הפוך תוך כדי נסיעתם בלי לאבד טיפה. ואם שניהם נוסעים בכיוונים מנוגדים במהירות של 50 קמ"ש כל אחד, ואחד סוטה ממסלולו, ההתנגשות ביניהם תהיה... אבל כל זה, כאמור, לא שייך לאיינשטיין.
עכשיו ימדדו גיבורינו את מהירותו היחסית של גוף שלישי שיזרקו זה לעבר זה. לשם כך משתמש משה במד-מהירות מהסוג הפשוט ביותר: מוט, שבשני קצותיו קבועים חיישנים, וכל אחד מהם מחובר לשעון. כשיזרוק דוִד אבן למרחק, והיא תחלוף על פני מד-המהירות שבידי משה, יפעל קודם החיישן הראשון שיעצור את השעון שתחתיו, ואחריו יעשה כן החיישן השני. נחלק את אורך המוט בהפרש הזמן שבין שני השעונים וזו תהיה מהירות האבן.

מה קובע את מהירות האבן ביחס למשה? ראשית, כמובן, תלוי באיזו מהירות נזרקה האבן עצמה. שנית, אם מי שזרק אותה היה בתנועה, תתווסף מהירותו למהירות זריקת האבן. ושלישית, אם זה שמדד אותה נמצא גם הוא בתנועה, תתחבר גם מהירותו למהירות האבן ביחס אליו. לכן,
א. המהירות היחסית של האבן = מהירות הזורק + מהירות האבן + מהירות המודד.
זִכרו שהסימן + מכוון גם למהירויות שליליות, כך שאם משה, למשל, בורח מדוד, נפחית את ”מהירות המודד“ משתי המהירויות האחרות. בקיצור: כשמישהו זורק עליכם משהו, כדאי שהמישהו הזה ינוע לקראתכם במהירות הכי נמוכה שאפשר, למשל אפס או, עדיף, מהירות שלילית, וכן לגבי עצמכם: אל תנועו לקראת המשהו הנזרק עליכם כי בכך תגדילו את המהירות בה יפגע בכם.
טריוויאלי, משעמם, אבל נכון.
תרגיל משעמם עם גלי קול
גיבורינו עוברים למדידת המהירות היחסית של גלי קול. דוִד משמיע שריקות בחליל-הרועים שלו ומד-המהירות שביד משה שודרג כך ששני החיישנים הם עתה שני מיקרופונים. מלבד זאת נשארו כל פרטי הניסוי כמו זה הקודם. והנה, כאן משתנה החוק:
ב. המהירות היחסית של הקול = מהירות הקול + מהירות המודד.
מה נשתנה החוק הזה מחוק האבן? להיכן נעלם האיבר ”מהירות השורק“? העניין הוא שהקול אינו עצם כמו האבן אלא גלים בתוך האוויר בו כולנו שרויים. כשדוִד נע, הוא אינו מניע את האוויר סביב משה, ולכן מהירותו אינה תורמת למהירות הקול שמודד משה (היא תורמת רק לתדירותם – ר' בנספח). לעומת זאת, אם משה נע, כן נוצרת תנועה (ביחס אליו) של האוויר המעביר אליו את הקול. יש כאן, אם כן, אסימטריה בין שני הגיבורים, הנובעת מהבדל התנועה ביחס לתווך המעביר ביניהם את הקול.
גם כאן לא צריך להיות איינשטיין כדי להבין את זה.
תרגיל מוזר עם גלי אור
הגיע הזמן למדוד את המהירות היחסית של האור, ולכן עוברים השניים לכלי-רכב מהירים, המתקרבים למהירות של 300,000 ק"מ בשניה. דוִד מאיר בפנס, מד-המהירות של משה שודרג שוב ואת שני המיקרופונים בשתי קצות המוט שלו החליפו שני חיישני אור. מה אומר החוק עכשיו? פשוט ומוזר:
ג. המהירות היחסית של האור = מהירות האור
בכוונה הגדלתי את הנקודה בסוף המשפט. נעלמו שני האיברים האחרים שהיו בחוק א'. לא רק שמהירות האור אינה מושפעת ממהירות המאיר, היא גם לא מושפעת ממהירות הקולט! במילים אחרות, האור הוא אבן מסוג מיוחד: בין אם תברחו מפניה כשהיא עפה אליכם, ובין אם תרוצו לקראתה, ובין אם לא תזוזו ותחטפו אותה בישיבה, זה לא ישנה כלום כי תמיד תחטפו אותה ב/אותה מהירות: 299,792.458 מטר בשנייה.
איך ייתכן דבר כזה? קלי-קלות, אומר איינשטיין, ואם תבינו את זה הבנתם את תורת היחסות:
מהירות האור היא תמיד 299,792.458 מטר בשנייה כי המטר הוא לא תמיד מטר והשנייה היא לא תמיד שנייה.
מהו, אחרי הכל, מד-מהירות? בכל סוג, פשוט או מסובך, מדובר בסופו של דבר בסרגל ובשני שעונים. כולכם הנחתם עד היום שאורך הסרגל וקצב השעונים הם תמיד אותו דבר. זה היה נכון כל עוד הייתה המערכת הזאת נעה במהירויות נמוכות. במציאות היו בה זיופים קלים, אבל הם היו מאוד-מאוד קטנים ולכן לא ניתן היה להרגיש בהם. אבל כשהמערכת נעה במהירויות המתקרבות למהירות האור, הפכה התכווצות הסרגל למורגשת, האטת השעונים נעשתה נראית לעין, וגם הסתירה בין השעון הקדמי והאחורי גדלה, וכל הזיופים האלה שיתפו פעולה בקונספירציה מושלמת כדי לדאוג שמהירות האור תהיה 299,792.458 מטר בשנייה – לדוִד, למשה ולכל דבר אחר ביקום. כך יכול דוִד להמשיך ולטעון במצח נחושה שהוא דווקא עומד בעוד שכל כדור-הארץ נע מתחת לגלגליו. הפיסיקה החדשה של איינשטיין שימרה יחד את אינווריאנטיות גלילאו ואת תורת מקסוול, במלוא פשטותן ויופיין.
לב העניין: ביטול הבו-זמניות
איינשטיין התחיל את המהפכה שלו בערעור על ההיגד הפשוט ”שני דברים קרו בשני מקומות באותו רגע.“ נשוב לקרון של דוִד ונציב באמצעו פנס המאיר לשני הכיוונים, כיוון הנסיעה והכיוון הנגדי. על שני דפנות הקרון נציב שעונים המורים את אותה שעה בדיוק. כל עוד הקרון נח, קרני האור יגיעו לשני השעונים בדיוק באותו רגע.
עכשיו ניתן לקרון לטוס ימינה במהירות הקרובה למהירות האור. שתי הקרניים לא יכולות להגיע לשני השעונים באותו רגע, כי שעון אחד בורח מהקרן והשני טס לקראתה, ולכן דוד יכול להבין שהוא נוסע, מה שגלילאו לא מרשה. אם כן, אולי הקרן הנעה בכיוון הנסיעה תנוע מהר יותר והקרן הנעה בכיוון ההפוך תנוע לאט יותר? אבל אז משה בחוץ יראה קרני אור נעות במהירויות שונות ואת זה איינשטיין לא מרשה! אין ברירה: מושג הבו-זמניות צריך לעוף. נקבל אם כן שתי גרסאות שוות-ערך לאותו ניסוי:
1. גרסת הצופה מבחוץ: קודם טס פה מישהו בקרון ושלח שתי קרני אור לכיוונים מנוגדים. לקרן שטסה בכיוון הנסיעה לקח יותר זמן להגיע לשעון על הקיר שברח ממנה ואילו לקרן שטסה בכיוון ההפוך לקח פחות זמן להגיע לשעון על הקיר הנגדי שבא לקראתה. אבל שני השעונים זייפו: השעון על הקיר הימני האט והשעון השמאלי האיץ, וכך הראו את אותה שעה כשפגעו בהם שני קרני האור.
2. גרסת הצופה מבפנים: שתי הקרניים טסו במהירות שווה ופגעו באותו זמן בשני שעונים מתואמים (כל העולם, לעומת זאת, השתגע ונע במהירות עצומה, והשעונים שלפני הקרון החלו למהר ואלה שאחרי הקרון החלו לפגר).
אם הבו-זמניות אינה מוחלטת, בודאי שהזמן עצמו אינו יכול להיות מוחלט. נציב עכשיו את הפנס על קרקעית הקרון ונציב מראה על התקרה. נמדוד כמה זמן לוקח לקרן לעשות את הדרך הלוך-ושוב. עכשיו נחזור על הניסוי במצב תנועה. שימו לב לדבר מעניין: האור, כדי שלא להרגיז את איינשטיין ולא לגלות לנוסע בקרון שהוא נע, אינו פונה היישר למעלה אלא באלכסון (ממש כאילו היה אבן שנזרקה למעלה ), כך שהוא פוגע גם הפעם במראה שמעליו. יפה, אבל האלכסון הזה הוא קו ארוך יותר מהקו הישר, ולכן לכאורה יידרש לקרן יותר זמן לעשות את המסלול האלכסוני הלוך ושוב, וכך ירגיש הנוסע בהבדל. אפשרות אחת היא שהקרן תמהר יותר כדי להספיק לעשות את המסלול האלכסוני (כך נוהגת האבן במקרה זה: המהירות שלה היא צירוף המהירות האנכית והאופקית), אבל אז יראה הצופה מבחוץ קרן אור הנעה מהר יותר ממהירות האור ואיינשטיין שוב נורא יכעס. מה עושים? פשוט וקל: שעונו של הנוסע יפגר בהתאם למהירותו.

ואם הזמן מציית לאיינשטיין, איזה ברירה יש לממדי המרחב? נציב את הפנס על הקיר הימני של הקרון הנע ואת המראה על הקיר השמאלי ושוב נמדוד את הזמן הדרוש למחזור קרן האור הלוך-ושוב. כשהקרון נוסע, יידרש לקרן יותר זמן לעשות את הדרך הלוך, ופחות זמן לדרך חזרה, אבל כיוון שהיא תבלה זמן רב יותר במסלול האיטי, סך-כל משך המחזור יהיה הרבה יותר ארוך מהרגיל. התארכות הזמן בנוסחה לעיל אין בה די כדי לקזז את הפיגור הזה. אין ברירה: אם איינשטיין אמר שאסור לנוסעים במהירות קבועה לדעת שהם בתנועה, אז הקרון חייב להתקצר בהתאם למהירותו כדי להסתיר מדוִד את היותו בנסיעה.
כמובן, אותם עקרונות יחסותיים מחייבים שגם ההיפך יקרה: דוִד הנוסע יראה את כל העולם מתקצר בכיוון נסיעתו ואת כל השעונים שבחוץ מאטים. הניגוד הזה, כפי שנראה בהמשך, אינו מביא לשום סתירה פיסיקלית. אם שני צופים נעים זה כלפי זה ואחד מהם משנה את מהירותו (למשל עוצר) כדי להיות באותו מצב כמו חברו, תשתלט על המצב תורת היחסות הכללית, אותה נלמד בפרק הבא. התוצאה: השעון של הצופה ששינה את מהירותו יפגר לתמיד והסרגל שלו יתכווץ לתמיד.
האם נעשה ניסוי כזה? אין כיום אפשרות להטיס אנשים במהירויות שיאפשרו לראות אם סרגליהם התקצרו ושעוניהם פיגרו, אבל מדידות שנעשו בחלקיקים הנעים במהירות הקרובה למהירות האור מאפשרות לבדוק את השפעת התנועה על הזמן. כשפרוטון מגיע מהשמש אל כדור-הארץ, במהירות הקרובה לאור, הוא מתנגש בעוצמה עם אטום אוויר ויוצר חלקיק בשם מוּאוֹן הממשיך לטוס, גם הוא במהירות הקרובה לאור, לכיוון הארץ. המואון הוא חלקיק מאוד לא יציב: זמן קיומו הוא כ- (פחות משתי מיליוניות השניה), מה שאומר שהוא יספיק לנוע רק כ-600 מטר כלפי מטה בטרם יתפרק גם הוא. בקצב הזה, כשמדובר במואונים הנוצרים בגובה 10 ק"מ, רק כ-3 מכל עשרה מיליון היו צריכים להגיע אל האדמה. במציאות מגיעים לאדמה כ-490,000, בדיוק לפי הניבוי היחסותי: ב-98% ממהירות האור מתארכים חיי המואון פי 5, כלומר הוא חי בממוצע 7.8 מיליוניות השניה, וכך צולחים החלקיקים האלה את כל הדרך עד פני הים.
ובקיצור: תורת היחסות מנצחת לא רק במבחן הלוגי אלא גם הניסיוני.
אלקטרומגנטיות, סימטריה ואסתטיקה
למאמרו ההיסטורי נתן איינשטיין כותרת צנועה: ”על האלקטרודינמיקה של גופים נעים.“ הוא פותח בדוגמה שאותה למדנו כבר בפרק ‏10.4 וכאן המקום להפיק ממנה את מלוא התובנה. אתם זוכרים איך דוִד ומשה הדגימו לנו ניסוי המשלב את תורותיהם של גלילאו ופַרַדֵיי? הנה נשים מטען חשמלי בתוך שדה של מגנט:
א. אם המגנט נע, יידחף המטען לכיוון המאונך הן לקווי-הכוח המגנטיים והן לכיוון תנועת המגנט.
וכן להיפך:
ב. אם המטען נע, הוא יידחף לכיוון המאונך הן לקווי-הכוח המגנטיים והן לכיוון תנועתו שלו.
שימו לב: אם תנועת המטען ב-(ב) הפוכה לכיוון תנועת המגנט ב-(א), אזי בשני המקרים ינוע המטען בכיוון זהה. זה הגיוני, כי בשני המקרים התנועה היחסית זהה ולכן צריכה גם התוצאה להיות זהה. בעיני איינשטיין הייתה זו סימטריה יפה של הטבע. מה שהיה לא יפה בעיניו היה היעדרה של סימטריה כזאת בחוקים שהסבירו אותה: למדנו שבמקרה (א) אומרת הפיסיקה שהמגנט הנע יוצר סביבו שדה חשמלי הדוחף את המטען בכיוון הניצב. במקרה (ב) אין שום שדה חשמלי סביב המגנט, אבל כיוון שהמטען נע, מפעיל עליו השדה המגנטי כוח הדוחף אותו באותו כיוון ניצב כמו במקרה (א). בעיני איינשטיין זו הייתה שערוריה: שני חוקי טבע שונים לגמרי נחוצים להסביר את אותה תוצאה! וזה לא הכל: אם גם המגנט וגם המטען ינועו באותו כיוון, לא תורגש שום השפעה של המגנט על המטען, ממש כאילו היו שניהם במנוחה. למה? הפיסיקה הקלסית נתנה הסבר מורכב: המגנט הנע אמנם יוצר סביבו שדה חשמלי המשפיע על המטען החשמלי כמו ב-(א), אבל תנועת המטען בתוך השדה המגנטי גורמת שיפעל עליו כוח כמו ב-(ב) רק לכיוון ההפוך, ושני הכוחות האלה מבטלים זה את זה בדיוק. נו, באמת! אמר איינשטיין: הרי על פי עיקרון גלילאו, אם יימצאו שני העצמים בתוך הקרון הנע של דוִד, נוכל לטעון שהמגנט לא משפיע על המטען פשוט מפני ששניהם נמצאים במנוחה! למה הפיסיקה צריכה שני הסברים ל/אותה תופעה אם ממילא לא ניתן להבדיל בין תנועה למנוחה?
הבעיה פשוט התנדפה בתורת היחסות. ”ידוע,“ כך פתח את מאמרו, ”שהאלקטרודינמיקה של מקסוול, בהיותה מיושמת על גופים נעים, מובילה לאסימטריות שאינן מהותיות לתופעות.“ עכשיו, במקום שני הסברים שלא ניתן להבדיל ביניהם, בא הסבר אחד: ההשפעות בין מגנטים ומטענים תלויות רק בתנועותיהם היחסיות. כך נעשתה התיאוריה סימטרית כמו התופעות. בצדק מכנה זאת אוֹבֵרבַּיי ”אחד הערעורים הראשונים בתולדות המדע המודרני שמבוססים על עיקרון אסתטי.“[(140)]
אלגנטיות
השאלות שהטרידו את איינשטיין הצעיר לא עניינו את הפיסיקאים ב/אותה תקופה כי הן נראו פילוסופיות ולא מדעיות. מה שהטריד אותם היה הרבה יותר מעשי: הכישלון למדוד אפקט הקשור ב”אֶתֵר.“ כיום נראה שהאתר הזה, שמילא תפקיד כל כך חשוב בתורות אריסטו, דקרט ומקסוול, אינו קיים, אבל אם נדע למה חיפשו אותו נבין טוב יותר את היחסות.
במה מתפשטים גלי מים? רק במים כמובן: אין גלי מים בבריכה ריקה. באופן דומה, אין גלי קול אם אין אוויר. במילים אחרות: המים והאוויר הם ה”תווך“ של הגלים שלהם. מהו אם כן התווך של גלי האור? אמרו אנשים: יש כנראה דבר כזה, שנקרא לו ”אתר,“ שהאור הוא הגלים שלו. האתר הזה הוא כמו גַז אבל הרבה יותר קלוש, כי גלי אור מתפשטים גם בוואקום, שבו גלי קול אינם קיימים, ולכן האתר חייב להיות משהו שחודר דרך כל הקירות והמחיצות ונמצא בכל מקום. אם נחשוב עוד מה צריכות להיות תכונות האתר, נקבל שתי תכונות סותרות: מצד אחד צריכה להיות לו דחיסות כמעט אפסית כדי שבאמת יוכל לעבור דרך כל הקירות וכדי שכוכבים יעברו דרכו בלי להאיט, ומצד שני אלסטיות כמעט אינסופית כדי שיוכל לשאת גלים למרחקים כה גדולים ברחבי היקום.
מסובך, אבל בואו נמשיך. משתמע מכאן ניבוי נסיוני: כדור-הארץ, הנע במהירות של 30 קמ"ש סביב השמש (שהיא עצמה נעה סביב מרכז הגלקסיה במהירות של 220 קמ"ש), אמנם אינו סובל מרוח נגדית של אויר, כי האוויר שלו צמוד אליו ע"י הכבידה, אבל בהחלט חייבת להיות ”רוח אֶתֶר“ נגדית כי האתר אינו אמור להיות מושפע מכבידה, אחרת היו מערבולות אתר משבשות את אור הכוכבים. ואם האור הוא גלים של האֶתֶר הזה, אז גלי אור הנשלחים בכיוון תנועת כדור הארץ נעים למעשה נגד הזרם, ולכן ניתן לגלות את הפיגור במהירותם. האמריקני-יהודי אלברט אברהם מַייקלסון (1852-1931, נובל 1907), פיסיקאי שכבר הוכיח את מיומנותו במדידה מאוד מדויקת של מהירות האור, יחד עם אדוארד מורלי (1838-1923), ניסו לגלות פיגור זה בשורת ניסויים, שברבות השנים נעשו יותר ויותר מחוכמים, ולכן נתנו לפיגור זה מספר יותר ויותר מדויק. מספר זה היה – כמה מביך – אפס.
השערות נועזות מאוד הועלו להסברת כישלון זה. האירי ג'ורג' פיצג'רלד (1851-1901) וההולנדי הנדריק לורנץ (1853-1928, נובל 1902) שיערו שהאֶתֶר גורם להתכווצות הסרגלים ולהתארכות השעונים. במילים אחרות: הם הציעו את אותם ניבויים כמו איינשטיין, כמה שנים לפניו. אם כך, תשאלו, מה יתרון תורת היחסות?
זו נקודה חשובה מאוד: היחסות גוזרת את התארכות הזמן והתקצרות הסרגלים לא כתיקון אד-הוק לפיסיקה בעקבות כישלון ניסוי זה או אחר אלא מתוך הנחת-יסוד חדשה אחת. בולט כאן הניגוד ללורנץ, שהניח אחת-עשרה הנחות-יסוד חדשות כבסיס לניבוייו.[] זהו הישג אסתטי, ובתור שכזה יתרון מכריע בעיני הפיסיקאי העיוני.
כך זכה איינשטיין לחוויה דומה לזו של מקסוול לפניו: הוא החל משיקולים עיוניים, אבל מסקנותיו עלו בקנה אחד עם השערת לורנץ-פיצג'רלד שהמניע לה היה ניסוי מייקלסון-מורלי. הטבע שלח לאיינשטיין רמז: אתה בדרך הנכונה, המשך! אז הוא המשיך. וגם הפעם, הקיצוץ במספר הנחות-היסוד הביא לגדילה במספר הניבויים: פיצג'רלד ולורנץ ניבאו רק את ההתקצרות והאטת הזמן של שעון וסרגל בתנועה, אבל איינשטיין ניבא גם את התופעות המשלימות, שיתגלו כאשר הצופה עצמו נע לעומת סרגל או שעון במנוחה, ובנוסף ניבא גם את שוויון המסה והאנרגיה, עליו נדבר בהמשך.
דיסהרמוניות פרטיות
המאמרים שפרסם איינשטיין ב”שנת הפלאות“ התפרסמו בכתב-העת Annalen der Physik שעורכו היה מקס פּלַנק, אותו נכיר היטב בהמשך. הם עוררו את סקרנות העורך, ובעקבותיו את סקרנות הקהילייה המדעית כולה, כלפי הבחור המוזר שהחל לצאת מאלמוניותו. איינשטיין, כזכור, לא התקבל לתואר שני ב-ETH ולכן נרשם ללימודים באוניברסיטת ציריך. עתה לקח מאמר שכתב ב”שנת הפלאות“ (למעשה החמישי), הגישו לאוניברסיטה זו כעבודת דוקטורט וזכה בתואר ב-1906. מכאן החל לטפס בסולם הדרגות באוניברסיטאות בֶּרן, ציריך ופראג, עד ש-1914 הוצעה לו פרופסורה מלאה בברלין, בלא חובות הוראה ובתוספת חברות באקדמיה הפרוסית למדעים. במשרה זו החזיק עד 1933, כשהיטלר נעשה קנצלר גרמניה, אז הקימה אוניברסיטת פרינסטון עבורו מכון מיוחד.
בהדרגה, ככל שנחשף לעיני הציבור, החלה להתבטא בו גם האאוטסיידריות שתהפוך אותו לסמל. הדרך הטובה ביותר להבין את אופיו של איינשטיין היא להנגיד אותו עם ניוטון: ניוטון, כזכור לנו, היה ממש חולה כוח. איינשטיין חש בחילה כלפי כל סמכות. ניוטון כמעט לא צחק. איינשטיין היה מצחיקן וירטואוזי. ניוטון היה בתול כרוני. איינשטיין התפרפר על ימין ועל שמאל. ההתנגשויות הראשונות של איינשטיין עם האקדמיה הגרמנית, שמעורבותה הפוליטית התבטאה בגילויי-דעת פטריוטיים, סימנו אותו כ”בוגד“ בעיני עמיתיו. גם בארה"ב החופשית, אליה ברח אחרי עליית היטלר לשלטון, הקפיד שלא להיות אזרח צייתן. הוא ביטא בגלוי דעות סוציאליסטיות וכשהחל הסנטור מקארתי בחקירות לגילוי קומוניסטים שהרסו את חיי הרבה אנשים, קרא איינשטיין לסרב להעיד בפניו. הוא היה פציפיסט, אבל לא פנאטי: כשעמדה הפרק שאלת המלחמה מול היטלר קרא לאנשים להשתתף בה. תודו שיש משהו חמוד באיינשטיין כשהוא כועס:
עניין זה מביא אותי אל המפלצת הגרועה ביותר שהולידה הוויית העדר: אל הצבא, השנוא עליי! כבר כשאדם יכול לצעוד בסך בהנאה לקצב המוסיקה אני בז לו; הוא קיבל את המוח הגדול שלו רק בטעות, שכן בשבילו מוח השדרה היה מספיק לגמרי. את כתם החרפה הזה של הציוויליזציה יש לסלק בהקדם האפשרי. גבורה על-פי פקודה, מעשה אלימות חסר-טעם ואהבת המולדת המאוסה – מה לוהטת שנאתי אליהם. מה שפלה ובזויה נראית לי המלחמה; הייתי מעדיף שיקצצוני לחתיכות ובלבד שלא אשתתף במעשה עלוב שכזה![(7)]
איינשטיין הוא בן המאה ה-20 ולכן התיעוד עליו, כולל בנושאים אישיים מאוד, קיים בשפע. הוא היה בנם הבכור של הרמן ופאולינה איינשטיין, אח למאיה. הוא החל לדבר קצת מאוחר וכילד נתקף לעתים התפרצויות זעם אלימות, אם כי נדירות. בבית-הספר שנא את החינוך הפרוסי, ולמרות שהצטיין במקצועות הריאליים נראה שניתק עצמו מהווי הכיתה וראה בו עונש מתמשך. בזמנו הפנוי למד את אוקלידס ואת ניסויי פרדיי. תקופה מסוימת בילדותו הקפיד לקיים את מצוות היהדות והלחין מזמורי דת, וכל חייו נשארה בו דתיות מעורפלת. כשהיה בן שש-עשרה עזב את בית-הספר בשל מחלה לא ברורה והצטרף להוריו שעברו אז לאיטליה בשל קשיים כלכליים. הוא היה מאושר מאוד באיטליה, ובגיל זה ניסה לראשונה לדמיין מה יראה אם ירכב על קרן אור. משם עברה המשפחה לשווייץ. אחרי שהשלים את לימודי התיכון התקבל ללימודים ב-ETH, שם פגש את החברים שהִפרו את חשיבתו, ובהם אשתו לעתיד, מילווה מאריץ'. היא הייתה סטודנטית לפיסיקה כמוהו, סרבית, מבוגרת ממנו בארבע שנים, אינטליגנטית מאוד, חמת-מזג ויפה, שסבלה מנכות בירך. החברות ביניהם התפתחה לאהבה, וזו הביאה להתפרצויות בכי קולניות מצד אמו של איינשטיין על שבנה יוצא עם ”בחורה צולעת.“ כשהתברר שמילווה סובלת מעוד בעיות בריאות, מצא איינשטיין את עצמו מול שני הורים בוכים. לזוג נולדה תינוקת טרם נישואיהם, שנמסרה לאימוץ ומעולם לא נודע גורלה.
בזמן הזה כשל איינשטיין בכל ניסיונותיו להתקבל ללימודים לתואר גבוה יותר. עוד חבר שווה-זהב של איינשטיין ב/אותם ימים היה המתמטיקאי מרסל גרוסמן (1878-1936). כשהיו סטודנטים הוא נתן לאיינשטיין להעתיק ממנו את סיכומי ההרצאות שהתעצל לשמוע, אחר כך הפעיל עבורו פרוטקציות משפחתיות כדי שיקבל משרה במשרד הפטנטים, ולימים יעזור לו בהכרת הבסיס המתמטי של תורת היחסות הכללית.
אחרי מסירת התינוקת נישאו איינשטיין ומילווה ב-1903. כעבור שנה נולד הנס-אלברט ואחריו, ב-1910, אדוארד. הסיפור נעשה עכשיו מעיק. איינשטיין מוכר לכולנו כדמות מלאכית: סבלן, צנוע ושלו. אבל זה יהיה שירות גרוע למדע, ובמיוחד למדענים צעירים, אם נטפח סביבו מיתוס לא מציאותי. כמו לכל אדם היו לו חולשות וצדדים לא נעימים. לא ננסה לנתח את הכישלון ביחסיו עם מילווה. כל מי שהיה מעורב בסכסוך זוגי יודע שיש שני צדדים לסיפור. לא כך נהג הפיסיקאי אברהם פַּיְס, תלמידו של איינשטיין שכתב עליו ביוגרפיה ”רשמית“ חנפנית. הוא ניסה ליצור רושם כאילו מילווה סבלה ממחלת-נפש, בלי להתייחס לעובדה שהיא חוותה שכול כשמסרה את בתה לאימוץ – חוויה המסוגלת לשבור כל אדם – ואחרי כן ראתה את ההתקררות הפתאומית באהבתו של איינשטיין אליה. מקוממת עוד יותר העובדה שפַּיס כמעט לא מזכיר את הכישלון האיום של איינשטיין ביחסיו עם שני בניו. אין ספק ש/הוא אהב אותם מאוד – יש עדות נוגעת-ללב כמה בכה ביום בו ניתנה המשמורת עליהם לגרושתו[] – אבל אין גם ספק שזו הייתה אהבה בעייתית. הצעיר, אדוארד, היה ילד מבריק ורגיש, אבל בבגרותו אובחן כחולה-נפש. הוא החל ללמוד רפואה ורצה להיות פסיכיאטר, אבל בגיל עשרים, אחרי שהתאהב באשה מבוגרת ממנו, התאשפז בעקבות התקף אלים. מילווה עברה להתגורר בסמוך לו עד סוף ימיה. הוא כתב לאביו מכתבים רבים שהביוגרפים אינם מצטטים אבל מודים שרבים מהם היו מלאי כעס. איינשטיין כתב לבֶּסוֹ שכבר כשהיה ”טֶטֵה“ ילד קטן איבחן בו Dementia praecox, השם שהיה נהוג אז לסכיזופרניה. נסו לשים את עצמכם במקום ילד שאביו נותן לו אבחנה כזאת! בֶּסוֹ, שתיפקד ברבות השנים גם כעובד סוציאלי של המשפחה המפורקת, הפציר באיינשטיין לשלוח את הבן לטיפול. עזוב, אמר איינשטיין, כל הרופאים רמאים. תאמרו: אולי איינשטיין, שהבין הרבה בפסיכולוגיה (במכתב ברכה ששלח לפרויד ליום הולדתו השמונים סיפר שהיה קורא בכתביו אחת לשבוע), איבחן נכון את בנו? אולי היה גֶן מסוים במשפחה, שגרם לאב להיות רק קצת סכיזואידי ואילו בבן התפרץ לסכיזופרניה מלאה? הסיפור הזה לא משכנע לאור היחסים שהיו לאיינשטיין עם בנו הבכור, הנס אלברט. הבן הזה לא היה פסיכוטי, ובכל זאת גם הוא סבל מאוד ביחסיו עם אביו. איינשטיין, כנהוג, האשים את מילווה שסכסכה בינו לבין הבנים, אבל די לשמוע על כמה מהמריבות בין האב והבן כדי לדעת שאיינשטיין היא מסוגל לאמלל את בנו יפה מאוד בעצמו. כשהודיע הנס-אלברט שאינו מתכוון להיות פיסיקאי, אלא – שומו שמיים – מהנדס, אמר לו אבא בפשטות: אינך בני יותר! איינשטיין גם עשה לו את המוות כשהציג בפניו את בחירת לבו (שהייתה מבוגרת ממנו – מסורת משפחתית אצל האיינשטיינים), וניסה ללא הרף לשכנעו לוותר עליה – חזרה פתטית על הסצנות שעשתה לו אמו כשלושים שנה קודם. כשראה שהבן בכל זאת התחתן אתה, הלך לידיד רופא וביקש ממנו לשכנעו לא להביא ילדים, פן יירשו את הגנים של אמם נמוכת-הקומה! בקיצור, הגאון שאין שני לו התנהג כבריון נבער בין כתלי ביתו. בתחילת שנות השלושים אושפז אדוארד ב”בּוּרגהֵלצלִי“ המפורסם בשווייץ. מאז, עד מות איינשטיין יותר מעשרים שנה מאוחר יותר, לא התראו האב והבן. בהתחשב בכישלון ביחסיו עם בנו הבכור, אולי היה זה מעשה התחשבות מצד איינשטיין לוותר על הקשר עם הצעיר האומלל.
הוא דיבר בגילוי-לב על הצד הזה באופיו:
חוש הצדק החברתי וההכרה בצורך במחויבות חברתית עמדו אצלי תמיד בסתירה מיוחדת במינה להיעדר המובהק אצלי של צורך מיידי ליצור קשר עם בני אדם ועם קהילות אנושיות. אני ”זאב בודד“ אמיתי, שמעולם לא השתייך בכל לבו למדינה, למולדת, לחוג ידידים; כן, ואפילו לא למשפחה הקרובה. תמיד חשתי זרות וצורך בבדידות נוכח כל הקשרים הללו. רגש זה הולך וגובר עם השנים. עם התקדמות הגיל חש האדם ביתר חריפות אך ללא צער בגבולות ההבנה וההרמוניה עם הזולת. אמנם אדם כזה מאבד חלק מהתמימות ומחוסר הדאגה, אבל הוא משתחרר במידה רבה מן התלות בהרגלים ובביקורת של שאר האנשים ואינו מתפתה להשתית את שיווי המשקל שלו על בסיס לא מוצק שכזה.[(6)]
תוצאה הרת-גורל
איינשטיין הודרך ע"י אידיאל היופי, אבל אילו לא היו שיקוליו מובילים לבסוף למשהו מעבר לאסתטיקה, היינו שולחים אותו לעבוד בחנות טפטים במקום לבזבז עליו כל כך הרבה דפים. איינשטיין היה פיסיקאי כי מחשבותיו הפילוסופיות הניבו לבסוף תוצאות ניסיוניות רבות-עוצמה. בואו נראה איך המשוואה המפורסמת ביותר של הפיסיקה, E=mc2 נובעת בפשטות מקודמתה הניוטונית F=ma אחרי תיקון קטנטן המתבקש מהאינווריאנטיות של מהירות האור.
אם מהירות האור קבועה לגבי כל הצופים, פירוש הדבר הוא שהיא גם גבול המהירות העליון ושום דבר לא יכול לעבור אותה. נניח אם כן שאנו מאיצים גוף קטן כלשהו בחלל, נאמר, ב--- קמ"ש לשניה. בתוך --- שנים אנו אמורים להגיע למהירות האור, מה שהיחסות אוסרת. מה יהיה אם כן גורל האנרגיה הקינטית המושקעת הגוף? פשוט: אם לא התאוצה (a) במשוואת ניוטון לעיל היא שתגדל, תגדל המסה (m)! כך יתגלה שקשה יותר ויותר להאיץ את הגוף ככל שנתקרב למהירות האור. וכך, שני החוקים הקלסיים
1. חוק שימור החומר: חומר אינו נוצר יש מאין ואינו מתכלה.
ו-
2. חוק שימור האנרגיה: אנרגיה אינה נוצרת יש מאין ואינה מתכלה.
אוחדו בתורת היחסות ל-
א. חוק שימור החומר ואנרגיה: הכמות הכוללת של חומר ואנרגיה בכל מערכת נשארת קבועה.
לכן, E=mc2 נותנת את שער-החליפין לפיו הופכת ישות אחת לאחרת.
את ההמחשה האיומה ביותר ליחס זה ראה העולם ב--- בהירושימה וכעבור --- ימים בנגסאקי: --- של אורניום הפכו ל--- של חום, ובתוך כך הפכו --- איש ברגע לאבק. רבבות אחרים מתו בייסורים בשבועות, בחודשים ובשנים שאחר-כך. מאז התדרדרה איוולת המין האנושי לשפל אחר שפל בעודו שוקד למלא את מחסניו בפצצות נוראות יותר ויותר, והסוף אינו נראה לעין.
אבל למה להתעסק ברוע ובטיפשות של האדם כשהטבע מציע המחשות מרהיבות לשקילות החומר והאנרגיה? השמש, המוכרת לכל הברואים על הארץ מיום הופעת החיים, היא המספקת מינקובסקי ו”מטריקת המינוס“
הכירו בבקשה את הגיבור השני של הפרק הזה. הרמן מינקובסקי (1864-1909), יהודי מרוסיה, היה מרצה למתימטיקה ב ETH כששם לב שאחד התלמידים שלו מתעצל בלימודיו. על-פי המסופר הוא כינה אותו ”כלב עצלן.“ עברו הימים ומינקובסקי, שקודם מאז למשרה בגטינגן, שמע שדווקא אותו עצלן, איינשטיין, המציא את תורת היחסות. ישב מינקובסקי והתעמק באותה תורה ולבסוף, בהרצאה מפורסמת ב-1908, הודיע שמצא דרך לבטא אותה באופן גיאומטרי. איינשטיין, שהיה כנראה עוד פגוע מהפרופסור שלו לשעבר, אמר בזלזול: ”מתימטיקאי אחד בגטינגן מצא דרך לבטא את התיאוריה שלי בצורה שפיסיקאים לא יוכלו להבין.“ הלגלוג הזה ייעלם בעוד ארבע שנים, כפי שתראו בפרק הבא, כשיפתח איינשטיין את תורת היחסות הכללית. מינקובסקי, כמה עצוב, נפטר כעבור שנה בגיל 46. מודל היקום בן ארבעת הממדים הוא כיום חלק בלתי-נפרד מתורת היחסות כולה.
תארו לעצמכם, אמר מינקובסקי, עולם דו-ממדי שהזמן הוא הממד השלישי שלו. ”העתיד“ הוא ”למעלה“ ו”העבר“”למטה“ בממד השלישי. כל עצם נקודתי בעולם זה יתואר כקו המתמשך מהעבר אל העתיד (ר' תמונה), והניקרא ”קו-עולם.“ קו זה מכיל את ההיסטוריה של הנקודה: אם בנקודה כלשהי בממד השלישי המסומנת ב-00:00 הקו מתעקם לימין עד לנקודה 01:00 ואחר כך מתיישר, פירוש הדבר שהנקודה נעה ימינה מחצות עד השעה אחת ואחר כך נעצרה. באופן דומה ניתן לראות כי בשעה 02:00 החלה הנקודה לנוע שמאלה וחזרה למקומה הקודם. באותו האופן, צורות דו-ממדיות על המשטח, כמו עיגול וריבוע, יתוארו כצורות תלת-ממדיות בצורת גליל ומנסרה המתמשכות מהעבר אל העתיד, כך שהגליל והריבוע הם רק חתכים דו-ממדיים שלהם. גם עולמנו התלת-ממדי, אמר מינקובסקי, הוא חתך כזה בעולם ארבע-ממדי, שהממד הרביעי שלו הוא הזמן.
אבל כאן צריך להיות זהירים ולשים לב שזו אינה גאומטריה רגילה כי לממד הרביעי בה יש תכונות ממש פרוורטיות. זוכרים את המושג ”מספר מדומה“ מפרק #? הנה לכם עוד מקרה שבו המצאה מתימטית מופשטת הופכת לתיאור של דבר שהתגלה הרבה זמן אחר כך במציאות. גם ממד הזמן, אמר מינקובסקי, הוא מימד שאם תסמנו אותו במספרים דימיוניים תראו את כל האפקטים של תורת היחסות נובעים מהגיאומטריה החדשה.
הנה משפט פיתגורס האומר שאם נחבר את ריבועי שתי צלעות במשולש ישר-זווית נקבל את ריבוע היתר: a2+b2=c2. על סמך משפט זה כבר ראינו שיטה למציאת המרחק בין שתי נקודות במקרים בהם נתון לנו רק מיקומן על פני רשת של קווי אורך ורוחב. הנה למשל בניין הכנסת בירושלים נמצא ליד מפגש קו האורך 170 וקו הרוחב 130, בעוד חוף תל-ברוך נמצא במפגש קו האורך 130 עם קו הרוחב 170. נניח שאין לנו סרגל כדי למדוד ישירות את אורך הקו הישר בין שני האתרים החשובים האלה. אם נבחר מקום בו נפגשים קווי האורך והרוחב של שני המקומות זה יהיה ליד מפגש קו האורך 130 וקו האורך 130, איפה שהוא ליד צומת מסמייה. נקודה זו נמצאת כ-40 ק"מ מערבית מהכנסת וכ-40 ק"מ דרומית לתל-ברוך. לכן, על-פי משפט פיתגורס, כדי למצוא את המרחק בין ירושלים לת"א עלינו להעלות בריבוע את שני המספרים האלה, לחבר את התוצאות, להוציא מהסכום שורש וזה יהיה את המרחק עצמו.
אבל עכשיו תארו לעצמכם שבמשרד החשב הכללי בירושלים יושב פקיד מופרע המחליט שקווי האורך בישראל צריכים להיות מסומנים ע"י מספרים מדומים ולא ממשיים. הוא מסמן אם כן את קווי האורך של מדינת ישראל לא בקילומטרים אלא בשורשים ריבועיים של מינוס קילומטר. מי שינסה עכשיו לחשב מרחקים בין מקומות בישראל על-פי משפט פיתגורס יקבל תוצאות מאוד מעניינות כי הוא יצטרך לחסר מספרים במקום לחבר! יתברר, למשל, שכדי להגיע במהירות מנתניה לפתח-תקוה עדיף לנסוע לא היישר דרומה אלא לעשות זיגזג מזרחה דרך קלקיליה, או, אם נרצה להגיע ממש מהר, דרך שכם! והכי מעניין: כיוון שחברי בית-הנבחרים והגברות בחוף תל-ברוך נמצאים על קו שהוא כמעט לגמרי אלכסוני, כלומר קרוב ל-45o, הרי שאת מרחקיהם הכמעט שווים מצומת מסמייה נצטרך לחסר זה מזה, ואז המרחק ביניהם הוא, למרבה הנוחות, קרוב לאפס!
אם הבנתם את העיקרון הזה, תגלו מיד שהבנתם לעומק את טבעו של הזמן על-פי תורת היחסות! בציור להלן נראים מסלוליהם של דוִד ומשה. משה נשאר יושב במקומו בעוד דוִד יוצא בקרון הסילוני שלו למסע של --- ק"מ ב--- שעות, עושה פרסה וחוזר. במרחב האוקלידי, קו-העולם של משה הוא בבירור קצר יותר משל דוִד, אבל במרחב-זמן של מינקובסקי, שבו קווים אלכסוניים הם קצרים יותר, מסלולו של דוד קצר יותר. זה בדיוק מה שאומרת היחסות: אם על משה עברו --- שנים, על דוִד עברו רק -- שנים. וככל שמהירותו של דוִד תתקרב למהירות האור, יהיה מסלולו במרחב-זמן יותר אלכסוני (קרוב ל-o45), והזמן שעבר עליו יתקרב לאפס.
החשוב בתיאור זה הוא שכל צופה רואה את המרחב-זמן בהתאם למצב תנועתו. נדגים זאת ע"י מרחב מינקובסקי פשוט (תמונה 2), שבו נייצג כל אדם ע"י נקודה. הקו הישר מימין הוא קו-העולם של ראובן, וניתן לראות על פיו שראובן עומד כל הזמן במקומו. הקו השמאלי, לעומת זאת, הוא קו-העולם של שמעון וממנו ברור ששמעון נע ימינה.
כבר ממבט ראשון אנו רואים כי במרחב מינקובסקי אין זכר לזרימת הזמן: כל הרגעים קיימים יחד, ממש כשם שכל המקומות קיימים מבחינתנו יחד. אבל אפילו אם נתעקש ונצביע על נקודה מסוימת בזמן, למשל על השעה 8:00 בבוקר בחייו של ראובן, נגלה כי מושג פשוט כמו "עכשיו" הוא בעייתי. הנה, למשל, שאלה הנראית פשוטה: מהו ה"עכשיו" לגבי ראובן בשעה 8:00?
תשובתו של מינקובסקי – וכאן התרגום הגיאומטרי המדויק לטענת היחסות של איינשטיין – היא שה"עכשיו" תלוי במהירות הצופה. מבחינתו של ראובן זה פשוט: המישור האופקי החותך את קו העולם שלו בשעה 8:00 מייצג את כל האירועים ביקום המתרחשים, מבחינתו, בשעה זו. פה אין שום חידוש. אבל כשאנו דנים בשמעון אומרת תורת היחסות משהו מוזר: ה"עכשיו" של שמעון הוטה בהתאם למהירותו - הקו המקווקו בתמונה, ולכן שמעון מתלונן שכל השעונים ביקום השתגעו: כל אלה שלפניו האטו את מהלכם בעוד שכל אלה שאחריו החלו למהר, והם הולכים וממהרים ככל שהם מרוחקים יותר! התכונה המעניינת של המרחב-זמן היא שהמימד הרביעי שלו, כלומר הזמן, שונה משלושת מימדי המרחב הרגילים בכך
שני פרדוקסים של זמן ומרחב
פרדוקסים, כידוע, הם מורים טובים בכל תחום. גם ”פרדוקס התאומים“ מספק הזדמנות מעולה לתרגל ולהבין את החשיבה היחסותית.
הפרדוקס עצמו פשוט. תהיינה שתי תאומות, שם האחת נועה ושם אחותה מנוחה. וכשמותיהן כן הן: נועה אוהבת להיות בתנועה בעוד אחותה מעדיפה לנוח בצל. נועה, המבוגרת יותר, יוצאת למסע במהירות קרובה למהירות האור. בשובה היא אמורה למצוא שבמהלך שעת נסיעתה חלפה על מנוחה תקופה הרבה יותר ארוכה, כך שמנוחה עכשיו מבוגרת ממנה בהרבה. יפה, אבל כיוון שתורת-היחסות אינה מבדילה בין תנועה ומנוחה, למה שלא יקרה ההיפך, כלומר שנועה תטען שהיא זו שהייתה במנוחה בעוד אחותה התרחקה ממנה וחזרה? ואם כך, למה לא יתברר שדווקא נועה הזדקנה?
ברוב ספרי הלימוד התשובה היא פשוטה: אמנם התנועה היא יחסית, אבל התאוצה היא מוחלטת. נועה לא סתם נסעה אלא נסעה וחזרה, כלומר האיצה. הפיסיקה הקלסית כמקרה פרטי
בוודאי שמתם לב שתורת היחסות אינה מבטלת את הפיסיקה הקלסית. כשאתם נוסעים במכונית או באופניים אינכם צריכים מעכשיו לדאוג להתקצרות זרועותיכם או להאטת שעוניכם, וזה לא מפני שהאפקטים האלה לא קורים. הם פשוט כל כך חלשים, ”זניחים“ בשפה המקצועית, שאפשר להתעלם מהם ולהמשיך להשתמש במשוואות הפשוטות של הפיסיקה הקלאסית. התיקון היחסותי מתחיל להיות מורגש רק כשהמהירויות מתקרבות למהירות האור. הפיסיקה הקלאסית נשמרת, אם כן, בתוך היחסות בתור ”קירוב“ או ”מקרה פרטי.“ ההתפתחות האורגנית הזאת אופיינית למהפכות המדעיות. לא ”עולם ישן עדי היסוד נחריבה“ כמו בכמה מהפכות פוליטיות, אלא משהו כמו ”יסודות עולם ישן נשלבה בצורה הרבה יותר יפה בעולם חדש.“ בצרפתית או ברוסית, עם מנגינה מתאימה, זה יישמע לדעתי לא פחות מרגש מה”אינטרנציונל.“
*
באוטוביוגרפיה האינטלקטואלית שלו,[] במהלך ניתוח תמונת העולם הניוטונית, עושה איינשטיין תפנית פתאומית, מעל לראש הקורא ומעבר לשתי המאות המפרידות בינו לבין גיבורו: ”ניוטון, סלח לי. אתה מצאת את הדרך היחידה אשר, בתקופתך, הייתה בקושי אפשרית לאדם בעל כוח החשיבה והיצירה הגבוה ביותר.“[(31)] זו הכפילות שהייתה אופיינית לאיינשטיין ושלפעמים אפילו גרמה לו סבל: הוא היה מהפכן, אבל העריץ את ההיגיון של תמונת-העולם הקלסית וניסה לשמר אותו גם בפיסיקה המודרנית. הילד בן השתים-עשרה שלמד לבדו את אוקלידס, ושבבגרותו תרם לפיתוחה של גיאומטריה חדשה, רשם לזכותו הישג אוקלידי אדיר: הוא השמיט עוד יסוד מתחת לארמון הפיסיקה ועל היסודות נותרו קיבל ארמון גדול יותר, שבתוכו נשאר הארמון הקודם בתור אולם הכניסה.
הייאמן? בתוך שנים ספורות יהיה הארמון הזה עצמו אולם הכניסה של עוד ארמון, ענק ומרהיב עוד יותר, שאותו בנה פיסיקאי אחד שאולי שמעתם עליו: אלברט איינשטיין.

יש כאן עוד אינווריאנטיות מעניינת ואיני יודע אם לא שמו לב אליה קודם: כשהמערכת בה אנו נמצאים בולמת, איננו יודעים אם מדובר בתאוצה או בכבידה, אבל אם נבחר לפרש זאת כתאוצה, עדיין קיימות שתי אפשרויות שקולות: א)היינו בתנועה במנוחה ועכשיו אנחנו מאיצים קדימה, או ב)היינו בתנועה אחורה ועכשיו אנו מאטים. במונחי המודל של מינקובסקי, זהו שוויון-ערך בין שני המסלולים הבאים:
ועוד אינווריאנטיות יותר עמוקה: אם היחסות הפרטית יצרה שוויון בין התנועות של גופים זה ביחס לזה, היחסות הכללית יצרה שוויון בין "תנועות" המסה והמרחב-זמן זה ביחס לזה. במילים אחרות, אין הבדל בין קו-עולם המתעקם במרחב-זמן ישר לבין קו-עולם ישר בתוך מרחב-זמן עקום. כך: יש למישהו רעיון?
Although nature commences with reason and ends in experience it is necessary for us to do the opposite, that is to commence with experience and from this to proceed to investigate the reason. Love me when I least deserve it, because that's when I really need it.

Observe the motion of the surface of the water which resembles that of hair, and has two motions, of which one goes on with the flow of the surface, the other forms the lines of the eddies; thus the water forms eddying whirlpools one part of which are due to the impetus of the principal current and the other to the incidental motion and return flow.
איינשטיין עושה את זה שוב
כי אם אי-פעם למדת לעוף, על הארץ תהלך ועיניך מופנות השמימה,
כי שם היית ושמה תערוג לשוב. .
לאונרדו דא וינצ'י
שנת --- מצאה את איינשטיין עצוב ומתוסכל. חייו האישיים הסתבכו וגם אהובתו האמיתית, הפיסיקה, לא עשתה לו חיים קלים. הוא הצליח להתגרש ממילווה ועבר לגור עם בת-דודתו אֵלזה, אבל הנישואין היו מלכתחילה רעועים והוא התפרפר, בידיעתה, על ימין ועל שמאל. בינתיים החלה בתה של אֵלזָה, ששמה היה במקרה אִילזֵה, ללחוץ עליו שיתחתן עם אמה באופן מכובד כדי שגם היא תוכל להתחתן, ואז הודיע איינשטיין שהוא בעצם מאוהב ב...אִילזה. הלכה הבת להתייעץ עם אמה, חשבה והתלבטה, חזרה והודיעה לאיינשטיין שהיא מעדיפה אותו בתור אבא. בלית ברירה הסתפק איינשטיין באֵלזה למרות שהמשיך לעשות עיניים לאִילזה. הפיתרון הזה לחיי האהבה שלו היה די צולע. אבל את בעיותיו עם בת-הזוג האמיתית, הפיסיקה, פתר בצורה אחרת, יפה להפליא.
יוצא-מן-הכלל מעצבן
אתם בוודאי זוכרים שתורת היחסות הפרטית, ככל שהייתה יפה והניבה ניבויים מהפכניים, הייתה מוגבלת למהירויות קבועות. בשל ההגבלה הזאת, כל שינוי במהירות הופך את תורת היחסות ללא רלוונטית. לא מקובל עליי, הודיע איינשטיין, אני רוצה תיאוריה שתעבוד תמיד!
מה יש בשינוי המהירות הזה אליו התוודענו בפרק ‏6.2, הקרוי ”תאוצה,“ שהיחסות הפרטית אינה יכולה להתמודד אתו? כדי להבין את זה בואו נוודא שכמה מונחים פיסיקליים פשוטים מהפרקים הקודמים עדיין שגורים על פינו. ”אינרציה“ היא התמדה, ועל-פי החוק השני של ניוטון (פרק ‏8.3) כל גוף נע או נח שומר על מצבו כל עוד לא הפרעתם לו. ”מערכת אינרציאלית“ מצייתת לאינווריאנטיות של גלילאו, ולכן גם ליחסות הפרטית. אם תתעוררו פעם באמצע נסיעה ברכבת ותראו רכבת סמוכה נוסעת, לא תוכלו לדעת אם זו רכבת נוסעת הנראית מבעד לחלון רכבת עומדת, או ההיפך, או כל צירוף של שתי האפשרויות.
”תאוצה“ היא בפשטות שינוי במהירות הכיוונית, לאמור הן במהירות עצמה והן בכיוון: העלאת המהירות, האטה, עצירה, התנעה וגם שינוי בכיוון – כל אלה הן תאוצות. והתאוצה הזאת היא המפֵרה את האינווריאנטיות של גלילאו ולכן גם את היחסות הפרטית. בכל האצה של המכונית, גופנו מרגיש בה מיד כשהוא נזרק קדימה, אחורה או לצדדים. במילים אחרות, התנועה היא יחסית ואילו ההאצה היא מוחלטת. זה צרם לאיינשטיין מאוד. לא חשוב כמה הערצה הרעיפה עליו הקהילה המדעית על היחסות הפרטית ועל תרומתו לתורת הקוונטים, הוא ידע שילדת שעשועיו עדיין אינה שלמה.
עד ליום שבו חשב מה מרגיש אדם הנופל מגובה רב. לסיפור יש גרסאות שונות. המוצלחת ביניהן היא שפועל שנפל מגג בניין סיפר שברגע שנפל חש חסר משקל. אבל שלא כמו התפוח הנופל של ניוטון, את הסיפור הזה איינשטיין הודה שהמציא רק כדי לשמח עיתונאי נודניק. במציאות הוא סתם ישב על כסאו במשרד הפטנטים וחשב מה מרגיש אדם הנופל מגובה רב והבין משהו. ההבנה הזאת, סיפר איינשטיין, הייתה ”המחשבה המאושרת ביותר בחיי.“
אינווריאנטיות חדשה
מה בדיוק במצבו של המסכן ההיפותטי גרם לאדם נחמד כמו איינשטיין שמחה כל כך גדולה? אם חוקי הפיסיקה, על-פי אינווריאנטיות גלילאו, אינם מבדילים בין צופה נח וצופה הנע במהירות קבועה, הרי שעכשיו גילה איינשטיין אינווריאנטיות חדשה: חוקי הפיסיקה אינם מבדילים בין צופה מרחף לבין צופה הנופל באופן חופשי.
הנה הקרון בו עומד דוִד, שבעזרתו למדנו יחסות פרטית בפרק הקודם, ועכשיו נלמד בעזרתו את התורה החדשה של איינשטיין, היחסות הכללית. נפיל את הקרון מגובה רב (אחרי שננקוט אמצעים להגן על דוִד כשיגיע לקרקע). שוב יפיל דוִד אבן קלע במהלך הניסוי ומשה יסתכל בנעשה מבחוץ.
א. גרסת הצופה מבחוץ: קודם צנח פה ברנש מסכן אחד בתוך קרון, וכשהפיל אבן קלע היא נפלה יחד אתו בדיוק באותה תאוצה ולכן נשארה תמיד ליד היד שלו.
ב. גרסת הצופה מבפנים: אין פה שום כבידה. אני חסר משקל לחלוטין. עזבתי אבן קלע והיא נשארה מרחפת במקום בו עזבתי אותה, בדיוק על-פי חוק ההתמדה של ניוטון (אגב, משום מה כל העולם בחוץ טס בתאוצה מטורפת כלפי מעלה).
האינווריאנטיות החדשה אומרת, אם כן, שאין הבדל בין נפילה וריחוף. ונפילה היא תאוצה, האויבת הראשית של היחסות הפרטית! איינשטיין חש שהוא מתקרב לפתרון הבעיה.
עכשיו ניסה לשחק עם התאוצה עצמה. בואו נשים את דוִד והקרון שלו בחלל החיצון, שם באמת יראה את כל התופעות של היעדר כבידה כמו אבנים מרחפות באוויר. עכשיו נניע את הקרון כלפי מעלה במהירות ההולכת וגוברת ב--- בכל שנייה, שזו התאוצה של גופים נופלים על כדור הארץ. אינווריאנטיות חדשה הופיעה: כל ניסוי שיעשה דוד בקרון המאיץ כלפי מעלה ניתן לפירוש כאילו פועלת עליו כבידה מלמטה!
א. גרסת הצופה מבחוץ: קודם עבר פה איש אחד בקרון שהאיץ כלפי מעלה. כשעזב את האבן היא החלה בתנועה קבועה כלפי מעלה בשל הדחיפה הראשונית שקיבלה ממנו, אבל רצפת הקרון המאיץ התקרבה אליה במהירות הולכת וגוברת עד שלבסוף הגיעה אליה. מאותה סיבה נלחץ האיש עצמו כל הזמן אל רצפת הקרון.
ב. גרסת הצופה מבפנים: אני נתון להשפעת כוח משיכה מתחתיי. לכן אני לא יכול לרחף, וכשאני עוזב את האבן היא נופלת לרצפה (אגב, כל העצמים שבחוץ נופלים גם הם במהירות הולכת וגוברת כלפי מטה, ורק בגלל שמשהו דוחף את הקרון שלי כלפי מעלה הוא נשאר כל הזמן במקומו).
ואם נבקש מדוִד להשליך אבן בכיוון אנכי בתוך הקרון? אם הקרון מרחף בחלל או נע במהירות קבועה, תשרטט האבן קו ישר במעופה בתוך הקרון אל הקיר הנגדי. אבל אם הקרון נע כלפי מעלה בתאוצה, תשרטט האבן קו מוכר לנו: בדיוק הפרבולה שמשרטטת אבן נופלת.
עכשיו הביא איינשטיין למשחק את ידידתו הוותיקה, קרן האור. נניח שדוִד משגר בכיוון אנכי קרן אור במקום אבן קלע. נניח הפעם שהקרון טס כלפי מעלה בתאוצה מטורפת, הרבה מעבר לתאוצה הכבידתית (אחרי הכל זה ניסוי מחשבתי ומגבלות טכנולוגיות לא מדאיגות אותנו). במקרה הזה, גם קרן האור תשרטט פרבולה כאילו הייתה אבן נופלת.
פרבולה?! חשבנו שכל מה שקורה בקרון המאיץ כלפי מעלה ניתן לפירוש כאילו הוא קורה בהשפעת הכבידה, אבל כבידה לא מעקמת קרני אור. זה מקלקל את האינווריאנטיות החדשה של איינשטיין!
(זהו עוד רגע מכריע בתולדות הפיסיקה ואני מזמין אתכם לסגור עכשיו את הספר ולנסות לפתור את הבעיה בעצמכם. נסו להיזכר איך גילה איינשטיין בפרק הקודם את תורת היחסות הפרטית ממקרים כמו זה שבו דוִד משחק בקרן אור בקרון הנוסע במהירות קבועה. ואז נסו ליישם את אותו הלוך-מחשבה לבעיה שלפנינו. אני מבטיח לכם שאם תשחקו עם הבעיה בראש פתוח, תוכלו לגלות בעצמכם את תורת היחסות הכללית!)
בואו נסכם את הבעיה. היחסות הפרטית היא יפה כל עוד מדובר במהירויות קבועות, אבל תאוצות מקלקלות אותה. בכל הניסויים שעשה דוִד בפרק ‏6.4 בקרון הנוסע שלו, כמו למזוג תה בחלב לספלי חרסינה בידי זקנות אנגליות, השוויון בין תנועה ומנוחה היה מוחלט רק כל עוד המהירות הייתה קבועה. די בשינוי קל של המהירות או הכיוון כדי שהתה יישפך על הגברות וניתן יהיה לדעת שהקרון נמצא בתנועה. לפיכך הייתה תורת היחסות הפרטית מוגבלת. אבל עכשיו מצאנו לתאוצה בת-זוג, היא הכבידה. אם ניכנע לכבידה ע"י נפילה חופשית נהיה בתאוצה כלפי מטה ביחס לכדור הארץ, אבל אנו עצמנו נימצא במצב בו לא נרגיש שום כבידה. מצד שני אם נימצא במצב נטול כבידה אבל נהיה בתאוצה כלפי מעלה, יהיה מצבנו זהה לכבידה. זה היה בהחלט יפה – הרחבה מרהיבה של היופי של היחסות הפרטית – מלבד קרני האור האלה שאיימו לקלקל את הכל: אם בקרון הטס של דוִד נראה קרני אור מתכופפות נדע שאנחנו בתאוצה ולא בכבידה.
האם בגלל זה נוותר על האינווריאנטיות היפה הזאת? בשום אופן!, אמר איינשטיין. אולי תשאלו את עצמכם במקום זה אם האור באמת אינו מתכופף בהשפעת הכבידה?
לאיינשטיין היה, אם כן, ניבוי חדש, ונשאר רק לבדוק אותו. כדי לראות את האור מתכופף בקרון של דוִד, צריך דוִד לטוס כלפי מעלה בתאוצה אדירה, הרבה יותר מהתאוצה --- שעל כדור הארץ. זו צריכה להיות תאוצה השווה לכבידה של גוף הרבה יותר כבד. הלך איינשטיין לחבר אסטרונום, פרוינדליך, ושאל אותו אם כוכב-הלכת צדק יכול לעשות את העבודה. זה לא ילך, אמר החבר. רק השמש כבדה מספיק כדי לעקם אור העובר לידה במידה שנרגיש בה, אבל מי יכול למדוד אור ליד גוף כל כך מסנוור? אין בעיה, אמר איינשטיין, תעשה את זה בזמן ליקוי חמה. איינשטיין החל להזמין את עצמו לארוחות-ערב אצל הפרוינדליכים ולכסות את המפה בחישובים (שנים אחר-כך התחרטה אשת האסטרונום על שכיבסה אותה). השניים הגיעו למסקנה שסטיית אור הכוכבים ליד השמש תהיה 1.75 שניות-קשת. עכשיו החל איינשטיין לשדל את חברו לנסוע לרוסיה לעשות שם צילומים בזמן ליקוי חמה. המסכן שמע בקולו. רעיון ממש גרוע: הרוסים חשדו בגרמני שהסתובב אצלם עם טלסקופ ומצלמות ושמו אותו במעצר לכמה חודשים.
הישועה באה ב-1919. הימים היו ימי מלחמת העולם הראשונה. גרמנים, אנגלים, צרפתים ועוד כמה עמים מאוד תרבותיים שחטו אלה את אלה במרץ רב. אבל אנגלי אחד שהיה קוויקר אדוק העדיף ללכת למאסר ולא להרוג אנשים שלא עשו לו כלום. למזלו, הצליח ידידו לשכנע את שלטונות בריטניה שהבחור יביא יותר תועלת אם ימדוד כוכבים במקום לשבת בכלא. הטיעון שלו היה מוחץ: הוא יצלם ליקוי חמה כדי להפריך תיאוריה של הגרמנים! זה עבד. ה”בחור“ היה ארתור סטנלי אדינגטון (1882-1944) שפגשנו בעמוד הראשון של ספר זה. הוא הפליג לסביבות האי הפורטוגזי פּרִינסִיפּ במערב-אפריקה אחרי שהגרמנים הבטיחו שיתאפקו לא להטביע אותו כדי שיוכל לבדוק את הטענות של הפרופסור שלהם (אדינגטון הפעם לא הצהיר על כוונתו להפריך את איינשטיין). כשהתקרבה שעת ליקוי החמה נעשה מעונן. כ-400 שניות ארך הליקוי, העננים כיסו את השמש, המסכן התפלל בלי הרף, ואם לא תלש את שערותיו מייאוש הרי זה רק מפני שהיה עסוק בהכנסת והוצאת לוחות הצילום מבלי להציץ לעבר השמש עצמה. ואז, בדקות האחרונות, חייכו אליו השמיים והתבהרו. מ-16 צילומיו רק אחד היה באיכות טובה מספיק – וזה היה מספיק. למחרת--- דחקה כותרת חדשה את כל ידיעות המלחמה בעיתוני גרמניה ובריטניה: הטבע ציית לדרישתו של המלומד המוזר והאור התכופף בהשפעת הכבידה בדיוק כפי שהיה אמור להתכופף בניסוי-המחשבה הילדותי עם הקרון המאיץ בחלל.
גם הבמה היא שחקן
תיארתי כאן את גילוי תורת היחסות הכללית במספר צעדים אלגנטיים, אבל במציאות זה היה תהליך קשה ומייסר עבור איינשטיין. מהתיאוריה החדשה נבעה הבנה חדשה של המרחב והזמן, וההבנה הזאת הציבה בפניו משימה מתמטית קשה. הוא פנה לעזרת המתמטיקאי מרסל גרוסמן, אחד מחברי ”אולימפיה“ המיתולוגית. ”עזור לי, מרסל, לפני שאשתגע,“ כתב לו, וגרוסמן בא לעזור.
אבל קודם לכן צריך היה איינשטיין לעשות עוד צעד חשוב, שהצריך יושר להודות שטעה. סיפרתי לכם בפרק הקודם שהוא עשה צחוק מהמודל הגיאומטרי של מינקובסקי. עכשיו, כשעסק בחיפושיו אחר היחסות הכללית, אימץ את המודל הזה בשמחה. השינוי המכריע שהוסיף איינשטיין ליקום הארבע-ממדי הוא שהוא יכול להתעקם. קל לדמיין דף דו-ממדי מתעקם לתוך הממד השלישי, אבל קשה לדמיין מרחב תלת-ממדי עושה כך, ועוד יותר קשה לדמיין את המרחב הארבע-ממדי של מינקובסקי מתעקם: האם הוא מתעקם לתוך מימד חמישי כלשהו? תורת היחסות נשארת שותקת בעניין זה ואני עצמי איני רואה את העניין ברור עד הסוף. באיור --- דגם דו-ממדי של היקום, כלומר משטח שממד הרוחב שלו הוא המרחב וממד האורך הוא הזמן. הקווים האנכיים מציינים את מסלולי המרחב-זמן של עצמים במנוחה: העצם נשאר באותו מקום בכל הזמנים. אם נניח במרחב הזה עצמים במרחקים שווים זה מזה, הם יצרו קווים מקבילים כאלה. הקווים האופקיים מציינים את הזמן: אם נניח שעונים רבים לאורך קו רוחב כזה, יורו כולם את אותה השעה. נקבל אם כן רשת של קווים ישרים. אבל הקו שבאמצע הוא קו-העולם של עצם בעל מאסה גדולה (נאמר, כוכב) ואפשר לראות איך הוא מעקם את המרחב-זמן שבסביבתו. השעונים שעל פני הכוכב מפגרים מעט אחרי אלה הרחוקים יותר בחלל (על כך בהמשך). כמו כן, עצמים הנמצאים בקרבת הכוכב ינועו, תחילה לאט ואחר כך במהירות גוברת, כלפיו. זו הכבידה המוכרת לנו. אבל העצמים האלה, על-פי איינשטיין, הם במצב מנוחה ביחס לחלל שסביבם, רק שהחלל הזה מתעקם כלפי הכוכב.
עכשיו הפעיל איינשטיין שיקול של סימטריה: אם א' משפיע על ב', חייב ב' להשפיע ב/אותה מידה על א'. לכן, אם המאסה מעקמת את המרחב-זמן מסביבה, גם המרחב-זמן פועל על המאסה ומשפיע על מסלולה! וכך איחד שני חוקים: 1)חוק ההתמדה של ניוטון, האומר שגוף יישאר במצבו כל עוד לא הופעל עליו כוח, ו-2)חוק הכבידה, לפיו עצמים נמשכים זה לזה. חוק הכבידה הוא רק מקרה פרטי של חוק ההתמדה!
וכך, המרחב והזמן, אותם חשבנו למושגים מופשטים, הופכים ליֵשות אחת ארבע-ממדית, מין יריעת ציור שעליה אנחנו מצוירים. אבל יריעה הזאת אינה אדישה למה שמצויר עליה. נכון יותר לדמות אותה לבמה שלוקחת חלק במה שעושים השחקנים מעליה, למשל מתרוממת מתחת לרגלי הטובים ושוקעת מתחת לרעים כדי שהטובים ינצחו.
למטר, כומר, המפץ הגדול
מרקורי: לפי ניוטון הכבידה תלויה במרחק, אבל הכבידה היא-היא המרחק! ממערכת-הייחוס של מרקורי... ר' ת'ורן 96
האדמה בוערת ה"”ויקיפדיה“ מצטטת ראיון שעשה תומס קון עם ג'יימס פרנק ממנו מסתבר שלנרד נולד יהודי.
ההיפי מפרינסטון
ברכט כתב בשירו: "כדי לחיות יחדיו המצאנו רק את הקפיטליזם. כשהמצאנו את הפיסיקה חשבנו על הרבה יותר: על דרך למות יחדיו".
אפרים קציר, הנשיא הרביעי, סיפר לי שבן-גוריון חש הקלה גדולה כשהתקבל סירובו של איינשטיין. שורשים פילוסופיים
מיהם אבותיו הרוחניים של איינשטיין? לנו, שבספר זה למדנו פיסיקה בגישה היסטורית, קל להצביע עליהם. מצד הפיסיקה עצמה אלה הם בעיקר גלילאו, קפלר, ניוטון, פרדיי ו/מקסוול. מצד ה/מתמטיקה בולט בעיקר אוקלידס. מצד הפילוסופיה אנחנו יודעים שקרא הרבה את יוּם, קאנט וספינוזה, אבל ניתן לזהות את השפעתם של אפלטון ולייבניץ. בפרק ## שמענו את לייבניץ מערער על מושגי המרחב והזמן המוחלטים של ניוטון בעזרת כמה תרגילי משיבה פשוטים: מה היה קורה לו ברא אלוהים את העולם כמה מטרים ימינה? האם אז הייתה למילים כמו ”כאן“ ו”שם“ משמעות מוחלטת בלי קשר לתחנת האוטובוס הסמוכה
תוכנית הלימודים שקבע הנער הבודד לעצמו, ושמאוחר יותר חייב בה את חבריו ל”אולימפיה“ מצטיינת בשילוב רב-עוצמה של מדע ופילוסופיה
תוצאות פיסיקליות: מפאתי היקום עד הטלפון הנייד
כמו היחסות הפרטית, הניבה גם היחסות הכללית שפע הניבויים מפתיעים. אזכיר כאן שניים הנוגעים לטבע היקום ואחד הנוגע לכולנו.
אם הכבידה מעקמת את המרחב-זמן, האם מידת העיקום הזה גורמת לו להיסגר על עצמו כמו כדור? איינשטיין, על סמך הנתונים המשוערים שהיו בידיו, ניסה לחשב את מידת העקמומיות של המרחב-זמן ביקום כולו. הוא קיבל כמה פתרונות אפשריים, אבל כולם נתנו מצב לא יציב. השתמע מהם שהיקום חייב להתכווץ בשל הכבידה ההולכת ומכווצת את המרחב-זמן, או, להיפך, להתפשט בשל איזו דחיפה ראשונית הפועלת נגד התכווצות זו. איינשטיין, בניחוש, הוסיף למשוואות שלו איבר נוסף, ”הקבוע הקוסמולוגי,“ שהשאיר את היקום באותו מצב. כעבור כמה שנים גילו כמה אסטרופיסיקאים כי כל הגלקסיות ביקום מתרחקות זו מזו, כלומר, היקום מתפשט. ”הפשלה הכי גדולה שלי,“ קונן איינשטיין כששמע על הדבר. אפשר להבין את התסכול שלו. החלום של כל מדען אפלטוני הוא שחישובים תיאורטיים יקדימו לגלות דבר הקיים במציאות, כפי שראינו לא-פעם בספר זה. אילו בטח איינשטיין יותר במשוואות שלו, היה יכול להתפאר בהישג חדש מסוג זה.
תופעה אחרת הנובעת מהיחסות הכללית היא החור השחור. במקומות מסוימים ביקום יש הרבה חומר: כוכבים, אבק וכד'. כוכבים כאלה מושכים אליהם עוד כוכבים ומתמזגים אתם, וכתוצאה מכך גדל כוח הכבידה שלהם והם מושכים יותר חומר, וחוזר חלילה, וכך הולכת הכבידה ונעשית חזקה יותר ויותר. פיסיקאים שעקבו אחרי תהליך כזה בחישוביהם הגיעו לפיתרון שבו הכבידה כל כך חזקה עד שאינה סתם מעקמת קרני אור אלא בולעת אותם לחלוטין. לגוף כזה כבידה כה חזקה עד שהוא מתמוטט כולו לנקודה בגודל אפס, אבל זו נקודה כבדה מאוד! סביב הנקודה הזאת קיים גבול שאפילו קרני אור אינן יכולות לצאת ממנו. ומכיוון ששום דבר אינו יכול לנוע מהר יותר מהאור, הגבול הזה, "אופק האירועים," מהווה גבול פנימי ליקום שלנו. כל מה שנופל לתוכו נמצא למעשה מחוץ ליקום.
לחור השחור אינספור תכונות שונות ומשונות, וכולן משגעות פיסיקאים עד היום ויוצרות פרדוקסים קשים. בעיקר עומדת הפיסיקה נבוכה מול אותה נקודה שבמרכז החור, ה"ייחודיות (סינגולאריות)" לסיום הנה מקרה שבו חדרו אפקטים של היחסות הכללית גם לטכנולוגיה של ימינו. נפתח בהאטה של הזמן ביחסות הפרטית, כפי שלמדנו מ"שעון לאנז'בן" בפרק --. ההאטה הזאת מופיעה במערכות אינרציאליות ולכן היא הדדית: דוִד סבור ששעונו של משה האט ומשה סבור כך לגבי דוִד. היחסות הכללית מסוגלת לטפל גם בתאוצות, שהן תנועות לא יחסיות אלא מוחלטות.
בשוויון-הערך בין תאוצה לכבידה, אותו למדנו בפתח פרק זה. כשגוף מאיץ, הזמן שלו נראה מאט את מהלכו כמו שראינו בגוף הנע בלי תאוצה בפרק -.
מהתורה נובע שבשדה כבידה, הזמן מאט את מהלכו על-פי הנוסחה הבאה:
---
תוצא שאותו הוכיחו הפלה וקיטינג (--) ב-- כשהשוו בין שני שעונים ---. התוצא הזעיר הזה הביע הפתעה לא-נעימה לטכנולוגיה החדשה של ה-GPS, מערכת קביעת המיקום --- המשמשת כיום בכלי-רכב רבים. למערכת הזאת דרוש לוויין המרחף גבוה מעל האדמה ומודד את מיקומו של המשתמש. כשהוכנסה המערכת הזאת לשימוש הופיעו "זיופים" שגרמו למשווקיה נזקים גדולים. המסכנים שכחו את מה שמנבאת היחסות הכללית, ששעון הפועל על פני כדור הארץ יפעל טיפ-טיפה לאט יותר משעון הנמצא גבוה יותר ולכן נתון פחות להשפעת הכבידה של כדור הארץ. די היה בהפרש הזה בין השעונים על הארץ לשעון שבלוויין כדי לגרום לסטיות, שדרשו תיקון מיוחד.
האיחוד הגדול
אז מה, על רגל אחת, עיקר החידוש של היחסות הכללית? אם היחסות הפרטית שילבה בין תורות גלילאו ומקסוול, היחסות הכללית שילבה בין שני היריבים המרים מכל, ניוטון ולייבניץ. איינשטיין הצטרף ללייבניץ בערעור על מעמדם העצמאי של המרחב והזמן (שזה עתה אוחדו למהות אחת בידי מורו מינקובסקי)
לסיום שימו לב איך איינשטיין סוגר פה מעגל בן --- שנה. אתם זוכרים את התגלית של גלילאו (פרק -) לפיה כל העצמים נופלים באותה מהירות בלי קשר למשקלם? בפיסיקה של גלילאו זה היה פרי ניסוי מחשבה, בפיסיקה של ניוטון זה נעשה מעוגן במתמטיקה (ראו בנספח ע' -), ואילו ביחסות הכללית של איינשטיין זה הכרחי: נפילת שתי האבנים יחד פירושה התמדה במצב המנוחה שלהן זו ביחס לזו, כאילו ריחפו בחלל, ואין שום סיבה שבחלל נטול-כבידה תתחיל פתאום האבן הכבדה להתרחק מהקלה!
בבוקר שבו פורסמו הכותרות בעיתוני ברלין שבישרו על תוצאות המדידה של אדינגטון שאישרו את תורת היחסות הכללית הופיע איינשטיין לשיעור בתרמודינמיקה והתחיל אותו כרגיל. הסטודנטים הנרגשים העירו לו על הכותרות אבל הוא נראה אדיש. סטודנטית אחת לא התאפקה. ”אבל אדוני,“ שאלה, ”מה היית אומר אילו לא אישרו המדידות את הניבוי שלך?“ ”הייתי מצטער מאוד בשביל אלוהים,“ ענה. ”התיאוריה טובה.“

ובצורה כללית יותר:
הפירוש של הצופה מבחוץ: כל מה שבתוך הרכבת נע וכל מה שבחוץ – נח.
הפירוש של הצופה מבפנים: בדיוק ההפך.
עכשיו, אמר גליליאו, יש לנו משהו יותר חשוב מפירוש: יש לנו עיקרון. ואם סימננו עד כה פירושים באותיות, הבה נסמן את העקרונות במספרים:
עיקרון 1: הכל יחסי.
וכך, כל ניסוי שנעשה בתוך הקרון – בניית מגדל קלפים, ניתוח מוח מסובך או מזיגת תה לחלב בספלי חרסינה עדינים ושתייתו בחברת גברות אנגליות מיוחסות – ניתן לפירוש כאילו הקרון עומד במקומו ורק היקום שבחוץ החליט פתאום לנוע. כל עוד מהירות הקרון קבועה, לא נרגיש בשום הבדל. מה פשר העיקרון הזה? רוב הפיסיקאים ראו בו סתם מקרה חמוד, אבל איינשטיין, שהביא אותו לדיון באותה חבורת צעירים, הוציא ממנו עיקרון פילוסופי עמוק: חוקי הטבע היסודיים שווים לכל צופה. השינוי השני שחוללה היחסות במושג הזמן הוא עמוק יותר. כדי להבין אותו עלינו להסביר כאן מהו מרחב מינקובסקי, אבל תחילה נספר משהו על האיש שעל שמו קרוי מרחב זה. הרמן מינקובסקי היה מתמטיקאי ב-ETH בציריך בתחילת המאה, והוא לא רווה נחת מאחד הסטודנטים שלו שנראה לו עצלן, וששמו היה במקרה אלברט איינשטיין. עברו שנים ומינקובסקי שמע שאותו בחור עצלן פיתח תורה ששמה תורת היחסות. מינקובסקי התלהב מאוד מהתורה החדשה וחיש-מהר מצא דרך לייצגה באופן גיאומטרי. תארו לעצמכם, אמר, עולם דו-ממדי שנשרטט אותו כך שהממד השלישי שלו הוא הזמן. בעולם כזה, "העתיד" פירושו "למעלה" ו"העבר" פירושו "למטה." אם כך, הרי כל עצם נקודתי בעולם זה יתואר כעצם דו-ממדי, קרי, קו, המתמשך מהעבר אל העתיד (תמונה 1). קו זה ניקרא "קו-העולם" של הנקודה. עכשיו ניתן לראות שהקו מכיל את ההיסטוריה של הנקודה: אם בשעה 9:00 הקו מתעקם לימין ואחר כך מתיישר, פירוש הדבר שהנקודה נעה ימינה עד השעה 10:00 ואחר כך נעצרה. באופן דומה ניתן לראות כי בשעה 11:00 החלה הנקודה לנוע שמאלה וחזרה למקומה הקודם. באותו האופן, צורות דו-ממדיות כעיגול וריבוע יתוארו כיריעות תלת-ממדיות בצורת גליל ומנסרה המתמשכות מהעבר אל העתיד.
תמונה 1 החשוב בתיאור זה הוא שכל צופה רואה את המרחב-זמן בהתאם למצב תנועתו. נדגים זאת ע"י מרחב מינקובסקי פשוט (תמונה 2), שבו נייצג כל אדם ע"י נקודה. הקו הישר מימין הוא קו-העולם של ראובן, וניתן לראות על פיו שראובן עומד כל הזמן במקומו. הקו השמאלי, לעומת זאת, הוא קו-העולם של שמעון וממנו ברור ששמעון נע ימינה.
כבר ממבט ראשון אנו רואים כי במרחב מינקובסקי אין זכר לזרימת הזמן: כל הרגעים קיימים יחד, ממש כשם שכל המקומות קיימים מבחינתנו יחד. אבל אפילו אם נתעקש ונצביע על נקודה מסוימת בזמן, למשל על השעה 8:00 בבוקר בחייו של ראובן, נגלה כי מושג פשוט כמו "עכשיו" הוא בעייתי. הנה, למשל, שאלה הנראית פשוטה: מהו ה"עכשיו" לגבי ראובן בשעה 8:00?
תמונה 2 תשובתו של מינקובסקי – וכאן התרגום הגיאומטרי המדויק לטענת היחסות של איינשטיין – היא שה"עכשיו" תלוי במהירות הצופה. מבחינתו של ראובן זה פשוט: המישור האופקי החותך את קו העולם שלו בשעה 8:00 מייצג את כל האירועים ביקום המתרחשים, מבחינתו, בשעה זו. פה אין שום חידוש. אבל כשאנו דנים בשמעון אומרת תורת היחסות משהו מוזר: ה"עכשיו" של שמעון הוטה בהתאם למהירותו - הקו המקווקו בתמונה, ולכן שמעון מתלונן שכל השעונים ביקום השתגעו: כל אלה שלפניו האטו את מהלכם בעוד שכל אלה שאחריו החלו למהר, והם הולכים וממהרים ככל שהם מרוחקים יותר!
כמובן שהתוצא האמור חלש מאד במהירויות שאנו מורגלים בהן ביום יום, תורת היחסות קובעת שהשינויים יתחילו להיות מורגשים רק כאשר המהירויות מתקרבות לזו של האור. לכאורה, זו רק אשליה אופטית: כשאדם רץ לקראת שעון במהירות עצומה, אותות האור הבאים מאותו שעון יחדרו לעיניו בתדירות רבה יותר ולכן יהיה נדמה לו שהשעון ממהר. כך גם לגבי השעונים שאחריו: אותות האור ה"רודפים" אחריו יגיעו לעיניו בתדירות נמוכה יותר וכך יהיה נדמה לו שהשעון מפגר. אבל כאן באה תורת היחסות ומודיעה: זו לא אשליה אופטית. השעונים באמת ימהרו ויפגרו לעומת שעונו של שמעון! רוצים הוכחה? בבקשה: כשיהפוך שמעון את כיוון תנועתו וישוב לביתו תתהפך התופעה והשעונים שלפניו יתחילו להאיץ בעוד שהשעונים שהשאיר מאחריו יתחילו לפגר. אבל – וזה "אבל" חשוב – ההאצה של השעונים שבבית שמעון בחלק השני של מסעו (החזרה הביתה) תעלה במעט על הפיגור שפיגרו בחלק הראשון (היציאה לחלל). לכן, סך-כל השינויים האלה צריך להיות האצה "נטו." אשליה אופטית? התחכמויות לוגיות? המדובר בתוצאה פיסיקלית: כשיחזור שמעון למקומו יגלה ששעונו מפגר ביחס לשעונים שהשאיר אחריו בביתו. שימו לב שאין מדובר כאן רק בשעונים אלא גם בזמן עצמו. כלומר, אם הנסיעה הייתה מהירה ו/או אם שמעון בילה בה זמן רב, הוא יגלה שהוא צעיר בהרבה מכל הזאטוטים שהשאיר אחריו!
העובדה שמישור ה"עכשיו" מוטה בהתאם למהירותו של הצופה אומרת משהו חשוב על המרחב והזמן: הם יכולים להתערבב זה בזה. חשבו, לדוגמא, על האורך והרוחב של עצם כלשהו. הרי "אורך" ו"רוחב" הם, בסך הכל, ממדים שרירותיים: רשאי אדם להטות את סרגלו לכל כיוון שיתחשק לו ולהכריז עליו כ"אורך," בתנאי שה"רוחב" יהיה מאונך לו. ה"אורך" של צופה אחד הוא, אם כן, תערובת של ה"אורך וה"רוחב" של צופה שני. באופן דומה, ה"זמן" וה"מרחב" של צופה אחד הם תערובת של ה"זמן" וה"מרחב" של חברו הנע במהירות שונה.

פּלנק משחרר שד קטן
אין בעולם דבר מסוכן יותר מאשר לנסות לדלג מעל תהום בשתי קפיצות.
לויד ג'ורג'
מהפכת הקוונטים החלה בידי אדם ששום דבר לא היה יותר רחוק ממנו מאשר מהפכות, גרמני פדנט מהסוג שהולך לישון רק בכתונת-לילה או מקסימום בפיג'מה ועובר במעבר חציה גם כשהכביש ריק, וכל חפצו הוא להבין למה משוואת ה--- המעצבנת הזאת נותנת אינסופים כשהיא מתקרבת לתחום האור הסגול. שם האיש הזה מקס קרל ארנסט לודוויג פּלַנק (1858-1947). ויום אחד, כשהלך עם בנו הקטן ברחוב, לא התאפק ואמר לו: היום גיליתי משהו שהוא התגלית החשובה ביותר מאז ניוטון.
מכאן מתקדם הסיפור בשני מישורים. במישור המדעי אכן תתברר התגלית כלא פחות מאשר תחילת סופה של הפיסיקה הקלסית. במישור האישי זו תהיה אחת הטרגדיות האיומות בתולדות המדע שתביא כליה על משפחתו של פלאנק, כולל על הילד הנחמד ההולך לצדו. בואו נתחיל בסיפור המדעי.
יש קשר, כך גילו ---, בין צבע האור לבין החום שהוא יוצר. לפני שנמשיך, חשוב שנדע לא להתבלבל בין האנרגיה של הקרינה לבין החום שהיא יוצרת בגופים שבהם היא פוגעת. גלים אלקטרומגנטיים יכולים להגיב עם משטח בשלושה דרכים: לחדור דרכו כמו שאור עובר דרך זכוכית, להיבלע על-ידו כמו שהאור נבלע בגוף שחור, או להיות מוחזרים ממנו כמו האור מהראי. לגלים קצרים כמו האולטרא-סגול אנחנו די שקופים, לכן הם עוברים דרכנו בלי לחמם אותנו ורק עושים לנו נזקים ברמה המולקולרית. ההיפך קורה עם האור האינפרא-אדום: למרות שיש בו פחות אנרגיה מבאור הנראה, הוא נבלע כולו בגופנו ומחמם אותנו יותר מהאור הנראה.
עכשיו, כשלמדנו להבדיל בין חימום לבין אנרגיה, הקשר בין אורך הגל האלקטרומגנטי לאנרגיה שלו הוא זה: ככל שהגל קצר יותר כך האנרגיה שלו גדולה יותר. לאור אדום, למשל, יש גלים ארוכים ולכן הוא יוצר פחות חום מאשר האור הכחול, זה הנפלט למשל מלהבת הגז, שאורך גליו קצר יותר, ועל כולם עולה האור הסגול, שגליו הם הקצרים ביותר בתחום הנראה ולכן נושאים אנרגיה גבוהה יותר. קיימים אורכי גל נוספים בתחום הלא נראה, כמו האולטרא-סגול שיש לו יותר אנרגיה אפילו מהסגול, ובהמשך רנטגן וכך הלאה עד לקרני הגמא הקצרות והקטלניות ביותר. כך גם מהצד השני יש גלים ארוכים יותר מהאדום: האינפרא-אדום וכך הלאה עד גלי הרדיו. האנרגיה שקרינה האלקטרומגנטית עולה ביחס הפוך לאורך הגלים שלה.
אמרו אנשים: בואו נמצא נוסחה המתארת את היחס הזה. הנה למשל: יפה, אבל הנוסחה הזאת
הכל הסתדר נפלא!
תלמידו של מיודענו הלמהולץ איוב
איש טוב היה פלנק, הגון ואוהב. הוא נולד למשפחה חשובה של פרופסורים ושופטים. כמו איינשטיין גם הוא היה מוסיקאי מוכשר. בצעירותו למד נגינה, שירה והלחנה וחשב לפנות לקריירה מוסיקלית, אבל בחר לבסוף בפיסיקה. הפרופסור שלו יעץ לו לחפש מקצוע אחר כי לא נשארו הרבה דברים חדשים לגלות בפיסיקה, ועל כך ענה פלנק שהוא לא מחפש לגלות דברים חדשים אלא רק להבין את מה שכבר ידוע. הוא למד אצל הלמהולץ וקירכהוף, עשה עבודה ניסויית אחת, החליט שהוא מעדיף להיות פיסיקאי עיוני ומאז התמקד בתרמודינמיקה.
החיים לא היטיבו אתו. הוא התאלמן מאשתו מארי בגיל צעיר כשהיה כבר אב לארבעה, ואז נשא את דודניתה, מארגה, שילדה לו את בן זקוניו הרמן. הבן הבכור, קרל, נהרג במלחמת העולם הראשונה. באותה שנה נפטרה הבת מרגרטה מקריש-דם שבוע אחרי שילדה תינוקת. הבת התאומה, אֶמה, התחתנה עם האלמן, כעבור שנתיים ילדה אף היא תינוקת ובדייקנות מקפיאת-דם, שבוע אחר הלידה, חזרה על גורל אחותה. שתי הנכדות חיו ונשאו את שמות אמהותיהן.
את תגלית הקוונטים גילה ב-1900 ובמשך כמה שנים עשה כמיטב יכולתו לעקוף את משמעויותיה הרחבות בתקווה לשמר את הפיסיקה הישנה. אל איינשטיין התוודע כעורך ה-=== שקיבל את ארבעת מאמריו ב”שנת הפלאות.“ מאז עקב אחריו בעניין, מתנגד לגילוייו הקוונטיים והיחסותיים כל עוד אפשר היה לעשות זאת, תורם משהו לתיאוריות כשגילה משהו בעצמו, ומטפח את הכוכב העולה. כשנעשה דיקן אוניברסיטת ברלין השיג את המשרה הנכספת עבור איינשטיין ב-1914 ומאז נפגשו השניים תכופות לא רק כדי לעשות מדע אלא כדי לנגן יחד, מסורת בה החל הלמהולץ. יש אמירה מפורסמת של פלנק על ההיסטוריה של המדע: ”אמת מדעית חדשה אינה מתבססת בכך שאויביה משתכנעים ומשנים את דעתם אלא בכך שאויביה מתים בהדרגה והדור הצעיר לומד את האמת מההתחלה.“ ללא ספק לא ראה את עצמו כיוצא מן הכלל בעניין זה.
כשעלו הנאצים לשלטון ראה פלנק את האוניברסיטאות הגרמניות מתרוקנות מהמדענים שברחו מהן (באותה תקופה שאל שר המדע הגרמני את המתמטיקאי הילברט אם המתמטיקה הגרמנית נפגעה מעזיבת היהודים. ”היא לא נפגעה, אדוני,“ באה התשובה. ”היא לא קיימת“). פלנק השיג פגישה עם היטלר בניסיון לשכנעו לא לגרש את המדענים היהודים. בזכרונותיו סיפר איך בסוף השיחה החל הצורר לנוע בעצבנות. ”אתה יודע מה אומרים עליי? שיש לי עצבים חלשים. השמצות!“ צרח היטלר והכה על ברכו. ”השמצות!“ פלנק מלמל כמה מילות נימוס וברח. לקראת סוף המלחמה נכשל הקשר המפורסם נגד היטלר והגשטפו עצר את ארווין פלנק (אותו ילד ששמע מאביו על גילוי הקוונטים), שכנראה ידע משהו על הקשר. פלנק, שהיה קשור במיוחד לבן הזה, כבר היה שנוא-נפשם של היטלר וגבלס בשל תמיכתו באיינשטיין, מה גם שחקירה ממשלתית העלתה שהוא עצמו היה 1/16 יהודי (לֵנַרד ושאר הפיסיקאים הנאצים כינו אותו ”יהודי לבן“). השנה הייתה 1945, סוף הרייך השלישי כבר היה קרוב מאוד, ודווקא אז, כפי שאנחנו היהודים יודעים, הגיעה הרצחנות הנאצית לשיאים חדשים. פלנק התבשר כי בנו מת במהלך החקירות. הוא ברח לאזור הכפר, ובחודשי סוף המלחמה נאלצו הזקן בן ה-87 עם אשתו ובנם הנותר לחיות ביער. לעת הזאת כבר סבל ממחלת ---, אבל חוסן גופו (הוא היה מטפס הרים מנוסה) עמד לו, כמו גם הרצון האדיר לראות שחר חדש על מולדתו. חיילי בנות הברית סייעו לשלושה לשוב לגטינגן, שם החלו הוא וחבריו לשקם את ”מכון קייזר וילהלם“ בעיר. אבל הבריטים אסרו על השימוש בשם הקיסר האוויל, ולכן נקרא המכון מאז, כראוי, ”מכון מקס פלנק.“ פלנק עוד הספיק לנסוע לבריטניה לנאום ביובל ה-300 להולדת ניוטון ונפטר ב-1947, ”מוות של גאולה“ כדברי ג'יימס פרנק.
אין דיוקן הולם יותר לפלנק מאשר דברי בן-טיפוחיו, איינשטיין, שכפי שכבר ראיתם הייתה לו הבנה עמוקה בפסיכולוגיה של המדענים:
זאת ארץ התעלומות. זהו עולם שטבעו אינו ניתן לתפיסה על-ידי הכוחות האנושיים לפי מושגי השכל; אנו מסוגלים רק להרגיש את ההרמוניה שלו ואת יופיו, כשאנו נאבקים בדרכנו להבנתו.
מקס פלנק



השד מביא את החברים שלו
נִישׁתוּ שֵׂיכֵל, נִישׁתוּ צוּרֵס (כשאין שכל, אין צרות)
פתגם יידי מי צוחק עכשיו, צחוק רע ומאיים, מתחת המצבה המפוארת בכנסיית ווסטמינסטר? כן, הוא ולא אחר, שאפילו בקבר אינו מוכן לסלוח להוק, להאוכנס ולממשיכיהם. ”גלים, מה? מימיי לא ראיתי גל פוגע כולו בנקודה קטנטנה אחת במרחקים עם כל האנרגיה והתנע שלו!“ לא נעים. אולי הוא בכל זאת צדק והאור מורכב מחלקיקים? אבל אז, איך נסביר את כל הניסויים שהוכיחו חד משמעית את האופי הגלי של האור ושל הקרינה האלקטרומגנטית בכלל?
יש לי רעיון. בואו נעשה ניסוי שיעשה אחת ולתמיד סוף למחלוקת הטיפשית הזו ושיאפשר לנו להתקדם הלאה. לא היה לאלברט איינשטיין בחייו חבר קרוב יותר מאשר נילס בוהר {{N.Bohr. רגש כמו שהיה לו כלפיו, כך אמר, לא הרגיש כלפי שום אדם אחר. עם זאת, שני הידידים בלב-ונפש האלה חלקו זה על זה בחריפות בנוגע ליסודותיה של הפיסיקה. השילוב המיוחד הזה, של ידידות אישית חזקה מצד אחד וניגוד קוטבי בהשקפות מצד שני, הוליד את אחד הדיאלוגים המדעיים הפוריים ביותר בהיסטוריה. הוויכוח היה על תורת הקוונטים, שגרמה לאיינשטיין תסביך קשה. הוא היה למעשה האבא של התיאוריה הזאת, אבל התנכר לה מהרגע שעמדה על רגליה. הכול התחיל באותה שנה שבה היה לו בראש פיצוץ יצירתי אדיר, שגרם לו לכתוב שלושה מאמרים שכל אחד מהם פרץ דרך חדשה בפיסיקה. אחד המאמרים האלה היה ממבשרי תורת הקוונטים. אבל ברבות השנים, כשראה איינשטיין איך התורה שהוא היה אחד ממולידיה הולכת ומתפתחת, בעיקר תודות לבוהר, הוא פחות ופחות אהב אותה וניסה להראות שהיא לא נכונה. הוא נהג מדי פעם לשגע את בוהר בתעלול שהוא קרא לו "גדאנקן אקספרימנט," כלומר ניסוי-מחשבה. זהו ניסוי שמעורבים בו מצבים קיצוניים, שבדרך-כלל קשה לבצעם טכנית, אבל מי שיודע לחשוב יכול לדמיין את הניסוי ולנבא נכונה את תוצאותיו. באמנות הזאת היה איינשטיין מומחה גדול, והוא השתמש בה יפה נגד בוהר. יש סיפורים נוגעים-ללב על הוויכוחים המתמשכים בין השניים האלה. בוהר היה נראה לפעמים מתרוצץ כאחוז-תזזית בין הפיסיקאים, מספר להם על ניסוי-המחשבה האחרון של איינשטיין ואומר: נכון שזה מוכרח להיות לא נכון? אז איפה פה בדיוק הטריק? איינשטיין, לעומתו, היה מתכנס בשתיקה עמוקה, ורק גיחוך קטן מתחת לשפמו גילה את הנאתו. אברהם פאייס ראה פעם את בוהר מסתובב בפרינסטון, אחרי שלא הצליח לשכנע את איינשטיין, כשהוא ממלמל שוב ושוב "נמאס לי מעצמי." מה יש לומר, הייתה לאיש הזה נטייה לקחת ניסויי-מחשבה באופן די אישי.
וכך אמר איינשטיין לחברו: ניקח פנס ונאיר על פני ראי חצי-חדיר. אנחנו יודעים מה צריך לקרות: חצי האור יעבור דרך הראי, כמו בזכוכית שקופה, והחצי האחר יוחזר, ישתקף, כמו בראי רגיל {איור 1}. ועכשיו, נעמעם את הפנס: נעשה את האור חלש, ויותר חלש, ויותר חלש, עד שהפנס יפלוט רק פוטון בודד כל כמה דקות. מהו פוטון? זוהי הכמות המינימלית של אור היכולה להתקיים, על פי תורת הקוונטים. "קוונטום" פירושו כמות, ותורת הקוונטים מבוססת על עיקרון פשוט: לאנרגיה יש כמויות יסוד שאינן ניתנות לחלוקה, כמו החלקיקים של החומר. קוונט של אור נקרא "פוטון," ואיינשטיין הצעיר, באותו מאמר פורץ-דרך שהזכרתי קודם {ושעליו, אגב, ולא על תורת היחסות, נתנו לו את הנובל}, גילה שהפוטון מתנהג כחלקיק: כשיורים פוטון לתוך גאז, נרתעת אחת ממולקולות הגאז כאילו פגע בה גוף, ואפשר להראות שכל האנרגיה והתנע של הפוטון עברו אליה, בשלמות ובלי שום שארית, כמתחייב מתורת הקוונטים. איינשטיין הצעיר גילה, אם כן, את טבעו החלקיקי של הפוטון, ואיינשטיין המבוגר מנצל עכשיו תגלית זו כדי לנגח את בוהר.
כי השאלה הנשאלת כאן היא: מה דינו של פוטון יחיד הפוגע בראי החצי-חדיר? כאן אפשר לבחור בין שתי תשובות, בהתאם להשקפת עולמו של המשיב. איינשטיין היה ריאליסט. הוא האמין שהתופעות קיימות ללא תלות בצופה: בין אם ראינו תופעה או מדדנו אותה, ובין אם לא היינו שם בכלל, התופעה קיימת. ולכן זו הייתה דעתו של איינשטיין לגבי הפוטון: או שהפוטון עובר בשלמותו לצד אחד, או שהוא מוחזר בשלמותו לצד האחר. גם אם איננו יכולים לדעת איזו משתי האפשרויות מתרחשת, אחת מהן, בסופו של דבר, מתרחשתB
את התשובה החליפית נתן בוהר, וזו הייתה תשובה די מוזרה. הוא טען שתורת הקוונטים יצרה מהפכה בעצם הצורה שאנחנו מסתכלים על העולם. אין שום אפשרות לנבא מה יקרה לפוטון הפוגע בראי החצי-חדיר. כל מה שאפשר לעשות הוא חיזוי סטטיסטי: ב%50- מהמקרים הפוטון יחדור לצדו השני של הראי, וב%50- הוא יוחזר לצד שממנו בא. שימו לב ששני החברים מודים שאי-אפשר לדעת לאן יפנה הפוטון, אלא רק לחשב את ההסתברויות לכך שיפנה לצד זה או לאחר. אבל נילס בוהר ממשיך ואומר כאן דבר מוזר מאוד: הפוטון, כל עוד לא מדדנו אותו, נמצא משני צדי הראי באותה מידה.
כאן המקום להזכיר כי בתורת הקוונטים מתואר הפוטון על-ידי "פונקציית-גל." אל תיבהלו מהמלה הזאת. זה פשוט ביטוי מתימטי האומר לנו מה ההסתברות למצוא את החלקיק במקום או במצב זה או אחר. פונקציית-הגל מתארת את מיקומו של הפוטון בכל רגע בצורה של גל, שהפוטון מסוגל להימצא בכל נקודה על פניו. ה"גל" הזה מתפשט כמו גל אור רגיל. לכן, כשהוא פוגע בראי החצי- חדיר, הוא גם מתפצל כגל אור רגיל: חציו חודר אל מעבר לראי וחציו מוחזר לצד שממנו בא. לכן, בתשובה לשאלה היכן נמצא הפוטון, בוהר השתמש במונח חשוב בתורת הקוונטים: הפוטון נמצא ב"סופרפוזיציה," כלומר, הוא לא נמצא בפוזיציה אחת, כגון בצד זה של הראי או בצד האחר, אלא במובן מסוים הוא נמצא בשניהם גם יחד. רק כשנמדוד היכן הוא, נכריח אותו להימצא במקום מוגדר. נעמיד שני מכשירי גילוי משני צדי הראי, והיה אם הגלאי הימני יעשה "קליק" אות הוא שהפוטון נמצא בימין, ואם הגלאי השמאלי יעשה "קליק" אות הוא שהפוטון נמצא בשמאל. אבל, ואת הנקודה הזאת לא פסק בוהר להדגיש, כל זמן שלא מדדנו את הפוטון, הוא נמצא בשני הצדדים באותה מידה, בעת ובעונה אחת.
לאיינשטיין כל זה נראה ממש מעורר גיחוך. הרי המוסכמה הראשונה של תורת הקוונטים היא שאנרגיה באה במנות בדידות, ולכן אי-אפשר לפצל פוטונים. שום ניסוי שבעולם לא יגלה חצי פוטון. הגלאי העדין ביותר שאנחנו יכולים לבנות יכול לעשות רק אחד משני דברים: או שיעשה "קליק," ואז פירוש הדבר שהפוטון כולו, כגוף אחד, פגע באותה נקודה בדיוק, או שהוא לא יעשה "קליק," מה שאומר שהפוטון לא עבר שם בכלל. הרי זה, נא לזכור, היה הגילוי של איינשטיין הצעיר, שחישוביו הראו כי הפוטון כולו, ולא חלק ממנו, פוגע בגלאי.
לכן אמר איינשטיין לחברו: כאן אתה רואה את אי-השלמות של המודל שלך. לסגוד למודל מעשה-ידיך כאילו הוא המציאות, זו עבודת-אלילים. אני מאמין שתורת הקוונטים, כפי שאנחנו מכירים אותה, איננה שלמה. יום אחד נמצא משהו עמוק יותר בטבע, ואז תהיה לנו תיאוריה מדויקת יותר שתוכל לומר לנו בדיוק לאן הלך הפוטון. מה שאתה מכנה "פונקציית-גל" מבטא בסך הכול את הידע שלנו Q נכון יותר: את הבורות שלנו Q לגבי מיקומו של החלקיק. אנחנו לא יודעים בדיוק איפה הוא, ולכן אנחנו מדמיינים "פונקציית-גל." במציאות קיים סתם חלקיק, הנמצא במקום מוגדר אחד.
הרעיון שצריך להכניס צופה או תודעה אנושית על מנת לתת משמעות לתופעה פיסיקלית נראה לאיינשטיין חוטא לרוח הפיסיקה. מה שייך עניין המדידה למיקומו של הפוטון? האם הוא מחכה עד שנמדוד אותו כדי להחליט איפה הוא נמצא? משאלה זאת המשיך איינשטיין לשאלות כלליות יותר על טבע המציאות. אם על אי בודד באוקיאנוס השקט נופל אגוז קוקוס מהעץ באמצע הלילה, האם הוא משמיע חבטה? נניח שאין שם מישהו שישמע אותה, האם זה אומר שלא הייתה חבטה, שלא היה קול, שכל האירוע לא היה?
אבל גדולתו של איינשטיין הייתה בכך שמדי פעם היה הוא עצמו נתקל בטיעון שהתאים יותר לשיטתו של בוהר, והוא לא היסס להשתמש בו לטובת חברו. וכך קרה שאיינשטיין עצמו הצביע על הוכחה לטענת בוהר, שהפוטון נמצא ביותר ממקום אחד: הפוטון יוצר התאבכות. קל לראות תופעה זו במקרה שלנו. נניח שמשני הצדדים של הראי, שפיצל כביכול את הפוטון לשניים, נעמיד שתי מראות שלמות, לא חצי-חדירות, כך שהן תחזרנה את שני החצאים של פונקציית-הגל לכיוון המרכז {כמובן, עוד לא החלטנו מהי פונקציית-הגל הזאת, אבל אם היא מתנהגת כמו גל-אור רגיל, המראות צריכות להחזיר את שני חצאיה}. באותו מקום שבו שני "חצאי הפוטון" נפגשים, נעשה ניסוי שאיור 2 מתאר אותו בצורה פשוטה.
כאשר גל פוגש בגל שני, אזי, אם שני הגלים נפגשים שיא מול שיא ושפל מול שפל, הם מחזקים זה את זה, ואם הם נפגשים שיא מול שפל ושפל מול שיא, הם מבטלים זה את זה. וכמובן ייתכנו כל מצבי-הביניים שבהם הגלים קצת מחזקים וקצת מבטלים. זוהי התאבכות. עכשיו, ניצור התאבכות בין שני חצאי הפוטון שלנו: נעמיד בין שני חצאי פונקציית-הגל המוחזרים למרכז עוד ראי חצי-חדיר, ונעמיד אותו בצורה כזאת שהגלים הנפגשים מצדו האחד ייצרו התאבכות מחזקת, ואילו הגלים הנפגשים בצדו האחר ייצרו התאבכות מבטלת. כדי שנבין טוב יותר את מה שהולך לקרות פה, נזכיר כי אילו העברנו במערכת זו גלי אור רגילים ולא פוטון בודד, הם אכן היו יוצרים, כמתחייב, אור חזק בצד שבו חיזקו זה את זה, ואפלה בצד השני, שם הם ביטלו זה את זה. מערכת זאת נקראת אינטרפרומטר מאך-זנדר, והיא משמשת הרבה את תחום האופטיקה.
והנה, כשנעביר במערכת זו פוטון יחיד נקבל דבר מפתיע מאוד: יש התאבכותB הפוטון יופיע רק בצד שבו אמורה להיות התאבכות מחזקת, ולעולם לא בצד שבו צפויה התאבכות מבטלת. תסכימו אתי שזה מצב לא רק מאבך, אלא ממש מביך: אם אנחנו רוצים לחשוב על הפוטון כעל עצם שנמצא במקום אחד בלבד כמו העצמים הרגילים Q ספלים, אופניים או ג'ירפות Q הרי עצם כזה איננו יכול להתאבך עם עצמו, שכן הוא יכול לעבור רק במסלול אחד: או שהוא עבר בשלמותו דרך הראי החצי-חדיר והמשיך במסלול הימני, ואז הוא מגיע אל נקודת ההתאבכות כעצם יחיד ואין לו עם מי להתאבך, או שהוא הוחזר בשלמותו על-ידי הראי החצי-חדיר, המשיך במסלול השמאלי והגיע מהצד השני לאותה נקודת התאבכות, אבל גם הפעם הוא הגיע כעצם יחיד ואין לו עם מי להתאבך. בקיצור, פוטון הנמצא במקום אחד ועובר במסלול אחד אינו יכול להתאבך עם עצמו. אינו יכול? עובדה: הוא מתאבך.
מבולבלים? נבוכים? ברוכים הבאים לתורת הקוונטים. הניסוי כופה עלינו את ההכרה כי אכן, כל עוד לא מדדנו באמת מאיזה צד עבר הפוטון, הוא עבר משני הצדדים בעת ובעונה אחת. אם כך, מתברר שהמודל הסטטיסטי שנראה לנו לקוי, לא שלם, דווקא הוא מתאר את המציאות באופן עמוק מאוד.
איינשטיין הסתובב סביב החידה הזאת כמו, להבדיל, חתול סביב פח אשפה סגור. הוא ניסה לתקוף אותה מכל צד אפשרי, כי הדבר נראה לו אבסורדי לגמרי. האבסורד קשור בעוד מאפיין מרכזי בתורת הקוונטים, והוא הדואליות {כפל-פנים}. מהו הפוטון? האם הוא חלקיק או גל? כשאני עושה ניסוי על מנת לגלות את מיקומו של פוטון, אני שם גלאים במקומות שבהם הוא יכול להימצא, ולבסוף אחד מהם מגיב לכל המאסה ולכל האנרגיה של הפוטון. אם כן, זהו חלקיק שפגע בנקודה אחת בלבד. אבל כאשר אני עושה ניסויים בהתאבכות או בעקיפה, מתגלה שהפוטון מתפשט במרחב, עוקף מכשולים, מתאבך עם עצמו, בקיצור: גל. אבל אולי, אם נעשה ניסוי שבו מתגלה הפוטון כגל, נוכל לגלות גם את תכונותיו החלקיקיות? כאן אנחנו נתקלים בעוד עיקרון יסודי של תורת הקוונטים, עיקרון אי-הוודאות, והוא אומר כך: תשכחו את מה שאתם רגילים לו בפיסיקה הקלאסית, שבה אפשר לקחת כל גוף ולמדוד את המשקל ואת המיקום ואת המהירות ואת התנע שלו, בו-זמנית, בכל דרגת דיוק שנרצה. בעולם החלקיקים התת-אטומיים, שבו שלטת תורת הקוונטים, קיימים זוגות רבים של גדלים שמתוכם אפשר למדוד רק גודל אחד בכל מדידה. מדידה זו גורמת שלא נוכל לדעת שום דבר על הגודל האחר. כך, למשל, ניתן לקבוע בדייקנות את מיקומו של חלקיק, אבל אז אנו מאבדים כל ידיעה לגבי התנע שלו, ולהפך. הוא הדין בנוגע לטבעו של הפוטון. רצונכם למדוד את תכונותיו החלקיקיות? בבקשה, אבל אז הוא יאבד לחלוטין את תכונותיו הגליות. ואם תרצו למדוד את תכונותיו הגליות, עליכם לוותר על כל ידיעה בדבר תכונותיו החלקיקיות.
אמר איינשטיין: הבה נתחכמה לו. נעמיד על כל מסלול אפשרי של הפוטון גלאי חלש מאוד, כזה שאינו בולע את הפוטון אלא עושה "קליק", אפילו קיבל ממנו רק דחיפה קלה. נראה איזה גלאי עשה "קליק," ואז נדע באיזה מסלול עבר הפוטון. בכך נמדוד את המיקום שלו, ואחר כך, כשנבחן את דגם ההתאבכות, נמדוד בכך גם את התנע שלו וכך נפר את עקרון אי-הוודאות. בוהר מיהר להוכיח לו שאמנם אפשר לברר היכן עבר החלקיק מבלי לעצור אותו, אבל אז Q כמה מרגיז Q תיהרס תמונת ההתאבכותB שהרי, אם גילינו היכן עבר הפוטון, מדדנו תכונה חלקיקית במהותה, ואז תיעלם ההתאבכות, שהיא תכונה גלית מובהקת. הפאראדוקסים האלה מטרידים אותנו כאשר אנחנו מדברים על חלקיקים, אבל אי-אפשר להגביל אותם רק לעולם המיקרוסקופי. זאת ידוע מניסוי-מחשבה שהציע עוד אחד מאבות תורת הקוונטים, ארווין שרדינגר {{E.Schrodinger: נניח שבתוך תא סגור לחלוטין נמצא חתול, ולידו מכשיר הפולט גאז ציאניד ומופעל על-ידי התפרקות של אטום רדיואקטיווי. על פי תורת הקוונטים, כל עוד לא מדדנו את האטום הוא בסופרפוזיציה, כלומר במצב של "התפרק" ו"לא התפרק" כאחד. לפיכך, צריך גם המכשיר להימצא בסופרפוזיציה של "פעל" ו"לא פעל," הציאניד Q בסופרפוזיציה של "התנדף" ו"לא התנדף," וכן החתול Q בסופרפוזיציה של "חי" ו"מת." כמובן, איש מאיתנו לא ראה אי-פעם חתול בסופרפוזיציה. אבל בתורת הקוונטים אין שום סיבה שלא יהיה מצב כזה כל עוד לא נעשתה הסתכלות בחתול, או לפחות כל עוד לא נוצרה אינטראקציה בינו לבין העולם החיצוני. מכאן, שמצב הסופרפוזיציה, כלומר הימצאותו של עצם בשני מצבים מנוגדים, יכול לחול באופן עקרוני לא רק על חלקיקים, אלא גם על גופים מאקרוסקופיים.
תאמרו: אם נפתח את הקופסה לאחר כמה ימים, נוכל לדעת אם החתול היה חי או מת לפני ההסתכלות, שכן אם הוא היה מת, תהיה גופתו במצב של התפוררות. טעות: עיקרון הסופרפוזיציה חל לא רק על מצבו של החתול ברגע פתיחת התא וההסתכלות בו, אלא על כל ההיסטוריה שלו בתקופת הניסוי. את זאת למדנו מ"ניסוי הברירה המאוחרת" שתיארנו לעיל. הסתכלותנו בחתול קובעת באופן רטרואקטיווי את מצביו בעבר.
חברים, תתכוננו להפתעה לא נעימה: כל Q ואני מתכוון: כל Q מה שסביבנו, הוא אנאלוגי לחתול של שרדינגר. כי מה מיוחד בניסוי החתול של שרדינגר? זהו המצב שבו לאירוע קוונטי יש תוצאות מאקרוסקופיות. אבל זה המצב לגבי היקום כולוB על פי הקוסמולוגיה המודרנית נוצר היקום, עם כל החומר והאנרגיה שבו ועם המרחב והזמן עצמם, בפיצוץ אדיר הקרוי "המפץ הגדול." במלים אחרות, כל היקום החל מנקודה בעלת גודל אפסי. כיוון שאותה נקודה הייתה זעירה לאין שיעור, הרי על פי כל מה שלמדנו שלטו בה חוקי תורת הקוונטים. אם כך, הרי אותה ראשית זעירה-לאין-שיעור של היקום חייבת הייתה להיות בסופרפוזיציה. אם כך, כיצד נעשתה ה"מדידה" או ה"הסתכלות" או ה"אינטראקציה עם העולם החיצון" שהעבירה את המצב הלא-מוגדר למצב מוגדר? מי היה הצופה?
יש יותר מדי שאלות בסיפור הזה, ותשובות של ממש עוד אין. עם הבעיה הזאת נצטרך לחיות מעתה בכל פעם ש"נשטוף את העיניים" במראה יפה או נתמסר לקרני השמש על שפת הבריכה. האור, שהתרגלנו לראותו כמשהו די פשוט, מתגלה עכשיו כאוסף של ישויות זעירות לאין-שיעור Q ובעייתיות באותה מידה. כל פוטון יוצא לדרכו כמין גל, שעליו נמצא הפוטון בדרך כישופית כלשהיא בכל הנקודות בעת ובעונה אחת, אבל ברגע שהגל הזה פוגע בעצמים שבדרכו, "מחליט" הפוטון להימצא כולו באחת הנקודות האלה ולהיעלם לחלוטין ובן-רגע מכל המקומות האחרים. גרוע מזה: ההחלטה הזאת קובעת באופן רטרואקטיווי את ההיסטוריה הקודמת של הפוטון מאז שיצא לדרכו אלינו. כמעט אמרתי שתורת הקוונטים שופכת אור חדש על טבע המרחב והזמן, אבל עכשיו אני שם לב שכבר איני יודע מהו אור.
פרק ג.
להיות בהרבה מקומות בזמן אחד
כמה ניסויי-מחשבה שבעזרתם הביך איינשטיין את בוהר
{ועוד הרבה אנשים}
בפרק הקודם הכנסנו את ראשנו למחלוקת בין שני ענקים. איינשטיין היה ריאליסט, שהאמין שהתופעות קיימות בלי קשר למה שעושה הצופה, או אפילו לקיומו של צופה כלשהו. הטענה שהצופה עצמו קובע את אופי המציאות נראתה לו, למעשה, נובעת מהחשבה מוגזמת של ה"אגו" שלנו. את השקפת-עולמו ניתן לתמצת בכלל אפיסטמולוגי נפלא שמביא התלמוד {סוטה כ"א 1} בתשובה לשאלת איוב "והחכמה מאין תימצא?" אומר ר' יוחנן: "אין דברי תורה מתקיימים אלא במי שמשים עצמו כמי שאינו."
מנגד עמד בוהר, בעל הגישה הפוזיטיוויסטית. הוא היה כועס אילו שמע אותנו מגדירים אותו כך, כי בין הפוזיטיוויסטים והאידיאליסטים והקומפלמנטריסטים יש מריבות גדולות על הגדרות, אבל אותנו זה לא צריך להטריד. לענייננו, בהגדרת הפוזיטיוויזם כלולים כל אלה שאינם ריאליסטים, לאמור, אינם מאמינים שיש קיום לתופעות ללא צופה שיצפה בהן.
ראינו את איינשטיין מקניט את חברו בניסויי-מחשבה שהפכו את שאלת קיומם של עצמים שטרם נצפו לשאלה בוערת בפיסיקה המודרנית. בוהר כמובן לא היה קוטל קנים, ועל כל ניסוי-מחשבה שזרק לו איינשטיין השיב תשובה שנונה. אבל אחד הניסויים האלה הותיר את בוהר פעור-פה זמן רב, וברבות השנים הפך לפאראדוקס מרתק. לפני כמה שנים הצליחו להפוך את ניסוי-המחשבה הזה לניסוי ממשי, שעוד חידד את הבעיה. ושוב נשתמש בסיפור מהחיים כדי להסביר את הפאראדוקס.
זוכרים את הסטטיסטיקאי ואשתו, שמתוך הריב שלהם על מחצית המאהב הגענו אל שאלות-היסוד של תורת הקוונטים? בואו נלך אליהם שוב. הם השלימו בינתיים וגם נולדו להם תאומים. כבר כשהיו שני התאומים האלה קטנים מאוד התעוררו בעיות קשות בחינוכם: הם השתוללו כל היום, והוריהם הרגישו שהם מוכרחים לקבל מהם חופש פעם בשבוע. לכן, בכל שבת, נהגו להפריד אותם זה מזה ולשלוח אותם אל סבא וסבתא. היו להם שני זוגות כאלה של סבא וסבתא: זוג אחד גר בירושלים והשני בחיפה. ההורים והתאומים עצמם גרו בתל-אביב. וכך, בכל שבת היה תאום אחד נשלח לבלות עם הסבא והסבתא שבירושלים ואחיו היה נשלח אל זוג הסבים שבחיפה, ולהורים היה קצת שקט.
והנה, במרוצת השבועות נוכחו גם הסבים והסבתות שהתאומים מפונקים, קפריזיים ומאוד לא צפויים. התברר שהדרך היחידה להרגיעם היא להציע להם גלידה. הבעיה הייתה שהם היו מגיבים רק לגלידה אחת מתוך שלושה סוגים: שוקולד, וניל או תות. והתבררו עוד כמה דברים מעציבים: אי-אפשר לחזות את התנהגותו של תאום אחד בקשר לגלידה מסוימת. אם בשבת אחת, כשהוצעה לו גלידת שוקולד, הוא אמר בהתלהבות "כן," הרי בשבת הבאה היה אותו זאטוט מסוגל לברוח מאותה גלידה בצריחות-אימים. ועוד גילוי מצער: בכל שבת ניתן היה לשאול כל אחד מהתאומים רק על גלידה אחת. אם שאלו אותו אם הוא רוצה גלידה מסוג אחד והוא ענה, בהתלהבות, "כן," או, בגועל-נפש, "לא," לא ניתן היה עוד לשאול אותו במשך כל השבת על שום גלידה אחרת.
כך התנהלו העניינים במשך כשנה. בכל סוף-שבוע נסע כל תאום פעם לסבא וסבתא האלה ופעם לסבא וסבתא האלה; בכל פעם הציעו להם גלידה אחת מבין השלוש ובכל פעם השיבו מה שהשיבו. והנה בא יום ההולדת של התאומים ושני זוגות הסבא וסבתא מירושלים ומחיפה באו לבקרם בתל-אביב, והתברר שהם רשמו לעצמם יומן על התנהגות נכדיהם ביחס לגלידות שהם הציעו להם. כשהשוו את הרשימות האלה, לאמור: איזו גלידה הוצעה לכל תאום בכל שבת ומה השיב, התבררו כמה דברים מפתיעים. ראשית, הייתה קורלאציה {התאמה} מוחלטת בין תגובותיהם של התאומים ביחס לאותן גלידות. כלומר, אם סבא וסבתא שבחיפה שאלו את התאום שהיה אצלם אם הוא אוהב גלידת תות, והוא אמר "כן," ובמקרה גם סבא וסבתא שבירושלים שאלו באותה שבת את התאום השני אם הוא אוהב גלידת תות, אזי גם הוא אמר "כן." והיה אם הראשון אמר "לא," גם השני אמר "לא." חשוב להדגיש שסוג הגלידה שהוצעה לתאומים היה אקראי לחלוטין: כיוון שתגובתו של כל תאום לגלידה הייתה בלתי צפויה, מצאו עצמם הסבא והסבתא, בכל שבת, קונים להם באקראי אחת משלוש הגלידות האלה, מפני שכל ניחוש היה טוב כניחוש אחר, ואפשר היה רק לקוות שהפעם יאהב התאום את הגלידה הזאת. כך או אחרת, הנה מתברר שלמרות חוסר היציבות הבולט בהתנהגות התאומים, דווקא הייתה קורלאציה מדויקת בין תשובותיהם בכל פעם שהציעו להם אותה הגלידה. איך אפשר להסביר את זה? פרץ ויכוח בתוך אותה משפחה, כצפוי, וכל אחד צידד בהסבר אחר.
והנה עבר נילס בוהר באותו רחוב, שמע את ההמולה מן המרפסת שמעליו ועלה למעלה לברר על מה הוויכוח. הם הסבירו לו. בוהר חשב הרבה, ינק ממקטרתו והציע תשובה מאוד מעניינת: תראו, אתם מניחים הנחה מטאפיסית שאני לא מוכן לקבל. אתם מניחים שלפני ששאלתם את התאום איזו גלידה הוא אוהב, כבר הייתה לו נטייה מסוימת לאחת הגלידות. אבל איך אתם יכולים לדעת על גודל שטרם צפיתם בו או מדדתם אותו? נכון יותר יהיה לחשוב על המצב הזה במונחים של תורת הקוונטים, כלומר להניח שלכל תאום היה מצב לא מוגדר ביחס לכל אחת מהגלידות האלה: כל עוד לא שאלתם אותו, הוא גם אוהב וגם לא-אוהב גלידה תות; אוהב ולא-אוהב גלידת וניל; אוהב ולא-אוהב גלידת שוקולד. בקיצור, הילד בסופרפוזיציה. רק השאלה שלכם אם הוא אוהב גלידה מסוימת, כלומר: עצם המדידה שאתם עושים עליו, מאלצת אותו לעבור מהמצב הבלתי-מוגדר אל המצב המוגדר של אוהב או לא-אוהב.
בוהר המשיך ופיתח את ההסבר שלו בהתלהבות: שימו לב שאנחנו רואים כאן גם את פעולתו של עקרון אי-הודאות: איננו יכולים לדעת יותר מגודל אחד בעת ובעונה אחת. כאשר שאלתם בשבת אחת לדעתו של הילד לגבי אחת הגלידות Q וניל או שוקולד או תות Q איבדתם את הסיכוי לדעת באותה שבת על יחסו כלפי גלידה אחרת. הצפייה משנה את המערכת הנצפית.
מכאן, המשיך בוהר, משתמעת מסקנה מהפכנית: אם יש קורלאציה בין שני התאומים, כלומר הם נותנים תשובות תואמות, אני מסיק מכך שהם משפיעים ממרחק זה על זה. שניהם יוצאים מביתם בסופרפוזיציה, כלומר אוהבים ושונאים גם יחד כל אחת מהגלידות. והיה כאשר נשאל הילד בעיר אחת על יחסו לאחת הגלידות, הוא עבר ממצב של סופרפוזיציה למצב מוגדר. בו ברגע, אחיו התאום שבעיר האחרת עבר גם הוא לאותו מצב מוגדר ביחס לאותה הגלידה. ההתאמה בין התשובות נובעת אם כך מקיומו של קשר מסתורי ביניהם. כשאחד מהם נשאל שאלה, והשאלה הזאת גורמת לשינוי במצבו התודעתי, מתחולל שינוי זהה מייד באותו רגע באחיו הרחוק.
שמעו האנשים ותמהו אל לבם, ומאוד התרגשו מההסבר הזה: הנה, מתברר שבין המזיקים הקטנים יש קשר טמיר ונעלם הגורם להם להיות קשורים זה לזה גם כשהם רחוקים זה מזה. עוד הם מדברים, ובאותו רחוב עבר גם איינשטיין. הוא שמע את ההמולה, נשא עיניו למרפסת וראה את חברו יושב בכינוס המשפחתי. והוא אמר לעצמו: אוי, בוהר שוב מבלבל לציבור את המוח עם הטענות שלו על "דברים שלא קיימים לפני שצפו בהם" ומי יודע מה עוד. צריך לעלות לשם ולהבהיר את הדברים. עלה גם הוא למעלה, דפק על הדלת ואמר: שלום אנשים טובים. על מה מדברים פה? הם סיפרו לו, ואיינשטיין, הריאליסט, איש השכל הישר, אמר: חברים, איך אתם יכולים להאמין בדברים האלה כאשר יש לכם הסבר הרבה יותר פשוט? הרי שני הילדים האלה יצאו באותו בוקר מאותו בית בתל-אביב. למה להניח שקיימות ביניהם השפעות מסתוריות ממרחק, כאשר אפשר פשוט להניח שבאותו בוקר הם נדברו ביניהם לפעול על פי תכנית מוגדרת במסגרת מלחמת ההתשה שלהם נגד הסבים והסבתות? ייתכן, למשל, שבאותו בוקר הם אמרו זה לזה: היום נאמר "כן" לווניל, "לא" לתות ו"לא" לשוקולד, או כל צירוף משולש אחר של "כן" ו"לא." ואם כך, מה הפלא שהם מציגים קורלאציות כאלה? שוב פרץ הוויכוח הישן בין שני החברים במלוא עוזו ואיתם נחלקה המשפחה כולה Q וברקע הקימו התאומים רעש מחריד.
לוויכוח הזה לא היו שום תוצאות. אף אחד מהצדדים לא היה יכול לשכנע את רעהו, וכאן מתחיל פרק מעניין. אני רוצה להדגיש את הפרק הזה, מפני שהרבה ספרים על תורת הקוונטים אינם מתייחסים כראוי לחלקו של הגאון הצעיר שעלה לאותה מרפסת והעז להשמיע חידוש במעמד שני גדולי הדור. זה היה הפיסיקאי האירי ג'ון סטיוארט בל {{J.S.Bell. הוא הראשון שהצליח להפקיע את הבעיה מתחום הפילוסופיה ולהפוך אותה לשאלה פיסיקלית שאפשר לתת עליה תשובה על ידי ניסוי. בל הבחין ראשון בעובדה שההכרעה בין שתי הגישות היריבות חורגת קצת מן המקום שבו מיקדו עד אז את הדיון. עד אז התמקדו רק במקרים שבהם נשאלו התאומים שאלות זהות, כלומר: וניל-וניל, שוקולד-שוקולד ותות-תות, והתפעלו מההסכמות שיש ביניהם, כלומר: כן-כן ולא-לא. והנה, בל שאל שאלה חדשה: מה בנוגע למקרים שבהם נשאלו התאומים על גלידות שונות, כמו שוקולד-וניל, וניל-תות וכך הלאה? לכאורה זה לא מעניין, מפני שאנחנו לא מצפים למצוא הסכמות במקרים אלה. אבל בל שם לב לעובדה מעניינת: אם יש לתאומים תוכנית כלשהי מראש, שעל פיה הם הסכימו ביניהם איזו תשובה הם יתנו לכל גלידה, אזי, בכל אותם מקרים שבהם נשאלו לגבי גלידות שונות, חייב להיות מספר גדול יותר של הסכמות מאשר אי-הסכמות.
ברעיון הזה, שמייד נבין איזו משמעות מהפכנית יש לו לגבי השאלה שלפנינו, יוכל כל אחד מכם להיווכח אם יעשה בעצמו את התרגיל הבא: שיכתוב לעצמו שורה של חמישים "תוכניות," כלומר, שלישיות של תשובות כמו כן-כן-כן או כן-לא-כן וכדומה {התכניות יכולות להיות זהות או שונות}. ואחר כך, באופן אקראי ובלתי-תלוי, שיבחר חמישים זוגות של טעמי גלידות מבין השלוש שאותן אנו בוחנים. וכך, לבסוף, הוא יפעיל חמישים תוכניות על חמישים זוגות אקראיים של שאלות. תתקבלנה שתי רשימות של תוצאות. כצפוי, בכל המקרים שבהם היו השאלות זהות, כלומר, אותן גלידות, תהיינה התשובות זהות. אבל עכשיו, שיברור את המקרים שבהם נשאלו התאומים שאלות שונות ויראה אם יש יותר הסכמות {כן-כן או לא-לא} מאשר אי הסכמות {כן-לא או לא-כן}. מהתגלית המתימטית של בל מסתבר שהתוצאות מצייתות לכלל פשוט: כאשר התשובות נקבעות על-ידי תכנית מוכנה מראש, אזי, באותם מקרים שבהם נשאלו צמדי שאלות שונות, חייבים צמדי-התשובות לתת יותר הסכמות מאשר אי-הסכמות.
עם התגלית הזאת יכולים אנו, יחד עם בל, לאזור אומץ ולעלות אל אותה מרפסת שבה שקועים שני החברים בוויכוח שלהם. מה שאנחנו צריכים לעשות הוא לבקש את המחברות שבהן נרשמו תשובות התאומים במהלך כל השבתות. הפעם לא נתעכב על ההתאמה המפליאה בין התשובות בכל המקרים שבהם נשאלו התאומים שאלות זהות, אלא נבדוק את אותם המקרים Q והם הרוב Q שבהם היו השאלות שונות. האם יש בין התשובות יותר הסכמות או אי-הסכמות? עכשיו אנחנו יודעים שאם נמצא יותר אי-הסכמות אזי לא ייתכן שהתאומים השתמשו בתוכנית מוכנה מראש. במקרה כזה ניאלץ להודות כי אחת משתיים: או ששני התאומים ידעו מראש בכל בוקר איזו גלידה סבא וסבתא יציעו להם, כלומר, הם בעלי כושר נבואי, או, לחלופין, כל תאום מסוגל לדעת באופן טלפאתי איזו שאלה שואלים את אחיו בעיר האחרת וגם איזה תשובה נתן האח, כדי לתת את התשובה ההפוכה, במקרה שהם נשאלו לגבי שני טעמים שונים.
לשמחת בוהר ולמגינת-לבו של איינשטיין, נגלה שיש יותר אי-הסכמות מאשר הסכמות.
מדוע אנחנו משחקים כאן בתאומים ובגלידות? פשוט, כי מהמשל הזה קל לנו לעבור לנמשל. הנמשל הוא ניסוי-מחשבה מפורסם שהתפרסם ב1935- והפך לפני שנים אחדות לניסוי אמיתי. זהו ניסוי איינשטיין-פודולסקי-רוזן, הידוע בראשי התיבות EPR, על שם ממציאיו {נתן רוזן הוא כיום פרופסור אמריטוס בטכניון}. אציג כאן את הניסוי בצורה המודרנית שפותחה על-ידי דייויד בוהם ואחרים. ובכן, במקום שני התאומים היוצאים מתל-אביב נחשוב על זוג פוטונים הנפלטים יחד מאטום אחד לכיוונים שונים עד שהם מתרחקים מאוד זה מזה. תנאי הניסוי מחייבים שהפוטונים יהיו בעלי קיטוב זהה. מהו קיטוב? אם תחשבו על גל-האור, הרי תנודותיו יכולות להיות בכיוון למעלה-למטה, ימינה-שמאלה וכו'. כיוון התנודות האלה הוא הקיטוב, וזכוכית מקטבת מאפשרת רק לאור בעל קיטוב מתאים לעבור דרכה. על פי תורת הקוונטים, הקיטוב הוא גודל בדיד ולא רציף, כלומר, בכל כיוון שבו נציב זכוכית מקטבת לפני פוטון יחיד, נקבל אחת משתי תשובות: או שהפוטון עבר לחלוטין או שהוא נחסם לחלוטין. במקרה שלנו, הפוטונים הם בקורלאציה, כלומר, אם פוטון אחד עבר זכוכית מקטבת שהוצבה לפניו בזווית כלשהי, מתחייב שגם הפוטון האחר יעבור זכוכית מקטבת שהושמה לפניו באותה זווית. אם כן, כמו התאומים שלנו, זוג פוטונים כזה חייב לתת תשובות זהות לשאלה של הפיסיקאי: האם אתה עובר או לא עובר בכיוון הקיטוב הזה?
ברור לנו מהי המלכודת שטמן כאן איינשטיין לבוהר, ושלבסוף נפל בה הוא עצמו. אם צודק בוהר בטענתו כי לשני הפוטונים אין כיוון קיטוב מוגדר לפני שנמדדו {כלומר, הם בסופרפוזיציה}, ורק המדידה קובעת אותו, ואם בסופו של דבר צריכות התוצאות להיות זהות, משתמע מכאן שמדידת חלקיק אחד קובעת בו-זמנית את קיטובו של החלקיק השני, ויהיה זה מרוחק מהראשון ככל שנרצהB עכשיו, מי יעז להסתכל לאיינשטיין בעיניים ולומר דבר כזה? הרי תורת היחסות אוסרת על קיומן של השפעות מיידיות, שמהירותן עוברת את מהירות האור. כאן הצליח איינשטיין להראות שתורת הקוונטים עלולה לסתור את תורת היחסות, והמהומה הייתה רבה.
והנה, שלושים שנה דשו הפיסיקאים בפרטי ניסוי הEPR-, והוויכוח היה בעיקרו פילוסופי כי הניסוי בצורתו המקורית אינו יכול להכריע בין בוהר לבין איינשטיין. איש אינו חולק על כך שאם נמדוד את כיוון הקיטוב של הפוטונים באותו כיוון, תתקבל אותה תשובה. כך מתחייב מעצם תנאי הניסוי. השאלה היא איך לפרש את התוצאות, וכאן יכול כל צד לפרשן לשיטתו. איינשטיין יאמר: שני הפוטונים יצאו מן האטום עם כיוון קיטוב מוגדר, ולכן אין פלא שיש ביניהם התאמה. ואילו בוהר יאמר: שני הפוטונים יצאו בסופרפוזיציה בלי שום קיטוב. רק ברגע שמדדת את הפוטון האחד, הכרחת את השני להימצא באותו מצב.
גדולתו של ג'ון בל היא בכך שהוא הסב את תשומת-הלב לכיוון שאף אחד לא חשב עליו קודם לכן. הוא הציע: ניקח שני פוטונים הנפלטים מאותו אטום לשני כיוונים, כפי שהציעו איינשטיין, פודולסקי ורוזן. כל אחד מהפוטונים האלה יייקלט על-ידי מכונה המודדת לגמרי באקראי אחד משלושה כיווני קיטוב. הקשר בין המשל והנמשל ברור: שני התאומים שלנו הם שני הפוטונים, שלוש הגלידות הן שלושת כיווני הקיטוב, ואוהב ולא-אוהב פירושם עובר ולא-עובר בכיוון קיטוב מסוים. גם כאן, אנו מצפים שבכל פעם שהפוטונים ייתקלו בשני מקטבים המוצבים באותה זווית, אזי או ששניהם יעברו או ששניהם ייחסמו. אבל מה באשר למקרים שבהם עבר כל פוטון מדידת קיטוב שונה? כאן חל "אי-שוויון בל" הנודע, שבתרגיל לעיל יישמתי אותו על סיפור התאומים. הוא נובע מעקרון אי-הוודאות, האומר שמדידת גודל אחד משנה גודל אחר. שימו לב: על פי תורת הקוונטים המדידה של הגודל האחד משנה את הגודל השני במציאות ולא רק את ידיעתנו לגביו. לכן, אם אנו מודדים שני חלקיקים מרוחקים בעלי אותם ערכים, מדידת ערך אחד של חלקיק אחד תשנה את הערך האחר של החלקיק השני. עכשיו, כשאנו מבינים את הנמשל, איננו יכולים לחכות עוד, וחיש-מהר נעשה את הניסוי בצורה שמציע בל: ניקח את כל המקרים שבהם נמדדו שני כיווני קיטוב שונים מבין השלושה שעליהם החלטנו, ונראה: האם יש יותר התאמות או יותר אי-התאמות בין התוצאות?
ניסויים כאלה עשו פיסיקאים אחדים בשנים האחרונות, כשהטכנולוגיה התפתחה לדרגה שבה ניתן היה סוף סוף לבצע מדידות כה עדינות. ובאמת, כמו במשל, גם בנמשל המציאותי מתברר שיש אי-הסכמות Q עובר-נחסם, נחסם-עובר Q יותר ממה שתאפשר כל תכנית שהייתה כתובה, כביכול, בתוך הפוטונים מלכתחילה {איור 4}. לפנינו אם כן הוכחה חותכת: בין שני חלקיקים הרחוקים זה מזה כרצוננו, יכול להתקיים קשר מיידי, בניגוד לרוחה של תורת היחסות.
אני אומר "בניגוד לרוחה של תורת היחסות" מפני שהניגוד אינו עם החוק הכתוב שלה, ולכן יש פיסיקאים שמנסים להתעלם מהבעיה בגלל הבדל דק זה: אמנם הניסוי לעיל מוכיח השפעה מיידית של חלקיק אחד על משנהו, בלא התחשבות בגבול העליון של מהירות האור שהציבה היחסות, אבל לא ניתן להעביר אינפורמציה באופן זה, מפני שלא ניתן לשלוט על התוצאה שתתקבל במדידת הפוטון היחיד. לכן, אומרים כמה אנשים, בוא נאמר שתורת היחסות אוסרת רק על העברת אינפורמציה במהירות על-אורית, ואז לא תהיה לנו סתירה. הניסוח הזה נראה לי, כמו גם למרבית הפיסיקאים התיאורטיים, התחמקות. ברור שאיינשטיין עצמו היה רואה כאן סתירה עם תורת היחסות ולא היה מטאטא אותה בנימוקים כאלה.
לסיפור הזה יש שני המשכים, אחד עצוב ואחד שמח. העצוב הוא שג'ון בל נפטר ב1990- באופן פתאומי בגיל 62. ההמשך השמח הוא שבערך באותו זמן המציאו שלושה פיסיקאים Q גרינברגר, הורן וציילינגר Q ניסוי מעניין עוד יותר: במקום שני חלקיקים יוצאים שלושה חלקיקים מאותו מקור, ועל כל אחד מהם מבצעים אחת מתוך שתי מדידות. המיוחד במצב זה הוא שאין צורך בחזרות רבות, כמו בניסוי הקודם, שעל תוצאותיהן צריך לעשות ניתוח סטטיסטי כדי להכריע בין איינשטיין ובוהר. כאן די בניסוי אחד ויחיד כדי לדעת על פיו איזו גישה צודקת. חוקר צעיר מאוניברסיטת דורהאם, לוסיאן הארדי, מצא הוכחה חדשה לקיומה של השפעה ממרחק בין שני חלקיקים, כמו בניסוי EPR. חברי דניאל רורליך, סנדו פופסקו ואני הוכחנו כי פעולה ממרחק בניסוי EPR אינה תופעה סטטיסטית בלבד אלא חייבת לפעול בכל זוג חלקיקים. בזמן שאני מכין דברים אלה לדפוס עדיין ידוע ניסוי גרינברגר-הורן-ציילינגר כניסוי מחשבתי, אבל אני מעריך שתוך כמה חודשים הוא יהיה ניסוי ממשי. אגב, ציילינגר הוא האיש הטוב ששכלל את ניסוי הפצצה שתיארתי בפרק ב'.
בעיה קשה דוחפת לפתרונות קיצוניים, ולפעמים מטורפים. בין הניסיונות הרבים שהוצעו כדי ליישב את הסתירה בין תורת הקוונטים לבין השכל הישר, הראשון היה זה של בוהר, והוא נקרא תיאוריית הקומפלמנטאריות {השלמה}. בוהר האמין שהטבע ניתן להסבר על-ידי תיאורים סותרים, ושדווקא תיאורים סותרים כאלה משלימים זה את זה. האם האלקטרון הוא חלקיק או גל? האם האדם הוא צבר של כימיקאלים מסובכים או ישות חיה? האם הנפש היא מיכאניזם עצבי או ישות רוחנית? בשנותיו האחרונות האמין בוהר שבכל המקרים האלה, השאלה מהו טבעו האמיתי של הדבר היא חסרת-משמעות; הכול תלוי בסוג הניסוי או בסוג התצפית שאנו עורכים. כך הופך הצופה לחלק בלתי-נפרד מהתצפית. פיסיקאים אחרים, בראשם פון-נוימן ו-ויגנר, עשו צעד מרחיק-לכת עוד יותר בקשר למעורבותו של הצופה: עולם הקוונטים הוא מסתורי, אבל גם התודעה האנושית, כפי שנראה בפרק י"א, היא דבר מסתורי. אם כן, אולי שתי הבעיות הן אחת? הם הסיקו לפיכך, שהתודעה היא האחראית למעבר הבעייתי מהסופרפוזיציה אל המצב המוגדר. בעקבותיהם היו שטענו שכל עולם התופעות הפאראפסיכולוגיות {ר' פרק י"ב} ניתן להסבר קוונטי. פיסיקאים אחרים טענו שבכל רגע שנעשית מדידה קוונטית, היקום מתחלק לאין-ספור יקומים, שבכל אחד מהם מתרחשת אחת התוצאות האפשריות, ויחד עם היקומים האלה מתפצל גם הצופה לאין-ספור "אני"ים, או שהתודעה מתפצלת לתודעות רבות שכל אחת רואה יקום אחר. הרעיון הזה נקרא "פירוש העולמות המרובים" ואם הוא נשמע לכם כהלצה, אני מבטיח לכם שיש כיום פיסיקאים רבים שמחזיקים בו ברצינות גמורה.
אני לא מאמין לאף אחד מהרעיונות האלה, ככל שיהיו חביבים על פופולריזאטורים שטחיים הבונים עליהם טיעונים "מהפכניים", כאילו הפיסיקה הוכיחה שאין מציאות אובייקטיווית והכל קיים רק בראש שלנו. כמובן, כל בעיה בעולם אפשר לפתור {נכון יותר, לפטור} על-ידי טיעונים כאלה, אבל תגליות מדעיות של ממש לא תימצאנה בדרך זו. חשוב להדגיש כי אף אחד מהפירושים המנוגדים הקיימים כיום לתורת הקוונטים אינו מציע ניסוי מעשי המסוגל להפריכו או לאששו, כך שאין לנו פה תיאוריות מדעיות במובן העמוק של המלה. כל הפירושים האלה רק מלמדים על עומק המשבר שתורת הקוונטים מצויה בו מזה שנים רבות. פתרון הניגוד בין תורת הקוונטים לתורת היחסות מצוי לא בהפיכת התודעה לגורם המעצב את המציאות הפיסיקלית, אלא באותם היבטים יסודיים של המציאות הפיסיקלית שתורת היחסות מטפלת בהם. במלים אחרות Q וכאן אני מסגיר דעה אישית Q תורת הקוונטים של העתיד תאמר לנו דברים מפתיעים מאוד על המרחב ועל הזמן.
למעשה, בשנים האחרונות הופיעו כמה רעיונות מעניינים בנושא זה. פיסיקאים אחדים טענו כי בעולם הדברים הקטנים מאוד, שבו שולטת תורת הקוונטים, ניתן לראות את כיוון הזמן כאילו הוא לפעמים מתהפך. כלומר, בעוד שבעולמנו הרגיל כל אירוע משפיע על מה שיהיה בעתיד, בעולם הקוונטי יכול אירוע להשפיע באותה מידה גם על אירועים קודמים בעבר. הרעיון הזה, שהוצע לראשונה על-ידי ריצ'רד פיינמן, יצר פריצת-דרך בדמות תורת האלקטרודינמיקה הקוונטית והעניק לפיינמן את פרס נובל. פיינמן גילה שניתן לראות חלקיקים מסוימים, הקרויים אנטי-חלקיקים, כחלקיקים הנעים אחורנית בזמן. קריימר הראה לפני כעשר שנים שאם מכלילים את ההכרה הזאת על כל האינטראקציות הקוונטיות, כמה מהתופעות שהטרידו אותנו מתגלות באור חדש. כך, למשל, פאראדוקס הEPR- מתגלה כמצב שבו אחת המדידות משפיעה אחורנית בזמן על אירוע הפליטה של שני החלקיקים שהתרחש בעבר, ומשם חוזרת ההשפעה וקובעת את מצבו של החלקיק המרוחק השני בהווה. ההשפעה מתקדמת אם כן במסלול משונה במרחב-זמן הקרוי "זיגזאג פיינמן." יקיר אהרונוב מאוניברסיטת ת"א הוכיח לפני שנים רבות כי ניתן לראות את מצבו של חלקיק בזמן שבין שתי מדידות כאילו החלקיק מושפע הן מן המדידה הקודמת והן מן המדידה הבאה. מתברר כי במצב-ביניים זה יש לחלקיק כמה תכונות פאראדוקסאליות שטרם נחקרו די הצורך.
הוא אשר אמרתי: הקוונטים לא מערערים את קיום המציאות האובייקטיווית, כפי שמציגים זאת פופולריזאטורים רבים, אלא עושים משהו יותר מעניין. הם מראים לנו שהדרך שבה אנחנו חושבים על הזמן והמרחב, אפילו אחרי המהפכה האדירה של תורת היחסות, אינה שלמה. אם האמירה הזאת נשמעת לכם קיצונית, בואו נבחן מקרוב את מושג הזמן עצמו, בלי קשר לתורת הקוונטים, ונראה איך בעייתנו רק תחריף.
הגיע הזמן לגשת להביט מקרוב במושג הזמן.
יש לי סברה
אל הנער שבי התמים '
שימצא באחד הימים '
את בגדיי הפזורים על החוף. '
נתן יונתן, ”שוב החורף חורש את הים“
גלילאו, דארווין ואיינשטיין היו גיבורי ילדותי, לצד גיבורים רגילים יותר שכיכבו בספרי ההרפתקאות של אותם ימים. המילה ”מדען“ רק החלה להתאזרח בשפה, ובספרים הישנים עוד כיכבו ”המלומדים,“ תואר אפוף יראת-כבוד. מדי פעם, כששמעתי דיון בנושא מדעי כלשהו, הייתי מעיר ברוב-חשיבות: ”המלומדים סבורים ש...“ החלטתי גם אני להיות מלומד כשאגדל.
ברחוב מרגולין ברחובות גרו ניצולי שואה מפולין ורומניה לצד עולים מתימן. באמצעו, בחצרות הומות חיות ועופות משק, גרו משפחות גַדיָאן, אַמדָדִי ויוֹשעִי שעלו מאיראן. אמדדי פירושו ”מבטחי“ בפרסית. סבי, שהיה מוּלָא (רב) ונצר לשושלת של עושי-נפלאות, התהדר בגרסה המוסלמית של השם, ”מֵדָדאוֹללָה“ ואבי, בהברקה לשונית, עברת אותו ל”אליצור.“
הייתי ילד עולה חדש, קטן-קומה, מתבודד, חשדן, יהיר, ותלמיד גרוע. בחינוך הממלכתי-דתי היחס לתלמידים היה אז מחפיר. מורים הרשו לעצמם להעליב תלמיד ואפילו להחטיף לו סטירה על כל דבר של מה-בכך. בית-הספר וכל הקשור בו עוררו בי מיאוס. שנים אחדות עבדה אמי כעוזרת-בית במעון הרב דוד משה רוזנבוים, אדמו"ר חסידות קרטשניף ברחובות, שם דבק שריד של מבטא יידי בעברית שלי, שלא הצלחתי להיפטר ממנו עד היום, כמו גם ההרגל לשיר בכל הזדמנות ובכל סגנון אתני. אבל שם, ב”חַיידֵר“ אליו הייתי מציץ בעוד אמא שוטפת כלים או רצפה, גם ראיתי מה מעולל לילדים חינוך דכאני, בעיקר הפחד מהגוף ומהמיניות. העיתונים סיפרו על מרד הסטודנטים בארה"ב. ”הִיפִּי“ היה כינוי גנאי לכל מי שלא הסתפר. בעיניים כלות קראתי על הצעירים מעבר לים שהטיפו לאהבה חופשית ומרדו בשלטון הצביעות והבצע. לא נראה שהתבגרתי הרבה מאז.
בעזרת רופא צייתן השגתי שורת אבחנות מעורפלות שאפשרו לי להיעדר מדי פעם מהלימודים לטובת בתי-ספר רלוונטיים יותר. באותם ימים היה כל השטח בין רחובות לרמלה ונס-ציונה מכוסה בפרדסים ושדות-בר, מנומרים בגבעות כורכר שיחניות, וביניהם בִּצה שהייתה מתמלאת מדי חורף, רוחשת שפע יצורי-מים ובעלי-כנף. בין הפרדסים גרה משפחת אל-עסאוִּי, בדואים משבט א-סאנע שילדיהם היו חבריי האהובים. כשהגיע אחי הצעיר לגיל שלוש לקחתי אותו אליהם לכמה ”טיולי גיבוש“ שגרמו לפעוט להדק את שפתיו כדי שלא לבכות. את יבול החינוך הזה קצרתי שנים רבות אחר-כך כשטיילתי אתו, עתה איש-ביטחון חסון, בין מה שנותר מהפרדסים. פתאום זינק אל אבן לצד הדרך ושלף מתחתיה זעמן שחור ענק שהחליט שאני האשם בכל המהומה ונעץ בכף-ידי את שיניו. עכשיו הייתי אני צריך להתאפק שלא לצרוח.
*
מגיל רך זכיתי להכיר אנשים שהחדירו בי אהבה לקריאה. אבא ז"ל היה מורה, איש כריזמטי ומבריק, אבל מגיל צעיר נשא קווי-אופי הרסניים שעתידים היו להפוך בערוב ימיו לדיכאון משתק. הוא תיעב תינוקות, ואל ילדיו כמעט שלא התקרב עד שלמדו לדבר. לעתים חשתי כבנו של ילד מגודל, נוטה להתפרצויות-זעם ומרוכז רק בעצמו. עם השנים גבר בינינו הריחוק, משאיר בי צימאון לאהבת-אב. אבל הספרייה בחדרו הנעול, אליה הייתי מטפס בהיעדרו, ושהכילה ספרי-קודש לצד ספרים אחרים, לא תמיד מתאימים לילד, הייתה לי עוד בית-ספר.
בבית ממול גרה הניה, חברתה של אמא שנעשתה בת-בית במשפחתנו. מאות ספרים קנתי לי אשה יקרה זו, ובהם הייתי שקוע כל שנות ילדותי. בבית הסמוך גר בן-דודי מנשה, תלמיד מצטיין ומורי הראשון למדעים. המורה לטבע מרגלית הלפרט-קוטב, שגרה במורד הרחוב, הייתה נקודת-אור זוהרת בבית-הספר והייתי תמיד אורח רצוי אצלה, שואל מספרייתה ספר אחר ספר. וברחוב המקביל גר הזוג היפה ביותר שראיתי מימיי. עזרא אֶיָל היה פרופסור לפיסיולוגיה בפקולטה לחקלאות של האוניברסיטה העברית. הוא ותמר כבר עמדו להיות סבא וסבתא כשהקשתי יום אחד באמתלה כלשהי על דלתם, וכך התוודעתי אל סיפור אהבה גדול הנמשך עד היום כשעזרא ז"ל כבר איננו. הם היו הוריי השניים.
בצפון רחובות שוכן מכון וייצמן. כמה מחבריי ללימודים, בני משפחות פרנקל והירשפלד, היו בנים לעובדי המכון. פעמים רבות הוזמנתי אליהם לארוחת שבת, מקשיב לסיפורים על שנת השבתון באמריקה ומתבונן ביראת-כבוד באבא הפרופסור שר ”יה ריבון עלם ועלמיא.“ בחצר הסמוכה שיחק שחר בן-מנחם, ילד ג'ינג'י שבעיתונים כתבו שהוא גאון. רציתי לדבר אתו על מדע אבל התביישתי. רק כשהיינו שנינו כבני עשרים, במי בריכת השחייה של המכון, הרהבתי עוז לפנות אליו ולהחליף לחיצת-ידיים רטובה. שעות וימים שוחחנו על יחסות וקוונטים, אני רברבן דעתן והוא מתקן אותי בנועם ובסבלנות. שנים רבות מאוחר יותר, כשביקרתיו בברקלי והתווכחנו על משהו, הזכיר לי שעם כל הכבוד, הוא שהכניס אותי אל עולם הפיסיקה. הודיתי, תרתי משמע.
*
יום אחד חדרה האסטרונומיה לרגע לחיי. הייתי כבן אחת-עשרה. אמא עשתה לי קפה בחלב. זה היה קפה שחור שגרגיריו צפו מעל המשקה החם. ערבבתי את הקפה והבטתי בגרגרים הצפים. הם התקבצו אל נקודת המרכז. האם יש כוח משיכה בין הגרגרים? נזכרתי במשהו שאמרו המלומדים על מתח הפנים של המים ושיערתי שהוא המצופף אותם זה אל זה. והנה, לפני שכל הגרגרים הצטופפו לגוש אחד, ניתן היה לראות כמה ”זרועות“ לולייניות שנוצרו מהם, הולכות ומתכנסות אל המרכז. מאיפה היה המראה מוכר לי? שבתי וערבבתי את המשקה, שוב התפזרו הגרגרים ויצרו זרועות, ולפני שהתכנסו שנית לגוש קטן ידעתי מה אני רואה: זו הייתה צורת גלקסיה. התרגשתי. אני יודע איך נוצרו גלקסיות: כוח המשיכה יוצר גושי כוכבים ומושכם אל המרכז, הם מסתובבים מאיזושהי סיבה ולכן הכוח הצנטריפוגלי דוחף אותם החוצה, אבל לבסוף המשיכה מתגברת. איזה יופי! ”אני סבור שחוקי היקום שולטים גם בספל קפה.“
תהיתי אם גם המלומדים סבורים כמוני.
ואף על-פי כן, נוע ינוע הזמן
הזמן חורת בפנינו את כל הדמעות שלא הזלנו.
נטלי קליפורד ברני
”בזבזתי את הזמן, ועכשיו הזמן מבזבז אותי!“
מילים מצמררות אלה ששם שייקספיר בפי ריצ'רד השני מזכירות לכולנו את הצד הקודר של הזמן: שגיאות שלא ניתן לתקנן, אנשים יקרים שמתו והזדמנויות שהוחמצו. כהד לשייקספיר עונה המלחין הצרפתי ברליוז: ”הזמן הוא מורה טוב, אבל הוא הורג את תלמידיו.“ מצד שני, קשה שלא לרחם על אלה שמשתעבדים לזמן, שכל חייהם עוברים בהצצה בלתי-פוסקת במחוגי השעון ושמפסידים את הצד היפה של הזמן: את הלידות החדשות, את חסד השנים המוסיפות חוכמה וניסיון חיים, ואפילו את החכמה שבאמירתו של ג'ון לנון: ”זמן שנהנית לבזבז לא בוזבז.“ לא כדאי לברוח מהזמן, אבל לא כדאי גם לרדוף אחריו. מהי, אם כן, תכונתו הבולטת ביותר של הזמן? נדמה לי שעל התשובה לא תהיה מחלוקת: הזמן עובר, הזמן רץ, הזמן בורח לנו כל הזמן.
בהיגד הזה יש בעיה אחת קטנטנה: מבחינה פיסיקלית, ואפילו סתם ברמה הלוגית, הוא מופרך מיסודו.
הגענו לפרשת-דרכים בספר הזה. עד כאן היו דרכינו סלולות ומסומנות יפה, תיאוריות מבוססות ומוכחות הראו לנו את הדרך.
כל אמירה מסוג ”הזמן חולף/עובר/זורם“ מובילה לסתירה מיידית. ניתן להמחיש סתירה זו על אמירתו המפורסמת של ניוטון ב”פרינציפיה“: ”הזמן המוחלט האמיתי, המתימטי, כשלעצמו ומעצם טבעו, זורם באופן אחיד וללא התחשבות בשום גורם חיצוני.“ כלומר, גם הוא סבר שהזמן זורם. הקביעה הזאת, ההגיונית כל כך לכאורה, אינה עומדת במבחן ההיגיון.
בואו נבדוק את הדבר מקרוב. ”לנוע“ פירושו ”להיות במקום אחד בזמן אחד, ובמקום אחר בזמן אחר.“ כלומר, הזמן הוא אמת המידה לתנועה. אם אני אומר שנסעתי לכאן מביתי, כוונת הדברים היא שבבוקר הייתי בביתי ועכשיו אני כאן, ובכל רגע של זמן נסיעתי הייתי במקום אחר בדרך. עכשיו יש לנו בעיה: אם נרצה לומר שהזמן עובר, הרי בהתאם להגדרה לעיל של ”תנועה“ נצטרך לומר שהזמן נמצא במקום אחד בזמן אחד ובמקום אחר בזמן אחר, וזה כמובן אבסורד. נסו למשל, לענות על השאלה ”באיזו מהירות זורם הזמן?“ ותראו איך אתם מסתבכים. לשם כך תצטרכו להניח את קיומו של מין זמן-על, שלפי אותו היגיון גם הוא יצריך זמן-על, וכך הלאה לאינסוף.
והנה, הפיסיקה עושה דבר פשוט עם חלוף-הזמן: היא מתעלמת ממנו לחלוטין. לשווא נחפש אותו באיזו תיאוריה או בחוק מחוקי הפיסיקה. כל מה שנותנים לנו חוקים אלה הוא כללי התאמה: אם נתונה מערכת מסוימת, ונתונים תנאי ההתחלה שלה, הרי בכל רגע ורגע תהיה המערכת במצב מסוים, בהתאם לאותו החוק. אבל בכך אין שום רמז לכך שהזמן זורם. קל להמחיש זאת על הדוגמה של מפה גיאוגרפית. המפה נותנת לנו התאמה בין קווי האורך או הרוחב של אזורים מסוימים לבין הגובה שלהם מעל פני הים. כך למשל, ככל שננוע בישראל מזרחה, נמצא את עצמנו במקום יותר ויותר גבוה מעל פני הים ואחר כך יותר ויותר נמוך, עד שנגיע אל הבקעה. ברור שאין בכך שום טענה שהארץ נעה באופן כלשהו, מזרחה או מערבה. ארץ-ישראל במקומה עומדת, רק הגובה שלה משתנה בהתאם לאזור. בדיוק באופן זה, הפיסיקה איננה אומרת לנו שום דבר על תנועתו של הזמן אלא רק על ההתאמה בין הזמן לבין מצבים פיסיקליים שונים. אם ידוע לנו, למשל, משקלה של אבן והגובה שבו היא נמצאת מעל לקרקע ברגע שנעזוב אותה, נוכל לדעת היכן היא תימצא בכל רגע נתון. אבל ההתאמה הזאת אינה אומרת שהזמן זורם, ממש כמו שהמפה אינה אומרת שהארץ נעה.
לא נצא מהתסבוכת הזאת גם אם נאמר שאנו עצמנו נעים בזמן. אותם פאראדוקסים יחכו לנו גם כאן. לומר שאנחנו נעים בזמן, פירושו להפוך את הזמן לממד מרחב כלשהו שעליו אנו נעים, ושוב זקוקים אנו לממד זמן נוסף.
אבל כאן באה תחושתנו הבלתי-אמצעית ומתקוממת כנגד האמירות האלה בתוקף. הרי אנחנו מרגישים בכל רגע של קיומנו מאפיין מיוחד של הזמן, והוא ה"עכשיו." מאפיין זה יוצר לגבינו הבדל ברור בין העבר, שהוא כבר לא קיים, בלתי-נגיש, בלתי ניתן לשינוי, לבין העתיד, שלגביו איננו יודעים כלום והוא עדיין פתוח, כשביניהם מפריד רגע ההווה הממשי שאותו אנחנו חשים באופן בלתי-אמצעי. אמרה יהודית עתיקה ביטאה יפה הבדל זה: "העבר אין, ההווה כהרף עין, העתיד עדיין, דאגה מניין?" יש לנו תחושה לגבי ההווה שהוא ממשי יותר, אמיתי יותר, בעוד שהעבר כבר איננו והעתיד עדיין איננו. אבל בואו נבדוק את האמירה הזאת.
הנה, למשל, היום שבו מוקלטת ההרצאה הזאת הוא יום רביעי. יש לי תחושה ברורה שיום רביעי זה נבדל מהימים האחרים בכך שהוא, מבחינתי, "עכשיו." יום שלישי כבר חלף ואיננו, ויום חמישי עדיין לוט בערפילי העתיד. כלומר, נראה לי שה"עכשיו" היה תחילה ביום ראשון ואחר כך ביום שני וכך עבר על פני השבוע כולו. אבל שוב אמרתי דבר הבל. ברגע שאני אומר שמשהו נע על פני הזמן, אני מניח זמן-על נוסף שאותו הפיסיקה אינה מכירה וגם אינה רוצה להכיר, ואולי בצדק, כי השערת קיומו של זמן נוסף תביא לנו סדרה אינסופית של זמנים, לפי אותו היגיון.
אם כן, לא הצלחנו להראות שההווה הוא במובן כלשהו יותר אמיתי מן העבר או העתיד. מבחינה זו דומה הזמן למרחב. ניקח לדוגמה את העיר שנחאי. לגביי היא לא קיימת באופן ממשי, מפני שהיא רחוקה ממני ואין לי שום מושג מה קורה בה. אבל לגבי אדם שנמצא בשנחאי, העיר רחובות איננה קיימת באופן ממשי. אם תשאלו אותי ואת הסיני שם היכן רחובות והיכן שנחאי, יאמר כל אחד "כאן" ביחס לעירו. מי צודק? ברור ששנינו צודקים באותה מידה, מפני ש"כאן" הוא מושג יחסי. אבל כך הדבר גם בנוגע ל"עכשיו"B הנה, יום רביעי זה הוא בשבילי "עכשיו," והוא יותר אמיתי מבחינתי מן היום שבו תשמעו או תקראו את מה שאני אומר עכשיו. אבל מבחינתכם, אותו היום יהיה "עכשיו" ואילו היום הזה כבר יהיה עבר ואיננו.
על-פי אותו היגיון, שאינו מאפשר לטעון שרחובות היא במובן מוחלט כלשהו יותר אמיתית מאשר שנחאי, אין לי שום הצדקה לטעון שיום רביעי זה הוא יותר ממשי מכל הימים שכבר היו במיליארדי השנים הקודמות או שעוד יבואו. בעצם, כל מי שלמד קצת פילוסופיה אנליטית יודע שמלים כגון: "כאן," "עכשיו," "זה," וכמובן המלה "אני," הם אינדקסיקלים, כלומר מלים שאמיתותן יחסית. אנשים שונים יכולים לומר "זה" לגבי עצמים שונים, וכל אחד מהם צודק. הפיסיקה מסכימה עם הפילוסופיה בנקודה זו בהתעלמותה מהאינדקסיקלים האלה, ובמקומם היא מעדיפה מונחים שכוחם יפה לגבי כל צופה. במקום "כאן" נציין קווי אורך ורוחב המוסכמים על הכול, ובמקום "עכשיו" נציין את הרגע על פי השעון המקובל. עזבנו מינוחים סובייקטיוויים ואימצנו שפה מדעית הנכונה לגבי כל הצופים, אבל המחיר שעלינו לשלם על כך הוא ויתור על האמונה שהזמן עובר. איך נסתכל, אם כן, על הזמן? האם הוא מעין מרחב, שבו קיימים העבר, ההווה והעתיד יחד, כמו ששנחאי ורחובות וכל שאר ערי העולם קיימות יחד? זו מסקנה מוזרה, אבל ההמשך יהיה מוזר עוד יותר.
בצר לנו, נפנה אל המהפכה המדעית האדירה ביותר שחלה בהבנת הזמן, תורת היחסות. כאן תלך בעייתנו ותחריף. המחיר שתובעת תורת היחסות מהשכל הישר שלנו בנושא זה גבוה הרבה יותר. בהמשך אני רוצה להראות שדווקא איינשטיין, בניגוד לפיסיקאים רבים, חש שהמחיר הזה שתובעת תורת היחסות מכאיב במיוחד.
בואו ננסה להבין מה אומרת תורת היחסות על תחושתנו כאילו יש מין "עכשיו" העובר על פני הזמן, מהעבר לעתיד. ראשית לכול היא מציבה בפנינו הנחה מוזרה: מהירות האור קבועה לגבי כל הצופיםB לא חשוב באיזו מהירות ולאיזה כיוון אנחנו נעים ביחס לקרן האור; אם אנו טסים לקראתה או בורחים ממנה, לעולם נקבל ממדידתנו תוצאה זהה: מהירות האור היא 300,000 ק"מ בשנייה. לכל הדעות זה רעיון משונה: אם אני רץ לקראת כדור שזרקו אליי, הרי שמהירותו ביחס אליי תהיה גבוהה יותר, ואם אני בורח ממנו, מהירותו לגביי תהיה נמוכה יותר. מדוע אין זה כך לגבי מהירות האור? הרשו לי לקצר את הוויכוח בציון עובדה פשוטה: ההנחה הזאת של תורת היחסות הHכחה. כל המסקנות המוזרות של התורה ניתנות לגזירה מההנחה הזאת, בצירוף הדרישה שחוקי הטבע יהיו שווים לכל צופה. לכן, הזמן והמרחב אינם מוחלטים; הם משתנים בהתאם למהירותו של כל צופה, כך שמהירות האור יוצאת בסופו של דבר תמיד קבועה. עם המסקנות האלה של תורת היחסות נמנית גם המסקנה שמה שאנו מכנים "עכשיו" הוא יחסי לגמרי.
נחזור ליחס בין שנחאי לרחובות כדי להסביר יחסיות זו. נניח שסיני אחד מפעיל משדר רדיו בשנחאי, והוא מודיע: ברגע שבו יגיע על פי חשבוני האות הזה לישראל, אכה בגונג לציין את הידידות בין שני העמים. נניח עוד שאני וחברי נוסעים במכוניותינו, אני מזרחה והוא מערבה, וחולפים זה על פני זה בכביש. אות הרדיו של הסיני נקלט במקלטי מכוניותינו בדיוק ברגע שבו אנחנו חולפים זה על פני זה. נניח עוד שלמען המדע העלימה משטרת ישראל עין מהעובדה שקצת חרגנו מהמהירות המותרת Q נאמר, נסענו במהירות של כ200,000- ק"מ בשנייה. עכשיו השאלה היא, מתי היכה הסיני בגונג? כיוון שהמהירויות העצומות שבהן נסענו אני וחברי בכיוונים מנוגדים יצרו, כאמור, הבדלים ניכרים בין מדידות הזמן והמרחב שלנו, הרי שאנו נחלוק זה על זה בשאלת הזמן שבו עשה הסיני את המעשה. אני אומר: הוא עשה את זה קצת לפני שעברנו זה מול זה, וחברי אומר: לא, הוא עשה את זה דווקא קצת אחרי כן. הוויכוח שלנו לגבי הסיני מסתכם בכמה חלקיקי שנייה, אבל אם הסיני חי במקרה לא בשנחאי אלא על כוכב בערפילית אנדרומדה {ואות הרדיו המבשר על צלצול הגונג שודר לפני דורות רבים}, כי אז, גם אם אני וחברי חלפנו זה על פני זה ברחוב בהליכה רגילה, נהיה חלוקים זה על זה בשנים רבות: אני אטען שברגע הפגישה בינינו כבר נח הסיני שבע ימים בקברו, שנים רבות אחרי שנדמו ונשכחו הדי פעמונו, ואילו חברי יטען שהסיני עודו מיילל בחיתוליו, ושהצלצול בגונג הוא עוד עניין לעתיד. עכשיו נחשוב על שניים סינים שם באנדרומדה, לאו דווקא עם כינור גדול אבל עם מכשירי מדידה משוכללים, המתווכחים על מה שאני עושה במה שלגביהם הוא "רגע זה," ונבין כי גם הם יתווכחו ביניהם אם אני עוד תינוק בעריסה או כבר מזמן בר-מינן. הנה אם כן, ה"עכשיו" שלי יכול להיות "עכשיו" לצופה אחד, "עבר" לשני ו"עתיד" לשלישי, הכול בהתאם למערכות הייחוס שלהם, כלומר למהירויות ולכיוונים שבהם הם נעים. אבל מהו באמת הרגע הזה שבו אני נמצא? עבר, הווה או עתיד? תורת היחסות היא דמוקרטית בנקודה הזאת. היא אומרת: אין צופה מיוחס, ולכן אין שום "עכשיו" מוחלט שהוא באופן אובייקטיווי נכון יותר. כך נאלצים אנחנו לוותר על עצם מושג ה"עכשיו."
מכאן אנחנו עוברים להתוודע לשני מושגים מרכזיים בתורת היחסות, שאותם אנו חייבים למתימטיקאי הנודע הרמן מינקובסקי .))H.Minkowskiהמושג הראשון הוא ה"מרחב-זמן." הזמן הוא למעשה ממד אחד מארבעת הממדים של "מרחב-זמן" הכולל גם את שלושת ממדי המרחב שאנחנו יכולים לראות. איור 5 הוא "דיאגרמת מינקובסקי" הממחישה את הרעיון הזה. בתמונה זו, כדי להקל על דמיוננו, אנו משמיטים ממד מרחב אחד ומסתפקים בעולם דו-ממדי, כך שהממד השלישי הוא ממד הזמן שלו. אם כן, כל חתך דו-ממדי במרחב הזה הוא רגע אחר בזמן. ה"למטה" הוא כיוון העבר בעוד ה"למעלה" הוא העתיד. המושג החשוב השני בתורת היחסות הוא "קו-העולם." כל עצם במרחב הרגיל הוא קו-עולם במרחב-זמן, והוא נמשך מהעבר אל העתיד. כך, העיגול על המשטח הדו-ממדי שלנו הוא בעצם גליל ב"מרחב-זמן" התלת-ממדי שיצרנו. מה שיפה בדיאגרמה הזאת הוא שהיא יכולה לתאר את כל המצבים של עצם כלשהו בכל רגע בזמן. כך, למשל, אם בשלב מסוים זז העיגול ממקומו ימינה ואחר כך שמאלה, יהיה קו-העולם שלו מפותל לכיוונים אלה באותם קטעי זמן. ומהמשל אל הנמשל: כל עצם שאנחנו רואים בעולמנו התלת-ממדי הוא בעצם קו-עולם ארבע-ממדי הנמשך מהעבר אל העתיד, וכל תנועותיו של עצם זה הן עיקומים ופיתולים על קו-העולם שלו.
בכך, כמובן, נעלמה מהותו החולפת של הזמן. היקום נתפס כאוסף של מצבים, מראשיתו ועד סופו, שכולם, במובן מסוים, קיימים באותה מידה. הרעיון שישנו מין "עכשיו" החולף לאורך הזמן והופך אירועים עתידיים שטרם אירעו להווה ממשי, אין לו מקום כאן. זוכרים את הסיני מאנדרומדה? הדיאגראמה של מינקובסקי תעזור לנו להבין מדוע מושג ה"עכשיו" הוא יחסי: ה"עכשיו" הוא חתך במרחב זמן. לגבי צופה נח, החתך הזה פשוט ניצב לממד הזמן. אבל לגבי צופים נעים, מישור ה"הווה" נוטה בהתאמה לכיוון ולמהירות תנועתם {איור 6}. מכאן, שיש צופים ביקום שמבחינתם מתרחשים "עכשיו" אירועים בעברי או בעתידי הרחוק. אין משמעות לשאלה מי צודק, כי הכול תלוי בנקודת המבט. כך אובדת משמעות ה"עכשיו" המוחלט ובמקומו מופיע היקום כאוסף של מצבים Q עבר, הווה ועתיד Q המסודרים יחד לאורך ממד הזמן.
כאן המקום להעיר כי למרות שבתיאור זה הזמן הוא ממד כממדי המרחב, בכל זאת יש לו מאפיין ייחודי. משפט פיתגורס במרחב, כידוע לנו, מורה איך למצוא את המרחק בין שתי נקודות: נמדוד את הבדלי האורך, הרוחב והגובה ביניהן, נעלה כל אחד מהגדלים האלה בריבוע, נחבר אותם ואז נמצא את ריבוע המרחק בין הנקודות. במרחב-זמן, לעומת זאת, אם אנו רוצים למצוא את ההפרש בין אירוע במקום אחד ובזמן אחד לבין אירוע אחר במקום שני ובזמן שני, עלינו לחזור על התרגיל בארבעה ממדים, אבל את ממד הזמן בריבוע נצטרך לא להוסיף אלא להחסירB אף אחד לא נתן עדיין הסבר של ממש ל"מינוס" הזה המייחד בתורת היחסות את הזמן, אבל עבורנו יש כאן עוד חיזוק לחשד שהזמן אינו "סתם" ממד.
לפרופ' יובל נאמן אני מודה על הערה מאלפת שהעיר על דברים שכתבתי פעם בהקשר זה. החלקיקים הידועים כיום נחלקים לשני סוגים מבחינת מהירותם: חלקיקים "דמויי-זמן," והם החלקיקים שמהם עשויים העצמים המוכרים לנו, ושאינם יכולים לעבור את מהירות האור, ולעומתם חלקיקים "דמויי-אור" כגון הפוטונים והנייטרינואים, החייבים לנוע רק במהירות האור. והנה בשנות השבעים מצא סודרשאן, על פי שיקולי סימטריה, פתרון שלישי למשוואות תורת היחסות, שהוא בדיוק הפוך לחלקיקים "דמויי-הזמן" המוכרים לנו. אלה הם חלקיקים "דמויי-מרחב," שמהירות האור היא גבול מהירותם התחתון, שאליו אין הם יכולים להגיע. חלקיקים כאלה, שאיש טרם גילה אותם, נקראים "טאכיונים." טאכיון צריך להתאמץ כדי להאט את מהירותו, כי מהירות אינסופית היא עבורו מה שמצב המנוחה הוא עבורנוB מה שמעניין אותנו הוא איך הטאכיון רואה את העולם שלנו. מבחינתו הזמן אינו עובר אלא כל הזמנים קיימים בעת ובעונה אחת, ולעומת זאת המרחב "עובר"B בכיוון שבו נע הטאכיון במרוצתו השגעונית, היקום כולו מתכווץ לגודל אפס, והוא חווה את ממד המרחב שבו הוא נע כפי שאנחנו חווים את הזמן, נקודה אחר נקודה. נאמן מסיק מכאן שתורת היחסות מסבירה יפה את חלוף-הזמן על סמך האופי של קווי-העולם שלנו: עצמים שקווי-העולם שלהם הם "אנכיים" כמו שלנו, כלומר, נמתחים מהעבר לעתיד, חווים את המרחב כקיים לכל אורכו, בעוד שהזמן נקלט אצלם רגע אחר רגע. שונה הדבר לגבי עצמים כמו טאכיונים, שקווי-העולם שלהם הם "אופקיים": ממד המרחב שבו הם נעים, נאמר צפון-דרום, נתפס על ידם נקודה אחר נקודה, ממש כמו שהזמן נתפס אצלנו רגע אחרי רגע. מאידך, הזמן שלנו קיים עבורם כמו שממדי המרחב קיימים עבורנו, כלומר כל הרגעים, בעבר, בהווה ובעתיד, קיימים יחד.
הטיעון הזה, לדעתי, מחריף עוד יותר את הבעיה שלנו. הוא מדגיש שהזמן הוא חולף רק מנקודת-הראות של יצורים כמונו, העשויים מחלקיקים רגילים. אם יתברר שטאכיונים הם עצמים ממשיים, אזי יתברר שהזמן הוא ממד ממש כמו ממדי האורך והרוחב, והעבר והעתיד קיימים בו לצד ההווה. אני עצמי לא מאמין באפשרות זו, כי הראיתי במקום אחר שפריצת מחסום מהירות האור סותרת לא רק את תורת היחסות {בעיה שמודל הטאכיונים הצליח לעקוף}, אלא גם את תורת הקוונטים והתרמודינאמיקה.
מעניין שאפילו כמה מהרעיונות האחרונים בפיסיקה הנחשבים לנועזים וגובלים במדע בדיוני, הם שמרניים להפליא בכל הקשור לשאלת מעבר הזמן. קחו לדוגמה את הנושא הנדוש מאז ימי ה. ג'. וולס, של מסע בזמן. הרבה אנשים טובים הוגיעו מוחם בפאראדוקסים הלוגיים הקשים שמעורר רעיון כזה. מה יקרה אם אדם יסע אל העבר ויהרוג את סבא שלו כשעוד היה ילד? הרי אז הוא לא היה יכול להיוולד ואז אין מי שיהרוג את הסבא, ולכן הוא כן ייוולד וכן יהרוג אותו. ומה, לחלופין, אם הסבא יסע אל העתיד, יראה איזה נכד עומד לצאת ממנו, ואז יחזור להווה ויהפוך לנזיר?
שאלת המסע בזמן מובילה אותנו אל השלב הבא בתורת היחסות, הקרוי תורת היחסות הכללית. לא ניכנס כאן לפרטיה, שכבר הוסברו בספרים אחרים בסדרה זו, ורק נציין שהיא מתארת את חוקי התנועה כנובעים מהמבנה של המרחב-זמן. הגרוויטציה, למשל, היא עיקום של המרחב-זמן. גופים ה"נמשכים" אל גוף כבד פשוט מצייתים לחוק הראשון של ניוטון, המצווה עליהם להמשיך בתנועתם בקו ישר, אבל כשהמרחב-זמן עצמו מתעקם סביב גוף כבד, אזי "קו ישר" מוליך הישר אל הגוף עצמו. תורת היחסות הכללית גם תיארה את המרחב-זמן כולו, כלומר את היקום כולו, כמעוקם, והשאלה אם העיקום הזה עושה את היקום "סגור" על עצמו או לא היא אחת השאלות הפתוחות החשובות של הקוסמולוגיה. עוד תוצא ניסיוני חשוב של תורת היחסות הכללית הוא שגוף הנמצא בתאוצה מודד את הזמן לאט יותר. במלים אחרות: כל התהליכים בו מאיטים את מהלכם ביחס לגופים שאינם בתאוצה. כיוון שתאוצה וגרוויטציה הן היינו-הך בתורת היחסות הכללית, הרי שאדם הנמצא בקרבת כדור הארץ יזדקן לאט יותר מאשר חברו המרחף בחלל. ההבדל הזה כמובן זניח כשמדובר בשדה הגרוויטציה של כדור הארץ, אבל מי שיצליח להתקרב לחור שחור מבלי להיבלע בתוכו ויברח משם כעבור שעה קלה, יגלה שהוא נמצא בעתיד הרחוק, שכן הזמן שעבר על היקום בינתיים שווה לכמה אלפי שנים.
כל אלה הם תוצאות המתחייבות ממבנה המרחב-זמן העקום, כפי שהוא מתואר על-ידי היחסות הכללית. והנה, יש כמה פתרונות אפשריים של המשוואות המתארות את עקמומיות המרחב-זמן, שמהם משתמע שאפשר להפליג אחורנית בזמן. הראשון שהשתעשע בפתרונות אלה היה קורט ג[ד+ל הגאוני, מגלה משפט האי-שלמות שהרעיש את המתימטיקה. גדל התמודד עם פאראדוקס רצח-הסב לעיל בהנחה שרירותית שדבר כזה פשוט לא יהיה אפשרי. בשנים האחרונות התעורר מחדש העניין בעיקומי המרחב-זמן עקב המחקר בתכונות החורים השחורים, שאותם נפגוש בהמשך. שיהיה ברור: לאף אחד אין מושג ירוק מה קורה ממש בתוך החור השחור, באותה נקודה בעלת גודל אפסי האמורה להימצא במרכזו. הגיאומטריה של המרחב-זמן לא סתם מתעקמת בנקודה ההיא אלא יוצרת מין "קווץ'" כזה שכל המשוואות המתארות אותו נותנות אינסופים חסרי משמעות. ובכל זאת, היו שמצאו פתרונות שלפיהם ניתן לעבור דרך חור שחור או "חור תולעת" מן המקום והזמן שלנו אל יקום אחר או אל היקום שלנו בזמן אחר.
אבל מה בקשר לפאראדוקס הסב? האם אין דרך לא שרירותית להימנע ממנו? שני חוקרים ידועי-שם מאוקספורד, דייויד דויטש ומייקל לוקווד, הציעו רעיון מחוכם. הם אימצו את "פירוש העולמות המרובים" שכבר הזכרנו בדיוננו על תורת הקוונטים. לפי הפירוש הזה, כל פעם שפונקציית-גל כלשהי באה במגע עם עצם ה"מודד" אותה Q כלומר, אין-ספור פעמים בכל שנייה Q מתפצל כל היקום {ואנו יחד אתו} לאין-ספור יקומים שבכל אחד מהם מתממשת אחת התוצאות האפשריות. עם הרעיון הזה באו דויטש ולוקווד לפאראדוקס והכריזו שפתרו אותו: פשוט, מי שייסע אל העבר ויהרוג את סבו, יעשה את זה בענף אחר בהיסטוריה המתפצלת של היקום, ולענף הזה יהיה המשך אחר, שבו אין שום פאראדוקס.
הרעיונות האלה נחשבים, באופן טבעי, למהפכניים, אבל למעשה הם שמרניים עד שיעמום. כל המחברים האלה מניחים כדבר מובן מאליו שהזמן אינו זורם, ולכן העבר או העתיד קיימים ומחכים לנוסע הנועז ממש כאילו מדובר במסע במרחב. על האפשרות שהזמן מבטא התפתחות אמיתית, שעדיין אינה מובנת לפיסיקה, הם אינם טורחים להתעכב. לעומת זאת, השאלה שאנחנו מעלים כאן היא, בכל הצניעות, רדיקאלית באמת: האם הזמן הוא אכן רק ממד ותו-לא?
אם הזמן הוא רק ממד, מדוע אנחנו משוכנעים שהעתיד אינו קיים כפי שקיים ההווה? בתשובה מצביעה הפיסיקה על עובדה הנובעת מחוק שאותו נכיר בפרק הבא, החוק השני של התרמודינאמיקה. אחת התופעות הנובעות מחוק זה היא שכל מקורות האור, הקול וכדומה, פולטים אנרגיה בכיוון העתיד בלבד, ולכן אינפורמציה אינה יכולה להגיע אלינו מהעתיד. אבל מכך אי- אפשר להסיק שהעתיד אינו קיים, ממש כמו שאין הצדקה להסיק ששנחאי אינה קיימת רק משום שהאינפורמציה משם עוד לא הגיעה אלינו. לכן, אומר הפיסיקאי השמרן, העתיד והעבר קיימים בדיוק כמו ההווה.
רבים הפיסיקאים המכירים את תורת היחסות שאינם מודעים לפאראדוקס הזה שהיא יוצרת. אדם אחד לפחות היה מודע לו והוטרד ממנו. זה היה כמובן איינשטיין. היה לו ידיד אישי קרוב ושמו מיקלה בסו {{M.Besso. ידידותם החלה בציריך, באותה חבורה אגדית של סטודנטים שנקראה "אולימפיה" ושחבריה נהגו להתאסף מדי פעם לשתות אספרסו ולדון בענייני פיסיקה. בסו נשאר בקשר הדוק עם איינשטיין גם בשנים הבאות והיה מעורב בכל בעיותיו המשפחתיות, והשניים נהגו להחליף מכתבים ארוכים ביניהם. עברו השנים ובסו, הפיסיקאי, נעשה לפילוסוף, והוא מצא עצמו מוטרד יותר ויותר מבעיית מעבר הזמן. הוא חזר ואמר לאיינשטיין שמשהו חסר בדרך שבה מתארת תורת היחסות את הזמן: היא מתעלמת מתכונתו הדינאמית. איינשטיין כתב לו בסבלנות: "עליך להשלים עם העובדה שהזמן הסובייקטיווי עם הדגש שלו על העכשיו הוא נטול משמעות אובייקטיווית." חלפו כמה שנים Q סליחה: על-פי איינשטיין, נדמה היה שחלפו כמה שנים Q ומיקלה בסו נפטר. איינשטיין היה כבר איש זקן וחולה, והוא היה עתיד למות בעצמו כעבור חודש. הוא כתב לילדיו של מיקלה בסו מכתב קצת מוזר, מכתב של פיסיקאי המאמין באמונה שלמה שהפיסיקה שלו מתארת נכונה את העולם. וכך כתב: "מיקלה הקדים אותי קצת לעזוב את העולם המשונה הזה. זה לא חשוב. עבורנו, הפיסיקאים המסורים, ההבדל בין עבר, הווה ועתיד הוא אשליה, תהיה עיקשת ככל שתהיה."
בואו ניקח את מכתב התנחומים הזה של איינשטיין ברצינות. כפי שנראה, הוא מבטא השקפת-עולם עקבית ומגובשת. איינשטיין אומר שהאסון הזה, מות חברו, הוא פחות כואב אם מבינים שההבדל בין עבר, הווה ועתיד הוא אשליה. מיקלה בסו עדיין קיים בעבר, אבל כיוון שאנחנו יכולים לתפוס רק את ההווה איננו יכולים לראות את ידידנו המת. אבל הידיד הזה ממשיך להתקיים שם, בעבר. במונחי המודל של מינקובסקי, קו-העולם של איינשטיין ארוך בארבע שבועות מזה של מינקובסקי, אבל שני קווי-העולם נשארים קיימים זה לצד זה.
מורי, לארי הורביץ, שאל פעם שאלה חריפה לגבי האמירה הזאת של איינשטיין: מה היה קורה אילו מיקלה בסו החי היה בא אל איינשטיין ואומר: אוי ויי, אני כבר לא צעיר כמו שהייתי, כואב לי פה וכואב לי שם, וכיוצא באלה תלונות של זקנים? איינשטיין, על-פי אותה גישה, צריך היה לומר לחברו גם במקרה זה כי ההבדל בין עבר, הווה ועתיד הוא רק אשליה ולכן אין מקום לצער, שכן בסו הצעיר עודו קיים בעבר. אם ניקח את האמירה הזאת ונפתח ממנה תמונת עולם עקבית, נגיע למסקנה הבאה: כל אחד מאיתנו איננו "אני" אחד, אלא הרבה "אני"ים. בכל רגע ורגע של חיינו קיים "אני" אחר, דומם וקפוא, כמו תמונה בודדת בסרט, החווה את מה שקורה באותו רגע. החוק השני של התרמודינאמיקה, שעוד נתעמק בו, גורם לכך שהזיכרונות האגורים במוחם של ה"אני"ים הרגעיים האלה מסודרים כך שכל אחד מהם נושא זיכרונות של ה"אני"ים הנמצאים בעבר ולא של אלה הנמצאים בעתיד. לכן, יש לנו אשליה שאנו "אני" אחד עקב העובדה שכל "אני" רגעי נושא את הזיכרונות של קודמיו.
המסקנה הזאת בדבר ריבוי ה"אני"ים, אני חייב להדגיש, נובעת באופן הכרחי מתורת היחסות. אם לכל הרגעים בזמן אותה מידת ממשות, חייב הדבר להיות כך לגבי כל ה"אני"ים של הצופה: בכל רגע בזמן קיים "אני" אחר. הצופה האנושי הוא קו-עולם ארבע-ממדי כמו כל עצם אחר במרחב מינקובסקי, המשתרע לאורך הזמן מיום הלידה ועד המוות, ו"אני" הוא כל חתך תלת-ממדי בקו- העולם הזה. אבל קו-העולם עצמו, כמו כל המרחב-זמן הארבע-ממדי, אינו נע ואינו משתנה.
חברים, יש לי הרגשה שאני חוזר על עצמי, אבל אני מוכרח להדגיש שוב: ההנחה כאילו קיים איזה "עכשיו" העובר על קווי-העולם האלה והופך כל אירוע, לפי התור, מ"עתיד" ל"הווה" ול"עבר," אין לה מקום בתמונת העולם של הפיסיקה הנוכחית. פילוסוף המדע רודולף קרנאפ, ששוחח עם איינשטיין בנושא זה, סיפר כי העובדה שאת ההתנסות שלנו, שלפיה ה"עכשיו" שונה מן העבר ומן העתיד, אין המדע יכול לתפוס, הייתה בעיני איינשטיין "עניין של ויתור כאוב." "יש משהו ב'עכשיו,'" אמר איינשטיין, "שפשוט נמצא מחוץ לתחום המדע."
הפילוסופיה המודרנית הלכה בדרך-כלל בצייתנות אחרי הפיסיקה בנקודה זו. ברטראנד ראסל, ובעקבותיו פילוסופים אנאליטיים רבים כגון סמארט וגרינבאום, טענו שכל היגד מסוג "הזמן עובר" או "הזמן משתנה" הוא חסר משמעות. סמארט, כשמו כן הוא, אפילו טבע את החידוד: Changes do not change. עדי צמח, פילוסוף ישראלי רב-תחומי, הרחיק לכת ופיתח על יסוד ההשקפה הזאת אפילו תורת מוסר מיוחדת. הוא אמר כך: מהטענה שהזמן איננו עובר, אנחנו חייבים לקבל את זה שכל ה"אני"ים שלנו, מהינקות ועד יום המוות, קיימים באותה מידה, כל אחד ברגעו, לאורך ממד הזמן. אם כך הדבר, מדוע צריך אני לעשות דברים שיעזרו ל"אני" האחר שלי הקיים בעתיד? תשובתו של צמח, בעקבות דייויד יום ופילוסופים בודהיסטיים, היא שאכן אין הצדקה לכך שאעשה דברים שיעזרו לי בעתיד, כי ה"אני" הזה בעתיד אינו "אני" יותר מכל מישהו אחר. הוא רק נושא את הזיכרונות שלי. והמסקנה של צמח פשוטה: "ואהבת לרעך כמוך" Q בואו נאהב כולנו זה את זה כמו את עצמנו, מפני שכל אחד מאיתנו הוא אוסף של "אני"ים שונים, והקשר בין ה"אני" הנוכחי שלי לבין הבא אחריו לא צריך להיות חזק יותר מאשר הקשר ביני לבין חברי.
אם כן, יש לנו בנושא זה קונצנזוס רחב המאחד את מרבית הפיסיקאים והפילוסופים. אנחנו יכולים לחזור לרגע אל שני החכמים הקדומים שאתם התחלנו את מסענו אל חידות הזמן, הראקליטוס ופארמנידס. הראשון אמר: דבר אינו נותר כמות שהוא, והשני אמר: דבר אינו משתנה. ממרחק אלפי השנים שחלפו מאז, מי משני ברי-הפלוגתא האלה גבר בוויכוח? התשובה ברורה. תורת היחסות היא תורה ברוחו של פארמנידס, המתייחסת אל המציאות כאל אוסף של אירועים הקיימים יחד. אילו יכולנו להסתכל על המרחב-זמן, כפי שמתארת אותו תורת היחסות, היינו רואים אותו דומם וקבוע לנצח.
להשקפה האורתודוקסית הזאת נוטים כמעט כל הפיסיקאים בימינו הטורחים מדי פעם לחשוב על הזמן. מיעוט קטן בהם נוטה להשקפה האחרת, ובו נעסוק בפרק הבא. אזכיר כאן רק כמה פילוסופים שהלכו נגד דעת הרוב. מי שניסה להחיות שוב את תורתו של הראקליטוס בדבר מהותו של הזמן כהשתנות, היה הפילוסוף היהודי-צרפתי אנרי ברגסון. הוא האמין שיש משהו יוצר בזמן, וככל שהפיסיקה מתפתחת יותר כך היא מאבדת את יכולתה לתפוס אותו. במלים אחרות, הוא סבר שאנחנו משלמים מחיר בהבנתנו את הזמן: ככל שהבנתנו נעשית מתימטית יותר, מדויקת יותר, כך חומק ממשוואותינו ההיבט היוצר של הזמן. בהשקפה התהוותית זו החזיקו גם וייטהד ורייכנבאך, אבל איש מהם לא הצליח לתת לה ביטוי שאפילו יתקרב לתורת היחסות מבחינת האלגאנטיות המתימטית, יכולת הניבוי של תופעות חדשות והיכולת להציע ניסויים חדשים. אם כן אין לנו אלטרנטיבה מדעית של ממש להשקפה השלטת, רק ביטוי של אי-נחת, מין תחושה אינטואיטיווית שלא ייתכן שאותה הרגשה פנימית שלנו, שהיא כל כך חזקה, היא מוטעית.
האם באמת, "אף על פי כן נוע ינוע?" אמרתי קודם שבין המיעוט של הכופרים בכך שחלוף-הזמן הוא רק אשליה קיימים גם כמה פיסיקאים, ויש להם דברים די מעניינים לומר בנושא הזה. בואו אם כן ננסה לתקוף את הבעיה מזווית פיסיקלית חדשה. נמצא שם אנשים המתלבטים בבעיה אחרת שיש לה נגיעה חשובה לענייננו.



אסימטריה פורקת-עול
החיים הם מה שקורה בעודך מתכנן תכניות אחרות.
ג'ון לנון

בשיחתנו הקודמת השארנו את הזמן תקוע במצב קצת מוזר, או שמא אנחנו תקועים במצב מוזר ביחס אליו? עיקר המבוכה נוגעת לגבי מצבו של העתיד מבחינתנו. השכל הישר אומר בתוקף: אני לא מאמין שמה שיקרה מחר, ובמאה הבאה, ובעוד מיליון שנה כבר קיים. העתיד אינו קיים אלא הולך ונוצר מתוך ההווה. על כך עונה הפיסיקה: כל מה שיכול צופה מסוים לומר על העתיד שלו הוא שאין לו ידיעה עליו, אבל בכך אין הצדקה לטעון שהעתיד אינו קיים. לכן אי-אפשר לומר שקיים מין "הווה" מוחלט העובר מהעבר לעתיד ויוצר מצבים שלא היו קודם. כל הנחה שלפיה הזמן נע או משתנה גוררת הנחת זמן נוסף וכך הלאה עד לאין סוף. הרבה יותר פשוט להניח שבזמן, כמו במרחב, יש לכל הנקודות ולכל המצבים דרגת ממשות זהה. ההבדל בין עבר, הווה ועתיד הוא, אם כן, כמו ההבדל בין "כאן" ו"שם": זהו הבדל שרירותי ונכון רק ביחס לצופה מסוים.
אבל עכשיו, כשהגענו לשלב הזה בוויכוח, עולה בדעתנו שאולי אפשר להיפטר מכל העניין בכך שנחליט ששאלת חלוף-הזמן פשוט אינה שאלה מדעית. אחרי הכול, יש לנו שתי השקפות, היחסותית וההתהוותית, ששתיהן מתיישבות באותה מידה עם כל מה שאנחנו רואים, ואיננו מכירים ניסוי שיכריע ביניהן. אם כך, אולי נניח את הנושא לפילוסופים ונעבור לנושאים יותר מבטיחים?
לפני שאענה על השאלה לגופה אני רוצה לומר שאינני מרגיש נוח עם עצם הניסיון הפוזיטיביסטי להוציא מתחום המדע שאלות שלא ניתן להכריע בהן מייד. בואו ניזכר באותו אי-שוויון גאוני של בל, שעליו שמענו בשיחה קודמת. בל לקח שתי השקפות שונות, של איינשטיין ושל בוהר, שאיש לא ידע להכריע ביניהן בניסוי, ומצא מקרה שאיש לא שם לב אליו ובו הן נותנות ניבויים שונים. מוסר השכל: שאלה פילוסופית יכולה להפוך לשאלה מדעית אם יודעים איך לשאול. לכן, ככלל, לא הייתי ממהר להיפטר משאלות על-ידי העברתן אל הפילוסופיה. אבל אני רוצה לעשות הפעם דבר נוסף. בואו נחקור היבט מוזר אחר של הזמן, שלגביו לא יוכל אף פיסיקאי לטעון שהוא אינו בעיה מדעית. הבעיה הזאת היא נושא לוויכוחים ארוכים ונוקבים במאה האחרונה: בעיית האסימטריות בזמן.
על מנת להבין למה תופעת האסימטריות גורמת כאבי-ראש רציניים, אנחנו צריכים הקדמה קצרה כדי להכיר את אחד המושגים החשובים ביותר בפיסיקה כיום: הסימטריה. סימטריה נראית לנו מושג הלקוח מתחום האסתטיקה, אבל היא גם אחת התכונות של חוק פיסיקלי טוב. הנה דוגמה: נניח שאני עושה כמה ניסיונות במצפן ומגלה שמחט המצפן פונה לכיוון ימין. אם אקח עוד כמה מצפנים הנמצאים על השולחן ואסתכל עליהם, אראה שהתצפית שלי נכונה. אם כן, אני רושם לפניי חוק טבע: "מחטי מצפן מצביעות לכיוון ימין." האם החוק הזה תקף תמיד? הנה חברי היושב מעברו השני של השולחן ינסח, על סמך אותן תצפיות, חוק טבע הפוך. וכשאעבור להביט במצפנים מהצד שלו אצטרך להודות שהצדק אתו. אם כך, אם שינוי מיקומו של הצופה מחייב את שינוי חוק הטבע שניסחנו, הרי החוק שלנו הוא לא תמיד תקף. אני מבין, אם כן, ש"ימין" ו"שמאל" הם מושגים סובייקטיוויים התלויים במעמדו של הצופה כלפי המערכת הנצפית. מה דעתכם על חוק כללי יותר? הנה: "מחטי מצפן מצביעות צפונה." החוק החדש הוא סימטרי יותר מקודמו Q הוא נכון לגבי צופים המסתכלים במצפן מכל הצדדים Q ולכן הוא גם בעל תוקף כללי יותר. בלשון הפיסיקה: החוק החדש הוא יותר אינווריאנטי, כלומר בלתי משתנה. עכשיו אני וחברי מטיילים בעולם עם המצפן ונהנים מהכלליות של חוק הטבע החדש שלנו, עד שנגיע לאזור הקוטב הצפוני או הדרומי ושם נראה שכיוון המצפן מתהפך בנקודה מסוימת. אם נעמוד משני צדיה של אותה נקודה, יראו המצפנים שלנו כיוונים הפוכים. שוב, עלינו לחפש חוק יותר אינווריאנטי, שיהיה בעל תוקף רחב יותר ומחוסן אפילו משינויים כאלה, ואנחנו מוותרים עכשיו אפילו על המונחים "צפון" ו"דרום." החוק החדש הוא: "מחטי מצפן מצביעות על קוטב השדה המגנטי ההפוך להן."
כך נגלה, ככל שנתקדם, שהטבע אדיש כלפי "שמאל," "ימין," "צפון," דרום," ואפילו "למעלה" ו"למטה." חוקי הטבע היסודיים עומדים בעינם כאשר מחליפים את הכיוונים האלה. תאמרו: איך ייתכן הדבר אם חוק המשיכה קובע שעצמים נופלים רק "למטה"? לא נכון. בצדו השני של כדור הארץ יש אנשים עם הראש למטה, וכשהם מפילים חפץ הוא נופל, מבחינתנו, למעלה. גם חוק המשיכה, אם כן, אדיש לכיווני המרחב: הוא מחייב עצמים ליפול לכיוון הגוף בעל המאסה, לא חשוב באיזה צד הוא נמצא.
הסימטריה של חוקי הטבע מתבטאת יפה במבחן הראי. כל התרחשות פיסיקלית שאני רואה, אם אעמיד מולה ראי, אראה בו עולם שכל הצדדים בו הפוכים לשלי: השמאל שם הוא הימין שלי ולהפך. ובכל זאת, פיסיקאי המסתכל במה שקורה בראי לא יוכל להבדיל בין התהליך האמיתי לבין תהליך הראי. חוקי הפיסיקה תקפים בדיוק באותה מידה לגבי שני המקרים. הכול תלוי בתנאי ההתחלה: אם תנאי ההתחלה היו כאלה שהכדור מקבל מכה מימין, הוא יפנה שמאלה; אם משמאל, הוא יפנה ימינה. {אמנם, ביולוג שיסתכל בראי יעיר שיחסי השמאל והימין באורגניזמים שבו מהופכים לאלה הקיימים במציאות, אבל הוא יודה שמבחינת הפיסיקה אין שום מניעה שיהיו יצורים זהים לנו שלבם פועם בצד ימין דווקא. האסימטריה הביולוגית מקורה כנראה בתנאי ההתחלה המקריים של האבולוציה. נחזור לנושא הזה בפרק ט'}. אם כן, הסימטריה של חוק הטבע, הנראית לכאורה דרישה אסתטית, היא בעצם המעניקה לחוק הטבע את כלליותו, את תקפותו ואת כוח ההסבר שלו.
עכשיו מתבקשת, באופן טבעי, הסימטריה של הזמן. אמרנו קודם שכאשר נסתכל על שיקופו של תהליך בראי, נראה תהליך פיסיקלי נורמאלי לחלוטין. מסתבר שגם היפוך בזמן נותן לנו תהליך פיסיקלי שחוקי הטבע תקפים לגביו באותה מידה. נתבונן, למשל, בהתנגשות של שני כדורי ביליארד על משטח חלק ונסריט את התהליך הזה בווידאו. עכשיו נקרין את סרט הווידאו בהיפוך ונראה אותו לפיסיקאי. אם לא היה כל חיכוך, הוא לא ידע להבדיל בין התהליך האמיתי והתהליך המהופך. חוקי הטבע היסודיים הם סימטריים בזמן כמו במרחב. כלומר, האינטראקציות היסודיות בטבע הן כאלה שגם אם נתאר אותן מהסוף להתחלה יתקבל תהליך המציית בדיוק לאותם חוקי טבע.
המתימטיקאית הידועה אמי נ[ת+ר הוכיחה שכל צורה של סימטריה קשורה בחוק שימור יסודי של הפיסיקה. כך למשל, אינני מאמין שהספר שלפניי ינוע פתאום מאליו, כי הדבר סותר את חוקי שימור האנרגיה והתנע. זוהי בעצם טענה של סימטריה: אין אנרגיה ותנע בתנאי ההתחלה, ולכן לא צריכים להיות אנרגיה ותנע בסוף. יש כאן גם סימטריה מרחבית: אינני מאמין שהספר יתחיל פתאום לנוע ימינה, כמו שאינני מאמין שהוא יתחיל לנוע שמאלה. וכן בזמן: אינני מאמין שהוא יתחיל לנוע ברגע מסוים אם עד אותו הרגע הוא נח, כשם שאינני מאמין שגוף שנע עד אותו רגע ייעצר ללא סיבה.
והנה, הסימטריות השונות משתלבות ביניהן לעל-סימטריות. זה מושג חשוב שכדאי קצת להתעכב עליו. נתחיל בצורת הכדור. זהו גוף סימטרי מושלם. לאיזה כיוון שנסובב אותו, בין אם יהיה זה סיבוב של 20 מעלות או 75 או 130 מעלות, צורתו עומדת בעינה. אבל עצמים לגמרי לא סימטריים משנים את צורתם אחרי סיבוב חלקי, וחוזרים למצבם המקורי רק אחרי סיבוב שלם של 360 מעלות. אם ניקח שטר כסף ונסובב אותו חצי סיבוב, 180 מעלות, צורתו תשתנה, כי הצדדים שלו התחלפו. עכשיו, קחו שטר כסף וסובבו אותו חצי סיבוב סביב ציר אחד, ואחר כך סביב ציר שני, ואחר כך סביב ציר שלישי. כלומר: פעם מלמעלה למטה, פעם משמאל לימין ופעם מפנים לאחור. אחרי שלושת ההיפוכים האלה חוזר השטר בדיוק למקומו הקודם. כלומר, כל האסימטריות של השטר משתלבות לסימטריה גבוהה יותר.
ראינו, אם כן, שני סוגים של סימטריות: סימטריות במרחב וסימטריות בזמן. לגבי הסימטריות במרחב ראינו דבר מעניין, שהסימטריות ימין-שמאל, למעלה-למטה וקדימה-ואחורה משתלבות לפעמים לעל-סימטריות גדולות יותר. באופן טבעי נשאלת השאלה: האם הסימטריות האלה של המרחב משתלבות גם עם סימטריית-הזמן לסימטריה גדולה יותר?
בהחלט: אם ניקח סביבון מסתובב ונשקף אותו בראי, הסביבון שבראי יסתובב בכיוון ההפוך. כמו כן, אם נצלם את הסביבון המסתובב בווידיאו ונקרין את הסרט מהסוף אל ההתחלה, נראה גם אז היפוך של כיוון הסיבוב. כלומר, תנועת הסביבון אינה אינווריאנטית תחת היפוך במרחב או בזמן. אבל עכשיו נעשה את שני ההיפוכים יחד: נשקף את הסביבון בראי, נסריט את התהליך המשתקף ואחר כך נקרין אותו מהסוף להתחלה. כיוון הסיבוב המקורי יופיע שוב. הזמן מתנהג כאן כמו ממדי המרחב בדוגמה הקודמת, ויוצר סימטריות משולבות המאפשרות לנו לנסח חוקי טבע יותר ויותר כלליים.
ארנסט מאך, הפילוסוף והפיסיקאי, חטף פעם דיכאון רציני אחרי שלמד על "חוק היד הימנית" בתורת החשמל. החוק הזה, שאותו ניסח פאראדיי, מבטא את הקשר בין כיוון זרם החשמל בתיל לבין כיוון השדה המגנטי הנוצר כתוצאה מהזרם. נשים את ידנו הימנית על התיל {אין צורך לגעת, כדי שלא נהפוך בעצמנו לתופעה אלקטרומגנטית מעניינת} כך שאצבעותינו יצביעו לכיוון הזרם, ואז יראה האגודל את הכיוון שאליו תיטה מחט מצפן המקביל לתיל. תשאלו: מה מדכא פה? האם היה למאך משהו נגד צד ימין? ובכן, למאך לא היה שום דבר נגד שום צד, אבל הוא ציפה שגם לטבע לא יהיה, והוא לקח ללב אישית את העובדה שחוק הטבע מעדיף צד אחד על משנהו.
אילו היה מאך חי בימינו, היינו יכולים להרגיע אותו כך: נכון, זה היה מוזר אילו היה רק "חוק היד הימנית" ולא "חוק היד השמאלית." הסיבה שאנחנו רואים רק את החוק הראשון נובעת מאסימטריה אחרת הקיימת בחלק זה של היקום: החומר שלנו עשוי מאטומים שהגרעין שלהם הוא בעל מטען חשמלי חיובי ואילו לאלקטרונים מטען שלילי. מבחינת הפיסיקה אין שום סיבה עקרונית מדוע לא יהיה המצב הפוך. כנגד כל חלקיק קיים אנטי-חלקיק בעל מטען הפוך ו/או ספין הפוך {ספין הוא מעין סיבוב של החלקיק סביב עצמו}. כך לדוגמה, משיקולי סימטריה כאלה ניבאו פיסיקאים את קיום הפוזיטרונים, שהם אלקטרונים בעלי מטען חיובי, ואכן התגלו חלקיקים כאלה. לכן, אם קיימים מקומות ביקום העשויים מ"אנטי-חומר," כלומר מאטומים בעלי מטענים הפוכים לאלה שלנו, שולט בהם "חוק היד השמאלית." מן הסתם היה ההסבר הזה עושה את מאך עצוב מסיבה אחרת: הוא היה פוזיטיוויסט מושבע שטען שהאמונה באטומים שאיש לא ראה אותם היא מטאפיסית, אבל זו כבר לא הבעיה שלנו.
שימו לב שלמדנו כאן הרחבה חדשה לעיקרון הסימטריה. עד עכשיו דיברנו על הסימטריה המשולבת של זמן ומרחב. עכשיו אנחנו רואים שגם המטען החשמלי מציית לסימטריה המשתלבת יפה עם הסימטריות האחרות. גילוי זה הוביל למשפט מפורסם בפיסיקה הקרוי "משפט הCPT-." שלוש האותיות האלה מציינות שלושה מישורי סימטריה: {charge) C הוא המטען החשמלי, )parity) P מציין את כיווני הימין והשמאל, ובמקרה שלנו את החלקיק והאנטי-חלקיק שכיווני הספין שלהם הפוכים, וtime) T(- את כיווני העבר והעתיד. משפט הCPT- אומר שבכל תהליך, אם נהפוך את כל הסימנים האלה יחד, כלומר, נהפוך את כל סימני ה"פלוס" וה"מינוס," כל ה"שמאל" וה"ימין," וכל ה"עבר" וה"עתיד," יהיה התהליך המהופך אפשרי באותה מידה.
אם כן, עשינו דרך ארוכה בעולם הסימטריות מאז ניסיוננו הראשון לנסח חוק טבע על סמך ההסתכלות במחט המצפן. ראינו שיש קשר יפה בין מידת הסימטריה של חוק פיסיקלי לבין כלליותו, חסכנותו, פשטותו ויכולתו לאחד תופעות שונות בהסבר אחד. ניתן לומר, למעשה, שככל שהתורות של הפיסיקה מתקדמות יותר Q מן הפיסיקה הקלאסית אל האלקטרומגנטיות, ומשם אל היחסות הפרטית ומשם אל היחסות הכללית ומשם אל פיסיקת החלקיקים ותורות ה"סופרסימטריה" המתפתחות בימינו Q הן מתאפיינות בסימטריה הולכת וגדלה. בוודאי הרגשתם כמה שזה תואם את חזון מיודעינו הפיתגוראים, שנשבו בקסם היופי וההרמוניה והחליטו שחיפוש חוקים הארמוניים יסייע לנו להבין טוב יותר את המציאות. בכך, כמובן, נעלמה מהותו החולפת של הזמן. היקום מתואר כאוסף של מצבים, מימי קדם ועד העתיד הרחוק, שכולם קיימים באותה מידה. הרעיון שישנו מין "עכשיו" החולף לאורך הזמן והופך אירועים עתידיים שטרם אירעו להווה ממשי, אין לו מקום כאן. זוכרים את מישורי ה"עכשיו" של ראובן ושמעון? דיאגרמת מינקובסקי תעזור לנו להבין מדוע נובע מהם שהזמן לא עובר. נניח שראובן ושמעון נמצאים במקום אחד ביקום. נניח עוד שבמקום אחר, הרחק מהם, חי לוי (תמונה 3). נניח שראובן נוסע ברגע מסוים לכיוונו של לוי בעוד ששמעון נוסע באותו רגע לכיוון ההפוך. נשאל את שניהם ברגע זה: "מה עושה לוי עכשיו?" תשובתו של ראובן תהיה: יושב על ספסל בגן עם חבריו הזקנים, שותה תה ומפליג בדיבורים על מחושיו. ואילו שמעון יאמר: יושב עם מוצץ בעגלה בה מובילה אותו אמו לפעוטון. אם כן, בחיי לוי יש אינספור רגעים ובהם אינספור מצבים, מינקות עד זקנה, ועל-פי תורת היחסות כולם אמיתיים באותה מידה. כל אחד מהם הוא "עכשיו" לגבי צופה כלשהו.
דבר אחד חשוב להדגיש בדיון הזה, והוא שלמרות שצופה אחד טוען שה"עכשיו" שלו חל בו-זמנית עם העבר של צופה מרוחק, הוא לעולם אינו יכול לשגר תשדורת לאותו אירוע בעבר. לכן, אם מישהו חשב שכך יכולים ראובן ושמעון להזהיר את לוי על אירועים שיקרו בעתידו, תמצאו שהפיסיקה מונעת כל אפשרות שכזו. נסביר: בכדי שהאמור לעיל יתקיים, צריכים ראובן ושמעון להיות מרוחקים מלוי כמה מאות שנות אור! במצב זה, ראובן יידע לחשב כי "עכשיו" לוי מפטפט עם חבריו הקשישים, אך הוא יאלץ לחכות כמה מאות שנים כדי לצפות בהם ולדעת מה נאמר שם. ובאותה מידה, אם שמעון ירצה לשלוח מסר ללוי, המסר יגיע לנכדיו...
סיפרנו איך הגיע מינקובסקי לפיתוח הבסיס הגיאומטרי לתורת היחסות. והנה, כששמע איינשטיין על הרעיון של מינקובסקי פטר אותו בלגלוג: "שמעתי שמתמטיקאי אחד הצליח לעשות את תורת היחסות שלי כל כך מסובכת שאף אחד לא יבין אותה." האם היה איינשטיין עדיין פגוע מהעובדה שמינקובסקי כינה אותו "עצלן" כשהיה סטודנט? כך או אחרת, כעבור --- שנים נאלץ איינשטיין לבלוע חזרה את אמירתו המלגלגת. מינקובסקי כבר לא היה בחיים (הוא נפטר מדלקת התוספתן ולפני מותו אמר: "כמה חבל למות בשחר תורת היחסות"),
אבל איינשטיין היה מוטרד מאוד מהעובדה שתורת היחסות הפרטית שלו מתאימה רק לתנועות קצובות, כלומר תנועות במהירות קבועה ובכיוון קבוע. הפעולות העדינות שמנינו לעיל () כמו בניית קלפים ושתיית תה, יכולות להתבצע ללא הפרעה רק בהיעדר שינוי במהירות. ברגע שהמערכת הנעה מאיטה, מאיצה או משנה את כיוונה, אזי תנועתה אינה יחסית וקל לקבוע בוודאות מי נע ומי נח.
אבל ברגע שהרכבת מאיטה, מאיצה או משנה את כיוונה, יתמוטט מגדל הקלפים והתה והחלב יישפכו לכל העברים, למגינת-לב הגברות. כאן כבר לא נוכל לטעון שהרכבת עמדה ורק כדור הארץ שינה את מהלכו: תאוצה היא תופעה מוחלטת ולא יחסית. שנים רבות שקע איינשטיין בחיפוש אחר תורה שבה יישאר עיקרון היחסות תקף גם לגבי מהירויות לא קצובות וכך גילה את תורת היחסות הכללית. בתורה זו מופיע עיקרון חדש: אדם הנמצא במהירות לא קצובה יכול לפרש את כל התופעות שהוא רואה, כגון התמוטטות מגדל הקלפים ושפיכת התה, כאילו פועל על הקרון כוח משיכה מהצד ההפוך לכיוון התאוצה. כשחישב איינשטיין מה יקרה לקרן אור בקרון שתנועתו לא קצובה,
כל זה עיקר היחסות הכללית בקיצור נמרץ. מה שחשוב לענייננו הוא שאיינשטיין לקח את הגיאומטריה של מינקובסקי ועשה אותה לאבן-פינה בתורת היחסות הכללית:
הפירוש של הצופה מבחוץ: הנוסע המסכן שבמעלית נופל במהירות הולכת וגוברת ארצה. כשהוא מוזג קוקה-קולה לכוס היא נשפכת במהירות הולכת וגוברת כלפי מטה אבל לא מגיעה אל הכוס הנופלת גם היא. וכשהוא עוזב את הכוס גם היא נופלת אתו באותה מהירות, ולכן היא נשארת ליד ידו.
הפירוש של הצופה מבפנים: אני מרחף לי בנחת במעלית שאין בה שום כוח משיכה, ולכן הכוס שעזבתי מרחפת בדיוק במקום שבו השארתי אותה והקוקה-קולה מרחפת מעליה (אגב, משום-מה האדמה המשוגעת הזאת מתקדמת לקראתי מלמטה במהירות הולכת וגוברת).
הפירוש של הצופה מבחוץ: על הנוסע שבמעלית לא פועל שום כוח משיכה. זו רק המעלית שמאיצה כלפי מעלה. כשהוא מוזג קוקה-קולה מהבקבוק לכוס, הכוס מאיצה כלפי מעלה וקולטת את הקוקה-קולה ומאלצת אותה להיות צמודה לקרקעית הכוס, וכשהוא עוזב את הכוס מידו היא נשארת במקומה אבל רצפת המעלית דוהרת למעלה בתאוצה ומרסקת אותה.
הפירוש של הצופה מבפנים: אני נתון להשפעת כוח משיכה. לכן הקוקה-קולה נשפכת יפה לכוס, וכשאני עוזב את הכוס היא נופלת לרצפה ונשברת (אגב, כל העצמים שבחוץ נופלים גם הם במהירות הולכת וגוברת כלפי מטה, ורק בגלל שמישהו מושך את המעלית שלי לכיוון ההפוך היא נשארת כל הזמן במקומה.)

מדוע הזמן לא עובר מהי תכונתו הבולטת ביותר של הזמן? רוב בני האדם יאמרו: הזמן עובר, הזמן רץ, הזמן, פשוט, בורח לנו כל הזמן.
והנה, בהיגד הזה יש פגם לוגי קטן: הוא מופרך מיסודו. כל אמירה מסוג "הזמן חולף/עובר/זורם" מובילה לסתירה מיידית. "לנוע" פירושו להיות במקום אחד בזמן אחד, ובמקום אחר בזמן אחר. כלומר, הזמן הוא אמת המידה לתנועה. אם אדם אומר שנסע מביתו אל בית חותנתו, כוונת הדברים היא שבשעה שבע ושלושים היה בביתו, ובתשע ועשרים בבית חותנתו, ובכל רגע של זמן נסיעתו היה במקום אחר בדרך. הזמן הוא המודד את התנועה. וכאן הבעיה: אם נרצה לומר שהזמן עבר לגבי אותו אדם, הרי בהתאם להגדרה לעיל של "תנועה" נצטרך לומר שהזמן היה במקום אחד בזמן אחד ובמקום אחר בזמן אחר, וזה כמובן אבסורד. נסו לחשוב, למשל, על השאלה "באיזו מהירות זרם הזמן," ותראו איך אתם מסתבכים. לשם כך תצטרכו להניח את קיומו של מין זמן-על, שלפי אותו היגיון גם הוא יצריך זמן-על משלו, וכך הלאה במין חד-גדיא אין סופי.
והנה, הפיסיקה עושה דבר פשוט עם מעבר הזמן: היא מתעלמת ממנו לחלוטין. לשווא נחפש באיזה חוק מחוקי הפיסיקה התייחסות כלשהי למעבר הזמן. כל מה שנותנים לנו חוקים אלה הוא כללי התאמה: אם נתונה מערכת מסוימת, ונתונים תנאי ההתחלה שלה, נוכל לומר מה יהיה מצב המערכת בכל רגע ורגע. אבל בכך אין שום רמז שהזמן זורם. קל להמחיש זאת בעזרת הדוגמה של מפה גיאוגרפית. המפה נותנת לנו התאמה בין קווי האורך או הרוחב של אזורים מסוימים לבין הגובה שלהם מעל פני הים. כך למשל, בישראל, ככל שננוע מזרחה, נמצא את עצמנו במקום יותר ויותר גבוה מעל פני הים ואחר כך יותר ויותר נמוך, עד שנגיע אל הבקעה. ברור שאין בכך שום טענה שהארץ "עולה" או "יורדת." גובה הארץ קבוע בכל מקום, ו"משתנה" רק כשעוברים ממקום למקום. בדיוק באופן זה, הפיסיקה איננה אומרת לנו שום דבר על תנועתו של הזמן אלא רק על ההתאמה בין הזמן לבין מצבים פיסיקליים שונים. אם ידוע לנו, למשל, הגובה שבו נמצאת אבן מעל לקרקע ברגע שנעזוב אותה - , נוכל לדעת היכן תימצא האבן בכל רגע נתון:

במקום h0 נרשום את הגובה ההתחלתי, במקום t נכניס את השנייה המדויקת בה אנחנו רוצים לדעת היכן האבן ואילו gהוא גודל קבוע המציין את תאוצת הגרוויטציה (9.8 מטר לשנייה בריבוע). יש לנו, אם כן, שורה של מצבים פיסיקליים המתאימים לכל רגע בזמן. אבל שימו לב שבמשוואה זו, כמו בכל שאר משוואות הפיסיקה, אין שום רמז לכך שהזמן עצמו משתנה!
כך נוצרת סתירה מהותית בין החוק הפיסיקלי לבין תחושתנו. תחושתנו אומרת "המצבים השונים של האבן מופיעים ונעלמים בזה אחר זה" ועל כך עונה הפיסיקה: "בחוקים שלי אין שום זכר להופעה ולהיעלמות הזאת של המצבים. מבחינתי כל הרגעים קיימים יחד (כמו שכל המקומות במפה קיימים יחד) ובכל רגע קיים המצב הפיסיקלי המתאים לו."
לא נצא מהתסבוכת הזאת גם אם נאמר שאנו עצמנו נעים בזמן. אותם פרדוקסים יחכו לנו גם כאן. לומר שאנחנו נעים בזמן, פירושו להפוך את הזמן לממד מרחב כלשהו שעליו אנו נעים, ושוב תישאל השאלה: באיזו מהירות? ושוב נזדקק לממד זמן נוסף וכך לא יהיה לדבר סוף.
בצר לנו, נפנה אל המהפכה המדעית האדירה ביותר שחלה בהבנת הזמן, תורת היחסות. כאן תלך בעייתנו ותחריף. המחיר שתובעת תורת היחסות מהשכל הישר בנושא זה גבוה הרבה יותר. נקדים ונאמר שדווקא איינשטיין, בניגוד לפיסיקאים רבים, חש שהמחיר הזה שתובעת תורת היחסות מכאיב במיוחד אבל הוא לא מצא לכך פתרון אחר. הכל טוב ויפה, אבל לאן נעלם הזמן?
נציין, עם זאת, שפיסיקאים אחרים חיפשו דרכים יותר מתוחכמות לעקוף את גבולות הזמן ואפילו לעשות מסעות בזמן. כך, למשל, מצא המתמטיקאי הגאוני קורט גדל (מגלה משפט אי-השלמות הידוע) פתרונות לתורת היחסות הכללית שבהם המרחב-זמן מתעקם סביב עצמו בצורה המאפשרת לאדם לחזור לעברו. כתוצאה מ"תגלית" זו החל גדל להוגיע את מוחו בשאלה מה יקרה אם יחזור אדם לעבר ויהרוג את אביו מולידו. הוא "פתר" את הבעיה פשוט ע"י הנחה שרירותית שאדם כזה תמיד ייכשל, למשל, שהכדור ייתקע לו באקדח וכדומה. סטיבן הוקינג וקיפ ת'ורן הציעו גם הם תרחישים דומים המבוססים על תורת היחסות הכללית. לכאורה, אלו הם מודלים נועזים, אבל בכל הקשור לשאלת מעבר הזמן הם שמרניים עד שיעמום. מי שטוען שניתן לנסוע אל העבר כשם שניתן לנסוע להודו, מניח שאירועי העבר קיימים לצד אירועי ההווה כשם שהודו קיימת לצד ישראל. חזרנו, אם כן, לתמונת היקום הקפוא של איינשטיין ומינקובסקי.
תמונה 3 פילוסוף נודע, הנס רייכנבאך, סיפר איך באמצע הסרט "רומיאו ויוליה," לפני שיוליה שתתה את הרעל, צעק אליה מישהו מהקהל: "אל תעשי את זה!" כולנו מגחכים על טעות כזאת, אמר רייכנבאך, אבל אנחנו צריכים להבין שגם העולם הממשי שלנו הוא כזה. כל מה שיהיה בעתיד כבר קיים, לצד מה שקורה עכשיו ולצד מה שכבר קרה בעבר. כל המצבים קיימים יחד לאורך ממד הזמן, כשם שכל המקומות קיימים יחד לאורך ממדי המרחב, כמו תמונות בסרט.
הקץ, אם כן, לרעיון הבחירה החופשית. אם יחליט אדם סתם כך לנגוח את הקיר כדי להוכיח שיש לו רצון חופשי, נסביר לו כי גם ההחלטה לנגוח את הקיר, שבאה בעקבות ההתמרמרות על הידיעה שהעתיד כבר קיים, הייתה אף היא קיימת מאז ומעולם כמו כל שאר אירועי העבר והעתיד. כך גם הקץ למושג ה"אני" היחיד. אם יאמר מישהו "הבוקר אכלתי פצפוצי אורז ובערב אוכל אטריות" נצטרך לומר לו כי אותו אדם שאכל פצפוצי אורז "עודו" אוכל אותם, זה שיאכל אטריות "כבר" אוכל אותן, ואילו זה המדבר אלינו הוא חלק אחר של קו העולם של אותו אדם. אם ניקח את האמירה הזאת ונפתח ממנה תמונת עולם עקבית, נגיע למסקנה הבאה: כל אחד מאתנו איננו "אני" אחד, אלא הרבה "אני"ים. בכל רגע ורגע של חיינו קיים "אני" אחר, דומם וקפוא, כמו תמונה בודדת בסרט, החווה את מה שקורה באותו רגע. החוק השני של התרמודינאמיקה, שעוד נתעמק בו בהמשך, גורם לכך שהזיכרונות האגורים במוחם של ה"אני"ים הרגעיים האלה מסודרים כך שכל אחד מהם נושא זיכרונות של ה"אני"ים הנמצאים בעבר ולא של אלה הנמצאים בעתיד. לכן, יש לנו אשליה שאנו "אני" אחד, וזאת בשל העובדה שכל "אני" רגעי נושא את הזיכרונות של קודמיו. לא לחינם אמר הפיסיקאי הנודע אדינגטון כי המשפט "כל יום אני מרגיש טוב יותר" צריך, על-פי תורת היחסות, להתנסח כך: "הצד של קו-העולם שלי הפונה לעתיד מרגיש יותר טוב מהצד הפונה לעבר."
השקפה זו ידועה כהשקפת "היקום הקפוא" (Block Universe) והיא המקובלת על רוב הפיסיקאים. שיהיה ברור, הדברים הללו אינם פרשנות מסוימת לתורת היחסות. הם נובעים ממנה באופן לוגי. איינשטיין עצמו היה מוטרד מכך שבפיסיקה אין מקום למעבר הזמן. הפילוסוף רודולף קרנאפ, ששוחח אתו בנושא זה, סיפר כי העובדה שאת ההתנסות שלנו, שלפיה ה"עכשיו" שונה מן העבר ומן העתיד, אין המדע יכול לתפוס, הייתה בעיני איינשטיין "עניין של ויתור כאוב." "יש משהו ב'עכשיו'," אמר איינשטיין, "שפשוט נמצא מחוץ לתחום המדע." חשד ראשון: הזמן עדיין נותר מוזר בתורת היחסות
הקורא המבקש לצייר לעצמו את התיאור הנכון של קריאתו במאמר זה על-פי תורת היחסות צריך, אם כן, לתאר זאת כך: אדם ארבע-ממדי המתמשך מהעבר אל העתיד, אוחז בידו הארבע-ממדית בספר ארבע-ממדי. כל רגע הוא בעצם חתך תלת-ממדי בגופים אלה. אם כן, לא קורא אחד ולא ספר אחד, אלא אינספור קוראים ואינספור ספרים, שכל אחד מהם הוא חתך תלת-ממדי במרחב-זמן הארבע-ממדי. כל "אני" רגעי כזה מסתכל באות בודדת בספר שמולו. תחושתו של הקורא כי הוא קורא אחד שקרא מאמר זה מתחילתו מוסברת, אם כן, כאשליה גרידא הנובעת מסידור הזיכרונות לאורך הזמן, כפי שהסברנו לעיל.
הכל טוב ויפה, והתמונה הזאת באמת עקבית ולא ניתן לסתור אותה, ובכל זאת היא משאירה אותנו עם תחושה לא נוחה שמישהו פה לא מבין משהו. נכון, תורת היחסות הראתה שהזמן הוא אחד מארבעת ממדי היקום, יחד עם ממדי המרחב. ובכל זאת יש הבדל עקרוני בין ממדי המרחב והזמן: במרחב יכול אדם לעמוד במקומו או לנוע קדימה ואחורה, בעוד שאין דרך לעמוד בזמן ובוודאי שלא ללכת אחורנית (חוץ מאשר בנבכי חור שחור, אך על כך בהזדמנות אחרת). אם הזמן הוא רק ממד, מדוע אנחנו חווים אותו בצורה כה שונה משאר הממדים?
ואכן, היחסות מבדילה את הזמן משאר הממדים בכך שקווי העולם מתמשכים תמיד לאורך הזמן (אם כי הם יכולים להתפתל ולהתעקם עד גבול מסוים) ולעולם לא לאורך אחד מממדי המרחב. למעשה, היחסות יצרה הבדל עמוק אף יותר בין הזמן לבין שאר הממדים: משפט פיתגורס, כידוע, מורה איך למצוא את המרחק בין שתי נקודות במרחב התלת-ממדי: נמדוד את הבדלי האורך, הרוחב והגובה ביניהן, נעלה כל אחד מהגדלים האלה בריבוע, נחבר אותם וכך נמצא את ריבוע המרחק בין הנקודות:

במרחב-זמן, לעומת זאת, אם אנו רוצים למצוא את ההפרש בין אירוע במקום אחד ובזמן אחד לבין אירוע אחר במקום שני ובזמן שני, עלינו לחזור על התרגיל בארבעה ממדים, אבל את ממד הזמן בריבוע נצטרך לא להוסיף אלא להחסיר!

אף אחד לא נתן עדיין הסבר של ממש ל"מינוס" הזה המייחד בתורת היחסות את הזמן, אבל עבורנו יש כאן עוד חיזוק לחשד שהזמן אינו "סתם" ממד. על מוקדם ומאוחר בתורת הקוונטים
אם היחסות מאכזבת את המבקש הוכחה למעבר הזמן, מה אומרת על כך יריבתה ההיסטורית של היחסות, מכאניקת הקוונטים? תשובתה של התורה הזאת היא – כמה לא מפתיע – "כן ולא."
תורת הקוונטים היא תורה די מסובכת, אבל הפרדוקסים הנובעים ממנה הם פשוטים מאוד – כל אחד יכול להבינם במעט מאמץ – וזו בדיוק הסיבה שהם כל כך חמורים! נציג כאן שלושה מהניסויים המפורסמים של תורה זו, המביאים לתוצאות פרדוקסליות, ונבחן את ההשלכות שלהם לגבי טבע הזמן.


תמונה 4
הניסוי הראשון קשור בתופעה הקרויה התאבכות. לשם כך נפצל אלומת אור לשתי תת-אלומות בדרך הבאה. אם קרן אור פוגעת בזכוכית שקופה, היא עוברת כולה. אם היא פוגעת בראי, היא מוחזרת כולה. לפיכך, אם היא פוגעת בראי חצי-חדיר, חציה עובר וחציה מוחזר (תמונה 4א). עכשיו נשים משני צדדיו של ראי חצי-חדיר כזה שתי מראות שלמות, שתהיינה קצת מעליו, וקצת מעליהן עוד ראי חצי-חדיר, ועוד קצת מעליו שני גלאי-אור משני הצדדים. מתקבל מעוין מדויק של מראות (תמונה 4ב). למעוין הזה, כפי שגילו מאך וזנדר לפני שנים רבות, יש תכונה נחמדה: אם קרן אור פוגעת באלכסון בראי החצי-חדיר התחתון, היא מתפצלת לשני חצאים, הפוגעים בשתי המראות השלמות ומוחזרים בשלמותם אל הראי החצי-חדיר העליון. כאן מתפצלת כל מחצית לשני רבעים, אבל כל ארבעת הרבעים הללו מצטרפים זה אל זה בדרך השונה מהחשבון המוכר לנו: שני הרבעים מצד אחד מבטלים זה את זה, וכך מתקבל אפס אור בגלאי שבאותו צד, ואילו שני הרבעים מהצד השני מחזקים זה את זה ויוצרים אלומת אור שלמה הנקלטת בגלאי הנגדי. אם כן, כל אלומת אור שתיכנס למתקן הזה מלמטה מכיוון ימין תצא ממנו מלמעלה לשמאל, ולהפך.
כל זה ידוע יפה מתורת הגלים של הפיסיקה הקלאסית ולא קשה להסבר. והנה, איינשטיין, כשחיפש דרך להפריך את תורת הקוונטים שתמיד הרגיזה אותו, מצא במתקן הזה דווקא תמיכה מפתיעה לתורת הקוונטים. תארו לעצמכם חלקיק אור יחיד, "פוטון," הנכנס למתקן כזה. הפוטון הוא חלקיק בודד, ולעולם לא נמצא חצי פוטון. לפיכך היינו מצפים שהפוטון יעבור רק באחד המסלולים של מתקן מאך-זנדר. אבל העובדה היא שהוא תמיד יודע לצאת למעלה מימין, ונקלט בגלאי שממול, מראה שבאיזו דרך כישופית הפוטון עבר בשני המסלולים בעת ובעונה אחת! ואמנם, ב-1991 הציעו אליצור ו-ויידמן ניסוי שבו מונחת על אחד המסלולים פצצה כה רגישה עד שדי בפוטון יחיד לפוצץ אותה. האם אפשר לבדוק האם פצצה כזאת תקינה או מקולקלת בלי לפוצץ? ההיגיון הפשוט אומר, כמובן, שאם הפצצה רגישה אפילו לאינטראקציה החלשה ביותר שאפשר, לא ניתן לבחון אותה וגם להשאיר אותה שלמה. אבל, בהסתמך על התהליך הקוונטי שבו פוטון יחיד "עובר" איכשהו בשני מסלולים, הראו אליצור ו-ויידמן איך פוטון בודד יכול להרגיש בקיומה של פצצה במסלול אחד בעוד שהוא עבר, לכאורה במסלול השני.
מה שעושה את תורת הקוונטים לתורה פיסיקלית מרכזית היא העובדה שמה שאמרנו כאן על הפוטון נכון לגבי כל חלקיק: אלקטרונים, פרוטונים וכל החלקיקים הידועים לנו כחלקיקים בעלי מסה, ואפילו אטומים ומולקולות שלמות, יתנהגו כגלים לכל דבר כשיעברו במתקן מאך-זנדר. כלומר, הם מסוגלים לעבור בשני מסלולים (או באלף מסלולים) בעת ובעונה אחת. העובדה שהדואליות הזאת מאפיינת אל כל חלקיקי החומר והאטומים הידועים לנו היא העושה את תורת הקוונטים לתורה בעלת תוקף כללי.
עכשיו נצעד רק עוד צעד אחד מהניסוי הפשוט הזה לניסוי דומה, "ניסוי הברירה המאוחרת." גם כאן, הרעיון המקורי הוא של איינשטיין, כאשר ג'ון וילר מאוניברסיטת פרינסטון פיתח אותו בצורה המדגישה את הפרדוקס שהוא יוצר. נתאר לעצמנו מתקן מאך-זנדר גדול מאוד, כזה שנדרשות שנים רבות לפוטון הבודד כדי לעבור אותו. למעשה, טען וילר, יש ביקום כוכבים רבים המפצלים פוטונים העוברים לידם ומאחדים אותם בדיוק כמו מתקן מאך-זנדר, רק שהמרחקים במקרה זה נמדדים במיליוני שנות אור. לכן, כשהפוטונים הללו מגיעים לכדור הארץ, הם מספקים ניסוי ברירה מאוחרת בקנה-מידה אסטרונומי.
עכשיו נדמה לעצמנו נסיין היושב ליד הראי החצי-חדיר העליון ומחליט ברגע האחרון, סתם לפי החשק, אם לסלק את הראי הזה או להשאירו במקומו. אם יסלק אותו, יתגלה הפוטון באופן אקראי באחד משני הגלאים. פירוש הדבר הזה הוא שהפוטון התנהג כחלקיק במשך כל השנים ועבר רק במסלול הימני או השמאלי. לעומת זאת, אם יחליט הנסיין להשאיר את הראי החצי-חדיר, יתגלה הפוטון רק בגלאי הימני, ופירוש הדבר הוא שהפוטון התנהג כגל במשך כל השנים ועבר בשני המסלולים. הנה, למעשה, חלומם של כל הסטאליניסטים לדורותיהם: החלטה בהווה משנה את ההיסטוריה כרצוננו. ניתן לומר כי אנחנו המחליטים אם הפוטון "היה" חלקיק או "היה" גל במשך כל התקופה בה עשה את דרכו אלינו.
מה אומר הניסוי הזה לגבי מעבר הזמן? הדברים אינם פשוטים וכאן יש מחלוקת אפילו בין שני המחברים של מאמר זה. אחד מאתנו (א.א.) רואה בניסוי הזה תמיכה חזקה להשערת ההתהוות: הנה, לא רק העתיד נתון לשינוי, אלא גם העבר, הנחשב מעצם הגדרתו לעובדה מוגמרת, יכול, בתנאים מסוימים ובהגבלות מסוימות, להשתנות. השני (ש.ד.) גורס אחרת: הנה, כל מצב קוונטי "כבר" נקבע ע"י אירועים שיתרחשו בעתיד ממש כשם שהוא נקבע ע"י תנאי העבר, כפי שטוענת השקפת "היקום הקפוא."
הניסוי השלישי שנציג הוא ניסוי איינשטיין-פודולסקי-רוזן (EPR). הוא הומצא ע"י איינשטיין כדי להקניט את חברו נילס בוהר, אבל עם הזמן התברר שתוצאות הניסוי דווקא תומכות בפירושו של בוהר למכניקת הקוונטים, על כל המסקנות המהפכניות הנובעות ממנו.
על-פי אחת הגרסאות של ניסוי זה אטום פולט שני חלקיקים כך שהספין המשותף שלהם הוא אפס. הספין הוא תכונה פנימית של חלקיקים קוונטיים הדומה לסיבוב החלקיק סביב עצמו כסביבון. חלקיקים קוונטיים (בעלי ספין ) בשדה מגנטי, יכולים להסתובב רק בשתי צורות: עם כיוון השעון (הנקרא ספין או "ספין מטה" על-פי כיוון ציר הסיבוב ב"חוק היד הימנית") או נגד כיוון השעון (ספין או "ספין מעלה") – תמונה 5.
תמונה 5 כלומר, אם חלקיק 1 מסתובב כך שציר סיבובו פונה כלפי מעלה, אזי ציר סיבובו של חלקיק 2 חייב לפנות מטה, וכן להפך. נניח לשני החלקיקים להתרחק זה מזה מרחק רב כרצוננו ואז נמדוד את הספין של אחד מהם. אם הוא פונה למעלה נדע שהספין של החלקיק השני פונה מטה ולהפך. פירושו של איינשטיין לניסוי זה היה פשוט: לשני החלקיקים היו מראש ספינים מוגדרים, והמדידה שלנו רק שינתה את הידע שלנו לגבי הספין האחד ולפיכך גם את הידע שלנו לגבי הספין השני. זו, כמובן, תשובת השכל הישר למצב זה. כך, אם במקרה העלה אדם נעל בית ימנית מהמגירה, הוא פשוט יודע שהנעל שנותרה היא שמאלית. המדידה לא שינתה אם כן את מצב החלקיקים אלא רק את מצב ידיעתו של הצופה.
אבל בוהר העדיף כאן את ההיגיון המטורף של תורת הקוונטים, לפיו המדידה אינה סתם מגלה תכונה שהייתה קבועה מראש אלא ממש יוצרת אותה ברגע המדידה. מכאן משתמעת מסקנה מטרידה: אם המדידה יצרה את הספין של חלקיק אחד, היא חייבת ליצור באופן מיידי גם את הספין של החלקיק השני, אחת היא כמה הוא מרוחק. ההתנגשות עם תורת היחסות היא בלתי-נמנעת, שהרי היחסות הציבה את מהירות האור כגבול העליון למהירות, בעוד שכאן מהירות ההשפעה של חלקיק אחד על משנהו היא אינסופית. מכאן הרעש הגדול שחולל ניסוי זה. שנים רבות מאוחר יותר בא ג'ון בל ומצא סידור מדידות קצת יותר מורכב, שבעזרת אי-שוויון מתמטי שולל לחלוטין את האפשרות שאיינשטיין נטה לה, דהיינו ששני החלקיקים יצאו לדרכם מתואמים מראש. ניסוי EPR היה במקורו ניסוי מחשבתי בלבד, אבל מהרגע שג'ון בל ניסח אותו בצורה המאפשרת להבדיל בין השקפותיהם של איינשטיין ובוהר, הוא הפך לאתגר מעניין לפיסיקאים הניסיוניים. ואכן, החל משנות השמונים נעשה הניסוי פעמים רבות והתוצאות חזרו ואוששו את תורת הקוונטים. מאז, היכולת של אירוע אחד להשפיע מיידית על אירוע אחר תוך סתירה עקיפה לתורת היחסות ("נון-לוקאליות"), נעשתה לחלק בלתי-נפרד מעולם הקסמים הקוונטי.
מה אומר הניסוי הזה על טבע הזמן? הוא יכול לומר הרבה דברים, תלוי איך מפרשים אותו, ובמהלך השנים אכן הוצעו לו פירושים שונים ומשונים. נסתפק כאן בהערה אחת: יש בניסוי הזה סתירה עקיפה לתורת היחסות. אנו אומרים "סתירה עקיפה" כי למרות שהניסוי הזה מוכיח שמדידת חלקיק אחד משפיעה בו-זמנית על החלקיק השני, לא ניתן להעביר אינפורמציה בדרך זו. לכן נוקטים פיסיקאים רבים בעמדה הפוזיטיביסטית האומרת שלא הוכחה כאן הפרה אמיתי של האיסור על מהירויות גבוהות ממהירות האור. לנו זו נראית עמדה מתחמקת וברור שאיינשטיין, לו היה חי לראות את תוצאות הניסוי, היה מודה שתורת היחסות אינה נותנת תיאור שלם של הזמן.
נשוב לנושא זה מאוחר יותר, אבל קודם נצטרך לעשות סיבוב בתחום נוסף של הפיסיקה שיש לו מה לומר על הזמן. מדוע אין לזמן כיוון
לא התקדמנו הרבה בניסיון לפתור את הסתירה בין מעבר הזמן, עליו מדווחים לנו חושינו, לבין חוקי הלוגיקה והפיסיקה, המכחישים מעבר זה. במצבה הנוכחי של הפיסיקה, לא נראה באופק פתרון לבעיה. ובאמת, אילו הייתה זו הבעיה היחידה הקשורה בזמן, היינו מניחים את הבעיה לפילוסופים ועוברים לעסוק בנושאים יותר מועילים. אבל מתברר שיש עוד בעיה הקשורה בזמן, והיא דווקא שייכת לתחום המחקר הניסיוני. זו הבעיה הידועה בשם האסימטרייה של הזמן. אם נלמד אותה, היא בוודאי תשפוך אור על הבעיה הראשונה.
לפני שנבין למה האסימטרייה היא בעיה, הבה נראה מה כל כך טוב בסימטרייה. חוקי הטבע אינם מבדילים בין ימין, שמאל, למעלה, למטה וכדומה. לו היו עושים כן זה היה עצוב, כי אז לא היינו יכולים לנסח חוקי טבע כלליים. במילים אחרות, האדישות של חוקי הטבע היסודיים לכיווני המרחב היא-היא שעושה אותם לחוקי-יסוד.
הנה דוגמא. יושב אדם אל שולחנו ומשחק במצפן, ואחרי מספר ניסיונות הוא רושם חוק טבע חשוב: "מחט המצפן מצביעה תמיד שמאלה." בא חברו לבקרו והוא מראה לו את החוק שניסח, אבל החבר רואה שהמצפן מצביע דווקא ימינה, שהרי הוא מביט בו מעברו השני של השולחן! יש כאן, אם כן, שני חוקי טבע לגבי אותה תופעה, התלויים במיקומו של הצופה, וזו לא תוצאה מרשימה במיוחד. נעריך יותר את הישגם של שני הפיסיקאים הללו כאשר, אחרי הרבה חקירות ודרישות, יגיעו לניסוח חוק כללי יותר: "מחט המצפן מצביעה תמיד צפונה." החוק הזה הוא יותר אינווריאנטי (בלתי משתנה) מקודמו, בכך שאינו תלוי במיקומו של הצופה ביחס לשולחן. אבל לא לעולם חוסן: כשיצאו שני המדענים הדגולים, מצוידים במצפנים, לסיבוב הרצאות בעולם להרצות על חידושם, ויגיעו במקרה לאולם הרצאות המצוי באי אלף רינגנס (Ellef Ringness) צפונית לקנדה, יגלו שההדגמה נכשלת ושני המצפנים מצביעים – שוד ושבר – זה לכיוונו של זה! נחוץ, אם כן, חוק אינווריאנטי אף יותר, שלא יאבד את תוקפו אפילו בצפון או בדרום המגנטיים. על כן יחפרו השניים לעומק כדור הארץ ויגלו שהוא בעצם מגנט ענק המשפיע על כל המצפנים. החוק הבא שלהם יאמר, אם כן, כך: "מחט המצפן מצביעה לכיוון הקוטב הדרומי של השדה המגנטי בו היא נמצאת." וזה ללא ספק חוק עוד יותר כללי, שכוחו יפה גם על מאדים ואפילו על נוגה, למקרה שיתחשק לשני החברים לנסוע ולהרצות גם שם על התנהגות המצפנים.
וכמו שאין "צפון" או "דרום" אוניברסאליים, אין גם "למעלה" ו"למטה" אוניברסאליים. אמנם, כל הדברים שסביבנו נופלים למטה ולא למעלה, אבל מעברו השני של כדור הארץ, באוסטרליה, שם גרים אנשים טובים שראשם למטה ורגליהם למעלה, נופלים הדברים, מבחינתנו, למעלה. לכן גם כאן נחוץ חוק טבע אינווריאנטי: במקום "דברים נופלים למטה" נאמר "דברים נופלים לכיוון העצם בעל המסה המפעיל עליהם כוח משיכה." הנה כך, במקום מושגים סובייקטיביים, תלויים בצופה, נתנה לנו הפיסיקה מערכת חוקים אובייקטיבית, תקפה לכל צופה, ומשום כך סימטרית לחלוטין.
אם חוקי הטבע הם סימטריים במרחב, הם צריכים להיות סימטריים גם בזמן, כלומר, לא להבחין גם בין "עבר" ו"עתיד." ואמנם, אם נצלם בווידיאו התנגשות אלסטית בין שני כדורי ביליארד, או את תנועתו של כוכב-לכת סביב השמש (בחרנו שתי דוגמאות נטולות חיכוך מסיבות שיובהרו בהמשך), נגלה שהסרט שבידינו ניתן להקרנה מההתחלה לסוף ומהסוף להתחלה מבלי שהתופעה המוקרנת תסתור שום חוק מחוקי הטבע.
פיסיקאית ידועה, אמי נתר, הוכיחה שהסימטריות הללו קשורות לחוקי השימור היסודיים של הפיסיקה. כך, למשל, הסימטרייה בזמן נובעת מחוק שימור האנרגיה. כשאנו אומרים "אנרגיה אינה נוצרת יש מאין ואינה נעלמת" כמונו כאומרים "אם הייתה X אנרגיה בתחילת התהליך, תהיה X אנרגיה גם בסופו."
עכשיו בואו נזכור כי בתורת היחסות הפך הזמן לעוד ממד כמו ממדי המרחב. מה הפלא, אם כן, שהסימטרייה השולטת במרחב חלה גם על הזמן? נחזור שנית לדוגמאות שהזכרנו לעיל, לאמור, ההתנגשות בין שני כדורי ביליארד ותנועתו של כוכב לכת סביב השמש. שני התהליכים הם א)סימטריים במרחב, כי אם נשקף אותם בראי יהיה התהליך המשוקף תואם את חוקי הטבע בדיוק כמו התהליך המקורי, וכן ב)סימטריים בזמן, כי אם נצלם אותם בווידיאו ונריץ את הסרט אחורנית יהיה התהליך המהופך תואם את חוקי הטבע בדיוק כמו התהליך המקורי.
הקץ, אם כן, לכל כיווני המרחב והזמן. מעתה, "ימין," "שמאל," "קדימה," "אחורה," "למעלה," "למטה," וכן "עבר" ו"עתיד" אין להם משמעות בחוקי הפיסיקה. חוקים אלה אינם תלויים בצופה והם חלים על כל ההתרחשויות במידה שווה.
מדוע דווקא יש לו
וכאן מתחילה בעיה המטרידה את הפיסיקה מזה שנים רבות: די במבט חטוף סביבנו כדי לגלות שהסימטרייה האחרונה שהזכרנו, זו של הזמן, לא מתקיימת בטבע! כל התהליכים המוכרים לנו, גם אם אינם מבדילים בין "ימין" ו"שמאל," "למעלה" ו"למטה," בהחלט מבדילים בין "עבר" ו"עתיד": אם נצלם בווידיאו קוביית קרח הנמסה במים חמים והופכת אותם לפושרים, הרי הסרט ההפוך – מים פושרים המתחממים מאליהם בעוד שבאמצעיתם נוצרת לה קוביית קרח מבהיקה – הוא מגוחך בעליל. כך לגבי גפרורים חדשים ההופכים לפחם ועשן, כך לגבי מאכלים המעלים עובש וכך, למרבה הצער, לגבי בני-אדם המזקינים ומתים. לכל הדברים הללו אין היפוכי זמן. אפילו כדורי הביליארד, עקב החיכוך שלהם עם השולחן, מציגים אסימטרייה, אמנם חלשה, אך היא תלך ותגבר עם הזמן עד שהכדורים ייעצרו. ולא עוד אלא שבכל מקום ביקום בו נסתכל, מצביע חץ הזמן לאותו כיוון. שמשות הולכות ומתקררות, סלעים הולכים ומתפוררים, גלקסיות הולכות ומזקינות, ואם נזכה לגלות יצורים חיים במקומות אחרים ביקום, אין ספק שגם ספלי הקפה שלהם יתקררו וגופיהם יצייתו לאותם חוקי בלייה.
זהו אם כן מצב חמור: אין "צפון" יקומי ולא "למעלה" יקומי ולא שום כיוון מרחבי השליט ביקום, שכן אלו הם כינויים סובייקטיביים המשתנים ממקום למקום. אבל יש בהחלט "עבר" יקומי ו"עתיד" יקומי. הזמן נבדל, אם כן, מממדי המרחב בעוד תכונה מהותית. לאיש מן הרחוב אין בכך שום הפתעה אבל הפיסיקאי השומע חדשות אלה מתעצב אל לבו. אם תורת היחסות שילבה כל כך יפה את כל הממדים, למה בכל זאת שונה הזמן מממדי המרחב?
החוק האחראי לקיומו של חץ-זמן זה ולקיומן של התופעות המצערות שמנינו לעיל, נקרא החוק השני של התרמודינמיקה והוא אומר כך: "בכל מערכת סגורה, יכולה האנטרופיה רק לעלות עם הזמן."
כמה הבהרות: א)"אנטרופיה" לצורך זה זהה עם "אי-סדר." ב) "מערכת סגורה" בא להוציא מן הכלל מערכות שבהן מתערב מישהו, כגון בעל-בית העושה סדר בביתו. בבית זה תלך האנטרופיה ותקטן, אבל בסביבה שמחוץ לבית, שהאשפה מהבית הוצאה אליה והחום שהפעיל בעל הבית נפלט אליה, האנטרופיה תגדל וכך ייצא החוק השני צודק גם במקרה זה. ג) הניסוח "לעלות עם הזמן" הופך את החוק השני לחוק ייחודי בין כל חוקי הפיסיקה, כי משתמע ממנו שעליית האנטרופיה מבדילה יפה בין עבר ועתיד, כפי שנוכח למגינת-לבו כל מי שאינו מתערב באנטרופיה שבביתו. בבתים שלא מסדרים ומנקים אותם מדי פעם, האנטרופיה בסוף השבוע תמיד תהיה גדולה יותר מזו שבתחילתו ולעולם לא ההפך. נכון, זה לא הוגן, אבל כאלה הם החיים.
ניסיונותיהם של הפיסיקאים להסביר מדוע קיים "חץ זמן" יקומי, ולא שום חץ דומה במרחב, הביאו ליצירת שתי תשובות מנוגדות, שעל פיהן נחלקה הקהילה המדעית כיום לשני מחנות.
הדעה המקובלת: חץ הזמן הוא מדומה
התשובה הראשונה היא תשובתם של רוב הפיסיקאים. היא נעשתה דעת הרוב מפני שהיא פשוטה והגיונית.
נתחיל בעובדה פשוטה: כל אינטראקציה בודדת היא סימטרית לחלוטין בזמן. התנגשות בין שני אלקטרונים, למשל, כמוה כהתנגשות בין שני כדורי ביליארד אידיאליים נטולי חיכוך: אם נסריט את ההתנגשות ישר והפוך לא יהיה שום הבדל בין שני התסריטים. כך לגבי פגישה בין אלקטרון והאנטי-חלקיק שלו, הפוזיטרון: שני החלקיקים ירוצו בשמחה זה לקראת זה ויאיינו זה את זה ובמקומם ייוצר פוטון, אבל הפוטון הזה יכול, מתי שרק יתחשק לו, להתפרק מחדש לזוג אלקטרון-פוזיטרון שינוסו זה מפני זה על נפשם באותה מהירות בה רצו קודמיהם אל סופם.
מהסימטרייה המושלמת הזאת, השלטת בחלקיקים בודדים, הבה נתקדם עוד צעד לעבר התופעות האסימטריות המוכרות לנו בעולם המאקרוסקופי. הנה, למשל, ספל הקפה החם: על-פי החוק השני של התרמודינמיקה, צריך הקפה להתקרר בהדרגה ולהעביר את חומו לאוויר החדר. ברמה המיקרוסקופית נראה הדבר כך: "חם" פרושו כי בממוצע, המהירות של המולקולות היא גבוהה. מולקולות המים החמים המהירות פוגעות מידי פעם במולקולות האוויר האיטיות יותר (או במולקולות דופן הספל, הפוגעות בתורן במולקולות האוויר). בהתנגשויות האלה מאבדות המולקולות המהירות חלק מהאנרגיה שלהן ומעבירות אותה למולקולות שבהן התנגשו, וכך מתקררים המים ומתחמם האוויר שסביבם. עכשיו, אם נתבונן בהתנגשויות הבודדות, נגלה שלא כתוב בשום מקום שלא יכול לקרות ההפך, לאמור, שמולקולה מהירה של אוויר תפגע במולקולה איטית של מים ותכניס אותה להילוך גבוה. מדוע, אם כן, איננו רואים ספלי קפה קר שואבים חום מאוויר החדר ומתחממים מאליהם? כאן מגייסים הפיסיקאים את תורת ההסתברות. אמנם, מדי פעם אכן קורה שמולקולת אוויר מהירה מתנגשת במולקולת מים איטית, אבל רוב מולקולות האוויר אינן מהירות ממולקולות המים, ולכן הסיכוי שמספר גדול של מולקולות אוויר מהירות יפגעו במולקולות המים בזמן מסוים הוא נמוך. הסיכוי אמנם אינו אפסי, אבל מתקרב מאוד לאפס. תצטרכו לשבת כמה מיליוני שנים, בעצם מיליארדי שנים - זמן ארוך יותר מגיל היקום - ולצפות בכוס קפה פושרת כדי שמשהו מעין זה יתרחש פעם.
החוק השני הוא, אם כן, חוק הסתברותי בלבד. הוא חל על גופים גדולים המכילים מספר עצום של אטומים. לכן, כשמדובר בחלקיק בודד, הסיכויים להתרחשותו של תהליך קדימה ואחורה בזמן הם בדיוק 50:50, אבל עם כל חלקיק המתווסף לו משתנים הסיכויים לרעת התהליך ההפוך: בגרם מים, שבו כ 1025 מולקולות, ההסתברות היא ! כדי להמחיש את סדרי הגודל, מאז ראשית היקום לא עברו שניות...
אם נחזור עתה ונשאל מדוע מתנהג ספל הקפה באופן אסימטרי, תהיה תשובת הפיסיקאי לכך פשוטה: האסימטרייה בזמן הוכנסה לתהליך זה כבר מלכתחילה. הרי רוב החום היה מלכתחילה בקפה ורק מעט באוויר החדר, ולכן מתקדמים הקפה והאוויר לקראת שיווי משקל. לו התחלנו בשיווי משקל, היו הסיכויים לשני התרחישים – הקפה מחמם את האוויר והאוויר מחמם את הקפה – שווים. על כן, אזורים זעירים של הקפה הפושר היו אמנם מתחממים, אך אזורים זעירים אחרים היו מתקררים, הכל על-פי המקרה, וכך הוא נשאר בממוצע פושר.
יתרה מזאת, בהחלט ניתן לחשוב על מצב שבו האוויר מחמם את הקפה אפילו אם האוויר קר והקפה חם. כל מה שצריך לעשות הוא לסדר מראש את מולקולות האוויר בדיוק רב מאוד במיקומים ובמהירויות המתאימים כך שברגע מסוים תתנגשנה טריליוני מולקולות אוויר מהירות במולקולות מים איטיות. זה אמנם בלתי אפשרי בטכנולוגיה של ימינו, אבל בהחלט אפשרי ברמת העיקרון. במילים אחרות, ייתכנו תנאי התחלה מסוימים, אחרי סידור נאות של כל המולקולות בעולם, שיגרמו לעולם הפוך מזה המוכר לנו: ספלי קפה פושרים מתחממים בעוד שהאוויר סביבם מתקרר, גפרורים שרופים שואבים עשן ואור מהאוויר ונעשים חדשים, זקנים מצעירים ומתים קמים לתחייה.
אם כך, ניתן לשאול, מדוע היקום שלנו הוא דווקא כזה ולא אחר? על כך תהיה התשובה: המדע אינו עוסק בתנאי ההתחלה. זו תשובה קצת פוזיטיביסטית, כלומר, תשובה של החוק היבש, אך היא בהחלט מתקבלת על הדעת. כל מה שהמדע יכול לומר הוא "בהינתן תנאי התחלה כאלה וכאלה, יקרה כך וכך (למשל, בהינתן אבן המושלכת למעלה במהירות X ובזווית Y היא תגיע חזרה ארצה תוך Z דקות)." אבל תנאי ההתחלה עצמם הם עניין שרירותי. ובמיוחד אמורים הדברים כשמדובר ביקום כולו. היקום החל במפץ הגדול בצורה כזו שהאנטרופיה שלו הייתה נמוכה ולכן היא יכולה רק לעלות. באותה מידה יכול היה היקום להתחיל במפץ גדול שבו האנטרופיה גבוהה אבל האטומים שלו מסודרים בצורה מדויקת כך שהאנטרופיה תלך ותרד עם הזמן.
אבל אם כך, יתעקש השואל, מדוע באמת לא החל היקום כך? ועל כך ניתן יהיה לענות לו: זו תשובה שמעבר למדע. נתונים לנו תנאי ההתחלה של היקום, אבל אי-אפשר לדעת מה היה קודם להם, במיוחד אם מביאים בחשבון שמפץ הגדול נוצר גם הזמן עצמו והשאלה "מה היה לפני הזמן" אפילו לא ניתנת לניסוח הגיוני.
ניתן, אם כן, לסכם כך את התשובה המקובלת על רוב החוקרים לשאלת האסימטרייה של הזמן: חוקי הטבע עצמם הם סימטריים לחלוטין, ולכן כל האינטראקציות הבודדות בטבע גם הן אינן מבדילות בין עבר לעתיד. את האשם באסימטרייה יש לתלות באותו מפץ גדול שהתחיל את היקום. אז, מסיבה כזו או אחרת, נוצרו תנאים של אנטרופיה נמוכה ומאז היא יכולה רק ללכת ולגדול. ואם יתעקש איזה נודניק לשאול מה היה לפני המפץ הגדול, הוא יסתבך כל כך בפרדוקסים לוגיים עד שלא יטריד אותנו יותר. תימוך לדעה המקובלת: העולם הקוונטי סימטרי אפילו יותר מכפי שהוא נראה
כיוון שעיקר עבודתנו בשנים האחרונות הוא בתורת הקוונטים, מצאנו גם אנו כמה ממצאים התומכים בדעה המקובלת. נתאר כאן בקיצור אחד מהם.
עוד ב-1964 הראו אהרונוב, ברגמן ולייבוביץ' שכל אינטראקציה קוונטית ניתנת לקריאה, כמו אינטראקציות היסוד בפיסיקה הקלאסית, מהעבר לעתיד ומהעתיד לעבר. בשנים שאחר כך הראו אהרונוב וחב' דוגמאות רבות לסימטרייה זו ואף ניבאו תוצאות מפתיעות בהסתמכם עליה. בעקבות גישה זו, החלטנו לפני זמן לא רב להפוך על פיו את הניסוי המפורסם ביותר של תורת הקוונטים, הלא הוא ניסוי איינשטיין-פודולסקי-רוזן שפגשנו בפרק ‏0.
בניסוי זה, כזכור לכם, היה לשני החלקיקים מקור משותף בעבר, שהוא האחראי להתאמה ביניהם. השאלה שלנו הייתה: ומה יהיה אם לשני החלקיקים יהיה אירוע משותף בעתיד? האם גם אז יקיימו ביניהם קשר טלפאתי ממרחק כמו ב- EPRהרגיל?
בשנים האחרונות אנחנו עסוקים בפרוייקט קצת פרוורטי שבו אנחנו לוקחים את הניסויים המוזרים של תורת הקוונטים ו"מכליאים" ביניהם. התוצאה, לעתים קרובות, היא ניסויים עם תוצאות פרדוקסליות אף יותר משל הוריהם. במהלך עבודתנו זאת מצאנו ניסוי EPR מהופך כזה (שאנחנו קוראים לו RPE) ע"י מיזוג ניסוי ההתאבכות של מאך-זנדר, ניסוי הברירה המאוחרת של וילר, ניסוי הפצצה של אליצור-ויידמן וכמובן ניסוי EPR. הניסוי המתקבל מגלם את הפרדוקסים של כל הוריו, ויחד עם זאת הוא די פשוט. כיוון שהוא הופך את ה-EPR על פיו בזמן, קראנו לו ניסוי RPE.
לכאורה מצב כזה לא ייתכן משום שהוא ייצור פרדוקס לוגי: נניח שלקחנו שני חלקיקים מרוחקים שמעולם לא נפגשו, נעשה מדידה על אחד מהם, נגלה כי גם החלקיק השני המרוחק הושפע מהמדידה, וזאת מפני שהם עתידים להתחבר. אבל אז, מה יקרה אם נחליט אחרי המדידה שלא לחבר ביניהם? כיצד ניתן יהיה אז להסביר את התוצאה?
תורת הקוונטים מאפשרת לנו ליצור EPR מהופך כזה אם נעשה את המדידות בצורה זהירה: נמדוד את שני החלקיקים, אבל לא נסתכל ישירות בתוצאות המדידות אלא נשמור אותן במקומות מבודדים. אחר כך נחבר את שני החלקיקים, ורק אז נלך ונסתכל בתוצאות המדידות. נגלה כי התוצאות הללו, שחיכו לנו "מוקפאות" כל הזמן הזה, מקיימות את אי-שוויון בל המפורסם: ההסתכלות באחת מהן משנה, באותו רגע, את תוצאת הבדיקה השנייה, אחת היא כמה היא מרוחקת.


תמונה 6 למעשה עשינו כאן דבר אפילו יותר מרחיק לכת: החלקיקים עצמם אינם מגיבים זה עם זה כלל. תחת זאת, חלקיק אור יחיד יוצא באותו רגע משני מקורות אור מרוחקים אל מטרה אחת, ובדרכו הוא נוגע בו-זמנית בשני החלקיקים המרוחקים. הקורא הסבלן, שעדיין לא סגר את המאמר הזה בייאוש, בוודאי הבחין שהמשפט האחרון שאמרנו נשמע בלתי-שפוי לחלוטין: היה זה כאילו אמרנו שנהג מונית בודד יצא לדרכו באותה עת גם מבאר-שבע וגם מחיפה והגיע לבסוף לתל-אביב. ובכן, מה לעשות, תורת הקוונטים אכן מאפשרת מצב כזה שבו חלקיק יחיד יוצא משני מקורות בעת ובעונה אחת ומגיע למקום שלישי כחלקיק אחד. זוהי למעשה הרחבה של הלקח שמלמד אותנו ניסוי הברירה המאוחרת של וילר (פרק ‏0): כשאנו מבצעים ניסוי התאבכות, אנו יוצרים אי-ודאות לא בקשר לעתיד, כפי שאנו רגילים לחשוב, אלא בקשר לעבר: מהרגע שנצפתה ההתאבכות של חלקיק יחיד, לעולם לא ניתן יהיה לדעת אם החלקיק הגיע אלינו מצד ימין או מצד שמאל. גם כאן, אם חלקיק בודד הגיע אלינו מאחד משני מקורות אפשריים, ובהגיעו הציג תופעת התאבכות שאינה מאפשר לדעת מהיכן הגיע, אזי שתי ההיסטוריות הן אמיתיות באותה מידה ושתיהן תורמות לתוצאה הסופית. לאפקט הזה קוראים אפקט הנבורי-בראון-טוויס, אבל שלא כמו ה-EPR שהזכרנו קודם, אין המדובר כאן בשלושה מחברים אלא בשניים, שלאחד מהם (בריטי, כמובן) היה שם משפחה כפול.
גם אנחנו, נאמנים למסורת התלת-שמית של תורת הקוונטים, פרסמנו את ניסוי EPR המהופך כשלישייה, אחרי שאנטון ציילינגר ממכון שרדינגר בווינה הצטרף אלינו בתכנון ניסוי זה (תמונה 6). אם כן, חלקיק אחד, שעל-פי ההיגיון הקוונטי יצא לדרכו משני מקורות מרוחקים והגיע לבסוף למחוז חפצו בשתי דרכים שונות, פגש בשתי הדרכים בהן עבר שני חלקיקים. עובדה: שני החלקיקים הללו, שמעולם לא פגשו זה את זה, הופכים עתה לחלקיקי EPR לכל דבר: מדידה של האחד משפיעה מיידית על השני.
אם כן, העולם הקוונטי מופיע אף הוא כנטול כיוון זמן, מה שמחזק, לכאורה את הדעה המקובלת שאסימטריית הזמן היא תופעה סטטיסטית גרידא, המופיעה רק במצבורים גדולים של חלקיקים ולא בחוק-טבע יסודי כלשהו. הדעה הלא-מקובלת: חץ זמן חלש מתחבא בכל תהליך
הבה ניזכר שוב בשאלה: אם האינטראקציות היסודיות הן סימטריות בזמן, מדוע עולמנו הוא דווקא אסימטרי בזמן? התשובה המקובלת, אותה סקרנו בפרקים הקודמים, אמרה: בכל אשמים תנאי ההתחלה. חוקי הטבע עצמם אינם מבדילים בין עבר לעתיד. נפנה עתה אל התשובה השנייה, האומרת דבר הרבה יותר נועז: מי אמר בעצם שהאינטראקציות היסודיות הן באמת סימטריות בזמן?
בתשובה הזאת מחזיק, בין השאר, רוג'ר פנרוז מאוניברסיטת אוקספורד. הוא חושד שאפילו באינטראקציות הנראות לנו סימטריות, כגון התנגשות בין שני אלקטרונים, יש אסימטרייה חלשה. לכן, אם כוס קפה חם מתקררת מאליה וכוס קפה קר אינה מתחממת מאליה, הרי זה משום שבכל אחת מההתנגשויות המולקולריות המרכיבות את התהליך, שהן לכאורה סימטריות לחלוטין, יש בכל זאת מין "זיוף" קל מאוד, בלתי-מורגש בכלים של היום.
את התשובה הזאת שואב פנרוז בעיקר באופן אינטואיטיבי מקיומן של עוד שתי תופעות אחרות שאינן סימטריות בזמן: א) קיימת אסימטרייה זעירה בעולם החלקיקי, הקשורה בכוח הגרעיני החלש. זוהי אסימטרייה מפליאה מאוד, שהרי היא קיימת גם בחלקיק הבודד ולכן התשובה המקובלת (פרק ‏0) אינה תקפה לגביה. ב) הפיסיקאים המחפשים תורת שדה מאוחדת, שתסביר את כל כוחות הטבע הידועים כביטויים של כוח אחד, לא הצליחו במשימתם עד היום מפני שלגרוויטציה אין עד היום ביטוי קוונטי. והנה, כידוע, כשחומר נדחס לנקודה זעירה בגודל אפס, נוצר חור שחור, וזו תופעה אסימטרית בעליל. אומר אם כן פנרוז: נכון, הסימטרייה בזמן היא עיקרון חשוב ויקר, אבל אם רצוננו להתקדם הבה נשקול את האפשרות שעולמנו, ברמה היסודית ביותר שלו, אינו סימטרי בזמן, ולכן, כשתתגלה סוף-סוף תורת הגרוויטציה הקוונטית, שהיא השדה המאוחד, היא תהיה אסימטרית בזמן.
מרבית הפיסיקאים מתייחסים אל ההצעה הזאת בערך כמו שיתייחס יהודי מאמין לטענה כי כשיבוא המשיח יהיה מותר לאכול חזיר. מה גם שעדיין לא ברור אם וכיצד אפשר יהיה לקשור אסימטרייה קוונטית שכזו לאסימטרייה המאקרוסקופית של החוק השני של התרמודינמיקה. לא ייפלא אם כך, שדעה זו נותרה דעת מיעוט.
מה קורה כשחושבים על שתי השאלות יחד?
עד כה פעלנו לפי אסטרטגיה מחקרית מסוימת. ראינו שאין פתרון לבעיית מעבר הזמן, ולכן רוב הפיסיקאים רואים בה בעיה פילוסופית ואינם מוטרדים ממנה. אמרנו, אם כן, כך: הבה נלמד את בעיית האסימטרייה בזמן, שהיא בעיה ניסויית מובהקת, ונראה מה ניתן להקיש מאחת על האחרת. התקווה הייתה ברורה: בכך שנחשוף כישלון אחד של הפיסיקה הקשור בטבע הזמן, אולי נצליח להזיז אותה מעמדתה השמרנית בנוגע למעבר הזמן. לאכזבתנו, התגלה ההפך: קיומה של אסימטריית הזמן רק מאפשר לפיסיקה להתבצר ביתר שאת בשלילת מעבר הזמן!
כדי להבין איך זה קורה הבה נסתכל בשגיאה מפורסמת של הוקינג, שממנה חזר בפומבי לפני שנים רבות. הוקינג חשב תחילה שגילה הסבר פשוט לחוק השני של התרמודינמיקה: היקום התחיל במצב מסודר מאוד, אבל גם צפוף מאוד. ככל שהיקום מתפשט, נוצר יותר חלל ריק, וכך החל החומר החם לפלוט את חומו לחלל שסביבו. במילים פשוטות יותר, עצם התפשטות היקום יצרה יותר מקום, ולכן יותר אפשרויות לבלגאן.
הוקינג חזר בו מטענה זו בגלל תלמיד שלו, דני לפלאם, ששאל אותו מה יהיה אם יתחיל היקום יום אחד להתכווץ חזרה, כפי שיש תסריטים החוזים שיקרה. האם אז יתהפך כיוון עליית האנטרופיה? אם יש לפנינו ספל קפה ההולך ומתקרר, ובמקרה זה בדיוק הרגע בו החל היקום להתכווץ, איך ידעו המולקולות להפוך בדיוק באותו רגע את מהלכן כדי שכוס הקפה תחזור ותתחמם? למשמע שאלה זו נאלץ הוקינג להודות שזה רעיון די חלש. סביר יותר שהאנטרופיה תמשיך לעלות גם ביקום מתכווץ.
והנה, במהלך דיונים אלה העלה הוקינג טיעון אפיסטמולוגי פשוט אבל גורלי: אם אכן יתכווץ היקום ויחד אתו תרד האנטרופיה, אנחנו לא נרגיש בכך! אחרי הכל, כיצד יודעים אנו שהזמן עובר? רק בגלל עליית האנטרופיה. גלי אור וקול חודרים לאברי החושים שלנו, ושינויים כימיים מתאימים נוצרים בנוירונים שלנו בצורת זיכרונות. אבל אם יתהפך כיוון האנטרופיה ביקום כולו, הוא יתהפך גם בסביבתנו ובתוך גופנו, וכך נלך וניעשה צעירים מרגע לרגע, אבל גם נשכח מרגע לרגע את מה שקלטנו בשלב הקודם, וכך לא נרגיש כלל בהיפוך.
כאן עולה למעשה שאלה מטרידה: כיצד ניתן לדעת שזה לא מה שקורה בדיוק עכשיו? כיצד יודעים אנו שאיננו חיים ביקום מהופך שהכל בו הולך אחורנית? התשובה מטרידה עוד יותר: אי אפשר לשלול אפשרות כזאת, מהטעמים שמנינו לעיל!
בצר לנו, נפנה אל חוקי ההסתברות. אם אי-אפשר לשלול אפשרות כזאת באופן עקרוני, אולי ניתן להראות שהיא מגוחכת מבחינה הסתברותית? לכאורה, זו דרך מוצלחת. כולנו יודעים ש:
לא סביר שכל החלקיקים במערכת כלשהי יימצאו ברגע ההתחלתי בתיאום מושלם כך שהאנטרופיה של המערכת תלך ותקטן מאליה.
המשפט הזה הוא נכון וכל הסתכלות במתרחש סביבנו תאשר אותו. אחרי הכל, מעולם לא ראינו כוס מים פושרים שבמקרה התחממה מאליה ויצרה קוביית קרח נאה באמצעיתה. עכשיו, כמו מדענים טובים, עלינו לתת למשפט הזה ביטוי כמותי. הבה נקשור את ההסתברות לגודל המערכת:
עוד יותר לא סביר שהדבר יקרה במערכת גדולה. ככל שגדל מספר החלקיקים, כך קטנה ההסתברות להיפוך כזה של האנטרופיה.
וגם זה נכון, ומשוואות התרמודינמיקה מאשרות זאת. מה יותר טבעי, אם כן, מאשר להמשיך להחיל משפט זה על המערכת הגדולה ביותר הידועה לנו?
הכי לא סביר שהדבר יקרה ביקום כולו.
והנה, במשפט ג' יש טעות קטלנית: הוא חסר משמעות לחלוטין! כי איך אנו מבדילים בין תהליך נורמאלי שבו האנטרופיה עולה לבין התהליך המהופך? כשאדם מסתכל על סרט שבו חביתות הופכות מחדש לביצים שלמות, ועשן נשאב חזרה לארובת רידינג, הוא מבין שזה סרט מהופך מפני שהוא עצמו מסתמך על חץ הזמן המוכר לו, דהיינו, גופו וסביבתו. אבל על מה יסתכל מי שחי בתוך יקום שכולו מהופך? עצם המילים "ישר" ו"מהופך" הן חסרות-משמעות כשמדובר על כל היקום, שכן אין לנו שום מסגרת חיצונית לשפוט על פיה!
כאן בא הפיסיקאי האורתודוקסי ואומר בחיוך של עליונות: אמרתי לכם! כל הדיבורים האלה על מעבר הזמן הם חסרי משמעות ורק מבלבלים את כולם. אם ניפטר ממעבר הזמן, יהיה לנו יקום ארבע-ממדי שכל האירועים בהיסטוריה שלו – עבר, הווה ועתיד – קיימים יחד ומסודרים לפי הסדר על פני ממד הזמן. מי שירצה, יכול לקרוא אותם מה"התחלה" אל ה"סוף," ולטעון שהאנטרופיה עולה, ומי שירצה, יכול לקרוא אותם מה"סוף" אל ה"התחלה" ולטעון שהאנטרופיה יורדת. שתי הדרכים נכונות באותה מידה.
אפשר להמחיש את העיקרון הזה במכתב שכתב ר' אברהם אבן-עזרא לאדם ששאל אותו מה הדין עם חבית דבש שנפל לתוכה זבוב. הראב"ע קבע שהדבש כשר, והוא ניסח זאת כך:
פרשנורעבתנשבדבשנתבערונשרפ
אפשר לקרוא את המסר הזה ישר או הפוך מכל צד והוא יישאר בעינו: "אנו קובעים שהיצור הזללני שהיה בדבש בטל ומבוטל." כך, על-פי הפיסיקה המקובלת, ניתן לקרוא גם את ההיסטוריה של היקום פנים ואחור בציר הזמן. מותר לומר:
היה היה יקום שבו החלקיקים היו מסודרים במצב המאוד מיוחד בו יש להם אנטרופיה נמוכה. גלקסיות גז לוהט יצרו שמשות חמות שפלטו בהדרגה חום אל החלל הקר עד שקפאו. הפיזור הסופי של החלקיקים ביקום היה לכאורה ערבוביה גמורה, אבל ערבוביה זו שימרה בדייקנות את עקבות המצב המסודר שהיה בתחילה. בין לבין, אנשים נולדו, הזקינו ומתו, וספלי הקפה החם ששתו התקררו אם שתו אותם מאוחר.
ומותר באותה מידה לומר:
היה היה יקום שהחלקיקים המפוזרים בו בערבוביה היו מסודרים בצורה כל כך מדויקת עד שיצרו בהדרגה שמשות שהלכו והתחממו עד שיצרו גלקסיות של גז לוהט בעוד האנטרופיה של כל היקום הולכת ונעשית נמוכה. בין לבין, מתים קמו מקבריהם, הצעירו ונעשו תינוקות שחזרו לבטן אמותיהם, והקפה שפלטו מבטנם אל הספלים היה קר אם פלטו אותו מוקדם אבל הלך והתחמם.
שני התיאורים מתייחסים לאותו יקום ארבע-ממדי, ושניהם שווי-ערך ממש כמו הדרכים ההפוכות בהן ניתן לקרוא את ריבוע הקסם של אבן-עזרא. בשניהם פועלים אותם חוקי הפיסיקה ואותם חוקי ההסתברות.
הגענו, אם כן, למבוי סתום: קיווינו שהבעיה הפתוחה של האסימטרייה בזמן, שכל הפיסיקאים מודים בה, תאפשר לנו להיאחז במשהו כדי להוכיח שמעבר הזמן אינו אשליה, והנה התברר שהאסימטרייה בזמן דווקא נותנת נימוקים טובים לאלה השוללים את מעבר הזמן. עכשיו יש לפיסיקאי השמרן תמונה עקבית מושלמת: יקום דומם וקפוא, שכל האירועים בו – עבר, הווה ועתיד – קיימים יחד לאורך ממד הזמן. כל אחד מאתנו הוא אוסף של אינספור "אני"ים דוממים כאלה, שמהם מורכב קו-העולם שלו המתמשך מהעבר אל העתיד. החוק השני של התרמודינמיקה משתלב כאן בטבעיות ומסביר יפה מדוע יש לנו אשליה שהזמן עובר: אחת התופעות הנובעות מחוק זה היא שכל מקורות האור, הקול וכדומה, פולטים אנרגיה בכיוון אחד - שנקרא לו "עתיד" - בלבד, ולכן אינפורמציה אינה יכולה להגיע אלינו מהעתיד. זאת ועוד, החוק השני קובע שאם רישום כלשהו (מראה, צליל) הוטבע במוחנו, הוא ישאיר עקבות בעתיד ולא בעבר. מסיבה זאת טבועים בכל "אני" זיכרונות ה"אני"ים הקודמים, ומכאן האשליה שהזמן עובר.
ובכן, לוותר? להודות שתפיסתנו את הזמן היא אשליה? לא כדאי למהר, כי בתוך התמונה הכמעט-מושלמת הזאת גילינו, לפני שנים אחדות פגם אחד המסוגל להפוך את כל המצב על פיו. ובעשותנו כן, גם הכנסנו את ראשינו בין שניים מענקי הפיסיקה המודרנית המתכתשים בנושא זה מזה למעלה מעשרים שנה מבלי שאיש מהם יבחין בפגם הזה.
שאלת הסיבתיות
כדי להבין את כיצד ייתכן מהפך כזה הבה נכניס לדיון שאלה נוספת הנוגעת לאושיות הפיסיקה המודרנית: האם עולמנו נשלט לחלוטין ע"י הסיבתיות? במילים אחרות, האם כל אירוע המתרחש ביקום, ותהא זו אפילו תנועת חלקיק זעיר שבזעירים, נקבע באופן מוחלט ע"י מה שקדם לו? השאלה הזאת – בניסוחו המפורסם של איינשטיין "האם אלוהים משחק בקוביה" – היא שאלה בלתי-פתורה ולא נתיימר לפסוק בה כאן, אבל איננו יכולים שלא להעיר בתמיהה על העובדה שבכל הספרות העצומה הדנה בחץ הזמן ובמעבר הזמן, אין כמעט התייחסות לשאלת הסיבתיות, למרות שגם אדם שאינו מדען ירגיש מייד באופן אינטואיטיבי ששתי השאלות קשורות קשר הדוק זו אל זו.


תמונה 7א
תמונה 7ב
תמונה 8א

תמונה 8ב תמונה 7א ממחישה טענה זו. זוהי הדמיית מחשב המתארת את תנועתם של כדורי ביליארד. מימין למטה ניתן לראות קבוצת כדורי ביליארד מסודרים בצורת משולש, עד שכדור נוסף פוגע בהם ומפזר אותם לכל רוח (ימין למעלה). בבירור, האנטרופיה עלתה בתהליך זה. מצדה השמאלי של התמונה ניתן לראות דיאגרמת מרחב-זמן של התהליך, כלומר את מסלוליהם של הכדורים במרחב-זמן.
בתמונה 7ב הפכנו את הכיוון. בסימולציה, שאנו מזמינים את כל המעונין לחזות בה (---www), ניתנה הפקודה לכדורים בשלב הסופי להפוך את כיווני תנועותיהם. חיש-מהר, יתארגן הבלגאן מחדש למשולש יפה שיפלוט חזרה כדור בודד למקום שממנו בא. משמאל, שוב, מופיעה דיאגרמת מרחב-זמן של התהליך המהופך.
מה שנאמר עכשיו הוא כמעט טריוויאלי, וכל סטודנט מתחיל יודע אותו, ובכל זאת, כמעט איש מבין הפיסיקאים הדנים בשאלת מקורו של חץ-הזמן לא שם אליו לב: בעולם שאינו סיבתי לחלוטין, תהליך א' הוא אפשרי בהחלט בעוד שתהליך ב' נדון לכישלון. הנה תמונה 8א: חזרנו על התהליך הראשון בתוספת "זיוף" קל – הזזנו מעט את אחד הכדורים במהלך הניסוי. התוצאה: האנטרופיה גדלה גם הפעם. בתמונה 8ב הכנסנו את הזיוף לתהליך ההפוך, שהיה אמור להוריד אנטרופיה, והתוצאה הייתה הרת אסון: מרגע ההתערבות, השתלט מחדש האי-סדר והרס את כל ההיפוך.
בניסוח המקובל על הפיסיקאים נאמר כך: תהליך נורמאלי, כזה שהאנטרופיה שלו עולה עם הזמן, אינו רגיש לתנאי ההתחלה, ואילו אותם תהליכים נדירים שהאנטרופיה שלהם יורדת עם הזמן, הם רגישים ביותר: כל תהליך כזה מחייב תנאי התחלה מדויקים לאין-שיעור וכל סטייה מתנאים אלו תגרום לו להפוך מחדש לתהליך נורמאלי, מגדיל אנטרופיה. יקיר אהרונוב ביטא עיקרון זה בצורה קולעת: אם נוציא תולעת אחת מקברו של אדם, אזי שום היפוך בזמן של התהליכים הקורים בקבר לא יחזיר אותו לחיים.
נכון, זה ידוע לכל, אבל יש לעיקרון זה השלכה מיידית על טבע הזמן: בהינתן מערכת סגורה שיש בה אירוע לא-סיבתי אחד, אזי, ללא קשר לתנאי ההתחלה של אותה מערכת, האנטרופיה שלה תלך ותגדל, החל מאותו אירוע, בשני הכיוונים! הרושם המתקבל הוא שלמרות שחץ הזמן באותה מערכת הצביע תחילה לכיוון ההפוך מזה של היקום, הרי מהרגע בו הופיע האירוע הלא-סיבתי, חזר חץ-הזמן היקומי והשתלט מחדש על המערכת, למרות שהמערכת מבודדת לחלוטין מיקום זה (תמונה 9).
תמונה 9
מכאן נובעת באופן לוגי מסקנה לא פחות מרחיקת-לכת לגבי היקום כולו: אם קיימת אי-שם אפילו אינטראקציה אחת שאינה סיבתית, היקום כולו אינו אסימטרי בזמן. מכאן שהדרך המקובלת לקרוא את ההיסטוריה של היקום (גרסה Error! Reference source not found. ע' 69) היא הנכונה ואילו הדרך המהופכת (גרסה ‏0) היא מופרכת.
נשארה אם כן רק שאלה קטנה: האם היקום בו אנו חיים הוא סיבתי? כמובן שזו לא שאלה קטנה כלל, וכבר אמרנו שהיא למעלה מיכולתנו. אבל היה מי שכן פסק בשאלה זו, והוא לא אחר מאשר סטיבן הוקינג הנודע. האיש הטוב הזה טוען בתוקף שחוקי הטבע מאפשרים את קיומו של אינדטרמיניזם יסודי, כלומר, תהליך שאינו סיבתי. כל מה שאנו אומרים בשולי דבריו הוא שטענה זו סותרת את טענתו השנייה, לפיה אין חץ זמן יסודי. הוקינג והתנדפות החורים השחורים
תחילה הערה על מעמדה של הסיבתיות בפיסיקה כיום. נהוג לחשוב שתורת הקוונטים כבר ערערה על הסיבתיות, אך למעשה אין זה מדויק. הפורמליזם של תורת הקוונטים, לאמור, מערכת החוקים שלה, משמר את הסיבתיות. נכון, בהינתן מצב קוונטי מסוים, A, ניתן אך ורק לחזות הסתברויות של המצבים B ו-C שיבואו בעקבותיו. אבל אין בכך כדי לשלול את האפשרות ש-B או C נקבעו מראש ע"י A ורק חוסר ידיעתנו מונע מאתנו מלנבא את המסובב על סמך ידיעת הסיבה. זוהי השערת ה"משתנים הנסתרים" שאיינשטיין השתעשע בה בתקווה להפריך את תורת הקוונטים, אך כיום, לא רק שלא הוכחה אלא אף הוגבלה (כגון ההוכחה של ג'ון בל שמשתנים נסתרים כאלה יפעלו ממרחק, לכאורה בניגוד לתורת היחסות – ר' פרק ‏0לעיל), ולמרות זאת מאמינים בה רוב הפיסיקאים.
הפיסיקאים מסתמכים על עיקרון הקרוי בשפה המקצועית "השערת שימור היוניטאריות", שבשפה היום-יומית ניתן לנסחו כעיקרון שימור האינפורמציה. כך, למשל, אם השלכנו ספר למדורה, הרי המידע כתוב בספר לא נעלם לחלוטין. הוא נשמר בפוטונים (חלקיקי האור) היוצאים מהאש. בלתי אפשרי אמנם לשחזר את המידע הזה בטכנולוגיה של ימינו, אבל בעיקרון המידע הזה לא אבד אלא רק התערבב עם כמות אדירה של מידע הנראה לנו לא יותר מאשר רעש אקראי. עד כמה ניתן לשחזר מידע כזה הוא שאלה טכנולוגית ולא יותר. בעיני הפיסיקה התיאורטית, המידע לא נעלם לעולם.
והנה, לפני יותר מעשרים שנה הודיע הוקינג כי יש מקרה שבו האוניטאריות אינה נשמרת, לאמור, תהליך שבו אינפורמציה נעלמת ממש, לחלוטין, ולא סתם מתערבבת עם רעש. התהליך הזה הוא התנדפותו של חור שחור. לפיסיקאים היה ידוע זמן רב קודם לכן כי כשנוצר חור שחור, הרי כל מה שייפול לתוכו – אופניים, בננות, חברי כנסת – יאבד את כל תכונותיו הפיסקליות (צבע, צורה, ריח וכו') וישנה רק את שלוש התכונות הפיסיקליות היחידות של החור השחור: מסה, תנע סיבובי ומטען חשמלי. יש כאן, לכאורה, איבוד אינפורמציה מובהק, אבל הפיסיקאים הניחו שתכונותיהם האבודות של החפצים שנפלו לחור השחור נשארות חבויות בתוכו, מעבר להישג ידו של היקום הנראה. והנה בא הוקינג, בעקבות רמז של יעקב בקנשטיין מהאוניברסיטה העברית, והוכיח כי חורים שחורים מתנדפים בתהליך קוונטי מפליא ופשוט. לא נחזור על פרטי התהליך – הם מוסברים בצורה בהירה ב"קיצור תולדות הזמן." מה שחשוב לענייננו הוא שהחלקיקים הנפלטים מהחור השחור והגורמים לכיליונו נוצרים על שוליו, הרחק מהאופניים, הבננות והח"כים שנבלעו למרכזו. כאן, אמר הוקינג, יש אובדן אינפורמציה אמיתי. בעוד הפוטונים היוצאים מהאש משמרים עדיין את תוכן הכתוב בספר, הפוטונים היוצאים משולי חור שחור אינם יכולים לשמר מאומה מתכונות הגופים שנבלעו הרחק במרכזו. וכך, בכלות החור השחור, תיעלם לחלוטין כל האינפורמציה שנבלעה בו.
והנה אירוניה: מזה שנים רבות שהוקינג ופנרוז מנהלים ויכוח על מקורו של חץ הזמן. הוקינג, הצעיר שבהם, דווקא נוקט בעמדה השמרנית (פרק ‏0) בעוד שפנרוז, כפי שראינו, מעלה את ההשערה הנועזת יותר (פרק ‏0). הוויכוח הממושך הזה (שכמו הוויכוח המפורסם בין איינשטיין ובוהר, נעשה מתוך ידידות והערצה הדדית), התנהל מעל במות ציבוריות ולאחרונה אף יצא כספר. אבל לאורך כל הויכוח הזה, לא הבחין פנרוז איך הוקינג מגיש לו בבלי-דעת, שוב ושוב, את הטיעון התומך דווקא בגישתו שלו!
הלוגיקה כאן פשוטה בתכלית. נדמיין לעצמנו שתי מערכות סגורות. אחת מהן עוברת התפתחות נורמלית, כך שהאנטרופיה שלה תגבר עם הזמן. הבה ניתן למערכת מספיק מסה וזמן שיאפשרו לחור שחור להתהוות ולהתנדף. כשנפתח את המערכת לאחר זמן מספיק ונבדוק את האנטרופיה שלה, נמצא שהאנטרופיה גדלה. זה לא מפתיע: אם ההשערה של הוקינג נכונה, החלקיקים שאליהם התנדף החור השחור לא יכלו לשמר את האינפורמציה על האובייקטים שנבלעו קודם לכן ע"י החור השחור. לפיכך, התנדפות החור השחור פשוט הוסיפה לאנטרופיה של המערכת, בדרך זהה לזו של ההפרעה הבודדת בתמונה 7א שבעטייה הופרעה השרשרת הסיבתית.
המערכת השניה תהיה ההיפוך המדויק של המערכת הראשונה: מערכת סגורה בה המצבים והתנעים של כל החלקיקים מתואמים-מראש עם מירב הדיוק כך שהאנטרופיה שלה תקטן עם הזמן (ספלי קפה מתחממים, מתים קמים מקבריהם וכל שאר מעשי הליצנות שהזכרנו). גם כאן יהיו כמויות החומר ומשך הזמן המוקצים למערכת מספיקים להתהוות והתנדפות חור שחור. בפתיחת המערכת בתום הניסוי אנו מוצאים שהיפוך הזמן נכשל: האנטרופיה גדלה גם במקרה הזה.
הסיבה ברורה: האפקט משמיד האינפורמציה של החור השחור הרס את ההתאמות המסודרות מראש שעמן הוכן המצב ההתחלתי. תהליך זה מקביל למקרה שראינו בתמונה 7ב, בהבדל שכשלון הסיבתיות שנגרם ע"י החור השחור משפיע לא רק על חלקיק אחד אלא על חלקיקים רבים.
ובכך, כפי שאומרים עורכי הדין, We rest our case. אם התרחש אי-שם ביקום אפילו אירוע אחד שאינו דטרמיניסטי לחלוטין – תהא זו התנדפותו של חור שחור, פיהוקו של חתול או דמעות שהזילה עקרת בית אחרי קילוף בצל – אזי מאבדים היחסים הסיבתיים בכל היקום את סימטריית הזמן שלהם. אירוע כזה שקול להפרעה שהצגנו במסלולו של כדור ביליארד בודד: עם הזמן הוא משפיע על כל האירועים האחרים. כך יכולים אנו לשלול את האפשרות שאנו חיים ביקום מהופך מהסוג שהזכרנו בפרק ‏0, וכך יכולים אנו סוף-סוף לקבוע שהאירועים בעבר גורמים לאירועים בעתיד ולא להפך. ברצוננו לחזור ולהדגיש את פשטותו של הטיעון הזה: אם הדטרמיניזם צודק, היקום אינו שונה משולחן הביליארד שבתמונה 6 אלא רק במספר מרכיביו. כל אירוע שאינו סיבתי באופן חמור דינו כדין ההפרעה הקלה שהפרענו למהלכם של כדורי הביליארד. בעטיו, משולש יפה ההופך לערבוביית כדורים (או, בעולמנו, ספלי קפה מתקררים ואנשים מזדקנים ומתים) הוא אפשרי בעוד שהתהליך ההפוך מצריך התערבות מחושבת היטב ומתמשכת מצד כוח עליון.
מנקודה זו, שבה צריכה הפיסיקה המקובלת לגייס צירופי מקרים ניסיים, יש רק שתי דרכים לחזור אל המדע. מחד אפשר שיתברר שהוקינג ודומיו טועים והאינפורמציה נשמרת אפילו בהתנדפות החור השחור (רעיון שנתמך לאחרונה על-ידי תורת המיתרים המנסה לתת תאור מפורט של החורים השחורים). אנחנו כמובן מקווים שלא כך יהיה, אבל כרגע נותר רק לחכות ולראות מה יילד יום. מצד שני, אם יתברר שהצדק היה דווקא עם הוקינג, אזי קורסת גם הטענה השמרנית שהובאה בתחילת מאמר זה, דהיינו שאירועי העתיד קיימים לצד אירועי ההווה והעבר ממש כשם שערי הצפון קיימות לצד ערי הדרום. ואם כך, אם העתיד אינו קיים, תחזור התורה האומרת כי הזמן נתון להתהוות ותאלץ את הפיסיקה לחרוג מגבולותיה הנוכחיים.
אז מה ילד יום?
אוגוסטינוס הקדוש – שהיה, למעשה, לא כל כך קדוש כלל אלא קנאי דת מרושע – ראוי אולי יותר לכינוי אוגוסטינוס הנדוש בשל הפתגם השנון שלו שנעשה ידוע לכל: "מהו הזמן יודע אני אבל כששואלים אותי איני יודע." שמונה מאות שנה מאוחר יותר, כשמאחרינו שתי מהפכות גדולות בפיסיקה של המאה העשרים, גם אנחנו איננו יודעים עדיין מהו הזמן, ובכל זאת זו אי-ידיעה מורכבת, עשירה ומסקרנת יותר מזו של ימי הביניים. אנו יודעים, לפחות, מה הזמן איננו: המרחב והזמן אינם סתם במה פאסיבית שעליה מתחוללים האירועים שסביבנו. תורת היחסות הראתה שהמרחב-זמן הוא מעין יריעה חיה, המשתתפת באופן פעיל במה ש"מצויר" עליה ע"י הקיפולים והעיקומים הרוחשים בה. תורת הקוונטים הוסיפה והראתה שהמרחב-זמן עושה אפילו דבר יותר מפליא: ברמה הקוונטית, הרבה מתחת ליכולת הצפייה שלנו, יוצר המרחב-זמן אינספור זוגות חלקיקים "וירטואליים" המופיעים ומתאיינים ללא הפסק לפרקי-זמן קצרים מכל שיעור. תורת המיתרים, אותה תורה שאפתנית המנסה לאחד את תורות הקוונטים והיחסות, מנסה אף להרחיק לכת יותר ולהראות כי בעולמנו אין, למעשה מאומה מלבד המרחב-זמן, רק שמספר ממדיו הוא גדול יותר ממה שחשבנו, וכל החלקיקים והכוחות הידועים לנו אינם אלא פיתולים זעירים ביותר של מרחב-זמן רב-ממדי זה. לתורת היחסות ולתורת הקוונטים מצטרפות התורות הגדולות האחרות של הפיסיקה, התרמודינמיקה והקוסמולוגיה, וגם להן יש מה לומר על הזמן, על כיוונו ועל מוצאו, וגם הן מחכות להשתלב עם התורות האחרות לפיסיקה חדשה, שאיש אינו יודע כיצד תיראה.
יש לי תיאוריה
כַּאֲשֶׁר הָיִיתִי עוֹלֵל, כְּעוֹלֵל דִּבַּרְתִּי, כְּעוֹלֵל הָגִיתִי, כְּעוֹלֵל חָשָׁבְתִּי,
וְכַאֲשֶׁר הָיִיתִי לְאִישׁ, הֲסִירֹתִי דִּבְרֵי הָעוֹלֵל. '
הראשונה אל הקורינתיים י"ג 11
המאמר הראשון שכתבתי בפיסיקה היה מלאכת מחשבת של בורות ויהירות. הייתי בן עשרים ומשהו, בלי שום תואר אקדמי, ואפילו תעודת בגרות לא הייתה לי כי נשרתי מבית-הספר בסוף כתה י'. עם רקע מרשים כזה, כתיבת מאמר שיעשה פעם ולתמיד סדר בתורת הקוונטים נראתה לי מעשה לגמרי טבעי. עברו הרבה שנים מאז, ואולי יש מקום להסביר מה השתנה מאז אותו מאמר.
עבדתי באותם ימים בכל מיני עבודות מזדמנות. במקום לימודים סדירים בלעתי ספרים, ביניהם ספרי כמה מחברים ישראליים. מדי פעם טלפנתי אל אחד מהם וביקשתי רשות לשאול כמה שאלות. כולם שמחו לדבר על ספריהם, הפנו אותי לספרים נוספים ולפעמים הזמינו אותי לפגישה. כך זכיתי בכמה מורים שאפשר היה רק לחלום עליהם. כזה היה הפסיכיאטר יהודה פריד ז"ל (1930-1990), שלולא מותו בטרם-עת היה נחשב כיום לדמות מובילה ברפואה ובפילוסופיה בעולם. מי שטיפח אותי ביומיום היה שלמה גיורא שוהם מאוניברסיטת תל-אביב, לימים חתן פרס ישראל בקרימינולוגיה. האיש הזה, המבריק, המיוסר והבוטה, השולט בשש שפות (כולל ערבית יפהפייה אותה קנה בשבי הלגיון הירדני), נקשר אליי באהבה מוזרה.[] עד היום, כל פגישה בינינו היא קולנית במידה שאנשים מהמסדרון מתלחשים בדאגה. שוהם צירף אותי לחבורה חתרנית שהייתה נפגשת אחת לשבועיים בדירה כלשהי ומקשיבה להרצאה של אחד החברים. מדי פעם היו מוזמנים להרצות בפנינו מאורות גדולים: ישעיהו ליבוביץ' ז"ל (1903-1994) ויבדלו לחיים יוסף אגסי, בן-עמי שרפשטיין, אסא כשר, יעקב רז, חיים חזן ואילן גולני. ברבות הימים נעשו רבים ממשתתפי הקבוצה לחוקרים בולטים בתחומיהם.
*
גם לי יש נושא להרצאה, אמרתי לשוהם בסוף אחת הפגישות. יש לי תיאוריה המאחדת את הפיסיקה עם הפסיכולוגיה, ובהזדמנות מתקנת את תורת האבולוציה ופותרת את בעיית התודעה, וכל אלה נותנות בסיס מדעי מוצק לתופעות הפרפסיכולוגיות. נו, קדימה, אמר שוהם, זורח מהנאה על בן-טיפוחיו הצנוע כמעט כמוהו. בפעם הבאה תורך לדבר. לידנו עמד המרצה-האורח של אותו ערב, פיסיקאי מאוניברסיטת תל-אביב עם בלורית וזקנקן סנטר, שהזכיר לי את דארטאניין מהמוסקטרים. גם הוא הופיע בפעם הבאה כדי לשמוע את בשורת הגאון התורן. בסבלנות הקשיב להרצאה וכשסיימתי שאל שאלה שלא ממש הבנתי. ניסיתי לענות. ”לא ענית לשאלה שלי,“ אמר וחזר על שאלתו. ניסיתי שוב לענות. ” סליחה, אתה שוב לא עונה לי,“ קטע אותי בקוצר-רוח. ”אני שואל אותך פעם שלישית:...“ זה היה ביזיון שלא שכחתי, וגם שיעור חשוב. כך הכרתי את יקיר אהרונוב.
*
באותו זמן מצאתי עבודה חלקית במכון וייצמן כעובד מעבדה זוטר. בעיני רוב העובדים נחשבתי לשוטה בלתי מזיק המבלה שעות בספריה. תחילה התעניינתי בפסיכולוגיה. נשביתי בקסם כתבי פרויד, עשיתי אנליזה עצמית כמה שנים עד שיכולתי לשלם על טיפול מקצועי, ואז החלטתי לכתוב ספר על פסיכואנליזה. "לפני ולפנים, עיונים פסיכואנאליטיים במקרא וביהדות"[] עתיד היה להפוך לרב-מכר, אבל קדמו לכך הרבה שנות עבודה בבדידות. התלהבותי מהפסיכואנליזה, בתוספת ביטחון עצמי מופרז, הביאה אותי לשדל כמה אנשים לעבור אצלי ”טיפול“ בחינם. לצעירים תמימים אלה, תלמידים-מטופלים-חברים בערבוביה חסרת-אחריות, קראתי ה”סטרא אחרא“ שלי, ואני מודה למזל הטוב על כך שרובם, כיום, בריאים בנפשם. תיאור מהימן שלי מאותם ימים מצאתי כעבור שנים רבות באתר האינטרנט של מי שהיה לזמן קצר אחד מאותה ”סטרא אחרא.“ שמואל ואקנין היה חייל בסדיר שהופיע בחבורתו של שוהם. האינטלקט והידע המדעי שלו הדהימו את כולנו. לעומתו הרגשתי אידיוט. תקופה קצרה התיידדנו ואז נסע לחו"ל. תחילה פנה לעסקים, הסתבך, שב ארצה, הסתבך שוב ונשלח לכלא, נסע שוב, נעשה כלכלן, מתווך, יועץ לממשלת סלובניה והשד יודע מה עוד, ומאז לא שב. בין כל עיסוקיו פרסם קובץ סיפורים על חייו, ”בקשה מאשה אהובה,“[] שזכה להצלחה ולשבחים ניכרים. באתר האינטרנט שלו[] מצאתי עוד כמה סיפורים לא פחות מרתקים, וביניהם ”אליצור שוטף מבחנות.“ הוא מספר בו ביושר נוקב ואכזרי על פגישה שהייתה לנו ואיך בחר בדרך-חיים הפוכה לזו שלי, כלומר חיפוש אחרי התעשרות מהירה. התיאור שלי אינו מחמיא, בלשון המעטה, אבל רווי הבנה וחמלה. הוא עורר בי מחשבות. איך, באותן שנים, מוקף בחבורת המעריצים שנתנו בי אמון כזה, לא הפכתי ל”גורו“ נוכל המנצל אותם לרעה? נזכרתי באמרה (ירושלמי סנהדרין ד) ”היה זנב לאריות ולא ראש לשועלים.“ איזו שמחה לראות את שועליך לשעבר והנה רובם כיום אריות בזכות עצמם!
*
עוד לפני שגמרתי את ספרי הראשון החלטתי לכתוב עוד ספר, בו אציג את אותה תיאוריה גאונית שלי המציבה אלטרנטיבה לפיסיקה הקיימת. זו הייתה תיאוריה שהכתה בי כהתגלות והבשילה בתוך כמה ימים, וכל מה שלמדתי עד אז השתלב בה לתורת-על שהייתה מסוגלת לפתור כל בעיה מדעית. לא, לא ניתן היה להפריך אותה, וכן, גם אני קראתי את ה-DSM ואני יודע מה זה אומר, אבל שאר הסימנים לא ממש מתאימים. וחוץ מזה, עד היום מבצבצת לפעמים במאמריי המדעיים אחת התובנות שהצמיחה התורה ההיא.
*
אבל זכרתי את המפגש הטראומטי בחוג של שוהם ואיך אהרונוב עשה ממני קציצות, והחלטתי לשכלל ולתקן את התיאוריה. לשם כך, חשבתי, לא יזיק אם אקרא מאמר או שניים ואראה מה אומרת תורת הקוונטים הטיפשית הזאת. אז קראתי מאמר או שניים וגם הבנתי מהם דבר או שניים, והיה לי ברור שיש לי פיתרון לפרדוקס איינשטיין-פודולסקי-רוזן. כתבתי מאמר ובו הפיתרון שממנו נבעה דרך להעברת אינפורמציה מהר יותר מהאור – בדיוק מה שאיינשטיין אמר שאסור – ושלחתי אותו ללא אחר מאשר נתן רוזן המנוח (1909-1995), אחרון השלישייה המיתולוגית, שעוד היה אז אמריטוס בטכניון בחיפה. למאמר צירפתי חמשיר:
Dear Sir, since you are
The distinguished R of the EPR,
Pray, read this essay
And hesitate not to say:
Have I really gone too far?
תשובתו של האיש שמורה אתי עד היום: מכתב מודפס באנגלית עם כמה השגות, בעיקר טכניות, ובסופו, בכתב-יד ילדותי, שורה בעברית: ”לפי דעתי זה טוב מאוד שאתה מקדיש זמן ומחשבה לתורת הקוונטים ואני מאחל לך הצלחה בהמשך.“
סטודנט לפיסיקה בשם מריוס אוּשֶר (כיום פרופסור לפסיכולוגיה במכללת בירקבק) עשה אז תואר שני באוניברסיטת תל-אביב. יום אחד, בחדר המדרגות, ראיתיו עם המנחה שלו, לורנס פול הורביץ. הוא עשה בינינו היכרות. לבחור הזה, אמר להורביץ, יש תיאוריה חדשה על הקוונטים. הלו, חייך אליי האיש כאילו היינו מכרים ותיקים, בדיוק דיברנו על... דיון התפתח על המדרגות עד שאנשים דחקו בנו לעלות או לרדת. האם אני רוצה להצטרף אליהם לארוחת-צהריים? אחרי מה ששמעתי הייתי מסכים גם אילו הוזמנתי להצטרף אליהם לעונש מאסר בקציעות. להורביץ הייתה תיאוריה שהניחה את קיומו של זמן נוסף על זה המתואר ביחסות כמימד רביעי. השיחות בינינו בחודשים הבאים הניבו לבסוף מאמר ארוך על הזמן,[] שזכה להתייחסות אוהדת במאמר של רוזן.[] נסענו יחד לחיפה לבקר את האיש. הוא היה אז בן שמונים ומשהו, עירני וחד-מחשבה. הם דיברו על ”גשר איינשטיין-רוזן,“ מין פיתול של המרחב-זמן שאיינשטיין והוא הראו איך ניתן (במידה והוא קיים) לעבור בו מזמן אחד לאחר. הבנתי מעט מאוד משיחתם, אבל הרגשתי מרחף מחוץ למרחב-זמן.
הביטחון העצמי שלי עלה וה”יצירה“ על הקוונטים המשיכה להתגלגל. שלחתי אותה ליקיר אהרונוב, בתקווה שבינתיים הספיק לשכוח את אותו ערב (הוא לא), לאשר פרס ז"ל (1934-2005) מהטכניון ולמשה ימר יבדל"א מהאוניברסיטה העברית. מה חשבו אלה על השחצן האלמוני אפשר רק לנחש. ואז בא הטוב והנאמן שב”סטרא אחרא“ שלי, ירון מאיר, והעביר את היצירה לאחד ממוריו באוניברסיטה העברית. אם אני מתחלחל כיום בהיזכרי כמה אנשים קראו את הבליי, לעולם אהיה אסיר-תודה לירון על שהביא אותי אל גדעון כרמי. גדעון היה פיסיקאי שעשה דוקטורט יחד עם יקיר אצל דייויד בּוֹם אבל אחר-כך עבר לתחום החינוך, שם גילה דרכים להקנות לפעוטות מושגים מורכבים שעל-פי הפסיכולוגיה המקובלת היו עדיין מעבר להשגתם. מאז היה לו חלום: לפתח מודל של למידה שיתבסס על תורת הקוונטים. יום אחד נפגש עם ריצ'רד פוֹקס מפילדלפיה, אחד התורמים הגדולים לאוניברסיטת טמפל באותה עיר, שהחליט להקים בה את ”המרכז למדעים חדשניים (The Center for Frontier Sciences)“ שיעודד מחקרים בתחומים שמחוץ לזרם המרכזי של המדע. גדעון נבחר לעמוד בראש המרכז ונסע לפילדלפיה לרגל תפקידו החדש. הוא קרא את המאמר שלי ושאל את יקיר אודותיי. מכאן התגלגלו הדברים כמו חלום. קיבלתי הזמנה לכינוס בינלאומי בתורת הקוונטים. הצצתי ברשימת המוזמנים והייתי בטוח שמישהו עושה ממני צחוק: יקיר אהרונוב, רוג'ר פֶּנרוֹז, ברנאר דֵספַּניַה, דייוויד בּוֹם, הילרי פָּטנַם, אבנר שמעוני – ואללה, כל מחברי הספרים שקראתי לאחרונה היו שם! טוב, היו גם כמה שמות שלא הכרתי, מן הסתם פיסיקאים ידועים שטרם קראתי את עבודותיהם. צלצלתי בלילה למספר הטלפון שהופיע בראש המכתב ומישהו ענה בנוצרית ”בוקר טוב“ מהצד השני של העולם. בוא'נה, זה על באמת! הלכתי לארוז.
במהלך הכינוס, שבו, למזלי, כבר הייתי נבון מספיק כדי לסתום את פי ולהקשיב (כבר מלאו לי שלושים), התוודעתי אל גדעון ומיד הלכתי שבי אחרי עומק חשיבתו וקסמו האישי. קצת פחות הבנתי למה הזמין לכינוס אנשים שעסקו בריפוי מחלות שונות בעזרת מכשירים שפעלו לטענתם על עקרונות קוונטיים. בתום הכינוס הזמין אותי גדעון לגור בביתו לכמה ימים. הוא סיפר לי על המרכז והזמין אותי להצטרף. בוא תעשה אתי דוקטורט, אמר. הזדמנות כזאת נופלת על בנאדם פעם בחיים. סיכמנו שהוא ייסע ארצה להסדיר כמה עניינים, בשובו אסע אני להביא את חפציי, ואז נתחיל בעבודה.
הייתי מאושר עד הגג. גדעון היה בוס תובעני מאוד, אבל גם דאג שאוכל אוכל בריא ושאתלבש כיאות בימי השלג. לא אחת ספגתי ממנו נזיפות בסגנון צה"לי כשלא מילאתי כראוי את הוראותיו, אבל כשראיתי את שעות העבודה המטורפות שלו, לקחתי על עצמי מטלות נוספות כדי שהוא יוכל להתפנות לדברים החשובים.
ננסי קוֹלֶנדָה, מזכירתו של גדעון, התגלתה כאישיות מדהימה בפני עצמה. שקטה, טובת-לב ובעלת כוח רצון אדיר שבוודאי הושפע מאדיקותה הקתולית. כשנסע גדעון ארצה הפקיד אותי למלא את מקומו. ננסי עשתה את העבודה היומיומית ואני התבטלתי רוב הזמן במשרדו, מצלצל מדי-פעם למשרדי ההנהלה באמתלה כלשהי רק כדי לשמוע את עצמי אומר בטון תקיף ”שלום, מדבר מנהל המרכז למדעיים חדשניים...“
בין הפרויקטים עליהם הופקדתי היה ארגון כינוס בברמודה שעסק בחלומו הישן של גדעון: למצוא דרך שבעזרתה יוכלו עקרונות קוונטיים להסביר תופעות מוזרות כמו ההומאופתיה, הטלפתיה והתוצאות שהשיג במחקריו עם ילדים. אני כבר הייתי ספקן הרבה יותר והצלחתי למתן אותו בבחירת המוזמנים, אבל כשהפיסיקאי בראיין ג'וזפסון (-1940, נובל 1973) והנוירופיסיולוג ג'ון אקלס (1903-1997, נובל 1963) ענו בחיוב, נראה היה שהדרך סלולה להצלחה נוספת של המרכז החדש.
יום אחד קיבלתי מכתב ממוען לגדעון. השולח היה אנדראה פּוֹהַרִיץ', שהציג עצמו כרופא. נזכרתי: זה היה מחברו של ספר[] שסיפר איך קיבל אורי גלר תשדורות מחייזרים שסייעו לישראל לנצח במלחמת ששת הימים. פרופסור כרמי היקר, כתב האיש במתק-שפתיים, אני עוסק בשיטה חדשנית לריפוי סרטן המתבססת על תורת המיתרים ואשמח להציג אותה בכנס שלך. עד היום אני מכה על חטא על שלא הייתי נאמן יותר לפטרוני ולא זרקתי את המכתב המאוס לאשפה. תחת זאת רק כתבתי עליו באדום ”גדעון, משוך ידיך מאיש זה!!!“ כמה עצוב: גדעון, המבריק והנועז, התגלה כנדיב מדי במתן אמון. כשם שהשתכנע שהרברבן האלמוני מרחובות ראוי להציג את הגיגיו בפני גדולי הדור כך החליט עתה להזמין את הנוכל הבינלאומי לכינוס. נסעתי ארצה להביא את חפציי ומכאן שמעתי על מה שאירע. פוהריץ' בא לכנס, המטיר את שטויותיו מעל הבמה הנכבדה שקיבל וגרם למבוכה איומה. זה היה סוף כהונתו של גדעון כראש המרכז וסוף החלום האמריקני שלי.
*
הכינוס קירב אותי ליקיר ומעתה הייתי נכנס אליו לפעמים לשאול שאלה זו או אחרת. כך התוודעתי אל עבודותיו. יקיר הפך לחלק מההיסטוריה של תורת הקוונטים כשגילה ב-1959, בהיותו דוקטורנט אצל דייויד בּוֹם בבריסטול, את אפקט אהרונוב-בּוֹם,[] שאותו תוכלו להבין בנקל על סמך דיונינו בפרקים הקודמים. כשזרם עובר דרך סליל, הוא יוצר שדה מגנטי סביבו (פרק #). עכשיו דמו לעצמכם סליל כזה העובר דרך הדף כמו בציור. משני עברי הסליל הזה נניח לפונקציית-הגל של אלקטרון בודד לעבור במתקן מאך-זנדר המודד התאבכות (פרק #). ערכו של השדה המגנטי באזורים בהם עוברים שני חלקי הגל הוא אפס, ובכל זאת, בתמונת ההתאבכות תתגלה המעידה על כך שחל שינוי בפאזה היחסית של שני חלקי הגל, למרות שעל פי הפיסיקה הקלסית אינם יכולים להיות מושפעים מהשדה שבאמצעם. ההסבר לכך הוא שבתורת הקוונטים, בנוסף לשדה שערכו הוא אפס באיזורים בהם עוברים הגלים, קיים גם משהו ערטילאי יותר הקרוי ”פוטנציאל,“ והוא אמור להשתרע גם על אזורים שמעבר לתחום השדה. פוטנציאל זה נחשב תחילה ליישות מתמטית בלבד, עד שבאו יקיר ומורו ונתנו לו ממשות פיסיקלית.
תחילה התקבל הגילוי בספקנות. פיינמן היה בין הראשונים שהשתכנעו בנכונותו ושלח מברק לפיסיקאי הצעיר: ”יפה, כל כך יפה, איך לא חשבנו על כך קודם.“ אחר כך באו הניסויים ואוששו את הניבוי. עכשיו, על-פי הנוהלים המקובלים במתן פרס נובל, היה ראוי להעניק את הפרס לשני מגליו של האפקט הפיסיקלי החדש. ”אל תזכיר בנוכחות יקיר את הנובל,“ יעצו לי עמיתיו בגיחוך. ”זה נושא רגיש מבחינתו.“ לא רגיש ולא נעליים. יקיר טען בפשטות שנעשה לו עוול. הקהילה המדעית ניסתה בארץ ובעולם לפצות אותו בפרס ישראל, פרס וולף ובשורת אותות-כבוד נוספים. אפילו כתב-העת הנודע Nature יעץ לוועדה בשטוקהולם, במאמר-מערכת חריף,[] להעניק לאהרונוב ובום את הפרס כדי למנוע מעצמה מבוכה. לשוא.
יקיר גם הביס את הסטטיסטיקה המקובלת בתחומו בכך שפוריותו לא ירדה עם השנים. הוא פיתח את שיטת המדידה החלשה, המאפשרת למדוד תכונה מסוימת של חלקיק בלי לשלם את מלוא המחיר שתובע עיקרון אי-הוודאות. גם ”מכונת-זמן“ רשומה על שמו, המאפשרת למי שנכנס לתוכה ----
*
יום אחד נכנסתי למשרדו של יקיר ופגשתי גם את שוהם. השניים הסתכלו עליי במבט חשוד. החלפנו כמה מילות נימוס ואז הודיע לי יקיר הודעה ששינתה את חיי. הוא מוכן לקחת אותי לדוקטורט אחרי שהצליח לכופף את הנהלים באוניברסיטת תל-אביב, שמצאה עצמה מקבלת סטודנט שמעולם לא עשה תואר שני או ראשון ואפילו לא סיים תיכון. ”זו הזדמנות של פעם בחיים, יא פסקודניאק!“ שאג עליי שוהם. ”תוכיח שאתה ראוי לה!“
*
פחדתי. דבר אחד הוא להתרברב ברעיונות מהפכניים ודבר לגמרי אחר להתמסר למשטר מסודר של קורסים והגשת תזה למבחן, שבסופו קיימת אפשרות ריאלית של כישלון. מי שנסך בי אומץ היו המורים שקניתי באותם ימים. לארי הורביץ עודד אותי: אתן לך קורסים פרטיים במתמטיקה. ג'ו רוזן, בנו של נתן, היה אז פרופסור לפיסיקה באותה פקולטה. סרתי אליו פעם לשאול שאלה והרווחתי גם מורה פרטי וגם חבר יקר. ג'ו התעניין וכתב הרבה בשאלות היסוד של היחסות, הקוונטים והקוסמולוגיה. כל טיוטת מאמר שנתתי לו חזרה אליי מנומרת בהערות בעט אדום על כל טעות בפיסיקה, בהיגיון או אפילו באנגלית. אפילו כיום, כשאני מקפיד להודות לו בספר זה על ביקורתו הבונה ועל המחשבות בהן שיתף אותי במרוצת השנים, איני בטוח אם נתתי ביטוי נאות להשפעתו עליי.
שני מנחים מונו לי לדוקטורט. לצד יקיר היה היסטוריון המדע עמוס פונקנשטיין ז"ל (1937-1995). הוא היה איש ”מדעי-הרוח“ אמיתי, מהסוג שכבר לא מייצרים כיום. בימיו, לימודים לתואר שני ושלישי בפילוסופיה או בהיסטוריה היו נמשכים שנים רבות כדי להשתלט על הספרות בשפות המקור, בניגוד לאופנת ה”דקונסטרוקציה“ הריקנית הרווחת כיום. עמוס דיבר ברהיטות לטינית ויוונית וכתב בעברית, אנגלית, צרפתית וגרמנית. התמחותו השתרעה על מחשבת ימי-הביניים, הפיסיקה של הרנסאנס ותקופת ההשכלה היהודית, ולצד אלה התמצא היטב בפיסיקה מודרנית. הוא גדל בבית דתי ויצא לשאלה, אבל שמר את המיטב שבחינוך הדתי. שעות הייתי מקשיב מרותק להרצאות בהן תיאר את הדמיון בין התרבות היוונית העתיקה לתרבות היהודית שהתפתחה מתקופת בית שני ואילך: = = =
כשנתיים נמשך הקשר בינינו ואז חלה בסרטן הריאה. ביקרתי אותו בברקלי, שם עשה את השבתון, ודיברנו כשש שעות על לייבניץ, על מאך ועל אי-שוויון בֶּל בעודו מכתיב לי רשימת קריאה שהלכה והתארכה. כעבור כמה חודשים בא לביקור בארץ. יצאנו עם אסתי רעייתו לבית קפה בשיינקין. בזכרוני נחרתה הסיכה הקטנה של פרס ישראל אותה הצמיד לדש מעילו. כעבור זמן לא רב הביאו החדשות את הבשורה ממנה התייראתי. אחד מגדולי ההיסטוריונים בעולם הלך בטרם-עת לעולמו.
*
כמה פעמים התברר לי שספרים שחיפשתי בספריית מכון וייצמן נעלמו לאותו מקום. ”זה עוד אצל ליפסון,“ רטנה הספרנית. ”צריך לצלצל ולהזכיר לו שיחזיר אותם.“ רציתי לראות מי הבנאדם שמתעניין באותם נושאים כמוני והתנדבתי ללכת ולהזכיר לו שספרים צריך להחזיר. הקשיש שענה ב”יבוא“ רועם לנקישה על דלתו היה אחד הדברים הכי טובים שקרו לי בחיים. שניאור ליפסון היה ממקימי מכון וייצמן למדע ומייסד האוניברסיטה הפתוחה. הרושם הראשון שטבע בי היה ההומור הכפייתי שלו. כשסיפר לי פעם איך זכה בפרס ישראל הוסיף: ”חז"ל אמרו שכל הרודף אחרי הכבוד הכבוד בורח ממנו וכל הבורח מפני הכבוד הכבוד רודף אחריו. גם אני בורח מפני הכבוד אבל עכשיו כשנהייתי זקן אני כבר לא רץ מהר כמו פעם.“
הוא שאל לסיבת התעניינותי בספר. אמרתי לו. הוא הסביר לי בחביבות למה אני טועה. הסברתי לו בחביבות לא-פחותה שמישהו פה אכן טועה וזה במקרה לא אני. שעה וחצי אחר-כך עוד היינו שקועים בוויכוח שנעשה יותר ויותר קולני. הייתי תשוש, הוא ממש לא. בחוץ כבר היה חושך. ”תשתה משהו?“ שאלתי בנימוס. לרגע השתתק ותקע בי מבט מבולבל ואז התרחב הגיחוך הקבוע על פניו לחיוך גדול. ”בוודאי! איזה קפה אתה אוהב? בוא אתי!“ שניאור, כיאה למי שנולד כנתין האימפריה התורכית, נהג לשאת את כוס הקפה שלו מהמטבח המחלקתי אל משרדו על מגש דיקט מאולתר שהיה תלוי על ארבעה חוטים מוצלבים. עם כוס קפה מלאה עד גדותיה היה מנענע בחופשיות את המתקן המגוחך, כנהוג בבתי-הקפה הערביים, מבלי שתישפך טיפה, וכל הרואה את המחזה היה מקבל מיד הרצאה על תורת היחסות הכללית ועל שוויון-הערך בין תאוצה וכבידה (ר' פרק ‏14).
מילדותו, סיפר לי, הוקסם מתורת האבולוציה ובעיקר משאלת מוצא החיים, ומזה כמה שנים היה שקוע בכתיבת מאמר על הנושא. כששמע שאני מתעניין בתרמודינמיקה הציע שנעבוד יחד. כך זכיתי במשרת יועץ במכון וייצמן, שהתארכה למשך כל שנות הדוקטורט בתל-אביב. חברותנו הלכה והעמיקה. שניאור גדל בבית דתי, התפקר בגיל ההתבגרות ונעשה אתאיסט קיצוני. בתו, כפי שקורה לא-אחת במקרים כאלה, חזרה בתשובה ונעשתה חרדית, מה שנתן לי השראה להרבה בדיחות מרושעות אותן סבל בדומייה. כדרכם של זקנים היה מפליג בשעות ארוכות של שיחה. אבל עולמו היה כל כך עשיר שתמיד יצאתי ממנו עם ידיעות נוספות ועוד חומר למחשבה. עם הזמן לימד אותי לשפוט טוב יותר ראיות מדעיות וכך נטשתי את התעסקותי בפרפסיכולוגיה. אשתו חנה תיבדל"א הייתה פרופסור למתמטיקה ולעולם אהיה אסיר-תודה לה על השעות הרבות שהשקיעה בי בעזרה בקורס הראשון שלקחתי בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי.
המחלקה לפיסיקה כימית במכון וייצמן נחשבת לאחת המעולות בתחומה בעולם. כמה מחוקריה, שבנוסף לבולטותם המדעית התגלו גם כאנשים נעימים, התמצאו היטב בתורת הקוונטים. למדתי להקשיב להם, לקרוא ולחשוב. מהשיחות ביני לבין שניאור נולדו מאמרים בהם ביטאנו דעות שונות אך הודינו זה לזה. מאמרי הפיסיקלי הראשון[] הצביע על היבט חדש בפרדוקס ה-EPR, זה של תורת האינפורמציה. במאמרי הראשון בפילוסופיה[] מצאתי תימוך מפתיע לדואליזם, בניגוד לחוקי הפיסיקה הבסיסיים. כתב-עת אליו שלחתי את המאמר צירף אותי למערכת שלו. מאמרי הראשון בביולוגיה, שניתח תהליכים אבולוציוניים בכלים תרמודינמיים,[] התקבל גם הוא לפרסום בלי שינוי. התגובה הופיעה כעבור שנה בדמות המאמר הבוטה והמעליב ביותר שקראתי מימיי,[] ובו הכינויים ”גוליבר,“ ”המפטי-דמפטי“ ו”פּוּ-בָּה“ – כולם מכוונים אליי. המחבר, יוברט יוֹקִי (-1916), פיסיקאי פרוייקט ”לוס-אלמוס“ לשעבר, הקדיש מאמר שלם להראות כמה אני בור. קראתי את המאמר בעיון וגיליתי ש-א)באמת עשיתי כמה שגיאות טיפשיות ו-ב)יוקי תקף במאמריו הקודמים את שניאור ואת מנפרד אייגן (-1927, נובל 1967). ישבתי וכתבתי מאמר תשובה[] בו תיקנתי את טעויותיי ובאותה הזדמנות יצאתי באבירות להגנת שני ”עמיתיי.“ אנחנו – כלומר, אליצור, ליפסון ואייגן – ממש מזועזעים מסגנונו של פרופסור יוקי!
פורטונה המשיכה לחייך אליי. פרופ' מאיר להב מהפקולטה לכימיה הזמין אותי להעביר במכון וייצמן קורס בפילוסופיה של המדע, ועד היום הקורס הזה הוא עבורי אחד החלקים הנעימים ביותר בשנת-הלימודים. עכשיו תארו לעצמכם מה חשתי, בתחילת הרצאתי הראשונה, כשראיתי את שניאור מתיישב בקהל לראות איך יתמודד בן-טיפוחיו עם תפקיד שנראה גדול עליו בעליל. חיכיתי בלב הולם לשיחה שתבוא בעקבות ההרצאה. זו אכן באה, מזיגה אופיינית של נזיפות, שבחים ושאלות קשות. עם השנים באו הזמנות להרצאות נוספות בסמינרים ובקולוקוויומים של המכון ולאט-לאט התרגלתי למראהו של מורי הנערץ נותן בי מבט קפדני ולמדתי להתכונן לשאלותיו.
ספרי ”זמן ותודעה“[] הוקדש לו ליום הולדתו השמונים. קיוויתי להגיש לו מתנה דומה לעשור חייו הבא אבל הסרטן ממנו החלים שנים רבות קודם לכן שב והכה. הוא נפטר בשלווה בפברואר 2002, בן שמונים ושבע ובמלוא אונו הרוחני. מה לא הייתי נותן, מַאֶסטרו, עבור עוד שעה אחת של ויכוח קולני על הספר הזה!
*
בפילדלפיה לא התפתחו הדברים יפה. תחת גדעון התמנתה כמנהלת המרכז בברלי רוּבִּיק, חוקרת אינטליגנטית ומקורית אבל כעסנית ובוטה. ננסי כתבה לי כי היא נתונה להתפרצויות-זעם חוזרות מצד הבוסית החדשה. המצב הגיע לפיצוץ ב 1995 וגם המנהלת השנייה פוטרה. עתה הוחלט לא למנות מדען לתפקיד אלא להעלות את ננסי לדרגת מנהלת אדמיניסטרטיבית. היא מצדה מינתה ועד מנהל מדעי ובו פריץ-אלברט פּוֹפּ, ביופיסיקאי גרמני וחברו של גדעון, ואני. פוקס הוסיף לוועד כמה מחבריו מימי מלחמת העולם השנייה.
פגישת הוועד הראשונה התקיימה באי נַנטָקֶט, הידוע לכל קוראי ”מובּי דיק.“ פוקס החזיק שם בית-נופש אליו נהג לטוס בעצמו במטוסו הפרטי. במהלך היומיים בהם שהינו באי יצאתי לכמה טיולים רגליים עם חברי הוועד ותהיתי על קנקנם. אחר-כך הלכתי לננסי ואמרתי לה: יקירתי, איני מכיר דרך עדינה לומר לך זאת: בוועד שלך יש א)רופא-אליל הגונב את כספם של חולים סופניים, ב)פרופסור לאנטמולוגיה עם שיטיון מתקדם ו-ג)בוגר קן-הקוקיה המצלם עב"מים. שני השפויים היחידים בוועד הם, למיטב הבנתי, פּוֹפּ ואני. אני, במקרה, גם מומחה לתמהונים ואני מודיעך חגיגית שעם הנבחרת הזאת יש לך סיכויים מצוינים לסיים את תפקידך כמו קודמייך. לא הייתי מתפלא אילו הייתה שיחה זו סוף קשריי עם המרכז. אבל ראיתי את האישה הנפלאה מקשיבה לי בכובד-ראש. האם תעזור לי? שאלה. כל עוד תרצי בי, עניתי. היא חיבקה אותי ומלמלה: אני מודה לאלוהים שהפגיש אותנו. כך החלה אחת הידידויות האמיצות שידעתי בחיי. מאז הייתה מתייעצת בפּוֹפּ ובי בעניינים המדעיים. הפכנו את ביטאון המרכז לכתב-עת מדעי שחִייב כל מאמר לעבור רפרנטורה מקצועית, התחלנו לארגן כנסים ברמה בינלאומית ועמדנו בפרץ בפני נוכלים ותמהונים שניסו לנצל את המרכז לצרכיהם.
*
בהדרגה החל יקיר לקרב אותי אליו ואל משפחתו. פעם הוזמן לתת הרצאה פומבית. הלכתי לשמוע אותו בתקווה שאצליח להבין יותר מעבודתו. אחרי ההרצאה הציע לי טרמפ לאוניברסיטה.
נו, איך הולך? שאל בדרך.
חשבתי שזה הזמן לקטע קצר ויעיל של התבכיינות. אוי הקורסים קשים, אני צריך לנסוע פעמיים בשבוע מרחובות, באוטובוס מאסף, מוקדם בבוקר, וזה זמן מבוזבז כי בזמן הנסיעה איני יכול לקרוא ו...
האיש נעץ בי מבט עגום שמיד החיה בזכרוני את הפיאסקו המכונן של חיי בחוג של שוהם.
”אז תחשוב!“ אמר בטון של מורה למפגרים.
התחלתי לחשוב. רעם פצצה שלא התפוצצה
בשום מקום אין הטבע מציג בצורה גלויה את תעלומותיו כמו במקרים בהם הוא מראה את עקבות עבודתו מחוץ לשביל הכבוש.
ויליאם הארוויי, מגלה מחזור הדם
כל מרצה לפיסיקה מכיר את הסיטואציה: סטודנט או סטודנטית מגישים לך תכנית ל”פֵּרפֶּטוֹאוּם מוֹבִּילֵה,“ מכונה המייצרת אנרגיה יש מאין, ומבקשים לדעת איפה כאן הטעות. הניסיון במהלך השנים הראה לי כלל: אם הם בני פחות מעשרים וחמש, יש לך עסק עם אינטלקט מעולה. אם הם מבוגרים יותר, זה עלול להתפתח עם הזמן לאחד מאותם מקרים עגומים של ”אידיאה פיקס“ כרונית, תמהונים אינטליגנטיים הנדחים אל מחוץ לשולי האקדמיה וממלאים פורומים שונים באינטרנט בטיעונים אובססיביים יותר ויותר. דרמה דומה, בערך באותם הגילים, מתרחשת בהוראת תורת הקוונטים: פרדוקס EPR, אליו התוודענו בפרק #, ממש מחייב מעבר של השפעה פיסיקלית מהירה מהאור, ובכל זאת הפרה כזאת של תורת היחסות אינה נצפית לעולם באופן ישיר. ניתן להוכיח אותה רק בדיעבד, אחרי שהניסויים נעשו והתוצאות הושוו. רק טבעי הוא שסטודנט שזה עתה נחשף לפרדוקס יתחיל מיד לחפש דרך שבה ההפרה היחסותית תיראה באופן גלוי.
אני הייתי כבר קרוב לשלושים כששקעתי בקדחתנות בניסיון הזה, מה שיכול להוות הוכחה שגם אני תמהוני חסר-תקנה. הנסיבות המקלות היו שרק התחלתי ללמוד פיסיקה באותו זמן, כך שניתן היה לראות בי סטודנט מתחיל. לכן, הרשות בידכם להחיל גם את הביטוי הלא-מפרגן beginners’ luck על מה שיבוא בהמשך.
אחד פחות זה דווקא יותר
התחלתי במקרה הקוונטי הפשוט ביותר שבו קיימת לכאורה השפעה על-אורית: פוטון בודד פוגע בראי חצי-חדיר. על-פי תורת הקוונטים, פונקציית-הגל שלו נחצית לשניים כמו גל אור רגיל ומגיעה אל שני הגלאים. אם הראי הוא בדיוק חצי-חדיר, ההתפלגות הסטטיסטית בין הגלאים תהיה 50%-50% אבל בכל מקרה בודד רק גלאי אחד, כמובן ישמיע קליק.
אתם בוודאי זוכרים את הדילמה במקרה זה: איינשטיין קיווה להראות שהפוטון הוא סתם חלקיק, שבפוגעו בראי החצי-חדיר פונה בפשטות ימינה או שמאלה. זה לא עבד: התברר שהפוטון הוא יצור פיסיקלי מוזר שבאיזו דרך לא-ברורה מתחלק לשניים ופונה לשני הכיוונים, ורק כשהוא פוגע בגלאים הוא ”מחליט“ להתממש כולו בצד אחד ולהיעלם לגמרי מהצד השני. את העובדה שהפוטון היחיד עובר איכשהו בשני המסלולים הוכיח איינשטיין עצמו ע"י ניסוי-מחשבה של ההתאבכות, המראה ששני המסלולים האפשריים של הפוטון תורמים יחד לנטייתו לצאת מהמתקן באותו כיוון בו נכנס אליו מלכתחילה (ר' ציור).
אבל נשוב למקרה הראשון שבו שני מסלולי הפוטון אינם מתלכדים אלא פוגשים בשני גלאים. כיוון ש”החלטת“ הפוטון באיזה מסלול להתממש נופלת רק ברגע הפגישה עם הגלאים, חייבת להיות כאן איזו הפרה של היחסות: אם הפוטון מתממש בצד ימין הוא חייב להיעלם באותו רגע מצד שמאל ולהיפך (זכרו שגם תורת הקוונטים מצייתת לחוקי השימור, ולכן אם יצא מהמקור פוטון אחד לא ייתכן שלבסוף יתגלה יותר או פחות מפוטון אחד). במילים אחרות: שני חלקי פונקציית-הגל חייבים להודיע זה לזה על החלטתם במהירות אינסופית.
באותה עת כבר התחלתי להפנים את הסימטריה הגלומה ביחסות הפרטית, וכך שמתי לב שהיא מחייבת לומר גם ההיפך: אם הפוטון לא התממש בצד אחד, הוא חייב כן להתממש, שוב באותו רגע, בצד השני. השילוב בין תורות הקוונטים והיחסות, אם כן, מלמד אותנו כאן דבר חדש: לא רק לאירוע יש השפעה סיבתית, גם לאי-אירוע!
כעבור זמן התברר לי שתובנה זו אינה מקורית. פיסיקאי בשם מאוריציוס רנינגר (1905-1987) הסב את תשומת-לבו של איינשטיין לטענה זו: יהא פוטון שפונקציית-הגל שלו מתפשטת ככדור במרחב. אם חלק מגל זה פגע בכיפה כלשהי שמצידה הפנימי מרוח חומר צילום, הרי אם לא הופיעה נקודה בתוך הכיפה, גדל הסיכוי להופעת הפוטון בחלק הנותר של הגל הכדורי. גם המדידה השלילית יצרה שינוי פיסיקלי. פיסיקאי נודע אחר, רוברט דיקי (), כינה תופעה זו ”מדידה ללא אינטראקציה.“
אבל האם אפשר להוכיח את ההשפעה הסיבתית הזאת של הלא-אירוע? במילים אחרות: אם חלק מפונקציית-הגל פגעה בגלאי והגלאי לא עשה קליק, האם ניתן להוכיח שעצם השתיקה של הגלאי גרמה לתוצאה פיסיקלית בחלק אחר, מרוחק, של אותה פונקציית-גל?
נזכרתי במתקן מאך-זנדר ובכישלון של איינשטיין להפריך באמצעותו את עיקרון אי-הוודאות (פרק #). איינשטיין, כזכור לכם, הציב בעיני רוחו שני גלאים חלשים על שני מסלוליו האפשריים של הפוטון כדי לגלות גם מאיזה צד עבר הפוטון (תכונה חלקיקית) וגם כדי לראות את ההתאבכות שלו (תכונה גלית). בּוֹר הראה לו שבמקרה זה, אחד הגלאים אכן יסגיר את המסלול בו עבר הפוטון, אבל כתוצאה מכך תיעלם ההתאבכות. במילים אחרות: אמנם ב-50% מהמקרים יקליק הגלאי הימני וב-50% האחרים יהיה זה השמאלי, אבל כתוצאה מכך יתנהגו שני הגלאים שאחרי הראי החצי-חדיר בצורה שונה: במקום ההתפלגות הראשונית של 100-0% תופיע ההתפלגות האקראית 50-50%.
חזרתי והפעלתי את החשיבה היחסותית על ניסוי ההתאבכות כמו שעשיתי במקרה הראשון: אם אחד הגלאים הקליק, השני חייב לשתוק, וכן להיפך: אם אחד שתק, השני חייב להקליק. מיד הבזיקה במחשבתי שאלה פשוטה: ומה יהיה אם אשמיט גלאי אחד?
הדבר הראשון שעלה בדעתי בתגובה לשאלה הזאת היה: לא ייתכן שאף אחד לא חשב על זה עד עכשיו! בכל זאת, רציתי לדעת מה תהיה התוצאה. וככל שעקבתי במחשבתי אחר תוצאות הניסוי נראו הדברים משונים יותר ויותר.
נניח שהגלאי הבודד שנותר ניצב בצד ימין. ב-50% מהמקרים הוא יקליק. אנו יודעים, אם כן, שהפוטון עבר במסלול ימין. האם, על-פי עיקרון אי-הוודאות, עלינו לשלם את המחיר על ידיעה זו? בוודאי: ההתאבכות תיהרס, וב-50% מהמקרים ייצא הפוטון מהצד השמאלי של הראי החצי-חדיר, הצד שממנו לא היה יוצא לעולם אילו פעלה ההתאבכות.
עכשיו, מה בקשר ל-50% המקרים הנותרים בהם הגלאי לא הקליק? ראשית, גם הפעם אנו יודעים באיזה מסלול עבר הפוטון: השמאלי. האם אנו יודעים זאת בוודאות? ובכן, אם הוא יצא מהמקור ולא עבר במסלול הימני, אין אפשרות אחרת. האם עלינו לשלם את המחיר שתובע במקרה זה עיקרון אי-הוודאות? אמנם, העיקרון מדבר על ”מדידה“ וכאן נראה שלא הייתה מדידה במובן המקובל. טוב, זה יהיה נורא נחמד אם יתברר שהתגלתה פה דרך לעקוף את עיקרון אי-הוודאות, ובוודאי אקבל מתישהו הזמנה לשטוקהולם לחגוג את ההישג הזה, אבל הלכתי על האפשרות הצנועה יותר, שהעיקרון תקף גם כאן.
אם זה המצב, הוא בהחלט מוזר: הגלאי לא הקליק, ולכן אנו יודעים בוודאות שאם נחפש את הפוטון נמצא אותו במסלול השני, כלומר, לא היה מגע בין הפוטון לבין הגלאי. ובכל זאת, כשהגיע הפוטון לראי החצי-חדיר השני, התנהגותו הושפעה בבירור מנוכחות הגלאי במקום בו לא אמור היה לעבור!
כדי להמחיש את הפרדוקסליות שבסיטואציה בואו נוציא לרגע את התקע של הגלאי מהשקע שבקיר. מה יקרה עכשיו אם יעבור פוטון במערכת? כמובן, לא כלום. הגלאי הכבוי לא יגלה דבר, ותמונת ההתאבכות לא תיפגע. עכשיו נחזיר את השטקר. במחצית המקרים ישתוק הגלאי גם במצב זה. אבל הפעם זו שתיקה מסוג אחר: עצם אי-התגובה של הגלאי די בה כדי להרוס את תמונת ההתאבכות, על אף שלכאורה גם הפעם לא קרה כלום. יש לנו, אם כן, שני סוגי ”כלום“: הכלום הקלאסי, שאינו גורם לשינוי במצב החלקיק, והכלום הקוונטי, שכן גורם לשינוי. כדי להבדיל ביניהם הבה נכנה אותם, כמקובל, בשמות לועזיים: לכלום הקלאסי, שאין לו שום תוצאה פיסיקלית, נקרא nothing ואילו הכלום הקוונטי, היוצר חריגה ממשית מדגם ההתאבכות, ייקרא מעתה gurnisht.
ושוב, אמרתי לעצמי, לא ייתכן שאף אחד לא חשב על זה קודם. הרי איינשטיין ובּוֹר דשו בניסוי הזה כל כך הרבה, ופיינמן שיחק בכל מיני וריאציות שלו בהרצאותיו המפורסמות.[] ובכל זאת, כבר הכרתי את הספרות די טוב כדי לומר שאילו היה ניסוי פשוט כזה, כבר הייתי יודע עליו. חיפשתי אם כן סיטואציה שבה ניתן יהיה להחריף את המוזרות של הממצא החדש.
להציל את הפצצה
נניח שיש לנו פצצה כל כך רגישה עד שאפילו הנגיעה החלשה ביותר בה תפוצץ אותה. מהי הנגיעה החלשה ביותר שמכירה הפיסיקה? תארו לעצמכם פוטון יחיד שעובר ליד הפצצה ורק מדגדג אותה ומוסט מעט ממסלולו. אפילו אינטראקציה חלשה כזאת די בה לגרום לפיצוץ. צריך, אם כן, לשמור את הפצצות האלה החל מרגע ייצורן בחושך מוחלט. עכשיו תארו לעצמכם מנהל מפעל לייצור פצצות כאלה, שהעובד שלו בא ומספר לו שחלה תקלה בתהליך הייצור וחלק מהפצצות התקלקלו. ”אילו מהן?“ שואל המנהל בחרדה. ”איננו יודעים,“ עונה העובד. מה עושים? הדרך היחידה לבדוק אילו פצצות פועלות היא פשוט להאיר עליהן, מה שכמובן יפוצץ אותן אם הן תקינות. המסכן יוכל בדרך זו לדעת איזו פצצה הייתה תקינה, אבל קשה לומר שהוא יעריך את זה במיוחד. הפיסיקה הקלסית – למעשה ההיגיון הקלאסי – אינם מותירים לו ברירה אחרת.
כאן בדיוק יכולה תורת הקוונטים לעשות את הבלתי-אפשרי ולומר לנו בוודאות אילו פצצות הן תקינות בלי לפוצץ אותן.
לשם כך נחזור לניסוי ההתאבכות לעיל ובמקום הגלאי הבודד נעמיד פצצה כזאת, נתפוס מרחק בטוח ונניח לפוטון יחיד לעבור דרך המערכת. נניח שמדובר בפצצה תקינה. במחצית המקרים נשמע קול נפץ ונגיד: נו טוב, זו הייתה פצצה תקינה. אבל במחצית האחרת של המקרים לא יקרה כלום. עכשיו נסתכל יפה בתוצאת ההתאבכות. מה נראה שם? אם נראה שהפוטון גמר בגלאי ב', הרי שזה המקום בו אסור היה לו להיות אילו הייתה התאבכות. זהו אפקט gurnisht מובהק. אנו אורזים, אם כן, את הפצצה בזהירות, מביאים למנהל ומודיעים לו באחריות: תקינה לחלוטין.
תוצאה כזאת תתקבל ברבע מן המקרים שבהם הפצצות הן תקינות. החישוב הוא פשוט: בחצי מהמקרים הן יתפוצצו ובחצי השני לא. במקרה השני דגם ההתאבכות ייהרס, ולכן יהיה לפוטון סיכוי שווה לגמור הן בגלאי א' והן ב-ב'. ל-ב' יגיע אפוא פוטון במחצית מתוך מחצית המקרים, שהם רבע. מה לגבי הרבע השני, כלומר, המקרים בהם לא התפוצצה הפצצה והפוטון גמר בגלאי א'? כאן איננו יודעים: או שמדובר בפצצה מקולקלת שלא מדדה כלום פשוט משום שאינה יכולה למדוד, כלומר תוצאת nothing, או שמדובר בפצצה תקינה שאכן הרסה את ההתאבכות, שהיא תוצאת gurnisht, אבל הפוטון בחר במקרה להגיע למקום שאליו היה מגיע גם אילו הייתה התאבכות. מה לעשות? פשוט, נחזור למקום המסתור שלנו, נעביר פוטון נוסף במערכת, ועל פי השיקולים לעיל, שוב נמצא שברבע מן המקרים הגיע הפוטון אל גלאי ב', ומכאן שהפצצה תקינה. לרבע הבטוח שלנו נוכל עתה להוסיף עוד רבע מרבע, וכך הלאה. סדרה זו, 1/4+1/16+1/64+…, מתכנסת ל-1/3, מכאן שניתן להציל שליש מהפצצות התקינות.
יקיר לא היה אז בארץ. סיפרתי על התוצאה ללב ויידמן שגמר דוקטורט עם יקיר כמה שנים קודם לכן. הוא התלהב. למה אתה משתמש בראי שהוא בדיוק חצי-חדיר? שאל. אם תשחק עם מקדם השקיפות שלו תוכל לקבל תוצאה טובה יותר. הוא חישב ומצא שאם יהיה מקדם השקיפות של הראי החצי-חדיר הראשון 25% וזה של הראי השני 75%, ניתן יהיה להעלות את מספר הפצצות שיינצלו לכדי מחצית.
כתבנו יחד מאמר קצר ותמציתי על התוצאה ושלחנו אותו, כמקובל, לכתב-העת היוקרתי ב/יותר בפיסיקה, Physical Review Letters. הוא נדחה. שלחנו אותו לכתב-העת Physis Letters וגם משם נזרקנו. בשלב הזה החל לב לשלוח העתקים מהמאמר באופן פרטי לחצי האנושות. תוך זמן לא רב החלו מאמרים שונים לצטט את ה-preprint, כפי שנהוג לפרסם מאמר שטרם פורסם. השיא היה כשיצא ספרו המפורסם של פנרוז ”צללי התודעה“ ובו הוקדש דיון נרחב לניסוי בתוספת הערה: כיוון שהמחברים הם מאוניברסיטאות ישראליות, ציילינגר פרשנות
מה באמת קורה בתוך מתקן ההתאבכות כשעובר בו פוטון יחיד ומודד את מצב הפצצה? לכשתהייה לשאלה זו תשובה מספקת, היא תהיה גם הפיתרון הכולל לחידות תורת הקוונטים. כפי שציינתי וריאציות ויישומים
ב/אותם ימים בהם עבדתי על מאמריי הראשונים היה לוסיאן הארדי דוקטורנט מתחיל באוניברסיטת דרהאם שבאנגליה. המנחה שלו היה יואן סקווירס, פיסיקאי סקוטי קשיש שגילה את תורת הקוונטים בגיל מאוחר יחסית ובכל זאת נעשה בה דמות רבת-השפעה. שלחתי עותק מהמאמר לסקווירס שהראה אותו גם לתלמידו. הארדי קרא ומיד המציא וריאציה שלו על ניסוי הפצצה שהתפרסמה כעבור זמן קצר. וריאציות נוספות באו אחר-כך, ביניהן יישום של הניסוי להוכחה חדשה של האי-לוקאליות בלי שימוש באי-שיוויון בל. הארדי, ידידותי וגלוי כדרכו, הקפיד לשלוח לי עותק מכל מאמר לפני פרסומו. מעולם לא הרגשתי קנאה כזאת בעמית. הבחור היה פשוט גאון, חרוץ ויסודי. הוא עט על רמז חשוב שהיה במאמר שלנו. סוד כוחו של האפקט בניסוי הפצצה היה היפוך התפקידים: הפוטון, החלק הקוונטי בניסוי, לא היה האובייקט הנמדד אלא האובייקט המודד, בעוד הגלאי או הפצצה, שהם עצמים מאקרוסקופיים, הפכו לאובייקט הנמדד. סברתי הייתה, לפיכך, שניתן יהיה לקבל תוצאות יותר פרדוקסליות אם יהיו שני חלקי הניסוי – המודד והנמדד – קוונטיים. במאמר המקורי הוזכרה אפשרות זו והארדי מיהר ליישם אותה. הנה דוגמה
בדלפי ניסיתי לשנות את העבר
אם בנית מגדלים באוויר, אין זאת אומרת שעבודתך הייתה לחינם. שם צריכים היו להיות. עכשיו הנח את היסודות תחתיהם.
הנרי דייויד ת'ורו
גבעה עטורת אורנים מזדקרת מתוך שדה חורש רחב, מוקפת גומא ושיחי שיטה סבוכים. היא מושכת בחבלי קסם את האיש שעבר במקום השכם בבוקר. הוא מחנה את מכוניתו בשולי הכביש, משאיר בה את מעילו ונכנע לקסם של טיול בשום-מקום באמצע הדרך. למה הוא מתאווה לעלות אל הפסגה הזאת? כמו שאומרים כל מטפסי ההרים: כי היא שם. הדחף הוא כה בלתי-נשלט, חווית הכיבוש כל כך מרוממת – רק מי שעשה את זה יודע.
במאמץ מפלס הוא את דרכו בשדה. חרציות ופרגים מתהוללים סביבו בצהוב זוהר ואדום משכר, וברקע עונות המרגניות בלובן זוהר. הנה נעשה השדה תלול, כמעין גבעה קטנה שלפני זו הגדולה, אבל אחריה ניתן לראות שיפוע מתון יותר המוביל אל הפסגה. מתנשם ושטוף זעה חוצה האיש עוד חומת שיחים ומתחיל בטיפוס בעלייה. החזה מתרחב, אוויר השדה ממלא את הלב בהרגשת ניצחון קרב.
רק אז רואה ההלך משהו הגורם לו להרגיש אווילי ומגוחך. את השדה הרחב חותך כביש ארבע-מסלולי המוביל אל שכונת וילות פלסטיק חדשות מצד דרום. לכל העוברים ושבים במקום, ה”פסגה“ הנישאה אליה חתר מהעמק למטה היא סתם תלולית בצד הכביש. ואכן שכר הטיפוס בהגיעו אל עצי האורן הוא כצפוי: ערימות פסולת, פחיות משקה ושאר עקבות לא-נעימים של האדם.
כזאת אירע לי פעמיים: פעם באופן ממשי ליד זכרון-יעקב, ופעם באופן מטפורי בכינוס רב-משתתפים, בדלפי העתיקה שביוון.
*
הלב התרחב מגאווה כשהגיע פקס מיובל נאמן ז"ל (1925-2006): ”קרן סוֹלוֵי, שאני אחד ממנהליה, מקיימת בשנה הבאה כינוס על תקשורת קוונטית. אם ברצונך להציג בכנס אנא שלח לי תקציר של ההרצאה המוצעת.“
סוֹלוֵי! רק אתמול לימדתי בכיתה על הוויכוחים ההיסטוריים שהתחוללו בכינוס האגדי הזה. פלאנק, איינשטיין, בוהר, הייזנברג, דיראק – כולם היו שם והתווכחו מבוקר עד ערב, ועכשיו נחשו מי מוזמן. ללא קושי שכנעתי את שחר להצטרף. בדוקטורט שלו היו התייחסויות רבות לוויכוחי סוֹלוֵי, ועכשיו יוכל לתרום לדיונים בעצמו.
וכאילו לא די במשק הזה של כנפי ההיסטוריה, הכנס נערך הפעם בדלפי שביוון, ערש המדע כולו. אם תסעו פעם לארץ זו ותיהנו מחופיה המרהיבים, מהמזון, מהמוסיקה וההיסטוריה, הקשיבו גם לשפה ותשאלו את עצמכם איך זה שמדי-פעם מתברר שאתם כבר מכירים מילה זו או אחרת. בנמל-התעופה מצביע השומר על היציאה ואומר ”אקסודוס.“ וכשנהג המונית מצביע על המזוודה הגדולה קולטת האוזן את המילה ”מֵרַ'לוֹ,“ גדול, כמו ב”מגלומניה.“ ואם ”פילוס“ פירושו ביוונית חבר או חברה ו”פילה“ היא נשיקה, האין זו אותה תחילית שבמילה ”פילוסופיה“? העברית היא אמנו, אבל היוונית, חרף כל המלחמות בין אתונה וירושלים, הייתה לנו המינקת.
*
ידעתי מיד מה אני הולך להציג בפני באי סוֹלוֵי: את התוצאה הקוונטית הכי מהפכנית שלי, את ה-EPR ההפוך.
*
זו הייתה עוד הזדמנות להיפגש עם יובל נאמן. הכרתיו לראשונה כשכתבנו ערכים לכרך המילואים האחרון של האנציקלופדיה העברית. הוא קרא את הערכים שכתבתי והעיר עליהם והעורך, דוד שחם, העביר שאלות ותשובות בינינו עד שהתחלנו בדיאלוג ישיר. אחר-כך פגשתי בו בכינוס בוושינגטון בו היה אורח הכבוד. דיברנו כמובן הרבה על פיסיקה אבל משם גלשנו לפוליטיקה והוא שטח בפניי את השקפת-עולמו הקיצונית. בשלב מסוים חשתי צמרמורת קלה כשתיאר לפניי בלא-מעט לגלוג איך, בהיותו ראש אמ"ן, שיחק פעם משחק מלחמה מול יצחק רבין, הוא בתפקיד סוריה ורבין בתפקיד ישראל. ”ניצחתי אותו,“ הפטיר ביובש.
יובל בא בלוויית רעייתו המקסימה דבורה, ש/הייתה מוכרת לרבים משומעי הרצאותיו אבו שושא, כפר פלסטיני דרומית לרמלה
הוא תיאר בדיוק – אבל בדיוק – את הניסוי שחשבתי שאנחנו המצאנו! חשתי מהלומת אגרוף בבטני.
באותה תקופה הציקה לי גם חרדה אחרת. פיסיקאים ומתמטיקאים משיגים בדרך-כלל את הישגיהם החשובים לפני גיל שלושים. לי כבר מלאו ארבעים והרגשתי שפוריותי כפיסיקאי יורדת. כמה מאמרים שנשלחו לפרסום כבר נדחו, די בצדק, ורעיונות חדשים לא באו. ה-EPR ההפוך יכול היה להיות מעין פרידה יפה מהפיסיקה אם יתברר שכוחי עזב אותי ואצטרך לעבור לתחומים הרכים יותר בהם עסקתי, כמו פילוסופיה או פסיכולוגיה. מחשבה עלתה בי פתאום: אם אף אחד לא הרגיש עדיין בדבר, למה שלא אעמיד פנים שאיני מכיר את עבודת קודמיי? הרי זולר וסיראק ממילא לא התכוונו לעסוק בהיפוך-זמן אלא בטכניקה של שיפור הטלפורטציה... האם אצליח לשכנע את שחר למסור את מאמרנו לדפוס כמות שהוא ולהתעלם מ ניגשתי אל סיראק והושטתי לו יד. ”איגנאסיו,“ אמרתי בקול חנוק, ”אתה בוודאי מבין כמה מטופש אני מרגיש אחרי כל הברוואדו שעשיתי אתמול. את כל מה שתיארתי כניסוי מחשבה אתם כבר עשיתם במציאות, ואני בכלל לא ידעתי והצגתי את זה בשחצנות כרעיון מקורי! אתה מאמין לי שזה היה בתום לב?“
הספרדי הצעיר הסתכל בי נרגש בעצמו. ”אבל זה קורה במדע לכל אחד,“ אמר בקול רם. ”לכל אחד!“ הוא החזיק עוד רגע בידי, כאילו תובע ממני להירגע. חשתי איך המחווה האצילית מחזקת אותי. לחצתי שוב את היד שבידי והצלחתי לחייך.
בארוחת-הערב ישבתי ליד נאמן. איך היה היום? שאל. אוי, קרה לי דבר לא נעים, השבתי והתחלתי לספר על מה שאירע. פתאום הצטלבו עיניי בעיני דבורה ואז הבנתי שוב את גודל איוולתי: מה שקרה לי היה אירוע פעוט וחסר-חשיבות לעומת פרס-הנובל שחמק מיובל ב-1969 רק בשל השבועיים בהם הקדים אותו מרי גל-מאן (-1929) בגילוי חלקיק האומגה-מינוס. יובל חייך בהבנה ואני מיהרתי לעבור לנושא אחר. שני שיעורים בצניעות ביום אחד הם, לדעתי, מינון לא בריא. וכאילו להוסיף מלח על פצעיי קיבלתי כעבור שנה דוא"ל נרגז מטל מור מהטכניון: סליחה, אבל אנחנו כבר שחר, אפלטוני כתמיד, לא התרגש. פרדוקס השקרן הקוונטי
המוציא דבר קללה מפיו, ינעל אבי-אבי-אביו!
הגששים הלכנו להראות את הפרדוקס ליקיר. שלא במפתיע, הוא לא היה מופתע. זו עוד וריאציה, אמר, למשפחת הפרדוקסים שנולדה מהשיטה שלי לחקור את מצבו של חלקיק בפרק-הזמן שבין שתי מדידות לא-חלופיות. אני מסכים עם יקיר שהפרדוקס שלנו שייך למשפחת הפרדוקסים שגילה (אם כי לדעתי הוא החריף שביניהם), אבל באותה מידה אני סבור שהפירוש הרדיקלי של שחר ושלי לפרדוקס השקרן חל באותה מידה, אם הוא נכון, על כל המשפחה: קוונטים ויחסות: שונאים, אבל עושים יחד ילדים
מִי יִתֵּן וּמִשְּׁנֵיכֶם רַק הָיֹה יִהְיֶה אֶחָד! '
אוֹ לוּ לְחֵפֶץ אֶחָד הַיְסוֹדוֹת שֶׁהִתְפָּרְדוּ '
(אֲשֶׁר אֵין זֶה כִּי הִתְפָּרְדוּ בְּסַעֲרַת רִיב וּמָדוֹן) '
הִתְאַחֲדוּ וְשָׁבוּ עַתָּה וְהָיוּ שְׁנֵיהֶם אֶחָד. '
אֵי הָיְתָה כָזֹאת כִּי רוּחוֹת מְלֵאֵי תְבוּנָה וָשֶׂכֶל,
רוּחוֹת בְּאֶפֶס תַּכְלִית, יִתְפָּרְדוּ כְּמוֹכֶם עַתָּה? '
אִם לֹא כְאַחִים הֱיִיתֶם בְּרוּחֲכֶם וּתְכוּנַתְכֶם? '
אִם לֹא בְמִדָּה אַחַת הָעֹז לָכֶם וָנֶצַח? '
לורד ביירון, ”קין.“ תרגם אברהם פרישמן
הסיפור קיבל תפנית מוזרה בספרם של גילדר וגילדר מ-2006. הם עשו אנליזה של שערות משפם-האדירים של ברהה ומשער ראשו וגילו כמויות חריגות של כספית שנספגו בגוף כתריסר ימים לפני המוות. הם גם מצטטים מכתבים מאותה תקופה המלמדים כי כבר בני אותו דור חשדו כי ברהה הורעל. השאלה המתבקשת היא למי הייתה גישה אל המנוח, והשאלה המעניינת יותר: Qui bono?, כלומר, מי מרוויח ממותו? למחברים אין ספק: קפלר! הם מתאמצים להראות שברהה היה איש טוב-לב (הוא לא) ושהווידויים החושפניים של קפלר מלמדים שהיה חסר-מצפון (שטויות. הוא היה מוכן לשלם כל מחיר על דבקותו בפרוטסטנטיות). בקיצור, המחברים לא הרימו את נטל ההוכחה, אבל הם מצליחים לשכנע שבארמון של ברהה קרו כל מיני דברים אפלים שכדאי לחקור. לֹא זָכִיתִי בָאוֹר מִן-הַהֶפְקֵר,
אַף לֹא-בָא לִי בִירֻשָּׁה מֵאָבִי,
כִּי מִסַּלְעִי וְצוּרִי נִקַּרְתִּיו
וַחֲצַבְתִּיו מִלְּבָבִי. אחד אחד
וְשׁוּב אֶעֱמֹד נִפְעָם לִפְנֵי עוֹלָם פֶּלִאי בְּטָהֳרוֹ,
גַּן נָעוּל וְחָתוּם, זָרוּעַ חִידוֹת וּפְלָאִים,
לֹא-חָלָה בָהֶם יָד וְלֹא-נִסָּה אֲלֵיהֶם דְּבַר שְׂפָתָיִם,
לְבָבִי יִמָּלֵא הָמוֹן וְתִמְהוֹן אֱלֹהִים עַל-פָּנָי,
בְּעֵינַי תִּזְרַח הַדִּמְעָה וּבְנַפְשִׁי תְּרוּעָה נֶאֱלָמָה.
לנספח: אבל מה לגבי מהירות יחסית? אם אני נע ב-60% ממהירות האור וחברי נע ב-60% ממהירות האור בכיוון הנגדי, מהירותנו היחסית צריכה להיות 120% ממהירות האור. לזה, כמובן, איינשטיין לא יסכים.
הנה חוק חיבור המהירויות של גלילאו,
v= v1+v2
(אם הן נעים לכיוונים מנוגדים נציב כמובן סימן חיסור). עכשיו, אם שני הצופים האלה נעים במהירויות הקרובות לאור צריכה מהירותם היחסית להיות גבוהה ממהירות האור, אבל ככל שאנו עוסקים במהירויות גבוהות יותר הולך ומשתלט עלינו חוק חיבור המהירויות של איינשטיין:

גם כאן, c הוא מהירות האור, ואם תשחקו עם המשוואה ובמקום הביטויים v1 ו-v2 תציבו מהירויות יומיומיות, המספר שמתחת לקו השבר יהיה קרוב מאוד לא-1 ולכן כמעט שלא יהיה הבדל בין החוקים של איינשטיין וגלילאו. רק כששני הצופים יגבירו את מנועיהם ויתקרבו למהירות האור, יגלו שאינם יכולים להתקרב או להתרחק זה מזה במהירות האור ובוודאי לא יותר ממנה. זו הסיבה, אגב, למה מהירות האור קבועה גם לצופים הטסים לקראת קרן אור או בורחים ממנה: הציבו c במקום אחת המהירויות ותראו. אם נסמן את הזמן מחוץ לקרון ב-t ואת זמנו של דוִד ב-t', את מהירותו של דוִד ב-v ואת מהירות האור ב-c, אזי

ובמילים: כדי לדעת כמה זמן אורכת השעה של דוִד נכפיל את מהירותו של דוִד בעצמה, את התוצאה נחלק במהירות האור המוכפלת בעצמה, ואת התוצאה נחסר מאחד, ומהתוצאה נוציא שורש (כלומר נמצא את המספר שהכפלתו בעצמו נותנת אותה) ואת התוצאה נכפיל באורך השעה של משה. שוב, נסמן את אורכו של סרגל סטנדרטי המוצב מחוץ לקרון ב l ואת אורכו של סרגל זהה שדוִד לקח בנסיעתו ב l', ונקבל משוואה שוות-ערך לקודמת:

חלומות מתגשמים. לולא היה הדבר אפשרי, לא היה הטבע מעוררנו לחלום אותם.
ג'ון אפדייק

ניוטון: שינויי אישיות פוסט-פסיכוטיים
המיתרים מצטרפים לסימפוניה

ואלה תולדות האיחודים
”אם כך, אתה מכיר את האהבה,“ אמר הנער.
”ואני מכיר את נשמת העולם, כי אנחנו משוחחים הרבה בזמן המסע האינסופי הזה ביקום. היא מספרת לי שהבעיה הגדולה ביותר שלה היא שעד עכשיו רק הדומם והצומח הבינו שהכל אינו אלא דבר אחד. ובגלל זה אין צורך שברזל יהיה כמו נחושת ונחושת תהיה כמו זהב. כל אחד ממלא את תפקידו המיוחד, והכל היה יכול להיות כמו סימפוניה של שלום אילו הייתה היד שכתבה את כל אלה עוצרת ביום החמישי של הבריאה.“
”אתה חכם כי אתה משקיף על הכל ממרחק,“ אמר הנער, ”אבל אתה לא מכיר את האהבה. אילו לא היה היום השישי, האדם לא היה קיים; הנחושת הייתה תמיד רק נחושת, והעופרת רק עופרת. נכון שכל דבר יש לו הייעוד שלו, אבל יבוא יום והייעוד הזה יוגשם, ואז יצטרך כל דבר להפוך את עצמו למשהו יותר טוב ולקבל ייעוד חדש, עד שיום אחד תהיה נשמת העולם דבר אחד בלבד.“
פבלו קואלו, האלכימאי, תרגמו רינה וגדעון ברוך ואנטוניו קוסטה
אנחנו קרובים לסוף מסענו. היינו בכל מיני מקומות וזמנים, פגשנו הרבה אנשים, מלכים ופשוטי-עם, גאונים וטיפשים, טובים ומנוולים, למדנו כל מיני דברים שאפילו לא העלינו בדמיוננו כשיצאנו לדרך, וייקח לנו זמן לעכל אותם. לומר את האמת, חוששני שאני עצמי אצטרך מתישהו לקרוא שוב את הספר הזה.
כחוט-השני עבר במסענו החיפוש של הפיסיקה אחרי תיאוריה שתסביר כמה ש/יותר דברים בכמה ש/פחות הנחות-יסוד. ככל שתיאוריה כזאת הצליחה יותר במשימה זו, היא נראתה יפה יותר. היופי המדעי, ראינו בפרק #, מצטיין בכמה מאפיינים המשותפים לו וליופי האמנותי:
החלקים יוצרים הרמוניה ביניהם.
כל פרט הוא במקום, אפילו הכרחי.
הוא אומר יותר ויותר.
וכן בכמה מאפיינים המייחדים אותו:
הוא מתגבר
נישואי המתמטיקה לפיסיקה: עם הדיוק גדלות הצרימות, וכך גדלה הפריכות של התחזיות. ”אלוהים נמצא במספרים הקטנים.“ כמו במקומות אחדים בספר, נצטרך פה ושם לחרוג מעט מהמסגרת הכרונולוגית
החוקרהבעיההמהלך / התאוריה
/ הטיעוןהוויתור המושגיההישגהבעיה החדשה שהתעוררה
כוהנים בבליים, מצריים ואחריםסדירויות בתנועות גרמי השמים לעומת סדירויות פחות מובהקות בפעולות הגוף ובתהליכים הנפשיים, ואקראיות גבוהה בגורל האדםחיפוש סדירויות עמוקות יותר, קורלציות וקשרים סיבתיים בין תופעות שונות
האמונה הדתית: היקום, והאדם במרכזו, נשלטים בידי האלים.
האסטרולוגיה: לכוכבים יש נפשות והם משפיעים על גוף האדם, נפשו וגורלו.דחיית הבכורה של רשמי החושיםאחדות
ניבויים לגבי תנועות גרמי השמיםעירוב התחומים ואינוש הטבע הדומם מקשים על החשיבה הסיבתית
חיפוש סיבות קוסמיות פוגע בהבחנה בסיבות ארציות
הניבויים אינם פריכים
תַּלֵסריבוי שרירותי ואי-סדר במציאות הפיסיקלית הנגלית, לעומת ההכרח הלוגי השולט בעולם המספרים והצורות, ולעומת חוויית הטבע כיפההאסטרונומיה: החלת ההנדסה והחשבון הארציים על היקום כולו
המים הם היסוד הראשוני. כל היסודות האחרים הם רק היבטים שונים שלו.כנ"ל, לצד דחיית קשרים סיבתיים מדומיםגילוי סדר נסתר ביסוד התופעות
איחוד היבטים שונים של המציאות במסגרת חוקים משותפים
פיתגורסכנ"לחוקי הצורות והמספרים שולטים בכל היבטי העולם הפיסיקלי.
היופי מבטא חוקיות המתמטית.
הנומרולוגיה: לערכים אנושיים יש מקור בעולם המספרים והצורות. כנ"לכנ"ל
הצבת דרישת הדיוק מניבה ניבויים החשופים יותר למבחן ההפרכהמספרים אירציונליים
אמפדוקלסריבוי שרירותי ואי-סדר בתכונות החומר הנגלותכל החומרים בנויים מאחד או יותר מארבעה יסודות, ולכל יסוד אטומים המיוחדים לו.
הכימיה: חוקיות שולטת בתגובות בין היסודות. כנ"לאיחוד תופעות רבות תחת מספר קטן של אינטראקציות סדירות
דמוקריטוסכנ"להחומר בנוי מיחידות-יסוד זהות ובלתי-משתנות.
הריק ממלא תפקיד בקביעת תכונות החומר.
הרדוקציוניזם: ניתן להבין את טבעו של דבר ע"י פירוקו ליסודות קטנים יותר.כנ"לכנ"לסילוק האיכויות המשניות מהחומר הופך את התודעה לחידה
אפלטוןשליטת המחשבה במעשההאידיאליזם: לצורות, מספרים ומושגים הקיימים לכאורה רק בנפש קיום אובייקטיבי יותר מאשר לעצמים מוחשיים. העצמים נבראו על פי האידיאות.
היופי קשור לאמת.ייחוס ממשות למופשט יותר מאשר לעצמים קונקרטייםאיחוד תורת היסודות (‏4) עם התורה האטומית (‏5) ואיחוד התורה החדשה עם ההרמוניה הפיתגוראית (‏3)
החוקיות המספרית מצמצמת את מספר הצורות האפשריותזיהוי היפה עם האמיתי גורם לבלבול בין קביעות אובייקטיביות להתרשמויות אישיות
אריסטופרכות במודלים הפיתגוראיים () והאפלטוניים ()לעצמים יש מטבעם ”שאיפה“ להיות במקומות ובמצבים מסוימים.
הלוגיקה: הקשר בין היגדים משקף את הקשר בין הדברים במציאות אליהם הם מתייחסים.ויתור על היופי פשטות
הבחנה בקורלציות מדומות ואקראיות
ניבויים פריכיםיצירת מחיצות בין תחומי-דעת שונים
אריסטוסתירה בין חוקי עולם הדומם () () לתהליכים ביולוגייםהתכליתיות כסוג משלים של סיבתיות
אורגניזמים מושפעים גם מסיבות עתידיות. ויתור על האחדותסימטריה בזמן
ניבויים פריכיםכנ"ל
אוקלידסשרירותיות-לכאורה בחוקי עולם המספרים
פרכות בנומרולוגיה ()האריתמטיקה: כל המשפטים הנוגעים למספרים ניתנים להוכחה על סמך אחת או יותר מחמש אקסיומות.ויתור על האינדוקציה כשיטת הוכחהאיחוד חוקים רבים במסגרת בסיס אקסיומטי מצומצם
אוקלידסשרירותיות-לכאורה בחוקי עולם הצורותהגאומטריה: כל המשפטים הנוגעים לצורות ניתנים להוכחה על סמך אחד או יותר מחמשה פּוֹסטוּלַטים.כנ"לכנ"לאקסיומה אחת נראית מיותרת
אפולוניוסחסרונות בגאומטריה (‏10) בנוגע לצורות עקומותעקומות דו-ממדיות שונות הן חתכים של אותו גוף תלת-ממדיכנ"לכנ"ל
ארכימדסאי-סדירויות בתופעות הסטטיקה, המכניקה, ההידרולוגיה והאופטיקה לעומת החוקיות במתמטיקה (‏9) ובגאומטריה (‏10) (‏11)
הטכנולוגיה: יישום המתמטיקה והגאומטריה לשימושים מעשיים ומתוך כך חיזוק הבסיס המתמטי של הפיסיקהתחילת הניסוח המתמטי של חוקי הפיסיקה
אחדות גוברת
דיוק גובר
פטולמאיוסשרירותיות בתנועות גרמי השמים לעומת רמזים לחוקיותם (‏1) ולעומת ההרמוניה בגאומטריה האוקלידית (‏10)
העמקת הסינתזה בין הגיאומטריה (), האסטרונומיה () והאסטרולוגיה ()
המעגל הוא צורה יסודית.
התנועה הקצובה היא תנועה יסודית.
מרכז כדור-הארץ הוא מרכז היקום.
חריגה מתנועה מעגלית נובעת ממעגלי-משנה.
בשמים שוררת קביעות.סדירות ודיוק גוברים בתנועות גרמי השמים
ניבויים ניסיונייםהגבהת המחיצה האריסטוטלית () בין פיסיקה ”ארצית“ ו”שמיימית“
אפיציקלים הולכים ומתרבים
מלומדים בתקופות שונותחוקיות שולטת בהתמרת חומר למשנהו, סדירות בתגובות החומרים ובפעולות גוף האדם, ולעומתם אקראיות נראית שולטת בבריאות האדם ()האלכימיה: לחומר יש תכונות ראשוניות של חיים ונפש. היסודות מתרכבים לפי חוקיות מתמטית (‏9) ואסטרולוגית (‏1).
אחדות
סדירות ודיוק גוברים בריאקציות בין חומרים
ניבויים נסיוניים
מתמטיקאים הודים, כווריזמי, קרדאנו, טרטליה ואחריםחסרים באריתמטיקה () ובגאומטריה () האלגברה: קבלת האפס, המספרים השליליים והדמיונייםיכולת לטפל בשפע בעיות חדשות
קופרניקוספרכות במודל הפטולמאי (‏13)
הארץ היא אחד מכוכבי-הלכת במערכת שהשמש נמצאת במרכזה.אבדן מרכזיות הארץ ומרכזיות האדם
דחיית עדות החושים על מנוחת האדמהפישוט, דיוק גוברשוב אפיציקלים
ברונוהיעדר הפרלקסה של כוכבי-השבת במודל הקופרניקאי (‏16)
השמש היא אחד מכוכבי-השבת.אבדן מרכזיות מערכת השמשהגדלת האחדות ביקום
הערכה נכונה יותר של גודל היקום
ניבוי ניסיוני: קיימות מערכות-שמש נוספות
קפלרסתירות בין האסטרונומיה הקופרניקאית (‏16) לבין הפילוסופיה הפיתגוראית () והאפלטונית () מחד, ולנתוני המדידות מאידך
פער בין ”פיסיקה ארצית“ ו”פיסיקה שמימית“ בתורת אריסטו (‏7)
יציקת תוכן פיסיקלי לגאומטריה של הצורות העקומות (‏11)
האליפסה היא צורה כללית יותר של מעגל.
רוב הסדירויות בתנועות כוכבי-הלכת נחשפות רק ע"י ניתוח מתמטי.ויתור על פשטות המעגל
תחילת הוויתור על ניבויי האסטרולוגיה (‏1)
פישוט ודיוק גוברים, היעלמות האפיציקלים
חוקי טבע ראשונים החורגים מכדור-הארץ
ניבוי נסיוני מהוויתור על מרכזיות הארץ: כוח כבידה יקומי
קפלרניסויי ארכימדס באור (‏12)
הגיאומטריה האוקלידית (‏10)
האופטיקה: האור מציית לחוקים גאומטריים בדומה לגופים.הגדלת הדיוק
איחוד האסטרונומיה והפיסיקה
גלילאוסתירות אפילו בתוך ”הפיסיקה הארצית“ של אריסטו (‏7)
פרכות בתורת קופרניקוס (‏16)
מתן הבכורה לניסוי ולתצפית
יש הבדל מכריע בין תנועה קצובה לתאוצה.
כל התנועות הקצובות מצייתות לאינווריאנטיות אחת.ויתור על עליונות השיקול העיוני לטובת הניסוי
ויתור על מושגי התנועה והמנוחה המוחלטתהגדלת הפשטות, הסימטריה והדיוק
אישוש ניבוי ברונו (‏17) לגבי מרחק כוכבי-השבת
אישוש ניבויי קפלר (‏12) בכוכבי-לכת חדשים, אסטרואידים וכד'
לאונארדו
גלילאו
בויל
ד. ברנולי
מרסןחסרונות בפיסיקת הזרמים ניסוח חוקי תנועה בנוזלים גזים, וגלי קולתחילת איחוד ההידרודינמיקה והאקוסטיקה עם המכניקה
דיוק גובר
ניבויים פריכים
דקרטחסרונות בגאומטריה (‏10) (‏11) ובמתמטיקה (‏9)
האלגברה הליניארית
צורות ויחסים מרחביים, כולל צורות עקומות (‏11) ניתנים לביטוי מתמטי העמדת הגאומטריה (‏10) (‏11) על המתמטיקה (‏9)

דקרטחסרונות באופטיקה (‏19) ובמכניקה (‏20)
היקום מלא באתר הנושא את האור וההשפעות בין הגופים ע"י זרמים ומערבולות.דחיית מושג החלל הריק
ויתור על קיום ”כוח חיים“ לא-פיסיקלי (מלבד באדם)העמדת הפיסיקה על המתמטיקה הקרטזית (‏22)
שלילת הפעולה ממרחק
הסברת תנועות מעגליות במערכת השמש וסביב המגנט
איחוד האופטיקה והכבידה במסגרת תורת זרמים (‏21)

דקרטהפער בין התודעה לעולם החומר ()הדואליזם
הנפש היא מהות נפרדת מהחומר ומתערבת בנעשה בו דחיית האחדותהסבר חיצוי בין העולם הפיסיקלי והנפשי, ובין האדם ושאר היצורים החיים, שני הסברים לאותה תופעה
פרמא
פסקל
הברנוליםחסרונות המתמטיקה (‏9) בניתוח תופעות אקראיותתורת ההסתברות
בסדרות גדולות של דברים אקראיים-לכאורה מתגלה חוקיות חדשה ומוצקה.ויתור על הבנת גורמי המקרה הבודד
הרבה מסקנות נוגדות-אינטואיציה בנוגע לאירועים בודדיםאחדות, הגדלת הדיוק ויכולת הניבוי
פתח להבנות חדשות לגבי מקרים בודדיםהצלחת השיטה הסטטיסטית מביאה לעתים לאיבוד עניין בסיבתיות המיקרוסקופית
ניוטון
לייבניץחסרונות בעבודות ארכימדס (‏12), קפלר (‏18) ואחרים על מתמטיקה לא-רציפה, ובאנליזה הקרטזיאנית (‏23) של התנועה
החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי
כל שינוי ותנועה ניתנים לחקירה בכל מידת דיוק.קבלת המושג ”גדול מאפס אבל קטן מכל מספר אחר“דיוק
ניוטוןפרכות בתורות קופרניקוס (‏16), קפלר (‏18), גלילאו (‏20) ודקרט (‏23)
המכניקה הקלסית
החלת החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי (‏26) על הפיסיקה
שלושת חוקי התנועה
חוק הכבידה העולמיפחות מקום להתערבות אלוהית ביקום
ויתור על המערבולות של דקרטדיוק
פשטות
אחדות כל האינטראקציות האפשריות
השערת קפלר (‏18) הוכחה
שפע ניבויים ניסיוניים סילוק המערבולות מחזיר את הפעולה ממרחק
תיתכן היעלמות אנרגיה, ונדרשת התערבות אלוהית להחזרתה
ניוטוןחסרונות באופטיקה () האור מורכב מחלקיקיםאיחוד האופטיקה (‏19) (‏23) עם המכניקה הקלסית (‏27)
מספר חלקיקי האור כמספר הצבעים השונים
עקיפה והתאבכות אינן מוסברות כראוי
לייבניץהחלל והזמן המוחלטים בתורת ניוטון (‏27) אינם ניתנים לצפייההעצמים מגדירים את המרחב והזמןדחיית מושג החלל הריק
ויתור על מוחלטות המרחב והזמןסימטריה
לייבניץחסרונות הדואליזם הקרטזיאני ()
פרמא מופרטואי המילטוןאיחוד
פריסטליאי-שימור לכאורה בתהליכי בעירה () ותהליכים ביולוגייםהשערת הפלוגיסטון
החום הוא מעין נוזל העובר מחומר לחומר איחוד
ניבויים פריכים
דלטון
לבואזיהסתירות בין האטומיזם היווני () () לכימיה החדשה
פרכות בתורת הפלוגיסטון (‏32)
חוק שימור החומרויתור על חלומות האלכימאים ()
תחילת הוויתור על ייחודם הכימי של החייםפשטות
אחדות
דיוק
ינגפרכות באופטיקה הניוטונית (‏28)
האור הוא גלים.איחוד האופטיקה (‏28) עם תורת הגלים (‏21)

פרנקליןחוק שימור המטעןאחדות
פרדייפעולה מרחוק בפיסיקה הניוטונית (‏27)
סוגים שונים של מגנטיות וחשמלכל האינטראקציות מתרחשות בעזרת שדות.
החלל הריק הוא מוליך.הכנסת מושג השדה, ומכאן הקטנת הבעייתיות של הפעולה ממרחק
איחוד כל סוגי המגנטיות
איחוד כל סוגי החשמל
איחוד המגנטיות והחשמל
מקסוולהיעדר ניסוח מתמטי לתופעות החשמל והמגנטיותיישום החדו"א () להבנת השינויים בשדה של פרדיי ()
האלקטרומגנטיות
שינויים בשדה מחוללים הפרעות מתפשטות במהירות c.איחוד האופטיקה הגלית () עם תורת השדה של פרדיי (‏36)
ניבוי סוגי קרינה חדשיםהיכן האתר בו מתפשטים הגלים?
גאוס
רימןחסרונות הגאומטריה ()גאומטריה במספר רב יותר של ממדים
גאומטריה של משטחים עקומים
צמצום הבסיס האקסיומטי של הגאומטריה ומכאן הרחבת אפשרויותיה
דארוויןריבוי, שרירותיות ואקראיות בעולם החיים לעומת החוקיות הפיסיקליתתורת האבולוציה
יצורים חיים מתפתחים על פי חוקי הפיסיקה בלבד ובצורה אקראיתויתור על התכליתיות ()
קבלת החוקיות הסטטיסטית () בתהליכי החייםהסיבתיות כעיקרון יחיד
מנדלייבאקראיות בתכונות החומרים: משקל סגולי, ערכיות כימית ותכונות נוספותגילוי סדירויות חדשות בכימיה של היסודות () על בסיס תורת האטום ()
ניבוי יסודות חדשים
מאייר
ג'אול
הלמהולץצורות שונות של תנועה, חום, אור, חשמל וכו' מופיעות ונעלמות התרמודינמיקה: כל צורות האנרגיה מצייתות לאותם חוקים.
חוק שימור האנרגיהזיהוי ישות אחת העומדת ביסוד תופעות רבות
יכולת חישוב גיל השמש סותר את ההערכה של תורת האבולוציה ומאוחר יותר את נתוני האסטרונומיה עצמה
קלאוזיוס
בולצמן
מקסוול
קלווין
איינשטייןאי-התאמה בין חוקי המכניקה () () לתרמודינמיקה ()יישום תורת ההסתברות (‏25) לפיסיקה של האטומים (‏33)
העמדת הפיסיקה של הגזים והנוזלים (‏21) על המכניקה הניוטונית (‏27)
מקור האסימטריה בזמן נותר לא ברור
”קטסטרופת הסגול“
קירי וקירי
רתרפורדהתורה האטומית
האטומים מורכבים מפרוטונים וניטרונים בגרעין ואלקטרונים הנעים בקליפות.
לכן המגנט עשוי מאלקטרומגנטים זעירים.איחוד הכימיה () עם האלקטרומגנטיות () והעמדתן על הפיסיקה הניוטונית ()אנרגיה שמקורה לא ברור נפלטת מחומר דומם
לורנץ
פיצג'רלד
פואנקרהכישלון גילוי האתרגופים מתקצרים ותהליכים מאטים בהשפעת תנועת האתרסתימת הפרצההאתר עדיין לא ניתן לגילוי
מאךהתאוצה () אינה תואמת לאינווריאנטיות של גלילאו ()ייחוס תאוצה לקיומם של גופים אחריםפעולה ממרחק
איינשטיין
אי-התאמה בין האינווריאנטיות הגלילאית () לבין משוואות מקסוול ()
חידת מקור האנרגיה הרדיואקטיבית () והשמשית ()תורת היחסות הפרטית
קבוע מקסוול () מועלה למעמד חוק טבע ולכן חייב לציית לאינווריאנטיות
ויתור על מוחלטות החלל והזמן
האפקטים המיוחסים לאתר () הם סימטריים לכל תנועה יחסית
איחוד המסה () והאנרגיה () בחוק שימור אחדהתאוצה נשארה מוחלטת
התעלמות ממעבר הזמן
מינקובסקיאי-התאמה בין היחסות הפרטית () לבין הגאומטריה האוקלידית () ()יציקת תוכן פיסיקלי לגיאומטריות לא-אוקלידיות () איחוד החלל () עם הזמן הכחשת מעבר הזמן
איינשטייןאי-התאמה בין עקרונות היחסות הפרטית (‏51) לבין התאוצה () ()
”צירוף מקרים“: המאסה ההתמדית זהה למאסה הכבידתית יישום גיאומטריית מינקובסקי ()לתיאור מרחב-זמן עקום ()
תורת היחסות הכללית
המרחב-זמן הוא ישות פיסיקלית.דחיית הבכורה של הגאומטריה האוקלידית () () ()הכללת התאוצה בהסבר היחסותי ויציקת תוכן פיסיקלי לשוויון מאך (), בלי הפעולה ממרחק
איחוד הכבידה (‏27) עם ההתמדה (‏27)
תוכן פיסיקלי לגאומטריות לא אוקלידיות () הכחשת מעבר-הזמן
מתחייב קיום חורים שחורים
שוורצשילדעיקום המרחב-זמן () באזורים בהם נדחסת המסה מעבר לכמות קריטית מוביל להתמוטטותחורים שחורים חייבים להתקייםניבוי שהוכחייחודיות בה מתמוטטים כל חוקי הפיסיקה
איינשטיין
דה סיטראי-יציבות היקום לפי כמות המסה שבוהמפץ הגדול
היקום כולו נוצר מייחודיות.ויתור על יציבות היקום, בסתירה לחוקי השימור () ()
---
ניבוי שהוכח (בדיעבד): היקום מתפשטהייחודיות () הראשונית היא קוונטית, ובכך סותרת את אופיו הניוטוני של היקום.
הייחודיות () הראשונית היא ראשית היקום כולו וכך נעשית מחוץ להישג-יד הפיסיקה.
פלנק
איינשטייןהפרכת ניבויי האלקטרומגנטיות () והתרמודינמיקה () בקצה הספקטרום תורת הקוונטים
יישום תורת הגלים () ל
תיאור הסתברותי () מוחל גם על עצם בודדויתור על הסיבתיות
ויתור על התיאור האובייקטיבי של הטבע איחוד חלקי של הפיסיקה של גלים וחלקיקיםהוויתורים המושגיים עצמם
בּוֹר
הייזנברגהפרכת ניבויי האלקטרומגנטיות () והתרמודינמיקה () בקצה הספקטרום תורת הקוונטים
יישום תורת הגלים () לחלקיקי החומר
תיאור הסתברותי () מוחל גם על עצם בודדכנ"לאיחוד נוסף של הפיסיקה של גלים וחלקיקיםכנ"ל
הייזנברג
דה-ברואי
שרדינגרכנ"לאיחוד נוסף (עדיין לא שלם) של הפיסיקה של גלים וחלקיקיםכנ"ל
פאוליאינווריאנטיות ה-CPT
כל אינטראקציה בין חלקיקים תציית לחוקי הפיסיקה באותה מידה אם ייהפכו המטענים וכיווני המרחב והזמן.
נתרשרירותיות-לכאורה בחוקי השימור () () () () שימור פירושו סימטריהיציקת תוכן פיסיקלי לרעיון מתמטיהחרפת השאלה בדבר האסימטריות במציאות הנצפית
גדלכישלון האקסיומטיזציה של הגאומטריה () והמתמטיקה ()הוכחת אי-השלמותויתור על האפשרות למערכת לוגית עקבית שלמההצבעה על יסודות חוץ- מתמטיים במתמטיקה
פעולה לא מיכנית של מוח האדם
דיראק
פיינמן
פיינמן, שווינגר וטומונאגהריבוי שרירותי של חלקיקים בתורה האטומית ()
סלאם וגלאשוכנ"ל, ריבוי כוחות יסוד איחוד הכוחות האלקטרומגנטי והחלש אסימטריה חלשה נותרת ב---
גמוב וחב'תורות החלקיקים ()תורת המפץ הגדול
סינתזה בין הקוסמולוגיה ופיסיקת החלקיקיםהיחס בין מולקולות, אטומים, חלקיקים וחלקיקי-יסוד הוא גם יחס כרונולוגי.
בקנשטיין
הוקינג
אוּנרוּחורים שחורים מצייתים לחוקי התרמודינמיקה, ולכן אינם שחורים לגמרי.
האפקט המשולב של תורות הקוונטים והיחסות הכללית מציית לחוק השלישי של התרמודינמיקה.רמזים לאחדות היחסות, הקוונטים והתרמודינמיקהאולי אסימטריית-הזמן התרמודינמית אינה תולדה מקרית של תנאי ההתחלה אלא מצביעה על מאפיין עמוק יותר של המציאות הפיסיקלית.
אולי אינפורמציה אובדת בתהליך התנדפות החור השחור
קרטר
בארו וטיפלרקבועים שרירותיים-לכאורה של היקום שרק בזכותם הוא מתקייםהעיקרון האנתרופי: חזרה אל מושגים פרה-קופרניקניים () בדבר מרכזיות האדם ביקוםאין ניבויים ניסיוניים
היקום, איך לומר, רחוק מלהיות מקום נעים
גות
פנרוזסתירות בין היחסות הפרטית () והכללית () לתורת הקוונטים ()
סתירות בין תורת הקוונטים () למתרחש בעולם המאקרוסקופי ()
היעדר קשר בין הכבידה () לשלושת כוחות היסוד האחרים () ()
בעיית התודעההכבידה מעורבת בקריסת פונקציית-הגל.
התודעה והיצירתיות נובעים מתהליך קוונטי החורג מהמרחב והזמן.
הסימטריה בזמן אינה תקפה
קלוצה
קליין
ונציאנו
שוורץ
ויטןסתירות בין היחסות הפרטית () והכללית () לתורת הקוונטים ()
סתירות בין תורת הקוונטים () למתרחש בעולם המאקרוסקופי ()
סתירות בין המודלים הקוסמולוגיים () לתצפיות האסטרונומיות
היעדר קשר בין הכבידה () לשלושת כוחות היסוד האחרים () ()תורת העל-מיתרים
היישות הבסיסית ביותר היא המיתר, שרטיטותיו השונות הם החלקיקים השונים. הוא הדבר גם לגבי כוחות היסוד.
המרחב-זמן מורכב ממספר רב יותר של ממדי מרחב, שרובם מכורבלים.נסיגה חלקית מהפשטות
כמה קבועי טבע וחלקיקים נובעים מהמשוואות
אפשרות לאיחודים נוספיםאין ניבויים ניסיוניים בטווח הנראה לעין
הפרדוקסים הקוונטיים נותרו בעינם
סמולין וחב'כנ"לתורת הלולאותהאינטראקציה היא יסודית יותר מהמרחב-זמן בו היא מתרחשתכנ"לאין ניבויים נסיוניים בטווח הנראה לעין
הפרדוקסים הקוונטיים נותרו בעינם
_______ (מלא את החסר)סתירות בין היחסות הפרטית () והכללית () לתורת הקוונטים ()
סתירות בין תורת הקוונטים () למתרחש בעולם המאקרוסקופי ()
סתירות בין המודלים הקוסמולוגיים () לתצפיות האסטרונומיות החדשות
היעדר קשר בין הכבידה () לשלושת כוחות היסוד האחרים () ()
אסימטריות-זמן שונות (תרמודינמית, כבידתית, קוסמולוגית ועוד) שלא ברור הקשר ביניהן ומוצאן, בניגוד לסימטריה של חוקי הטבע ()
היעדר התייחסות לחלוף-הזמן
היעדר התייחסות למשפט גדל ()
הבעייה הפסיכופיסית _______________
_______________
_______________
(מלא את החסר)____________
(מלא את החסר)____________
(מלא את החסר)____________
(מלא את החסר) ג'ון ארצ'יבלד וילר
ודאי באחד הימים, יכולים אנו להאמין, נתפוס את הרעיון העיקרי של כל זה כמשהו כל כך פשוט, כל כך יפה וכל כך כובש עד שנאמר זה לזה: ”אוה, איך אפשר אחרת! איך יכולנו להיות עיוורים כל כך הרבה זמן!“ (28)
מכתב גלוי לאיינשטיין הבא
באשר תלך, השאֵר את עקבות לבך ולא את עקבות מגפיך.
אלמוני
מר איינשטיין הבא היקר,
ראשית, סליחה על הכינוי הטיפשי. אני יודע שאתה לא תהיה איינשטיין השני ממש כמו שאיינשטיין לא היה ניוטון השני וניוטון לא היה גלילאו השני. כל יוצר הוא אדם ייחודי בפני עצמו ואין מקום להשוואות. בכלל, איני יודע אם תהיה אדם אחד או כמה אנשים, כי לא כל המהפכות נעשו על ידי גאון יחיד. ואולי גם איני צריך לפנות אליך בלשון זכר? נשים הופכות כיום לרוב בפקולטות למדעי החיים, וגם במדעים המדויקים עולה מספרן, כך שייתכן שאתה גברת. ובאיזה שפה לפנות אליך? לאור העובדה שעד היום יש רק שלושה חתני פרס נובל ישראליים למדע, בניגוד לאחוז היהודים בין מקבלי הפרס בעולם, זה יהיה מאוד נחמד אם תהיה ישראלי, אבל נשמח גם אם תהיה רק יהודי. אצלנו, כידוע לך, מאוד מעריכים את הקטע של לעשות כבוד לחבר'ה, במיוחד בתקופה הזאת שבה יש כמה אנשים שעושים לנו בושות.
אז רק לצורך הדיאלוג אני מתאר לעצמי אותך כאלברט ההוא, אולי סטודנט אלמוני השקוע בשאלות הגדולות של הפיסיקה, אולי נער דלפון איפה שהוא בארץ ענייה ונחשלת הנהנה מהגישה לאוצרות הידע שהאינטרנט נותן לו, אולי עדיין ילד מתבודד שכולם קוראים לו ”מעופף,“ ואולי אתה עדיין רק מבט שובב בעיניים של אבא ואמא שלך. כך או אחרת, בבוא היום תסתכל סביבך, תראה את השממה הגדולה שהשתלטה על הפיסיקה ביובל השנים האחרונות, ותתחיל בדרך משלך, שבסופה תכריז על הבנה חדשה של חוקי הפיסיקה שתיישב את כל הסתירות הקיימות כיום בין תורת היחסות ותורת הקוונטים במסגרת תורה חדשה.
מה תהיה התורה הזאת? לו ידעתי, הייתי רוקד עכשיו בעצמי עם המלכה בשטוקהולם במקום לכתוב באמצע הלילה מכתבים לאנשים שאני לא מכיר. אבל אני בכל זאת יודע משהו על אותה תורה: היא תהיה א)פשוטה, כלומר: מעט הנחות יסוד, שמתוכן נגזר כל השאר בצורה שכל פיסיקאי יאמר: איך לא חשבתי על כך קודם! ב)יהיו לה ניבויים ניסיוניים, ו-ג)היא תהיה יפה. אתה, אני בטוח, נמנה על המחנה שלנו, האפלטוניסטים אוהבי היופי.
אז תרשה לי לחלוק אתך כמה ניחושים משלי לגבי חלקים מסוימים בתורה הזאת, רעיונות שבאו לי באופן אינטואיטיבי במהלך הרבה שנים של מחשבה ויש לי הרגשה שטמונים בהם רמזים שאולי תמצא בהם עניין.
פיסיקה בלא נחת
אפתח בפגמים הבולטים ביותר לעיניי בתמונת-העולם הקיימת, שאני מנחש שלפחות בחלקם הם גם פגמים בעיניך. הנה קריסת פונקציית-הגל. אתה, אני יודע, אינך הולך בדרכים הקלות של העולמות המרובים, ”דקוהרנציה“ ומודלים דומים המנסים להימנע מהרעיון הבעייתי הזה. אתה מאמין שבאמת, שכשהפוטון הארור יוצא מהמנורה, הוא באמת יוצא לדרכו כגל ההולך ומתפשט ונמצא בהרבה מקומות בבת אחת, ואז, אחרי האינטראקציה עם עצם או עצמים כלשהם, פתאום יש לנו חלקיק אחד במקום אחד וכל פונקציית-הגל נעלמת ללא שריד. אתה יודע שהקריסה הזאת, הסיוט של כל פיסיקאי, מתרחשת, עם כל הבעייתיות העצומה שהיא מעוררת לגבי היחסות והסימטריה של הזמן.
רק למקרה שאינך בטוח בכך, למקרה ש/אתה מאמין שמישהו יום אחד ימצא דרך לעקוף את הקריסה ע"י חזרה לאיזו תורה של משתנים חבויים, אביא לפניך הוכחה שהעלנו דולב ואני[] ושיש לה תוקף של משפט כללי. נניח ש:
הנחה א: בכל קריסה של פונקציית-גל מעורבים משתנים סיבתיים חבויים.
כך שאם פוטון פוגע בראי חצי-חדיר, ישנם גורמים סמויים, הפועלים ברגע פגיעת הפוטון בראי ו/או ברגע פגיעתו בגלאי הימני ו/או ברגע פגיעתו בגלאי השמאלי, הקובעים איזה משני הגלאים יקליק בסופו של דבר. --- --- --- אמנם בוודאי גג מאוד הרבה אותו זז פחות טט יהיה כל כך לל כמובן ייתכן סס עע פפ בקיצור: קצת יותר שש ביותר
גג זז טט לל סס עע פפ שש עד היום, אין סתירה של ממש בין היחסות והקוונטים רק בגלל שלא ניתן למדוד את המשתנים האלה. אבל איני מבין איך, עד היום, לא הסיק איש מכך את המסקנה ההכרחית:
מסקנה 1: כל פיסיקה שבה המשתנים הקוונטיים החבויים לא יהיו חבויים תסתור את היחסות הפרטית.
נדמה לי שברגע ששמעת את המשפט אתה מבין שהוא נכון: ברגע שניתן יהיה לראות או למדוד את המשתנים החבויים, ניתן יהיה לקבוע בוודאות אילו אירועים הם בו-זמניים וכך להבדיל בין תנועה למנוחה. לפיכך, אם קיימים משתנים חבויים, אזי, בכל פיסיקה עתידית שהיחסות תהיה מקרה פרטי שלה, עליהם להיות משתנים חבויים-לעולם. בקיצור, ”כי לא יראני האדם וחי“ (שמות ל"ג 20). זה רציני לדעתך? את האתר זרקו על סיבות יותר קטנות!
ולכן, אם משתנים חבויים אינם קיימים, קריסת פונקציית-הגל היא בדיוק מה שהרבה אנשים לא רוצים להאמין: זהו תהליך שבו מידע אובד – לא סתם מתערבב ונעשה בלתי זמין אלא אובד ממש – כמו שהוקינג חשב לגבי התנדפות חור שחור וחזר בו. וזה קורה לא רק במקרים האקזוטיים של התנדפות חור שחור אלא בכל מקרה שבו אירוע קוונטי עובר הגדלה לרמות מאקרוסקופיות. לכן גם המסקנה הבאה ברורה:
מסקנה 2: כל אינטראקציה יסודית היא אסימטרית בזמן בלי קשר לתנאי ההתחלה שלה.
הנה עוד דרך בה ניתן לדחוק את הפיסיקה לפינה בעניין זה: ביקום שלנו שולטות כמה אסימטריות מרחביות מטרידות: אסימטריית הכוח החלש, וכן העובדה שהחומר ביקום אינו מפוזר באופן שווה. אומרים אנשים: בתחילת היקום היו תנודות מיקרוסקופיות אקראיות, והתפשטות היקום הגדילה אותן לממדים מאקרוסקופיים. יפה, אבל שוב איני מבין למה אף אחד לא מוכן להתמודד עם השאלה המתבקשת: עד כמה אקראיות היו תנודות אלה? רוב הפיסיקאים מעדיפים להאמין באקראיות מדומה בלבד. ברמה עמוקה יותר, הם אומרים, זה סיבתי לגמרי. אבל אז, אם האסימטריה הופיעה מסיבה כלשהי, פירוש הטענה הוא שהיקום היה אסימטרי מלכתחילה! ג'ו רוזן[] פרסם הוכחה כזאת לפני שנים רבות ועד היום לא התמודד אתה איש ברצינות. במילים אחרות, הן הדטרמיניזם והן האינדטרמיניזם מובילים אל האסימטריה, במרחב או בזמן או בשניהם.
נכון, הסימטריה יקרה מאוד ללבו של כל פיסיקאי
דרך אחרת
כל זה לא היה אמור להפתיע. ממה שקראת בעמודים הקודמים הבנת שאני משוכנע שבמרכיב הזה של המציאות הקרוי ”זמן“ יש משהו שהפיסיקה – כולל תורת היחסות – עוד לא נגעה בו. אני מאמין שהתחושה של האיש הפשוט, שהזמן אינו סתם מימד אלא התהוות אמיתית של עולמנו, רגע אחרי רגע, אינה אשליה אלא נובעת ממשהו מסתורי שבאמת קיים בטבעו של הזמן. אני מקווה שההוכחה החלקית שהבאתי בפרק ‏18 שכנעה גם אותך בדבר הזה (אגב, שמת לב איך אנשי המיתרים האלה כל כך לארג'ים בממדי מרחב? עשר, אחת-עשרה, עשרים וארבע! אבל בזמן איש אינו מעז לגעת).
אם הדבר הזה נכון, והאירועים אינם קיימים יחד במרחב מינקובסקי, אלא ממש נוצרים, כפי שאומרת לנו תחושתנו, בזה אחר זה באופן כלשהו, הצעד הבא הוא פשוט. אם אנו אומרים:
הנחת-יסוד א': אירועי העתיד עדיין אינם קיימים,
אזי, על-פי עיקרון מאך שכל כך הרשים את קודמך, לפיו
הנחת-יסוד ב': אין קיום אובייקטיבי למרחב ולזמן כשלעצמם ללא עצמים שיגדירו אותם,
אנו חייבים גם לומר:
מסקנה 2: המרחב והזמן בעתיד אינם קיימים.
ואז התמונה המתקבלת היא של מרחב-זמן ה”גדל“ לכיוון העתיד. מפץ גדול תמידי
אם תיאור זה מזכיר לך במשהו את המפץ הגדול, זה נכון! התמונה של מרחב-זמן מתפשט מתיישבת בצורה מעניינת עם הרעיון שהזמן עצמו נתון להתהוות. המרחב-זמן גדל לא רק בכך שיש יותר ויותר מרחב אלא גם בכך ש(סליחה על הדימוי הילדותי)יותר ויותר ”עתיד“ מתווסף לזמן.
בהשערה הזאת חבויה תכנית מחקר פשוטה: בדוק מה אומרים הקוסמולוגים על רגע היווצרות היקום, יש מאין, ונסה להחיל אותו על היווצרותו של כל רגע בזמן. מיד תראה כמה סוגיות שבהן הפיסיקה תקועה מתעוררות לחיים חדשים לאור השערה זאת!
בדרך הזאת אני בטוח שאפשר גם להתגבר על הבעיות של ”זמן-על“ שבהן מאיימים הפיסיקאים האורתודוקסיים על כל מי שמנסה לחשוב על הזמן כמשהו שבאמת נע. על השאלה הנפוצה ”מה קרה לפני המפץ הגדול?“ אנו עונים כי ”לפני“ הוא מושג הקשור בזמן, אבל הזמן עצמו נוצר במפץ הגדול. כך גם לגבי התהוות הזמן. אבל לא אכנס לזה כרגע. בוא רק נסכים שאם אירועים אכן מתהווים ולא סתם קיימים במרחב-זמן, גם המרחב-זמן עצמו מתהווה יחד אתם.
מפץ גדול תמידי מה שאני רוצה להסב אליו את תשומת לבך הוא שהרעיון שהמרחב-זמן עצמו מתהווה יחד עם האירועים שבתוכו תואם בצורה מפליאה את קריסת פונקציית-הגל. חשוב רגע: אנחנו מדמיינים את פונקציית הגל מתפשטת לתוך מרחב זמן ריק, שהיה קיים מלכתחילה, ובתוכו היא קורסת, ואז אנחנו שוברים את הראש בהתמודדות עם הבעיות שהתיאור הזה יוצר מבחינת תורת היחסות וחץ הזמן. אז מדוע לא לחשוב ההפך? אני מתכוון, אולי פונקציית-הגל אינה מתפשטת לתוך מרחב-זמן אלא התפשטותה היא-היא היווצרות המרחב-זמן?
אתה מכיר את ניסוי המדידה ללא אינטראקציה שויידמן ואני המצאנו עם הפצצה? מה שהניסוי הזה אומר הוא שגם גילויו של לא-כלום משפיע על פונקציית-הגל כולה. אפשר כמובן להסביר את זה בדרכים הרגילות, אבל לי יש הרגשה שאפילו כאן יש רמז: פונקציית הגל יוצרת לא רק את החלקיק במקום שבו הוא מתגלה אלא גם את כל המקומות בהם הוא היה יכול להיות.
אז התמונה המתקבלת היא משהו כזה: היקום הוא מרחב-זמן ארבע-ממדי ובו אירועים וקווי-עולם, כמו שאומרת היחסות, רק שהיקום הזה מתפשט – לא רק בממדיו המרחביים אלא גם בממד הזמן שלו: הוא ”גדל“ לכיוון העתיד. ברמה הקוונטית ייראה הדבר כך: העתיד נוצר ע"י אינספור פונקציות-גל של חלקיקים היוצאות מה”עכשיו,“ עושות ביניהן אינטראקציות אבל לא במרחב-זמן שלנו. איפה, אתה שואל? אין לי שום מושג. תחשוב קצת גם בעצמך. אבל התחושה החזקה שלי היא זאת: האינטראקציות האלה יוצרות גם את החלקיקים וגם את יחסי המרחב והזמן ביניהם.
מה קורה עכשיו? לא ייאמן: פתאום מתברר לנו שבלי להרגיש אנחנו מדברים גם יחסות? ועכשיו הדבר המדהים: התיאור הזה מציע לא פחות מאשר בסיס חדש לתורת השדה המאוחד כי חלקיקים יכולים למשוך וגם לדחות זה את זה פשוט בדרך שבה הם יוצרים את המרחב-זמן שביניהם. במקרה זה תיתכנה שלוש אפשרויות: א) ניבויי תורת ההתהוות יסתרו את ניבויי תורת היחסות. במקרה כזה תצטרך תורת ההתהוות לעוף מייד לפח האשפה, כי הניסויים כבר הוכיחו את היחסות. ב) ניתן יהיה ליישב את ניבויי תורת ההתהוות עם ניבויי תורת היחסות. זו לא תהיה חכמה גדולה. אבל האפשרות המעניינת ביותר היא ג) ניבויי תורת היחסות ינבעו באופן לוגי מניבויי תורת ההתהוות. מחשבה טובה תגידי איפה את
נעלמת ולא השארת סימן לאף אדם
וקשה לי להמשיך לבד
מחשבה טובה חזרי מיד
מחשבה טובה חזרי ותני לי יד מחשבה טובה אם את מקשיבה
תני לי רק סימן שאת עדיין בסביבה
ותגידי לי שאין סיבה
ותגידי לי שיש תקווה
ותני לי רק סימן שאת עוד בסביבה. כל זה היה ההקדמה למבוא של הפתיחה. כמו שאתה מבין אני עדיין עובד על זה. יש ימים שנדמה לי שאו-טו-טו אני מצליח להציג תיאוריה שלמה וכל היקום יוצא במחול, אפלטון באתונה מקפץ כתיש עם בקבוק אוּזוּ סביב ננה מוֹשקוּרִי ומצטרף אליה בדואט ל”מִילִיסֵמוּ מִילִיסֵמוּ,“ ניוטון ולייבניץ עושים פסים סגולים בשיער ומצטרפים לסדנת סקס טנטרי בגואה, איינשטיין בטברנה מלווה בכינור את מרי הופקינס השרהFor in our hearts the dreams are still the same ופיינמן מרעיש בתופים עד שהשכנים קוראים למשטרה. וכמובן יש ימים ששום דבר לא הולך לי ואז אני שונא את כל העולם ומקלל את אבות הפיסיקה ראשון-ראשון ואחרון-אחרון, כולל אותך. איך זה אצלך? אם במקרה ייפול לידך מכתב זה כשאתה עדיין שוקד על עבודתך ותרצה לקפוץ אלי לשיחה אתה תמיד מוזמן ואם תרצה לעשות משהו ביחד נורא אשמח. אולי שמעת על היוזמה שלי עם כמה חברים להקים מכון חדש ללימודים מתקדמים, שבו אפשר לעשות מדע כמו שקודמינו הגדולים אהבו לעשות, ואם תהיה לך איזו עצה גם בעניין הזה נקשיב לך בשמחה. כך או אחרת, אני מאוד מבקש, ונדמה לי שזו בהחלט לא בקשה מוגזמת, שהמהפכה שלך תהיה עוד בקדנציה שלי. שלך בידידות,
אבשלום נ.ב. סתם מחשבה: אולי שמת לב שיש דמיון בין היעדר מעבר הזמן בתיאור הפיסיקלי של כל תהליך לעוד דבר חשוב שנעדר מכל תיאור פיסיקלי בתחום יותר ספציפי. אני מתכוון לתיאור הפיסיקלי של התהליך המוחי, שמזה אלפיים שנה שאנשים שוברים את הראש למה התודעה, או החוויה הסובייקטיבית, מעולם לא נובעת אפילו מהתיאור הכי מפורט מהסוג הזה. כמובן שזה יהיה מוגזם לצפות שהמהפכה הבאה בפיסיקה תפתור גם את החידה העתיקה הזאת, אבל אולי לא? למנחה שלי, יקיר, יש אובססיה בנושא הזה והוא הדביק בה גם אותי. כבר עשרים שנה שאני מתלבט בשאלה הזאת ולמרות שאין לי הוכחות של ממש אני משוכנע יותר ויותר שהדמיון בין שתי הבעיות הוא לא מקרי. כתבתי על זה בספר קטן שפרסמתי לפני עשר שנים.
נ.ב לנ.ב. כמובן שכל העניין הזה של נ.ב.ים הוא סתם העמדת-פנים בתקופה הזאת שהכל נכתב במעבדי-תמלילים ואפשר היה להכניס את זה לטקסט, אבל במקרה הזה רציתי לתת כבוד לשתי הפלאים האלה, הזמן והתודעה. צבע החגורה הוא הדרגה הניתנת לאמן הקראטה, כשהשחורה היא הגבוהה ביותר. לדרגה זו יש דרגות משנה, דאנים, כשהגבוה ביותר הוא העשירי. תשאלו מה לגבי מי שהתעלה מעבר לדרגה זו? אמרו היפאנים: ניתן לו חגורה לבנה. והרי לבנה היא למתחילים? אמרו היפאנים: נכון, עד עכשיו הוא התקדם בשליטה על גופו ומעכשיו צבע החגורה שלו משקף את שליטתו בגוף היריב. במובן הזה כבר עטו שני הזקנים האלה חגורות לבנות.
נספח מתמטי
לפרק א
הטריגונומטריה עוסקת בקשרים בין זוויות וצלעות המשולש. במשולש ישר-זווית, שתי הצלעות הסמוכות לזווית הישרה קרויות ניצבים בעוד הצלע שממול היא היתר. נהוג לסמן צלעות באותיות לטיניות קטנות, קודקודים באותיות גדולות וזוויות באותיות יווניות.
היחסים בין זוויות וצלעות מבוטאים ע"י פונקציות טריגונומטריות כמו:
סינוס sin α = a/c ,
קוסינוס cos α = b/c ,
טנגנס tan α = a/b .
וכך, בהזדמנות זו, נבטא את משפט פיתגורס:
a2+b2=c2 .
שממנו נובעים יחסים מעניינים בין הפונקציות הטריגונומטריות, כמו
(sinα)2 + (cosα)2 = 1 .
להבנת שיטות המדידה-מרחוק של תלס נניח שיש עץ מעבר לנהר ואנו רוצים למדוד את ריחוקו מאתנו. נסמן את מיקומו ב-C. נבחר נקודה על הגדה שלנו מול העץ ונסמנה ב-B. עכשיו נשרטט על החוף קו ישר מ-B המאונך לקו BC. נכנה את הנקודה בסופוA ונמדוד את אורך הקו AB (הצלע b בתרשים). עכשיו נמדוד גם את הזווית מהנקודה A לנקודה C מעבר לנהר. נקרא לזווית זו α. לפנינו משולש ישר-זווית. על-פי ‏[3], האורך שאנחנו מבקשים (הצלע a) הוא טנגנס הזווית α חלקי הקו שמדדנו על החוף. אם לדוגמה, הזווית הייתה o60, הטנגנס הוא 1.732. נוכל לעשות חשבון עצלנים ולדאוג שהנקודה A תהיה במקום שממנו הזווית עם C תהיה o45, ואז הטנגנס יהיה בפשטות 1, מה שאומר שמרחק העץ הוא בדיוק המרחק AB שמדדנו על החוף.
אתגר: האם תוכלו להשתמש בטריגו' כדי למדוד את גובה העץ?
לפרק ב
חוקי האלגברה
”חוק החילוף: אין חשיבות לסדר המספרים בפעולות החיבור והכפל,“
a+b=b+a, וכן ab=ba ,
”חוק הקיבוץ: אין חשיבות לסדר הפעולות בחישוב שכולו חיבור או כולו כפל,“
(a+b)+c=a+(b+c), וכן (ab)c=a(bc),
ו”חוק הפילוג: מכפלת סכום שווה לסכום המכפלות,“
a(b+c)=ab+ac .
בפתרון משוואה ניתן לעשות פעולה על אגף אחד של המשוואה בתנאי שאותה פעולה מבוצעת על האגף הנגדי. כתוצאה, אבר מאגף אחד עובר לאגף הנגדי תוך שינוי הסימן מחיובי לשלילי ולהיפך, או מכּופֵל למחלק ולהיפך. כך ניתן לבודד את הנעלם, אותו אנו מבקשים למצוא, לבדו באגף שמאל בעוד כל המספרים עוברים לאגף ימין ומהם ניתן לחשב את ערכו. ניתן לתמצת את הרעיון מאחורי כללים אלה כך: העובדה שאיננו יודעים את ערכו של נעלם אין פירושה שהוא אינו מציית לחוקים החלים על המספרים אותם אנחנו כן יודעים, ולכן נבצע עליו כל פעולה שנמצא לנחוץ עוד לפני שאנו יודעים את ערכו, עד שנדע אותו.
המעגל והכדור
היקף המעגל:
.
שטח העיגול:
.
שטח פני הכדור:
.
נפח הכדור:
.
רק חמישה פאונים מושלמים?
הגדרות: מצולע משוכלל = צורה דו-ממדית שכל צלעותיה וכל זוויותיה שוות. פאון משוכלל = צורה תלת-ממדית המורכבת ממצולעים משוכללים שווים המהווים לה ”פאות“.
נדון תחילה בקודקוד (”שפיץ“) של פאון כזה. תסכימו ש-א) הוא חייב להיות מפגש של לפחות שלושה מצולעים – אחרת זו תהיה צלע ולא קדקוד; ב) סכום זוויות המצולעים הנפגשים בו חייב להיות פחות מ-360o, אחרת זה לא יהיה קודקוד אלא מישור שטוח או משטח מקופל; ג) כיוון שלכל מצולע צריכים להיות לפחות שלושה קדקודים, חייבת הזווית של כל קודקוד להיות לכל היותר שליש של 360o, כלומר 120o. לכן, כשנחזור לפאון שלנו ונשאל איזה מצולעים יכולים להרכיב אותו, מגבלה (ב) מוציאה מכלל חשבון את המשושה, שזוויתו היא 120o, וכמובן את כל המצולעים הגדולים יותר שזוויותיהם גדולות יותר. מה נשאר? המשולש, הריבוע והמחומש. זווית המשולש המשוכלל היא 60o, כך שלפי (ב) ניתן ליצור קדקוד מ-3, 4, או 5 משולשים – אלה הם הטטרהדרון, האוקטהדרון והאיקוסהדרון. זווית הריבוע היא 90o, לכן ניתן ליצור קדקוד רק מ-3 ריבועים – והרי הקוביה. זווית המחומש היא 108o, מה שמאפשר ליצור קדקוד רק משלושה כאלה, וזה הדודקהדרון.
חידת החבל
על-פי ‏[10] ניתן לקבל את הרדיוס מההיקף
.
נסמן את הפרש ההיקפים, לפני ואחרי מתיחת החבל, ב-ΔC. ואת הפרש הרדיוסים ב-Δr ואז
,
לכן
.
שלא כמשוואות שטח העיגול ‏[11] או נפח הכדור ‏[13] שהן ריבועיות, משוואת היקף המעגל היא ליניארית ולכן ”עיוורת“ לגודל המעגל.
לפרק ‏5
החוק השלישי של קפלר
,
כש-r הוא המרחק מהשמש ו-T זמן ההקפה. ערכו של הקבוע K תלוי ביחידות בהן נמדוד זמן ומרחק (שעות, קילומטרים וכד'). האסטרונומים קבעו לנוחיותם ”יחידה אסטרונומית“ שהיא המרחק הממוצע של הארץ מהשמש: 150 מיליון ק"מ. אם נמדוד את המרחק ביחידות אסטרונומיות ואת הזמן בשנים, ערכו של K יהיה 1.
חוק היפוך ריבוע המרחק
אם נדַמה את האור לכדור ההולך ומתפשט, שטח פני הכדור גדל לפי ‏[12], וכמות האור הקיימת חייבת להתפזר עליו במידה שווה. לכן, אם עוצמת האור במקור היא P, תהא עוצמת האור במרחק r ממנו:
.
לפרק ‏6
תנועה ותאוצה
כדי למדוד מהירות עלינו למדוד את הדרך שעבר הגוף בפרק זמן כלשהו ולחלק אותה באותו פרק זמן. אם נשתמש בקיצורים למילים האנגליות velocity, distance ו-time, אזי, למהירות קבועה,
.
את התאוצה, אם כן, נמדוד ע"י מדידת השינוי במהירות בפרק זמן מסוים. נסמן תאוצה (acceleration) ב-a, ואז, אם הגוף החל ממצב מנוחה ועבר לתנועה בתאוצה קבועה, התאוצה הממוצעת תהיה
.
וכשנציב את ‏[19] ב-‏[20] נקבל שבר בתוך שבר, שאותו נצמצם:
.
לאמור, התאוצה שווה למרחק אותו עבר הגוף חלקי הזמן בו עבר את המרחק בריבוע.
נחשב עתה את הדרך שעושה גוף נע. כשהתנועה קבועה, פשוט נכפיל את המהירות בזמן:
.
אבל מה אם הגוף נע בתאוצה? גלילאו פתר את הבעיה בצורה פשוטה. נתחיל מהמקרה הקל: גוף נע במהירות קבועה של 5 מטרים לשנייה במשך 10 שניות. לפי ‏[22] הוא עבר 50 מטר. ניתן לציין תוצאה זו ע"י מלבן, שאורכו הוא הזמן שחלף ורוחבו הוא המהירות, ואז שטח המלבן, שהוא מכפלת שני הגדלים, ייתן את המרחק.
עכשיו, אם נניח שמהירות הגוף הייתה בתחילה 0 ורק בהדרגה גדלה ל-5 מטרים בשנייה, יהיה עלינו לייצג את המהירות ע"י קו אלכסוני המתחיל ב-0 ומסתיים ב-5. המרחק שעבר הגוף הפעם אינו שטח מלבן אלא שטח משולש שהוא בדיוק חצי משטח המלבן. הצלע האחת של המשולש היא המרחק והצלע השנייה היא המהירות הסופית. הנוסחה הפעם, לגוף הנע בתאוצה, תהיה: המרחק שעבר הגוף שווה לזמן שעבר כפול המהירות הסופית מחולק בשתיים,
.
עכשיו אנחנו מבחינים שאת האבר שבמונה, המהירות הסופית, אנחנו יכולים לחשב לפי התאוצה. נניח שהגוף מתחיל ממהירות 0, בתוך שנייה עובר למהירות של חצי מטר לשנייה, בשנייה הבאה מהירותו היא מטר לשנייה וכך הלאה. בקיצור: בכל שנייה הגוף מגביר את מהירותו בעוד חצי מטר לשנייה, כלומר a=0.5m/sec. אם כך, המהירות ברגע מסוים שווה לתאוצה כפול הזמן,
.
עתה, נציב את הביטוי "תאוצה כפול זמן" במשוואה ‏[24] במקום "המהירות הסופית" שב-‏[23] ונקבל את התשובה:
.
המרחק שעבר הגוף שווה לזמן שעבר הגוף כפול התאוצה כפול הזמן מחולק בשתיים.
הפרבולה
אם תנועת האבן הנופלת היא צירוף של א)תנועה אופקית קבועה ו-ב)תנועה אנכית מואצת, המתמטיקה מאפשרת לשרטט את המסלול המדויק שיוצרות שתי התנועות. הדרך שעושה גוף בתנועה קבועה נתונה ע"י משוואה ‏[22], וכדי לבטא אותה בשפת הגרפים נשתמש ב-x לציון מיקומו של הגוף בממד האורך:
.
נעלה את שני האגפים בריבוע (מיד תבינו למה):
.
אם כך, אז
.
וגם את ‏[25] אפשר לבטא בצורה זו, אחרי שנחליף את d ב-y, המציין את הממד האנכי בגרף:
.
ואם ‏[28] ו-‏[29] שווים לאותו דבר הם שווים גם זה לזה:
.
ולכן:
.
לאמור, בכל נקודת אורך יהיה גובה האבן שווה לתאוצה (במקרה שלנו זו התאוצה האנכית g) כפול ריבוע המרחק האופקי שעברה האבן, הכל מחולק בריבוע המהירות כפול שתים.
לפרק ‏7
חתכי החרוט
המעגל, המוגדר כ”אוסף כל הנקודות במישור הנמצאות במרחק שווה מנקודה נתונה,“ מבוטא בשיטת דקרט (ובהסתמך על משפט פיתגורס ‏[4]) כך:
.
האליפסה, ”אוסף כל הנקודות שסכום מרחקיהן משתי נקודות נתונות (המוקדים) הוא שווה“:
.
הפרבולה, ”אוסף כל הנקודות הנמצאות במרחק שווה מנקודה נתונה ומישר נתון“:
.
ההיפרבולה, ”אוסף כל הנקודות שההפרש בין המרחקים שבין כל אחת מהן לשתי נקודות קבועות (המוקדים) הוא קבוע“:
.
הנוסחה הכללית היא

(כש-A, B ו-C אינם שלושתם אפס). ואז, אם זו אליפסה, ובמקרה היותר ספציפי שבו וגם זה מעגל, אם זו פרבולה ואם זו היפרבולה.
ניתן לסכם את היחס בין חתכי החרוט ביתר פשטות כך: תהא ”אקסצנטריות“ מידת חריגתו של החתך מה”מעגליות,“ ואז למעגל יש אקסצנטריות 0, לאליפסה מעל 0 ומתחת ל-1, לפרבולה 1 ולהיפרבולה גדולה מ-1.
לפרק ‏8
החוק השני
F=ma .
ניסוח חוק הכבידה
הרעיון פשוט: אם כוכב-לכת סובב סביב השמש, במעגל או באליפסה, הוא נע, על-פי ההגדרה שקבענו, בתאוצה. אם נדע בדיוק את מידת התאוצה הזאת, נחלקה במסת הכוכב וכך נדע בדיוק את עוצמת הכבידה הפועלת עליו. ואם נעשה את החישוב הזה על כמה כוכבי-לכת בעלי מסות שונות, נוכל לגזור חוק כללי עוד יותר שיקשר בין מסה לכבידה.
נניח אם כן שכדור-הארץ סובב סביב השמש במעגל מדויק. את התאוצה המעגלית ניתן לגזור ממשוואת התאוצה הרגילה ‏[20]. לא נעשה את הגזירה כאן (שוב פיתגורס ‏[4] וכו'), ורק נביא את המשוואה, אותה ניסח לראשונה האוכֶנס: תהא מהירות הגוף v, ורדיוס המעגל r, אזי
.
אבל כיוון שהאיבר a כלול במשוואה המפורסמת ‏[37], נציב את ‏[38] בתוך ‏[37]. נקבל
.
עכשיו אפשר לעשות גם את v (מהירות) מפורש יותר, כי מהירות היא דרך מחולקת בזמן ‏[19]. כדור-הארץ עושה מעגל שלם במשך פרק זמן הידוע לנו (שנה), ואם נדע את רדיוס המעגל נוכל לחשב את הדרך שעשה בזמן זה על-פי משוואת היקף המעגל ‏[10], כך נעשית משוואת מהירות כדור-הארץ מפורשת יותר:
.
נציב אותה בתוך ‏[39], נצמצם, ושוב נצמצם:
.
אבל כאן כדאי לרשום את המשוואה דווקא בצורה פחות תמציתית. נפרק אותה כך:
.
האם הביטוי הבודד מימין זכור לכם מאיפה שהוא? ניוטון נזכר: זה החוק השלישי של קפלר (משוואה ‏[17]) המקשר בין מהירותו של כוכב-לכת לריחוקו מהשמש. הוא הציב אותו ב-‏[42] וקיבל
.
הנה שוב מיודענו ”חוק היפוך ריבוע המרחק“: עוצמת הכבידה יורדת ביחס ישיר למרחק בין הגופים כפול עצמו. ניוטון ידע עכשיו שהוא על הדרך הנכונה כי חוק כזה בדיוק גילה קפלר (משוואה ‏[18]) ביחס לאור. גם הכוח החדש מציית לחוקיות המוכרת של שטח פני הכדור.
עכשיו אפשר להציב מספרים במקום כמה מהאותיות בנוסחת כוח הכבידה: π שווה ל-1593.14, את ערכו של K אנו יודעים כבר מחוק קפלר ואת r ו-m כבר נתנו לנו האסטרונומים היוונים וממשיכיהם. פתרון המשוואה הזאת נתן לניוטון את עצמת הכוח המושך את כדור-הארץ אל השמש.
עכשיו, אמר ניוטון, נרשום גם את משוואה [8] בצורה פחות תמציתית:
.
מה הרווחנו בתוספת הזאת של אותו אבר למונה ולמכנה? כך, משיב ניוטון, הפרדנו בין המסה של כדור-הארץ (m) לזו של השמש (M). עכשיו, כשנשווה בין כוכבי-לכת שונים במערכת השמש, נוכל לרשום את הביטוי השמאלי בצורה קבועה, האות G, המבטאת את היחס בין המסה של גוף לכבידה שהוא מפעיל על גופים אחרים:
.
עכשיו, אם במקום M גדולה ו-m קטנה נציין את המאסות של שני הגופים בסימון ניטרלי יותר וגם ”רדיוס“ (r) נחליף במושג הכללי יותר ”מרחק“ (D), נקבל, לא פחות, חוק כללי התקף לכל הגופים ביקום:
.
זהו חוק הכבידה האוניברסלי: בין כל שני גופים בעולם פועל כוח השווה למכפלת המאסות שלהם, כפול המספר הקבוע G, חלקי המרחק ביניהם בריבוע.
אפשרות אחרת
ויש אומרים שניוטון התקדם כך: מהירות נפילתו של התפוח בשניה הראשונה היא בערך 5 מ'/שנייה. באיזו מהירות ”נופל“ הירח, כלומר מה מידת הסטייה של מסלולו מהקו הישר שמחייב החוק הראשון? הנתונים האסטרונומיים שהיו בידי ניוטון הורו על סטייה של 1.3 מ"מ/שנייה. מהיכן ההבדל בין נפילת התפוח והירח? ברור, מניסוי גלילאו (ר' גם להלן), שזה לא נובע מההבדל בין מאסות התפוח והירח!
אולי המדובר בהבדלי המרחק מכדור-הארץ? נזכור שהנקודה הקובעת לגבי המרחק היא מרכז המאסה של כדור-הארץ (ר' בגוף הפרק), ולכן מרחק התפוח ממרכז כדור-הארץ הוא 6500 ק"מ, ואילו מרחק הירח ממרכז כדור-הארץ הוא 390000 ק"מ, כלומר, בערך פי 60 ממרחק התפוח. לא הולך: ההבדל בין נפילות הגופים גדול מזה בהרבה.
ננסה אם כן לערב את ”חוק ריבוע המרחק“ שראשיתו בקפלר והמשכו בחישוביהם של הוק והלי. שמא ההבדל בין נפילות התפוח והירח הוא 602, כלומר 3600? בינגו!
חזרה לגלילאו
נשאר לנו עוד לסגור חוב עם גלילאו ולהראות בצורה מתמטית למה כל המשקולות שהפיל יחד חייבות להגיע לקרקע יחד. אם נפיל משקולת של ק"ג אחד ומשקולת של שני ק"ג, אומרת משוואה ‏[46] שהכוח הפועל על השנייה גדול פי שניים מזה הפועל על הראשונה – זו הסיבה שקשה פי שניים להרים את השנייה. אבל חוק-היסוד של ניוטון ‏[37] אומר: התאוצה הפועלת על גוף שווה לכוח הפועל עליו המחולק במסת הגוף. לכן, כשמדובר בכוח הכבידה, דורשת משוואה ‏[37] שהתאוצה הפועלת על שתי המשקולות תחולק במסות שלהן. המסה מופיעה אם כן גם מעל לקו השבר וגם מתחתיו וההבדל בין שני הגופים הנופלים מתבטל.
הכוח הצנטריפוגלי הלא-קיים
ולבסוף, תרגיל מתמטי פשוט יותר: ורנר פון בראון (1912-1977), אבי תכנית החלל האמריקנית (וטיפוס מפוקפק שבנה בצעירותו טילים להיטלר), כתב ספר פופולארי ובו נקט בדרך מהירה יותר לגזור את כוח המשיכה מהנתונים האסטרונומיים: אם הירח סובב סביב הארץ, פועל עליו כוח צנטריפוגלי המאיים להעיף אותו החוצה. על-פי משוואת האוכנס, הכוח הצנטריפוגלי פרופורציוני למסת הגוף, לרדיוס המעגל ולמהירות סיבובו, כפול קבוע כלשהו K:
.
אם נציב במשוואה את ריחוק הירח מאתנו, את המסה שלו ומהירות סיבובו סביב כדור-הארץ, נקבל את עוצמת הכוח הצנטריפוגלי, וכיוון שהירח לא עף החוצה ולא נופל, הכוח הזה שווה בדיוק לכוח המשיכה! כך אפשר לחשב לגבי שאר גרמי השמים ולמצוא את הקבוע הנכסף G. על הגזירה הזאת ספג פון-בראון הרבה ביקורת, כי הכוח הצנטריפוגלי אינו כוח אמיתי אלא ”כוח שקול“ (ר' בגוף הפרק). בקיצור, התרגיל אינו נכון מבחינה פיסיקלית טהורה. ובכל זאת, הוא עובד, והרבה יותר מהר מהגזירה ה”נכונה“ שהבאנו כאן! האם זה לא אומר משהו על כוחה של החשיבה המתמטית? אני תוהה אם איינשטיין לא היה מוצא כאן עוד אישוש לצורת החשיבה של היחסות הכללית.
התעלול של ניוטון
נגדיר תחילה את תכונותיו הפרדוקסליות של השיפוע המבוקש. אנחנו מחפשים שיפוע של קו עקום. בברור שהשיפוע יהיה מדויק יותר ככל שקטע הקו יהיה קצר יותר, והכי מדויק כשאורך הקטע הוא נקודה. בשפה של דקארט, השיפוע בנקודה a פירושו: הפרש האורך מחולק בהפרש הרוחב,
.
נציין ”הפרש“ באות היוונית Δ ונקבל
.
כאשר Δ ”שואף לאפס,“ כלומר מתקרב לאפס ככל האפשר אבל אינו אפס, נותנים המתמטיקאים לביטוי דווקא את הצורה הפשוטה
.
ושוב, אם נקטין את dy לאפס, יאמר כל בר-דעת שלאפס מרחק יש אפס שיפוע, וכשיראה שגם המכנה הוא אפס, יאמר שכל הביטוי הוא במקרה הטוב חסר-משמעות. איך הצליח ניוטון לדאוג ש-d יהיה הכי קטן שאפשר ובכל זאת לא אפס?
עסקת ה”בירה תמורת סיגריות“ של ניוטון בצורתה המקורית היא זו. ניקח את המשוואה הריבועית הפשוטה ביותר
,
ונבדוק מה קורה כש-x ו-y מקבלים את התוספת ה”כמעט אפסית“:
y + dy = (x + dx)2
= x2 + 2xdx + (dx)2 .
כיוון ש-‏[51], נפחית את y מאגף שמאל ואת מימין ונישאר עם
= 2xdx + (dx)2 dy .
עכשיו טען ניוטון בלי להניד עפעף: אם dx הוא מספר קטן, כלומר שבר, אז (dx)2, שהוא שבר בריבוע, קטן הרבה יותר, כך שככל ש- dxיתקרב לאפס, ייעלם (dx)2 לפניו, וכך יישאר רק
= 2xdx dy.
ועכשיו רק העברה אלגברית פשוטה מאגף לאגף מפרידה בינינו לבין הלא-ייאמן:
.
שהוא השיפוע של כל נקודה על פני הפרבולה הזאת, שאין בה שום קטע ישר.
כמובן, הטענה שקיים מספר פיצפון שהוא גדול מ-0 אבל מכפלתו בעצמו (וחזקות גבוהות יותר שלו) תתן אפס היא מופרכת. אז למה החדו"א בכל זאת עובד? התשובה המודרנית גם היא חכמולוגית, אבל עקבית. נתחיל מההפרש הנורמלי המסומן ב-Δx ונבדוק מה קורה למשוואה ‏[51] כש-Δx נעשה אפס:
.
בשלב זה Δx עדיין אינו אפס. נפתח סוגריים:
.
עכשיו נטען ש- Δxהוא אפס ושוב נקבל אותה תוצאה כמו ב-‏[56].
הוא הדבר בנוגע לאפס שמתחבא באינטגרל.
לפרק ‏9
משוואת לייבניץ
על-פי ניוטון, לגוף נע יש תנע, שהוא מכפלת המאסה שלו במהירותו הכיוונית:
.
כך שאם מכונית במשקל אלף ק"ג נעה במהירות 100 קמ"ש, יש לה תנע השווה ל-100,000 כפול קבוע כלשהו. המומנטום, סבר ניוטון, אינו משתמר. לכן, אם שתי מכוניות כאלה מתנגשות זו בזו חזיתית, הרי שמהירותה של האחת שלילית לעומת זו של חברתה ולכן יש להפחית את המומנטום של אחת מזה של השנייה והתוצאה תהיה 0.
לייבניץ הראה שגם אם המומנטום אינו נשמר, האנרגיה הקינטית נשמרת. את האנרגיה הזאת ביטא כך:

חזרה אל המכוניות, עוצמת ההתנגשות ביניהן נקבעת ע"י האנרגיה הקינטית של שתיהן, וכיוון שהביטוי ”בריבוע“ מבטיח שהאנרגיה הקינטית תמיד חיובית, בלי קשר לכיוונה היחסי, אנרגיה זו תמיד נשמרת ולכל היותר יכולה להפוך לאנרגיה קינטית מיקרוסקופית, כלומר לחום.
כיום ידוע שגם התנע נשמר.
חוק הפעולה המינימלית

משוואת מילגרום
את החוק השני של ניוטון ‏[37] מציע מילגרום להחליף בחוק אחר:
.
a0 יהיה מעתה קבוע חדש של הטבע. כל עוד התאוצה גדולה יחסית, כמו התאוצות שאנו רואים בחיי היום-יום, הוא יהיה זניח, אבל בתאוצות קטנות מאוד הוא יתבטא ויתן תוצאה השונה מזו של חוק התאוצה המקורי.
ביבליוגרפיה הערה ביבליוגרפית
התחום בו עוסק ספר זה קרוי ”יסודות הפיסיקה (foundations of physics).“ זהו תחום עיסוקם של מעטים (אם כי הם הפיסיקאים העיוניים הבולטים בדורנו, כמו פנרוז, הוקינג וסמולין) והוא משתרע על פני תורת היחסות הפרטית והכללית, תורת הקוונטים, פיסיקת החלקיקים, הקוסמולוגיה והתרמודינמיקה, תורת המיתרים והתורות המתחרות בה על כתר תורת השדה המאוחד, וכמובן יש לו נגיעה לשאלות רבות מתחום הפילוסופיה. הוא סובל מזלזולו של הרוב הבינוני של הפיסיקאים הנרתעים משאלות-יסוד, ולכן אינו זוכה להכרה ולמשאבים להם זוכים תחומים שימושיים יותר כמו המצב המוצק, לייזרים וכד', וכמעט אינו ניתן בתוכניות לימודים אוניברסיטאיות בארץ. לפיכך, אם השאלות בספר זה מסקרנות אותך וברצונך ללמוד עוד, בתוספת ללימודיך האקדמיים או במקומם, לבדך או (כדאי מאוד) בקבוצת לימוד בצוותא, הנה רשימת מקורות התחלתית.
נתחיל בעברית. להיכרות ראשונית וקלה מאוד עם הפיסיקה, ”מילדות לבגרות בשביל החלב“ הוא ספר נפלא של טימותי פֶרִיס‏43 המסביר את עקרונות-היסוד של הפיסיקה הקלסית והמודרנית. כספר לימוד, חוברות הקורס ”מבוא למדעי הטבע“ של האוניברסיטה הפתוחה‏1 הן אכן מבוא מעולה לפיסיקה לענפיה השונים, ערוכות בצורה מגוונת ומעניינת, שמות את הדגש על הבנה אינטואיטיבית וכוללות תרגילים רבים וגם כמה ניסויים. חוברות הקורס ”יסודות הפיסיקה“ של קירש‏47 באותה הוצאה הן מתקדמות יותר ומומלצות אחרי קורס המבוא. אם רצונך בספר לימוד בכרך אחד, ”פיסיקה לכל“ של היואיט‏20 הוא פשוט נפלא, כתוב בהומור ובאהבה לזכר בנו, וגם הוא שם את הדגש על ההבנה לפני הניסוחים המתמטיים והתרגילים.
להכרת ההיסטוריה של הפיסיקה השתמשתי באנתולוגיה המונומנטלית של סמבורסקי,‏36 המביאה תרגומים לעברית של קטעים חשובים מספריהם של גדולי הפילוסופים והפיסיקאים מימי קדם עד ימינו, עם מבואות והערות. בוודאי שמת לב במהלך הספר שאיינשטיין היה גם מורה מעולה ולכן כדאי לקרוא את רשימותיו הקצרות על הפיסיקאים שקדמו לו.‏4 את ספרו של בכלר‏10 יש ללמוד בביקורתיות ולא לקבל כמובנת מאליה את גישתו הפנאטית, אבל זה הספר המרתק ביותר בהיסטוריה ובפילוסופיה של הפיסיקה שנכתב בעברית, וכל קריאה חוזרת בו תגלה לך רבדים חדשים.
לגבי התחומים המודרניים יותר של הפיסיקה, ”היקום בקליפת אגוז“ של הוקינג[] נותן מושג ראשוני על התיאוריות הקיימות. ספריו המעולים של בריאן גרין[][] יקחו אותך למסע מאלף וידידותי מאוד למחוזות הספר של תורת המיתרים של ימינו.
אם שליטתך באנגלית טובה, הרצאותיו של פיינמן הם מבחינות רבות ספר הלימוד לפיסיקה הטוב בעולם, לא מעט בזכות הפשטות וההומור, והוא מקיף את כל הפיסיקה הקלסית עם היחסות והקוונטים.
כמה פיסיקאים עיוניים בני ימינו הצליחו לכתוב ספרים על עבודותיהם והמכוונים הן לעמיתיהם המדענים והן לציבור רחב יותר של קוראי מדע. הבולט בהם הוא רוג'ר פנרוז שכתב שלושה ספרים גדולים,[][][] שבהם, במיוחד בראשון, הוא מתאר בבהירות את הידע הקיים לפני שהוא מציע את התיאוריות שלו. הספרים כתובים ברמה מדעית גבוהה ויחד עם זאת בצורה מרתקת והומוריסטית וניתנים להבנה גם ע"י קוראים שאינם אנשי-מקצוע. סמולין כתב ספר דומה על החיפוש אחרי הכבידה הקוונטית. אחריו כתב ספר חתרני ושמו ”הצרה עם הפיסיקה,“ בו מתח ביקורת קטלנית על תורות המיתרים והצביע על הכיוון הרצוי לדעתו. קיפ ת'ורן[] הוא עוד דוגמא למחבר מחכים ומרתק.
באינטרנט יש כמה אתרים מצוינים ללימוד פיסיקה. בעברית הקים זאב קרקובר אתר כמעט לא-ידוע, ”ההערה היומית בפיסיקה ובהוראתה“:
http://my.ort.org.il/mop/physics/daily/
מחברו של האתר MathPages (http://www.mathpages.com/) אינו מזדהה, אבל ברשת נודע ששמו קווין בראון. למרות שהמחבר אינו מדען בעל הסמכה מוכרת, המידע המתמטי והפיסיקלי באתר מהימן מאוד ועליו נוספו חיבורים מקוריים מאוד של בעליו המסתורי. מעולה כמוהו הוא האתר של אריק וייסטיין,
http://scienceworld.wolfram.com/physics/
ותאומו http://mathworld.wolfram.com/
אתר אינטראקטיבי בו ניתן לעשות חישובים ממשיים הוא
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html
וכן, להרצת סימולציות ויזואליות מרהיבות, בעברית
http://braude.ort.org.il/physlet/
לבסוף, באתר שלי ריכזתי מאמרים, הרצאות ומצגות הנוגעות לנושאים אלה:
http://www.ac-elitzur.com/ .
בהצלחה!

אביב, ר, בן-צבי, נ, קדם, ד, וגולן, מ (1976) מבוא למדעי הטבע (5 כרכים). תל-אביב: האוניברסיטה הפתוחה.
אברון, א (1998) משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה. תל-אביב: האוניברסיטה המשודרת.
אדמונדס, ד, ואיידינאו, ג' (2005) הדוקרן של ויטגנשטיין. תל-אביב: ידיעות.
איינשטיין, א (2005) רעיונות ודעות. ירושלים: מאגנס
אליצור, א כ --- עמלק
– (2002) על שמונה הבלים פוסט-מודרניסטיים. http://www.ac-elitzur.com/philosophy-46.htm
– (2005) ואף על-פי כן, קיימת המציאות כשלעצמה: הדיאלוג הפילוסופי בין אלברט איינשטיין והרברט סמואל. אימגו, http://www.e-mago.co.il/e-magazine/einsam.html .
אנגלר, ג (2004) שתי תקופות של יופי במדע. גליליאו, 72, 42-34.
בילצקי, ע (1998) פרדוקסים. תל-אביב: האוניברסיטה המשודרת.
בכלר, ז (1999) שלוש מהפכות קופרניקניות. חיפה: אוניברסיטת חיפה וזמורה-ביתן.
גולדסטיין, ר (2006) ההוכחה והפרדוקס. תל-אביב: אריה ניר.
ג'ונסון, פ (1996) אינטלקטואלים. תל-אביב: דביר.
גינגריץ', א (2004) הספר שאיש לא קרא. תל-אביב: אריה ניר.
גליק, ג' (2007) אייזק ניוטון. תל-אביב: אריה ניר.
גליקר, י (1985) פרקי מבוא לאפלטון. תל-אביב: האוניברסיטה המשודרת.
דולב, ש.
דוקינס, ר (2001) לפרום את הקשת בענן. תל-אביב: הד ארצי.
הוקינג, ס (1989) קיצור תולדות הזמן. תל-אביב: מעריב.
– (2003) היקום בקליפת אגוז. תל-אביב: מעריב.
היואיט, פ ג' (1997) פיסיקה לכל. ירושלים: מכון ברנקו וייס.
וורם, א (2004) רציונליות וקדמה במדע. תל-אביב: האוניברסיטה המשודרת.
ורטהיימר, מ (1965) איינשטיין: החשיבה שהובילה לתורת היחסות. מתוך: החשיבה (עורך מ. כספי). ע' 329-297. ירושלים: ביה"ס לחינוך של האוניברסיטה העברית.
זייף, צ' (2000) אפס. רעננה: מי-אן.
כהן, ב (1966) לידתה של פיסיקה חדשה. תל-אביב: עם עובד.
ליבוביץ, י () גוף ונפש: הבעיה הפסיכופיסית. תל-אביב: האוניברסיטה המשודרת.
ליביו, מ (2003) חיתוך הזהב. תל-אביב: אריה ניר.
– (2006) שפת הסימטריה. תל-אביב: אריה ניר.
לשם-רמתי, ע (2005) אייזק ניוטון ובית המקדש. מגדל: רזיאל.
מידב, מ, ברוש, נ, ונצר, ח (1988) היקום. תל-אביב: רמות.
מילגרום, מ (2006) החומר האפל באור חדש. תהודה 25/2: 4-10.
מקלצ'לאן, ג' (1997) גלילאו גליליי. תל-אביב: ידיעות אחרונות.
סובל, ד (2003) בתו של גלילאו. אור-יהודה: כנרת.
סטור, א (1983) הדינאמיקה של היצירה. תל-אביב: פועלים.
– (1999) הכלב השחור של צ'רצ'יל. תל-אביב: דביר.
סייגן, ק (1997) עולם רדוף-שדים. תל-אביב: הד ארצי.
סמבורסקי, ש (1972, עורך) המחשבה הפיסיקלית בהתהוותה. ירושלים: מוסד ביאליק.
– (1987) חוקות שמים וארץ. ירושלים: מוסד ביאליק.
– (1989) הפיסיקה של המאה ה-17. תל-אביב: האוניברסיטה המשודרת.
סטיוארט, א (1999) המספרים של הטבע. תל-אביב: הד ארצי.
פאלק, ד (2002) היקום על חולצת טריקו. ירושלים: כתר.
פויר, ל ס (1979) איינשטיין ובני דורו. תל-אביב: אופקים.
פופר, ק
פריס, ט (1988) מילדות לבגרות בשביל החלב. תל-אביב: מעריב.
צ'רניבסקי, א' (1965) בין מדע ודת. תל אביב: יהושע צ'צ'יק.
קאסטי, ג' ()
קון, ת (2005) המבנה של מהפכות מדעיות. מהדורה חדשה. תל-אביב: ידיעות אחרונות.
קירש, י (2003) יסודות הפיסיקה (6 כרכים). תל-אביב: האוניברסיטה הפתוחה.
– (2006) היקום על-פי הפיסיקה המודרנית. תל-אביב: עם עובד.
קסטלר, א (1970) יוהאנס קפלר. תל-אביב: עם עובד.
קריסטיאנסון, ג (2000) אייזק ניוטון והמהפכה המדעית. תל-אביב: ידיעות אחרונות.
שישא, א, ושליונסקי, ד (תש"ה) שני מאורות: ארכימדס וניוטון. תל-אביב: עם עובד.
שרפשטיין, ב-ע (1984) פילוסופים כבני-אדם. תל-אביב: זמורה ביתן.
Aharonov, Y, & Rohrlich, D (2005) Quantum Paradoxes. New York : Wiley-VCH.
Alpher, R A, Bethe, H, and Gamow G (1948) The origin of chemical elements. Physical Review, 73, 803-804.
Beck, G, Bethe, H, and Riezler, W (1931) Remarks on the quantum theory of the absolute zero of temperature. Die Naturwissenschaften, 2, 38-9.
Bodanis, D. () Passionate Minds.
Caspar, M (1993) Kepler. New York: Dover.
Chandrasekhar, S (1987) Truth and Beauty. Chicago: Univ. of Chicago Press.
Deacon, R (1986) The Cambridge Apostles. London: Farrar, Straus and Giroux.
Dirac, P A M (1963) The evolution of the physicist's picture of nature. Scientific American 208(5), 45–53.
Elitzur, A C (2005) When form outlasts its medium: A definition of life integrating Platonism and thermodynamics. In Seckbach, J. (Editor) Life as We Know it. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Elitzur, A C () Consciousness makes a difference.
Field, J V (1988) Kepler's Geometrical Cosmology Chicago: University of Chicago Press.
Guillen, M (1983) Bridges to Infinity. LA: Tracher.
--- (1995) Five Equations that Changed the World. New York: Hyperion.
Hofstadter, D (1999) Gödel, Escher, Bach. (A 20th anniversary re-edition) New York: Basic Books.
Laertius, D. (12??/1895) The Lives and Opinions of Eminent Philosophers (trans. C.D. Yonge). London: George Bell & Sons. http://classicpersuasion.org/pw/diogenes/
Leshem, A Newton on Mathematics and Spiritual Purity. London: Kluwer.
Manuel, F (1968) A Portrait of Isaac Newton. Cambridge, MA: Harvard University Press
Penrose, R (2004) The Road to Reality. New York: Knopf.
Rosen, J (1991) The Capricious Cosmos. New York: McMIllan.
– (1995) Symmetry in Science. New York: Springer.
Westman, R S (1975) The Melanchthon circle, Rheticus, and the Wittenberg interpretation of the Copernican theory. Isis 66 (232), 165-193.
Wigner, E (1960) The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences, Communications on Pure and Applied Mathematics, 13, 1-14.
אינדקס
אדלר, א Adler, A
אהרונוב, י Aharonov, Y
אורם, נ Oresme, N
אוטו
אוקלידס Euclid
איינשטיין, א Einstein, A
אלפר, ר. Alpher, R. A.
אנקסגורס Anaxagoras
אפלטון Plato
אריסטו Aristotle
ארכימדס Archimedes
בור, נ. Bohr, N.
בובאר, א. Bouvard, A.
בראון, תנועת
בתה, ה. Bethe, H.
ג'אול, ג'. Joule, J. P.
גאמוב, ג'. Gamow G
גורקי, מ. Gorky, M.
דה ברויי, ל. De Broglie, L. V.
דו שטלה, א. du Châtelet
דו פיי, ש. du Fay, C. F.
דולב, ש
דיראק, פ. Dirac, P.A.M.
האוכנס, ק.
הויגנס, ר' האוכנס
הורביץ, ל. Horwitz, L. P.
הלמהולץ, ה. Helmholtz, H. L F.
הרצל, ב.ז. Herzl, T. B. Z.
ובר
ווֹיטִיוָה, ר' יוחנן-פאולוס
וולטר, פ. Voltaire, F. M. A.
וולשצ'ן, א. Wolszczan, A
ויידמן, ל. Vaidman, L.
חוק ארכימדס
חוקי קפלר
חוקי ניוטון
טולסטוי, ל. Tolstoy, L.
יוחנן-פאולוס השני (ק. ווֹיטִיוָה)
לָאנזֵ'וֶן, פ. Langevin, P.
לנון, ג'.
מאייר, ר . Mayer, J. R.
מהר"ל (ר' יהודה ליווא)
ר' מנדל מקוצק
מרסן, מ. Mersenne, M.
ניוטון, א. Newton, I.
סוקרטס Socrates
ספינוזה, ב.
פנרוז, ר. Penrose, R.
פרויד, ז. Freud, S.
פרוינדליך, א.
פפל, א. Foppl, A.
פַרַדֵיי, מ. Faraday, M.
צווייג, ס. Zweig, S.
צ'כוב, א. Chekhov, A. P.
קליפורד ברני, נ. Clifford Barney, N.
רבנו תם (ר' יעקב בן מאיר)
רטיקוס, ג. Rheticus, G.Y.
רשב"ם (ר' שמואל בן מאיר)
רמב"ם (ר' משה בין מימון)
שפינוזה ר' ספינוזה
ת'ורו, ה. Thoreau, H.D.
תלס Thales Type equation here.